【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 1.3 两条直线的平行与垂直（七大题型） Word版含解析.docx，共(30)页，2.719 MB，由小赞的店铺上传

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1．3两条直线的平行与垂直课程标准学习目标（1）能说明两条直线平行或垂直（几何关系）与两条直线斜率的关系（代数关系）的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（2）能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等

素养．（1）理解并掌握两条直线平行与垂直的条件．（2）会运用条件判定两直线是否平行或垂直．（3）运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．知识点01两条直线相交、平行与重合1、代数方法判断两条直线11112222:0,:

0++=++=lAxByClAxByC的位置关系，可以用方程组11122200++=++=AxByCAxByC的解进行判断（如下表所示）方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点12210−=ABAB而12120−BCCB或21120−ACAC或()1

112222220=ABCABCABC有唯一解相交有一个交点12210−ABAB或()1122220ABABAB有无数个解重合无数个交点121212,,(0)===AABBCC或()11122222

20==ABCABCABC2、几何方法判断（1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行．（2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设111222:,:=+=+lykxblykxb，（1）1l与2l相交12kk；（2）1212//=

llkk且12bb；（3）1l与2l重合12=kk且12=bb．简记表：类型斜率存在斜率不存在条件1290=1290==对应关系1212//＝llkk12//ll两直线斜率都不存在图示【即学即练1】根据下列给定的条件，判断直线1l与直线2l

是否平行．(1)1l经过点()2,3A，()4,0B−，2l经过点()3,1M−，()2,2N−；(2)1l平行于y轴，2l经过点()0,2P−，()0,5Q；(3)1l经过点()0,1E，()2,1F−−，2l经过点()3,4G，()2,3H．【解析】（1）因为()

301242ABk−==−−，()21123MNk−==−−−，即ABMNkk，所以1l与2l不平行．（2）由题意可知2l恰好与y轴重合，所以12ll∥．（3）由题意可知11120EFk−−==−−，34123GHk−==−，即EFGHkk=，所以1l与2l平行或重合

．又因为()()41132FGk−−==−−，可知E，F，G，H四点共线，所以1l与2l重合．知识点02两条直线的垂直1、两条直线垂直的几何方法判断对应关系1l与2l的斜率都存在，分别为12,kk，则12121⊥=−llkk1l与2l中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1

l与2l的位置关系是12⊥ll图示2、两条直线垂直的代数方法判断已知直线12,ll的方程分别是1111:0++=lAxByC（11,AB不同时为0），2222:0++=lAxByC（22,AB不同时为0）（1）若1212120+=⊥AABBll（2）若1221

1212210//0−=−ABABllACAC【即学即练2】判断下列各题中1l与2l是否垂直．(1)1l经过点()()1,2,1,2AB−−；2l经过点()()2,1,2,1MN−−；(2)1l的斜率为10−；2l经过点(

)()10,2,20,3AB；(3)1l经过点()()3,4,3,10AB；2l经过点()()10,40,10,40MN−．【解析】（1）12(2)21(1)ABkk−−===−−，21(1)12(2)2MNkk−−===−−，1211,kkl=与2l不垂直．（2）121232110,,

1201010ABkkkkk−=−====−−，12ll⊥．（3）由,AB的横坐标相等得1l的倾斜角为90，则1lx⊥轴，又24040010(10)MNkk−===−−，则2//lx轴，因此12ll⊥．题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行例1．（2023·江西上饶·高二统考

期末）下列与直线420xy−−=平行的直线的方程是（）.A．440xy−−=B．420xy+−=C．420xy−−=D．420xy++=【答案】A【解析】直线420xy−−=斜率为4，纵截距为2，A选项：直

线斜率为4，纵截距为4−，符合；B选项：直线斜率为4−，纵截距为2，不符合；C选项：直线斜率为14，纵截距为12−，不符合；D选项：直线斜率为14−，纵截距为12−，不符合；故选：A.例2．（2023·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段

练习）直线10xy+−=与直线10xy++=的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交D．重合【答案】B【解析】直线10xy+−=化成斜截式方程为1yx=−+，直线10xy++=化成斜截式方程为=1yx−−，两直线斜率相等，在y轴上截距不相等，所以两直线的

位置关系是平行.故选：B例3．（2023·全国·高二专题练习）“直线1l与2l平行”是“直线1l与2l的斜率相等”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性：直线1l与2l平行，但是1l和2l都没有斜率，即当1l和2l都垂直于

x轴时，1l与2l仍然平行，但是，此时不满足直线1l与2l的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线1l与2l的斜率相等，则直线1l与2l平行或重合，故必要性不成立；综上，“直线1l与2l平行”是“直线1l与2

l的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D变式1．（2023·高二课时练习）判断下列各题中直线1l与2l是否平行．(1)1l经过点(1,2)A−−，(2,1)B，2l经过点(3,4)M，(1,1)N−−；(2)1l经过点(3,2)A−，(3,10)B−，2l经过点(5,2)M−，(5

,5)N．【解析】（1）因为1l经过点(1,2)A−−，(2,1)B，所以121112lk−−==−−，又2l经过点(3,4)M，(1,1)N−−，所以2145134lk−−==−−，因为12llkk，所以1l与2l不平行；（2）

直线1l经过点(3,2)A−，(3,10)B−的方程为3x=−，直线2l经过点(5,2)M−，(5,5)N的方程为5x=，故直线1l和直线2l平行；变式2．（2023·全国·高二假期作业）判断下列各组直线是否平

行，并说明理由．(1)1l经过点(2,3),(4,0)AB−，2l经过点(3,1),(2,2)MN−−；(2)1l的斜率为10−，2l经过点(10,2),(20,3)AB.【解析】（1）设直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，因为1l经过点(2,3),(4,0)AB−，2l经

过点(3,1),(2,2)MN−−，所以13012(4)2k−==−−，21213(2)k−==−−−，所以12kk，所以1l与2l不平行；（2）设直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则110k=−，因为2l经过点(10,2),(20,3)AB，所以2321201010k−==−，所

以12kk，所以1l与2l不平行.【方法技巧与总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤题型二：两条直线相交、平行、重合的判定例4．（2023·高二单元测试）已知直线()1:6180lxty+−−=与直线()()2:461

60txtly+++−=．当t为何值时，(1)1l与2l相交？(2)1l与2l平行？(3)1l与2l重合？(4)1l与2l垂直．【解析】（1）若直线()1:6180lxty+−−=与直线()()2:46160txtly+++−=相交，则()()()6614t

tt+−+，解得5t−且8t；（2）若直线()1:6180lxty+−−=与直线()()2:46160txtly+++−=平行，则()()()()()661461684tttt+=−+−−+，解得5t=−；（3）若直线()1:6180lxty+−−=与直

线()()2:46160txtly+++−=重合，则()()()()()661461684tttt+=−+−=−+，解得8t=；（4）若直线()1:6180lxty+−−=与直线()()2:46160txtly+++−=垂直，

则()()()64160ttt++−+=，解得2t=−或9−.例5．（2023·高二课时练习）直线320++=xya与直线640xyb+−=的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．不能确定【答案】D【解析】当2ba

=−时，两直线重合，当2ba−时，两直线平行，所以题设两直线位置可能重合、平行.故选：D例6．（2023·全国·高二假期作业）过点()1,2A和点()1,2B−的直线与直线3y=的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．以上都不对【答案】B【解析】过点()1,2A和

点()1,2B−的直线方程为2y=，斜率为0，又因为直线3y=斜率为0，所以两直线平行.故选：B变式3．（2023·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知Ra，则直线1:20lxay−−=与直线()2:1220l

axy−−−=相交的充要条件是（）A．0aB．2aC．1a−D．2a且1a−【答案】D【解析】由已知两直线相交，则()2102aaa−+−且1a−，故选：D．变式4．（2023·高二课时练习）已知直线1:330lm

xym+++=，直线()2:220lxmy+−+=，求：当m为何值时，直线1l与2l分别有如下位置关系：相交、平行、重合．【解析】当2m=时，1:2350lxy++=，2:20lx+=，l1与l2相交；当2m时，两直线的斜截式方程为：13:33mmlyx+=−−，212:

22lyxmm=−−−−．①当132mm−−−时，即m≠3，m≠﹣1且2m时，两直线相交，②当132mm−=−−，且3232mm+−−−，即m＝﹣1时，两直线平行．③当132mm−=−−，且3232mm+−=−−，即m＝3时，两直

线重合．综上：当m≠3，m≠﹣1时，两直线相交；当m＝﹣1时两直线平行；当m＝3时两直线重合．【方法技巧与总结】设111222:,:=+=+lykxblykxb，（1）1l与2l相交12kk；（2）1212//=llkk且12bb；（3）1l与2l重合12=kk且12=b

b．题型三：两条直线垂直的判定例7．（2023·全国·高三专题练习）直线1:10laxy+−=与直线2:10lxay−−=的位置关系是（）A．垂直B．相交且不垂直C．平行D．平行或重合【答案】A【解析】当0a=时，直线1:

10ly−=，直线2:10−=lx，此时两直线垂直，当0a时，直线1l的斜率1ka=−，直线2l的斜率21ka=，因为121kk?-，则两直线垂直，综上两直线位置关系是垂直，故选：A.例8．（2023·全国·高二专题练习）直线12,ll的斜率是方程2310xx-

-=的两根，则1l与2l的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合【答案】B【解析】由题意可设方程2310xx--=的两根为1k、2k，则121kk?-，所以直线1l与直线2l垂直,故选：B例9．（2023·江西九江·高二校考阶

段练习）与直线530xy+=的垂直的直线是（）A．062xy−=B．13xy+=C．1106xy−=D．1610xy−+=【答案】C【解析】由题意得直线530xy+=的斜率为53−，对于A：直线062xy−=的斜率为13，由于51133−−，所以直线062xy−=与

直线530xy+=不垂直，故A错误；对于B：直线13xy+=的斜率为13−由于51()133−−−，所以直线13xy+=与直线530xy+=不垂直，故B错误；对于C：1106xy−=的斜率为35，由于53135−=−，所以

直线1106xy−=与直线530xy+=垂直，故C正确；对于D：1610xy−+=的斜率为53，由于55133−−，所以直线1610xy−+=与直线530xy+=不垂直，故D错误，故选：C.变式5．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线1l与2l是否垂直．(1)1l的

斜率为10−，2l经过点()10,2A，()20,3B；(2)1l经过点()3,4A，()3,10B，2l经过点()10,40M−，()10,40N；(3)1l经过点()1,2A−，()5,1B−，2l经过点()1,0

C，()4,6D．【解析】（1）设直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则110k=−，2321201010k−==−，因为121kk=−，所以12ll⊥．（2）由点A，B的横坐标相等，得1l的倾斜角为90，则1lx⊥，设直线2l的斜率为2

k，则()2404001010k−==−−，所以2lx∥轴．故12ll⊥．（3）方法一：直线1l的斜率()1121512k−−==−−−，直线2l的斜率260241k−==−，因为121kk=−，所以12l

l⊥；方法二：直线1l的方向向量()6,3AB=−，直线2l的方向向量()3,6CD=，因为0ABCD=，所以ABCD⊥，所以12ll⊥．变式6．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)1:3270lxy−−=，2:2310lxy+−=；(2)1:20

ly−=，2:10ly+=．【解析】（1）设直线1,l2l的斜率分别为1k，2k．因为132k=，223k=−，所以121kk?-从而1l与2l垂直;（2）因为12021kk==−，，从而1l与2l平行．变式7．（2023·全国·高二假期作业）已知

四边形MNPQ的顶点(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)MNPQ−.(1)求斜率MNk与斜率PQk；(2)求证：四边形MNPQ为矩形.【解析】（1）因为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)MNPQ−，所以1,111203124MNPQkk−−−=−==−−=−，即1,1MNP

Qkk=−=−.（2）因为1,1MNPQkk=−=−，所以//MNPQ.又因为01,12112134MQNPkk−=−−=−−==，所以//MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，又因为1MNMQkk=−，所以MNMQ⊥，所以四边形MNPQ为矩形.变式8．（2023·青海海南·高二海南藏

族自治州高级中学校考阶段练习）根据下列给定的条件，判断两直线的位置关系.(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)

.【解析】（1）()12735144,325835kk−−−−==−==−−−−则()()124413443:21,:33555555lyxxlyxx=−−+=−+=−−−=−−两直线斜率相同，y轴上截距不同故1l与2l平行；（2）2321201010k−==−，则121kk=−，

故1l与2l垂直.【方法技巧与总结】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤（1）一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．（2）二用：就是将点的坐标代入斜率公式．（3）

求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，1l与2l一个斜率为0，另一个斜率不存在时，12⊥ll；1l与2l斜率都存在时，满足12·1＝−kk．题型四：直线平行与垂直的综合应用例10．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系x

Oy中，设三角形ABC的顶点分别为()0,Aa，(),0Bb，(),0Cc，点()0,Pp是线段AO上的一点（异于端点），设,,,abcp均为非零实数，直线,BPCP分别交,ACAB于点,EF，若BEAC⊥，求证：CFAB⊥.【解析】由点(),0Bb和点()0,Pp，知直线BP的斜率为

pb−，由点()0,Aa和点(),0Cc，知直线AC的斜率为ac−，因为BEAC⊥，所以1pabc−−=−，即pabc=−；由点(),0Cc和点()0,Pp，知直线CP的斜率为pc−，由点

()0,Aa和点(),0Bb，知直线AB的斜率为ab−，则直线CF与AB的斜率之积为1papabccbbcbc−−−===−，所以CFAB⊥.例11．（2023·高二课时练习）已知(1,3),(5,1),(3,

7)ABC，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.【解析】由题，(1,3),(5,1),(3,7)ABC，所以kAC=2，12ABk=−，kBC=－3，设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，所以

，125BDykx−==−，71=32CDyxk−=−−，得x=7，y=5，即(7,5)D②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以，331ADykx−==−−，71=32CDyxk−=−−得x=－1，y=9，即(1,9)D−③当AB为对角线时，有kBD=

kAC，kAD=kBC所以132351BDADyykkxx−−====−−−，，得x=3，y=－3，即(3,3)D−所以D的坐标为(7,5)或(1,9)−或(3,3)−.例12．（2023·全国·高二专题练习）已知()1,2A，()5

,0B，()3,4C.（1）若A，B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，判断A，B，C，D构成的平行四边形是否为菱形.【解析】（1）由题意得021512ABk−==−−，42131ACk−==−，402

35BCk−==−−，设(),Dab.若四边形ABCD是平行四边形，则CDABkk=，ADBCkk=，即4132221baba−=−−−=−−，解得16ab=−=，即()1,6D−.若四边形ABDC是平行四边

形，则CDABkk=，BDACkk=，即4122015baba−=−−−=−，解得72ab==，即()7,2D.若四边形ACBD是平行四边形，则CDABkk=，BDACkk=，即015221baba−=−−=−−，解得32ab==−，即()

3,2D−.综上，点D的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.（2）若D的坐标为（-1，6），因为1ACk=，60115BDk−==−−−，所以1ACBDkk=−，所以ACBD⊥，所以平行四边形ABCD为菱形.若D的坐标为（7，2），因为2BCk=−，22071ADk−=

=−，所以01BCADkk=−，所以平行四边形ABDC不是菱形.若D的坐标为（3，-2），因为12ABk=−，直线CD的斜率不存在，所以平行四边形ACBD不是菱形.因此，平行四边形ABCD为菱形,平行四边形A

BDC,ACBD不是菱形.变式9．（2023·全国·高一假期作业）在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为()0,0O，()1,Pt，()12,2Qtt−+，()2,2Rt−，其中0t且12

t.试判断四边形OPQR的形状.【解析】由斜率公式，得010OPtkt−==−，()()222121QRttkttt−+−===−−−−，20120ORktt−==−−−，2211212PQttkttt+−===−−−−，212OQtkt+=−，212PRtkt−=+.∴OPQRkk=，OR

PQkk=，∴//OPQR，//ORPQ，∴四边形OPQR为平行四边形.又1OPORkk=−，∴OPQR⊥.又1OQPRkk−，∴OQ与PR不垂直，∴四边形OPQR为矩形.变式10．（2023·高二课时练习）已知A（1，－1），B（

2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．【解析】设(),Dxy，则13231CDABCBADyykkkkxx+====−−，，－，，1,CDABCBADkkkk=−=3103{{(0,1)1121yxxDyyx==−+==−−－变

式11．（2023·全国·高二专题练习）设(5,1)A−，(3,0)B−，(2,)Cm，问是否存在正实数m，使ABC为直角三角形?【解析】要使ABC为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，B

C，AC的斜率都存在．当A为直角时，则AC⊥AB，所以1AABCkk=−，即01113525m++=−−−−，解得250m=−，舍去；当B为直角时，0113523m+=−−−+，40m=；当C为直角时，112523mm+=−−+，

1612m−+=或1612m−−=（舍去）.综上所述，存在正实数40m=或1612m−+=，使ABC为直角三角形.【方法技巧与总结】已知直线12,ll的方程分别是1111:0++=lAxByC（11,AB不同时为0），2222:0+

+=lAxByC（22,AB不同时为0）（1）若1212120+=⊥AABBll（2）若12211212210//0−=−ABABllACAC题型五：两直线的夹角例13．（2023·上海黄浦·高二统考期末）直线60x−=与直线30xy−+=的夹角为；【答案】π4【解析】因为直线

60x−=的斜率不存在，倾斜角为π2，直线30xy−+=的斜率为1k=，倾斜角为π4所以两直线的夹角为π4=.故答案为：π4.例14．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）直线1:330lxy−+=与直线2:0lxy+=的夹角记为，则c

os=.【答案】55【解析】设直线12,ll的倾斜角分别为12,，则11tan3=，2tan1=−，()1212124tantan3tantan221tantan3−=−===+，又π0,2，5cos5=.故答案为：5

5.例15．（2023·上海·高二专题练习）直线310xy++=与直线310xy++=的夹角为【答案】6/30【解析】直线310xy++=的斜率为1333−=−，倾斜角为5π6；直线310xy++=的斜率为3−，倾斜角为2π3，所以两条直线的夹角为5π2ππ636−=.故答

案为：π6变式12．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）直线1x=与直线310xy−+=的夹角大小为.【答案】6/30【解析】因为直线1x=的斜率不存在，倾斜角为π2，直线310xy−+=的斜率为3，倾斜角为π3，故直线1x=与直线31

0xy−+=的夹角为πππ236−=，故答案为：π6．变式13．（2023·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）若直线30xmy++=与直线210xy++=的夹角为π4，则实数m的值为.【答案】3−或13【解析】设直

线30xmy++=的倾斜角为、直线210xy++=的倾斜角为，由于210xy++=的斜率为12−，即13tan,023=−−，所以5π,π6，由于直线30xmy++=与直线2

10xy++=的夹角为π4，所以直线30xmy++=的倾斜角不是π2，斜率存在，且斜率为1m−.所以111πtan112tantan141tan312m−++−==+===−+，解得3m=

−，或111πtan12tantan3141tan12m−−−−==−===−+−，解得13m=.所以实数m的值为3−或13.故答案为：3−或13变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为a的正三角形ABC，,DE分别在边,ABBC上，满足3aADBE=

=，连接,AECD，则AE和CD的夹角为.【答案】60/3【解析】以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，所以，311(0,),(,0),(,0)222AaBaCa−，因为3aADBE==，可得1

(,0)6Ea−，13(,)63Daa−，则直线AE的斜率为323316AEaka==，直线CD的斜率为333262CDakaa==−−−，所以，两直线,AECD的夹角的正切值为33323131332AECDAECDkkkk−−−=

=++−，所以，所求夹角为60.故答案为：60.【方法技巧与总结】夹角公式tantantan()1tantan−−=+题型六：已知直线平行求参数例16．（2023·全国·高二课堂例题）若直线1:

210laxy+−=与直线2:902alxy++=平行，则=a.【答案】2−或2【解析】因为1l与2l平行，且直线1:210laxy+−=，直线2:902alxy++=，所以2022aaa−==，当2a=−时

，直线11:02lxy−+=，直线2:90lxy−+=，满足1l与2l平行，当2a=时，直线11:02lxy+−=，直线2:90lxy++=，满足1l与2l平行，故答案为：2−或2.例17．（2023·陕西渭南·高一统考

期末）已知直线12:3610,:20lxylxmy+−=−+=，若12ll//，则m的值为．【答案】2−【解析】由直线1:3610lxy+−=与2:20lxmy−+=平行，得12361m−=−，解得2m=−，所以m的值为2−.故答案为：2−例18．（2023·黑龙江大庆·统考

二模）直线l经过点(),2Am，()1,Bm−，若直线l与直线1yx=+平行，则m=．【答案】12/0.5【解析】∵直线l经过点(),2Am，()1,Bm−，且与直线1yx=+平行，∴211mm−=−−，求得12m=，故答案为：12．变式15．（20

23·陕西延安·高一校考期末）已知两直线方程分别为12:1,:20lxylaxy+=+=，若12ll//，则=a．【答案】2【解析】因为12:1,:20lxylaxy+=+=，且12ll//，所以12a−=−，得2a=，故答案为：2变式16．（2023·浙江台州·高一温岭中学校考期

末）已知直线1:260laxy++=和直线22:(1)10lxaya+−+−=，若12ll//，则=a【答案】－1【解析】0a=时，两直线显然不平行，因此0a，所以由12ll//得211126aaa−−=，解得1a=−，故答案为：1−．变式17．

（2023·高二课时练习）若直线121:lyxaa=−−与直线2:31lyx=−互相平行，则=a．【答案】23−【解析】由题意可知2311aa−=−−，解得23a=−．故答案为：23−题型七：已知直线垂直求参数例19．（2023·安徽马鞍山·高二校联考期中）已知

直线1:210laxy++=与直线()2:120laxay−−+=垂直，则实数a的值为．【答案】0a=或32a=【解析】由于12ll⊥，所以()()211=0aaa−+−，()223=23=0aaaa−−，

解得0a=或32a=.故答案为：0a=或32a=例20．（2023·上海·高二期末）直线21210,20::lxlyaxy−−=++=，若12ll⊥，则=a.【答案】12/0.5【解析】∵直线21210,20::lxlyaxy−−=++=，12ll⊥，210a−=，解得12a

=．故答案为：12例21．（2023·高二课时练习）已知直线12,ll的斜率分别为12,kk，且1122,kll=⊥，则2k=．【答案】12−/0.5−【解析】因为1122,kll=⊥，所以1221111,2kkkk=−=

−=−．故答案为：12−.变式18．（2023·陕西汉中·高一统考期末）若直线210xy++=与230mxy−+=垂直，则m=.【答案】1【解析】直线210xy++=与直线230mxy−+=互相垂直，

()2120m+−=，解得1m=．故答案为：1．变式19．（2023·全国·高二假期作业）已知两点(2,0)A，(3,4)B，直线l过点B，交y轴于点(0,)Cy，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是．【答案】194

/4.75【解析】由题易知OCOA⊥，即AC为圆的直径，即ABBC⊥,∴1ABBCkk=−，即40413230y−−=−−−，解得194y=．故答案：194.变式20．（2023·上海虹口·高二统考期末）若直线1l：230axya++=.与直线2l：()2140xay+−+=互相

垂直，则实数a的值为.【答案】12/0.5【解析】直线230axya++=与直线()2140xay+−+=垂直，22(1)0aa+−=，解得12a=．故答案为：12．一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）“32a=”是“直线210xay+

−=和直线()110axay−++=平行”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线210xay+−=与直线()110axay−++=平行，则有()

121aaa=−，解得0a=或32a=，而当0a=时，直线210xay+−=与直线()110axay−++=重合，舍去，所以，直线210xay+−=与直线()110axay−++=平行32a=，所以“32a=”是“直线210

xay+−=和直线()110axay−++=平行”的充要条件.故选：A.2．（2023·高二课时练习）已知过点(2,)Am−和点(,4)Bm的直线为l1，2311:21,:lyxlyxnn=−+=−−.若1223/

/,llll⊥，则mn+的值为（）A．10−B．2−C．0D．8【答案】A【解析】因为12ll//，所以422ABmkm−==−+，解得8m=−，又23ll⊥，所以()121n−−=−，解得2n=−.所以10mn+=−.故选：A

.3．（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC的顶点()30A−,，()3,0B，()3,3C，若直线l：()2390axay+−−=与ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（）A．

－2B．－1C．－1或3D．3【答案】B【解析】由ABC的顶点()30A−,，()3,0B，()3,3C知，ABC重心为333003,33−++++，即()1,1，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点3303,22−++，即30

,2，所以可得ABC的欧拉线方程3112110yx−−=−−，即230xy+−=，因为()2390axay+−−=与230xy+−=平行，所以239123aa−−=−，解得1a=−，故选：

B4．（2023·四川南充·统考三模）已知倾斜角为的直线l与直线20xy+−=垂直，则tan(π)−+=（）A．12B．2C．12−D．2−【答案】B【解析】设直线l的斜率为1k，直线20xy+−=的斜率为2k，由直线20xy+−=得出

斜率212k=−，因为直线l与直线20xy+−=垂直，所以121kk?-，即1112k−=−，解得12k=，即tan2=，所以()tanπtan2−+==，故选：B．5．（2023·全国·高一专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外

心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC的顶点为(0,0)A，(,0)Bm，(2,)Cn，且欧拉线方程为250xy+−=，则A

BC的重心到垂心的距离为（）A．53B．54C．55D．56【答案】D【解析】ABC的顶点为(0,0)A，(,0)Bm，(2,)Cn，所以重心,332Gmn+，代入欧拉线方程，得225033mn++−=，即213mn+=，因为(0,0)A，(,0)Bm都在x轴，(

2,)Cn，故可设垂心(2,)Ha，代入欧拉线方程，得2250a+−=，32a=，垂心32,2H，13222HBACkknm=−=−，整理得到438mn=+，213438mnmn+==+，

解得45nm==，故重心为74,33G，22115366GH=+=，故选：D6．（2023·全国·高二专题练习）已知点()2,2A−，()6,4B，()5,2H，H是ABC的垂心．则点C的坐标为（）A．()6,2B．()2,2−C．()4,2−−

D．()6,2−【答案】D【解析】设C点标为(),xy，直线AH斜率22052AHk−==+，∴BCAH⊥，而点B的横坐标为6，则6x=，直线BH的斜率42265BHk−==−，∴直线AC斜率21622ACyk−==−+，∴=2y−，∴点C的坐标为(6,2)−．故选

:D.7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线():120lxay+−+=，2:30lbxy+=，且12ll⊥，则22ab+的最小值为（）A．14B．12C．22D．1316【答案】A【解析】12ll⊥，则310ba+−=，∴13ab=−，所

以()222213abbb+=−+24231bb=−+，二次函数的抛物线的对称轴为233244b−=−=，当34b=时，22ab+取最小值14.故选：A．8．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校

考期中）已知直线1:10lxy−−=，动直线()()2:10Rlkxkykk+++=，则下列结论错误的是（）A．存在k，使得2l的倾斜角为2；B．对任意的k，1l与2l都有公共点；C．对任意的k，1l与2l都不重合；D．对任意的k，1l与2l都

不垂直；【答案】C【解析】当0k=时，2l的倾斜角为2，此时2l的方程为0x=，故A正确；联立方程组()1010xykxkyk−−=+++=，得(21)0kx+=，此方程恒有解，故对任意的k，1l与2l都有公共点，B

正确；当12k=−时，1111kkk+==−−，此时1l与2l重合，故C错误；因为1:10lxy−−=的斜率为1，当0k=时，1l与2l不垂直；当0k时，2l的斜率1111kkk+=−−−−，所以对任意的k，1l与2l都不垂直，D正确；故选：C.二、多选题9．（2023·高二课时练习）若(,

3),(2,4),(1,3),(1,0)AmBmmCmD++，且直线AB与CD平行，则m的值为（）A．1−B．0C．1D．2【答案】BD【解析】当AB与CD斜率均不存在时，2,11mmm=+=故得0m=，此时//ABCD；当ABCDkk=时，即0m

时，13mmm+=，解得2m=，此时//ABCD.故选：BD．10．（2023·全国·高三专题练习）以下四个命题表述错误的是（）A．()4120mxym+−=R恒过定点()0,3B．若直线1:210lmxy−+=与()2:120lmxmy−++=互相垂直，则实数32m=C．已知直线

1:10laxy+−=与22:0lxaya+−=平行，则1a=或1−D．设直线l的方程为()cos30yx−+=R，则直线l的倾斜角的取值范围是3,44【答案】BCD【解析】选项A：直线()4120mxym+−=R，即()430mxy+−=，所以恒过定点()0,3，故A正

确；选项B：根据题意，当0m=时，直线1l的斜率10k=，直线2l的斜率不存在，此时，1l与2l互相垂直，当0m时，直线1l的斜率12km=，直线2l的斜率21mkm−=，因为两直线互相垂直，所以121kk?-，解得32m=，所以0m=或32m=，故B错误；选项C：

根据题意，当0a=时，直线1l的斜率10k=，直线2l的斜率不存在，此时，1l与2l互相垂直，舍去，当0a时，直线1l的斜率1ka=−，直线2l的斜率21ka=−，因为两直线互相平行，所以12kk=，解得1a=

，当1a=时，两直线重合，故舍去，所以1a=−，故C错误；选项D：根据题意，直线l的斜率()cosk=R，因为1cosθ1-＃，所以11k−，所以ta11n−，倾斜角的取值范围是30,[π44，），故D错误；故选：BCD.11．（2023

·黑龙江牡丹江·高三统考期中）已知直线1:(1)20laxay+++=，2:(1)10laxay+−−=，则（）A．1l恒过点(2,2)−B．若12ll//，则212a=C．若12ll⊥，则21a=D．当01a时，2l不经过第三

象限【答案】BD【解析】对于选项A：直线1l的方程可化为：()2axyx+=−−，令020xyx+=−−=得：22xy=−=，所以直线1l恒过点(2,2)−，故选项A错误，对于选项B：若0

a=时，12:2,:1lxly=−=显然不平行，若1a=时，12:220,:1lxylx++==显然不平行，所以若12ll//，则11aaaa+−=−−，且211aa−−，解得212a=，故选项B正确，对于选项C：若12ll⊥，则(1)(1)0aaaa++−=，解得0a=

，故选项C错误，对于选项D：若直线2l不经过第三象限，当1a=时，直线2:1lx=，符合题意，当1a时，则01101aaa−−−，解得01a„，综上，01a，故选项D正确，故选：BD.12．（2023·全国·高一

专题练习）已知直线1:320lxym+−=，2:sin10lxy−+=，则（）A．当m变化时，1l的倾斜角不变B．当变化时，2l过定点C．1l与2l可能平行D．1l与2l不可能垂直【答案】AB【解析】对于A：当m变化时

，直线1:320lxym+−=的斜率为32k=−，所以1l的倾斜角不变.故A正确；对于B：直线2:sin10lxy−+=恒过定点()0,1.故B正确；对于C：假设1l与2l平行，则32sin−=，即3sin2=−，这与sin1,1

−相矛盾，所以1l与2l不可能平行.故C不正确；对于D：假设1l与2l垂直，则3sin20−=，即2sin3=，所以1l与2l可能垂直.故D不正确.故选：AB三、填空题13．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：3470xy+−=，则与已知直线l平行且与两坐标轴围

成的三角形的面积为6的直线方程为．【答案】34120xy+=【解析】由题意可设方程为：340xym++=，令0x=，得4my=−，令0y=，得3mx=−，由题意知：16234mm−−=，得12m=，故直线方程为：34120xy+

=，故答案为：34120xy+=14．（2023·江苏连云港·高二期末）已知直线l与直线340xy+=平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是．【答案】34120xy++=或34120xy+−=【解析】根据题意，直线l与直线340xy+=平行，则设直线l的方程为

34120xym++=，对于34120xym++=，令0x=可得3ym=−，即直线与y轴的交点为(0,3)m−，令0y=可得4xm=−，即直线与y轴的交点为(4,0)m−，故直线l与坐标轴围成的三角形的面积1

|3||4|62Smm=−−=，解得：1m=，故直线l的方程为34120xy++=或34120xy+−=．故答案为：34120xy++=或34120xy+−=．15．（2023·上海·高二专题练习）已知直线1:(3)553l

mxym++=−，2:2(6)8lxmy++=，若12ll//，则m的值是.【答案】8−【解析】因为1:(3)553lmxym++=−，2:2(6)8lxmy++=，12ll//，所以当60+=m，即6m=−时，1:3523lxy−+=，2:28lx=，显然不满足题意；当

60+m，即6−m时，3553268mmm+−=+，由3526mm+=+解得1m=−或8m=−，当1m=−时，35531268mmm+−===+，舍去；当8m=−时，355532628mmm+−==−

+，满足题意；综上：8m=−.故答案为：8−.16．（2023·北京大兴·高二统考期中）已知直线1:10lxy−+=和直线()()2:10Rlkxkykk+++=，给出下列四个结论：①存在k，使得2l的倾斜角为

30；②不存在k，使得1l与2l重合；③对任意的k，1l与2l都有公共点；④对任意的k，1l与2l都不垂直.其中，所有正确结论的序号是.【答案】①③④【解析】对于①，由直线()()2:10Rlkxkykk+++=，当10k+时，可整理为11kkyxkk=−−++，令tan301kk−=+，则

31kk−=+，解得131132231k−−=−=−=+，故①正确；对于②，由直线1:10lxy−+=，整理可得1yx=+，令11kk−=+，解得12k=−，此时直线2:1=+lyx，即两直线重合，故②不正确；对于③，由②可知，当

12k=−时，两直线重合，有无数个公共点；当12k−时，则11kk−+，即两直线不平行，必定相交，有一个公共点，故③正确；对于④，令111kk−=−+，则1kk=+，显然无解，故④正确.故答案为：①③④.四、解答

题17．（2023·广东深圳·高二校考期中）已知两直线()12:3210,:220lmxmylmxym−++=++=.当m为何值时，1l和2l.(1)平行；(2)垂直.【解析】（1）因为12//ll，所以()22320mmm−−=，解得32m=−或1m=，当1m=时，直线12:2210,:22

10++=++=lxylxy两条直线重合，故32m=−时，12//ll；（2）因为12ll⊥，所以()22320mmm+−=，解得0m=或5m=.18．（2023·全国·高二专题练习）已知四边形ABCD的顶点为()()()()7,0,2,3,5,6,4,9ABCD−−−，求证：四

边形ABCD为正方形．【解析】证明906(3)3,3,4(7)52ADBCkkADBC−−−====−−−−．又301961,2(7)3453ABCDkk−−−==−==−−−−−，ABCD∥，∴四边形ABCD为平行四边形．又131,3ABADkkABAD=−

=−⊥，∴四边形ABCD为矩形．60193,25(7)242ACBDkk−+====−−−−−，1,BDACkkACBD=−⊥，即矩形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD为正方形．19．（2

023·广东佛山·高二校联考期中）在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，(3,1),(1,0)DA−−，点E是线段BC的中点．(1)求直线AE的方程；(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．【解析】（1）四边形ABCD为菱形，BDx∥轴，ACx⊥轴，∴可设

(1,)Ct−，ADCD=，2222(31)(10)(31)(1)t−++−=−++−，解得：0=t（舍）或2t=，(1,2)C−.,AC中点坐标为(1,1)−，B点坐标为(1,1)，由中点坐标公式得30,2E，32AEk=，直线AE的方程为3322yx=+，即3230

xy−+=.（2）可求16DEk=，则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为：6−所求直线方程为：66yx=−−，即660xy++=．20．（2023·全国·高二专题练习）已知ABC的顶点为(5,1)A−，(1,1

)B，(2,)Cm，是否存在Rm使ABC为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解析】若A为直角，则ACAB⊥，∴1ACABkk=−，即11112515m++=−−−，解得7m=−；若B为直角，则

BCAB⊥，∴1BCABkk=−，即11112115m−+=−−−，解得3m=；若C为直角，则ACBC⊥，∴1ACBCkk=−，即1112521mm+−=−−−，解得2m=．综上所述，存在7m=−或3m=或2m=，使ABC为直角

三角形．