【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 1.2 直线的方程（八大题型） Word版含解析.docx，共(29)页，2.416 MB，由小赞的店铺上传

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1.2直线的方程课程标准学习目标1、能说出平面直角坐标系中确定直线的几何要素，能结合直线的点斜式方程求解过程，说明“直线的方程”和“方程的直线”之间的关系．2、能根据确定直线的几何要素（一点和方向）建立点斜式方程，能通过点的特殊化得出斜截式方程．3、能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得

出截距式．4、能通过归纳点斜式、斜截式、两点式、截距式的共性，概括出直线的一般式方程；能用自己的语言解释直线与二元一次方程的关系．5、能用直线的方程解决简单的问题．1、了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．2、掌握直线的点斜式方程与斜截式方程3、根据确定直线位置的几何要素，探索

并掌握直线的两点式方程4、掌握直线的一般式方程5、会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一：直线的点斜式方程方程00()−=−yykxx由直线上一定点及其斜率决定，我们把00()−=−yykxx叫做直线的点斜式

方程，简称点斜式．知识点诠释：1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为1=yy；3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：

1=xx．4、00−=−yykxx表示直线去掉一个点000(,)Pxy；00()−=−yykxx表示一条直线．【即学即练1】一直线过点()2,3A−，它的倾斜角等于直线13yx=的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为______．【答案】()33

2yx+=−【解析】直线13yx=的斜率为1333=，所以该直线的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，斜率为πtan33=，所以所求直线的点斜式方程为()332yx+=−故答案为：()332yx+=−.

知识点二：直线的斜截式方程如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,)b，根据直线的点斜式方程可得(0)−=−ybkx，即=+ykxb．我们把直线l与y轴的交点(0,)b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距，方程=+ykxb由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程=+ykxb叫做

直线的斜截式方程，简称斜截式．知识点诠释：1、b为直线l在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2、斜截式方程可由过点(0,)b的点斜式方程得到；3、当0k时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．4、斜截式

的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程=+ykxb中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．【即学即练2】倾斜角为30，且过点(2,0

)−的直线斜截式方程为__________．【答案】32333yx=+【解析】因为直线的倾斜角为30，则直线的斜率3tan303k==，所以直线的方程()323yx=+，即32333yx=+.故答案为：

32333yx=+.知识点三：直线的两点式方程经过两点111222(,),(,)PxyPxy（其中1212,xxyy）的直线方程为1112122121(,)−−=−−yyxxxxyyyyxx，称这个方程为

直线的两点式方程，简称两点式．知识点诠释：1、这个方程由直线上两点确定；2、当直线没有斜率（21xx=）或斜率为120()=yy时，不能用两点式求出它的方程．3、直线方程的表示与111222(,),(,)PxyPxy选择的顺序无关．

4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121(,)−−=−−yyxxxxyyyyxx通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()−−=−−yyxxyyxx，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程

不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．【即学即练3】已知(1,2)A，(1,1)B−，则直线AB的两点式方程为__．【答案】121(1)21xy−−=−−−【解析】当直线过两点()1

1,xy，()22,xy时，其两点式方程为111212xxyyxxyy−−=−−，则直线AB的两点式方程为121(1)21xy−−=−−−，故答案为：121(1)21xy−−=−−−.知识点四：直线的截距式方程若直线l与x轴的交点为0(),Aa，与y轴的交点为()0,Bb，其中0,0ab，则过

AB两点的直线方程为1+=xyab，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．知识点诠释：1、截距式的条件是0,0ab，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．2、求直线在坐标

轴上的截距的方法：令0=x得直线在y轴上的截距；令0=y得直线在x轴上的截距．【即学即练4】过两点(0,3)A，(2,0)B−的截距式方程为（）A．132xy+=−B．132yx+=C．123xy+=D．

123xy+=−【答案】D【解析】由于直线过(0,3)A，(2,0)B−两点，所以直线在x轴，y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为123xy+=−．故选：D知识点五：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我

们把方程写为0++=AxByC，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．知识点诠释：1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．当0B时，方程可变形为=−−ACyxBB，它表示过点0,−CB

，斜率为−AB的直线．当0=B，0A时，方程可变形为0+=AxC，即=−CxA，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2、在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x

、y的一次方程．【即学即练5】若1122341,341xyxy+=+=，且12xx，则经过()()1122,,AxyBxy、的直线l的一般方程为_________【答案】3410xy+−=【解析】若11223

41,341xyxy+=+=,则点()11,Axy在直线3410xy+−=上,点()22,Bxy在直线3410xy+−=上即()11,Axy、()22,Bxy都在同一直线3410xy+−=上因为两点确定一条直

线,所以由()11,Axy、()22,Bxy确定的直线即为3410xy+−=故答案为:3410xy+−=题型一：求直线的点斜式方程例1．（2023·四川乐山·高二校联考期中）平面直角坐标系中，过点()34−，

，且在且倾斜角α满足1sincos5+=−，则直线的点斜式方程为_______.【答案】()()3434yx−−=−−【解析】因为1sincos5+=−，且22sincos1+=，解得3sin54cos5==−或4sin53cos5

=−=，因为)0,，所以sin0，即3sin54cos5==−，所以sin3tancos4==−，即直线的斜率34k=−，所以直线方程为()()3434yx−−=−−，故答案为：()()343

4yx−−=−−例2．（2023·高二课时练习）若直线l经过点()2,1−−，且倾斜角是直线12yx=的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．【解析】设直线12yx=的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2，因为1tan2=，所以2

2tan4tan21tan3==−，又直线经过点(2,1)A−−，故所求直线方程为41(2)3yx+=+；例3．（2023·高二课时练习）根据下列条件求直线的点斜式方程：(1)经过点(2,5)A，斜率为4；(2)经过点(2,2)B−，倾斜角为30．【解析】(1)由题得直线的点斜式方程为5

4(2)yx−=−.(2)由题得直线的斜率为33，所以直线的点斜式方程为32(2)3yx−=+.例4．（2023·高二课时练习）求过点()3,5，倾斜角等于31yx=+的倾斜角的一半的直线的点斜式方程．【解析】

直线31yx=+的斜率为3，倾斜角为π3，所以所求直线的倾斜角为π6，斜率为33，由直线过点()3,5，则直线的点斜式方程为()3533yx−=−.【技巧总结】（1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k是否存在

，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标．（2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程00()−=−yykxx可知该直线过定点00(),Pxy且斜率为k．题型二：求直线的斜截式方程例5．（2

023·高二课时练习）经过点()2,3A，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为______．【答案】1yx=+【解析】因为直线l的倾斜角为π4，所以直线l的斜率πtan14k==，所以直线l的方程为32yx−=−，即1yx=+，故答案为

：1yx=+.例6．（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）过点()3,4P且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．【答案】22yx=−或8493yx=+【解析】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为0，设其斜率为(0)kk，则

直线l方程为()43ykx−=−，令0x=，得43yk=−，令0y=，得34kxk−=，故所围三角形面积为1344312kkk−−=，即2(34)2kk−=，当0k时，上式可化为2926160kk−+=，解得2k=或89k=；当0k时，上式可化为292216

0kk−+=，方程无解；综上：直线l的斜截式方程是22yx=−或8493yx=+.故答案为：22yx=−或8493yx=+.例7．（2023·江苏·高二假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)

倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【解析】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan150°＝－33，故所求直线的斜

截式方程为y＝－33x－2.（3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝3．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝3

x＋3或y＝3x－3.例8．（2023·高二课时练习）已知直线l过点()2,1A和()6,2B−．（1）求直线l的点斜式方程；（2）将（1）中的直线l的方程化成斜截式方程，并写出直线l在y轴上的截距．【解析】（1）

直线l的斜率213624k−−==−−，故直线l的点斜式方程为()3124yx−=−−（或()3264yx+=−−）．（2）由()3124yx−=−−得3542yx=−+，所以直线l的斜截式方程为3542yx=−+，当0x=时，52y=，所以直线l在y轴上的截距为52．【技巧总结】（1）

选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k和直线在y轴上的截距b．（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k、b即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数k、0x、0y才能确定，而且它的形式简洁明了，这

样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用．（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用．题型三：用两点式求直线的方程例9．（2023·高二课时练习）过点()3,5，()1,4−直线的两点式方程为___

___．【答案】534513yx−−=−−−【解析】过点()3,5，()1,4−直线的两点式方程为534513yx−−=−−−故答案为：534513yx−−=−−−例10．（2023·高二课时练习）已知点(1,2)A、(1,2)B−−，则直线AB的两点式方程

是______．【答案】2142yx−−=−−【解析】直线的两点式方程为：112121yyxxyyxx−−=−−将点(1,2)A、(1,2)B−−代入得：2142yx−−=−−.故答案为：2142yx−−=−−.例11．（2023·高二课时练习）经过点(1,2)M−､(2,3)N

的直线l的两点式方程为___________.【答案】2151yx+−=【解析】因为直线l经过点(1,2)M−､(2,3)N，由直线的两点式方程可得112121yyxxyyxx−−=−−，可得(2)13(2)2

1yx−−−=−−−，即2151yx+−=，所以直线l的两点式方程为2151yx+−=.故答案为：2151yx+−=.例12．（2023·高二课时练习）已知直线l的两点式方程为()()503035xy−−−=−−−−，则l的斜率为______．【答案】38−【

解析】易得直线()()503035xy−−−=−−−−过()()5,0,3,3−−，故l的斜率为()303358−−=−−−.故答案为：38−例13．（2023·高二课时练习）下列说法中，正确的是______．（填序号）①一条直线不与x轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式；②点

斜式方程()00yykxx−=−适用于不垂直于x轴的任何直线；③过()11,xy，()22,xy两点的所有直线方程可表示为112121yyxxyyxx−−=−−；④经过任意两个不同的点()111,Pxy，()222,Pxy的直线都可以用方程()()()()121121yyxxxxyy−

−=−−表示．【答案】②④【解析】两点式不能表示与y轴平行或重合的直线，故①③错误；点斜式适用于不垂直于x轴的任何直线，故②正确；④是两点式的变形，但是包括了与y轴平行或重合的直线，故④正确，故答案为：②④.【技巧总结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件

，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程．题型四：用截距式求直线的方程例14．直线324xy−=的截距式方程是（）A．4132−=xyB．1423+=−xyC．41132−=xyD．3142−

=−yx【答案】B【解析】由324xy−=得32144−=xy，即1423−=xy，所以直线的截距式方程为1423+=−xy．故选：B.例15．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）下列说法中正确的

是（）A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线B．123xy−=与123xy+=−是直线的截距式方程C．直线方程的斜截式都可以化为截距式D．在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为123xy+=−【答案】D【解析

】因为截距式适用于在x轴、y轴上的截距都存在且都不为0的直线，所以A错误；因为方程123xy−=与123xy+=−不符合截距式方程的结构特点，所以B错误；因为斜截式的直线方程包含在y轴上的截距为0的情况，而此类直线

的方程不可以化为截距式，如直线2yx=，所以C错误；在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为123xy+=−，易知D正确.故选：D例16．（2023·全国·高二专题练习）已知ABC三顶点坐标(1,2),(3,6),(5,2)AB

C，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为()A．148xy+=B．184xy+=C．164xy+=D．146xy+=【答案】A【解析】因为ABC三顶点坐标为(1,2),(3,6),(5

,2)ABC，又M为AB的中点，N为AC的中点，由中点坐标公式可得：(2,4),(3,2)MN，则直线MN的两点式方程为：422432yx−−=−−，故截距式方程为148xy+=.故选：A．【技巧总结】应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零．题型五：直线的一般式方程例17．（202

3·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点(3,8)A−，则直线l的方程为________________.【答案】43120xy+−=或220xy+−=.【解析】设直线方程的截距式为11xyaa+=+.则3811aa−+=+，解得3a=或1a=，

则直线方程是1331xy+=+或1111xy+=+，即43120xy+−=或220xy+−=.故答案为：43120xy+−=或220xy+−=.例18．（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）倾斜

角为90，且过点()2,1的直线l的方程为__________.【答案】2x=/20x−=【解析】因为直线l倾斜角为90，且过点()2,1，所以直线lx⊥轴，故直线方程为2x=，故答案为：2x=例19．（2023·广西河池·高二统考期末

）直线l过点()2,1，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______．【答案】350xy−−=【解析】由直线的点斜式可得，方程为()132yx−=−，化为一般式方程为350xy−−=.故答案为：350xy−−=例20．（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二

中学校考期末）过点(2,1),(3,3)AB−−的直线方程（一般式）为_____．【答案】4530xy+−=【解析】因为过点(2,1),(3,3)AB−−的直线的斜率为3(1)4325k−−==−−−，所以直线方程为41(2)5yx+=−−，化为一般式为4530xy+−=，故答

案为：4530xy+−=．例21．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线1110axby++=和直线2210axby++=都过点(2,1)A，求过点111()Pab,和点222()Pab,的直线方程.【解析】把(2,1)A坐标代入直线1110axby++=和直线2210a

xby++=，得11210ab++=,22210ab++=，∴()12212aabb−=−，过点111()Pab,和点222()Pab,的直线的方程是：112121ybxabbaa−−=−−，∴()112ybxa−=−−，则()11220xyab+−+=，∵11210ab++

=，∴1121ab+=−，∴所求直线方程为210xy++=．例22．（2023·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为，3sin5=，且这条直线经过点()3,5P，求直线l的一般式方程．【解析】直线l的倾斜角为，3sin5=，当为锐角时，4c

os5=，直线l的斜率13tan4k==，由直线点斜式方程得：35(3)4yx−=−，即34110xy−+=，当为钝角时，4cos5=−，直线l的斜率23tan4k==−，由直线点斜式方程得：35(3)4yx−=−−，即34290xy+−=，所以直

线l的一般式方程为34110xy−+=或34290xy+−=.【技巧总结】对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．题型六：判断动直线

所过定点例23．（2023·高二课时练习）已知实数,ab满足21ab+=，则直线30axyb++=过定点_____.【答案】11(,)26−【解析】由实数,ab满足21ab+=，可得12ab=−,代入直线方程30axyb+

+=，可得(3)(21)0xybx+−−=，联立方程组21030xxy−=+=，解得11,26xy==−，所以直线30axyb++=过定点11(,)26−.故答案为：11(,)26−.例24．（2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知直线():2130la

xaya+−+−=，当a变化时，直线l总是经过定点，则定点坐标为______.【答案】()5,3−【解析】因为直线():2130laxaya+−+−=可化为(21)30axyy++−−=，令21030xyy++=−−=，解得5,3xy==−，所以直线l过定点(5,3)−，故答案为

：(5,3)−.例25．（2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）无论a取何值，直线()314yaxa=−++恒过定点__________．【答案】2,43【解析】直线方程化为(32)40xay−+−=，由32040xy−=

−=得234xy==，定点为2(,4)3，故答案为：2(,4)3．例26．（2023·福建·高二福建师大附中校考开学考试）直线130kxyk−+−=恒过定点________.【答案】(3,1)【解析】依题意，直线(3)1

0kxy−−+=，由3010xy−=−+=得31xy==，所以直线130kxyk−+−=恒过定点(3,1).故答案为：(3,1)例27．（2023·湖南郴州·高二校考期中）无论m为何值，直线()31

20mxmy++−=必过定点坐标为______【答案】()6,2−【解析】直线()3120mxmy++−=可化为()320mxyy++−=，由3020xyy+=−=可得，62xy=−=.所以，直线必过定点坐标为()6,2−.故答案为：()6,2−.例28．（2023·高二单元

测试）若4560AB++=，则直线:10lAxBy++=必过定点______．【答案】25,36【解析】因为4560AB++=，所以251036AB++=，所以点25,36在直线10AxBy++=上，所以直线:10lAxBy++=必过定点2

5,36，故答案为：25,36.【技巧总结】合并参数题型七：直线与坐标轴形成三角形问题例29．（2023·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．【解

析】解∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为(0)aa，则直线方程为1xyaa+=，即0xya+−=.21182a=，即236a=，6a=，∴直线方程为60xy+=.若l在两坐标轴上的截距互

为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为(0)aa−，故直线方程为1xyaa−=，即0xya−−=.∵21182a=，即236a=，6a=，直线方程为60xy−=.综上所述，直线l的方程为60xy+=或60

xy−=.例30．（2023·甘肃庆阳·高二校考期中）（1）求经过(3,0)，且斜率为12的直线方程；（2）已知直线l过点(4,1)，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，求直线l的斜率．【解析】（1）由题可得直线方程

为10(3)2yx−=−，即所求直线的方程为230xy−−=；（2）设直线l的方程为()10,0xyabab+=，则由题意有4111,92abab+==，解得63ab==或1232ab==

，由()10,0xyabab+=可知直线的斜率为ba−，所以直线l的斜率为3162−=−或321218−=−．例31．（2023·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点(2,1)M，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下

列条件的直线方程：(1)2BMAM=时，求直线l的方程．(2)当AOB的面积最小时，求直线l的方程．【解析】（1）作MNOA⊥，则(2,0)N.由三角形相似，13AMANABAO==，可求得(3,0)A，(0,3)B，∴AB方程为133xy+=，即30xy+−=

；（2）根据题意，设直线l的方程为1xyab+=，由题意，知2a，1b，∵l过点(2,1)M，∴211ab+=，解得2aba=−，∴AOB的面积11222aSabaa==−，化简，得2240aaSS−+=.

①∴24160SS=−…，解得4S…或0S„（舍去）.∴S的最小值为4，将4S=代入①式，得28160aa−+=，解得4a=，∴22aba==−.∴直线l的方程为240xy+−=.例32．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第

一中学校考阶段练习）设直线l的方程为(1)20()axyaa+++−=R(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，AOB△的面积为S，求S的最小

值并求此时直线l的方程.【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时20a−=,解得=2a,化为30xy+=.当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故11a+=,解得=0a,可得直线l的方程为:20xy++=.综上所述，

直线l的方程为30xy+=或20xy++=.（2）()=+1+2yaxa−−,∵l不经过第二象限,∴()+1020aa−−,解得1a−.∴实数a的取值范围是(,1−−.（3）令=0x,解得=2<0ya−,解得2a;令=0y,解得2=>0+1axa−

,解得2a或1a−.综上有1a−.∴()121919=2=+1+6=3+1+2+12+121AOBaSaaaaaa−−−−−−−()193+?21?=621aa−−−−,当且仅当4a=−时取等号.∴AOB△(O为坐标原点)面积的

最小值是6，此时直线方程3++6=0xy−，即360xy−−=例33．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）设k为实数，若直线l的方程为()12240kxyk+−++=，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为2；(2)直线l与两坐标

轴在第二象限围成的三角形面积为12.【解析】（1）由题意可知，直线l的斜率为122k+=，解得3k=.（2）由题意可知10k+，在直线l的方程中，令0x=，可得2yk=+，令0y=时，可得()221kxk+=−+，所以，直线l分别交x、y轴于点()2

2,01kk+−+、()0,2k+，由题意可得()202201kkk++−+，解得1k−.由题意可得()()()22221212211kkkkk+++==++，整理可得2880kk−−=，因为1k−，解得426

k=.【技巧总结】（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每

种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程

中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．题型八：直线方程的综合问题例34．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知直线:(2)(21)30()lmxmym+−+−=R，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．(1)证明：直线l

过定点；(2)已知点(1,2)P−−，当PAPB最小时，求实数m的值．【解析】（1）已知直线:(2)(21)3lmxmy+−+−()0m=R，则(2)230xymxy−+−−=，由20230xyxy−=

−−=，解得21xy==，即直线l过定点(2,1)；（2）设直线的方程为1,0,0xyabab+=，则(,0),(0,)AaBb，又直线l过定点(2,1)，则211ab+=，又点(1,2

)P−−，则(1,2)(1,2)PAPBaba=++=21425(2)59bababa++=+++=+49213ababab++=，当且仅当4baab=即2ab=即4,2ab==时取等号，所以直线l的方程为240xy+−=，

所以直线l过(4,0)，即4(2)30m+−=，解得54m=−．例35．（2023·高二课时练习）已知定点(6,4)P及定直线:4lyx=，点Q在直线l上（Q在第一象限），直线PQ交x轴正半轴于点M，要使OMQ的面积最小（

O为原点），求Q点坐标．【解析】依题意，设点000(,4),(,0),0,0QxxMaxa，显然点,,QPM共线，当直线QM不垂直于x轴时，即06x，直线QM斜率存在，则有0044466xxa−−=−−，整理得：005axxa=+，001||422OMQSOMxa

x==，而00,0xa，000525axxaxa=+，即020ax，当且仅当05xa=取等号，由00055xaaxxa==+解得02,10xa==，则当02,10xa==时，OMQ的面积取得最小值0240ax=，此时点(2,8)Q；当QMx⊥时，6a=，点(

6,24),(6,0)QM，1624722OMQS==，显然7240，所以OMQ的面积取得最小值时，点(2,8)Q.例36．（2023·内蒙古赤峰·高二校考期末）在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街

道上的另一点，常常不能沿直线方向行走，而只能沿街走（拐直角弯）.因此我们引入直角坐标系，对给定的两点()11,Axy和()22,Bxy，用以下方式定义距离：1212(,)dABxxyy=−+−（注：下述问题中提到的“距离”都是指上述距离）(1)画出到定点()0

0O，距离等于1的点(),Pxy构成的图形，并描述图形的特征；(2)设()10A−，和()10B，，画出到A、B两点距离之和为4的点(),Pxy构成的图形，并描述图形的特征.【解析】（1）点()Pxy，满足的方程是1xy+=，当0

,0xy时，1xyxy+=+=，当0,0xy时，1xyxy+=−=，当0,0xy时，1xyxy+=−−=，当0,0xy时，1xyxy+=−+=故图形是以()10−，、()01−，、()1

0，、()01，为顶点的正方形，如图所示，（2）点()Pxy，满足的方程是1124xxy++−+=，|1||1|2||4|1||1|xxyxx++−+=++−，结合数轴可解得22x−，当11,0xy−时，1121124xxyxxy++−+=+−++

=，得1y=，当11,0xy−时，1121124xxyxxy++−+=+−+−=，得1y=−，当21,0xy−−时，1121124xxyxxy++−+=−−−++=，得20xy−+=，当21,0xy−−时，11

21124xxyxxy++−+=−−−+−=，得20xy++=，当12,0xy时，1121124xxyxxy++−+=++−+=，得20xy+−=，当12,0xy时，1121124xxyxxy++−+=++−−=，得2

0xy−−=，故图形是以()11−，、()20−，、()1，1−−、()11−，、()20，、()11，为顶点的六边形，如下图所示例37．（2023·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）一条直线经

过点()3,4P分别求出满足下列条件的直线方程：(1)与直线210xy−+=平行：(2)交x轴､y轴的正半轴于A，B两点，且PAPB取得最小值.【解析】（1）由于直线210xy−+=的斜率12k=，所以所求直线

的斜率为12k=，故过点(3,4)P且斜率为12k=的直线方程为14(3)2yx−=−，即所求直线方程为250xy−+=；（2）由题意设过点(3,4)P的直线方程为4(3)(0)ykxk−=−，令0x=，得43yk=−；令0y=，得43

xk=−，即43,0Ak−，(0,43)Bk−，所以2222161||||169912212424PAPBkkkk=++=++=，当且仅当1kk=，即1k=−（1k=舍去）时，||||PAPB取得最小值.此时所求直线方程为

70xy+−=.例38．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知(]0,5tÎ，由t确定两个点()(),,10,0PttQt−.(1)写出直线PQ的方程（答案含t）；(2)在OPQ△内作内接正方形ABCD，顶点,AB在边OQ上，顶点C在边PQ上.若

OAa=，当正方形ABCD的面积最大时，求,at的值.【解析】（1）由题意知当直线斜率存在时，210PQtkt=−，当5t=时，直线PQ的方程为5x=，当5t时，直线PQ的方程为()210tytxtt−=−−.直线PQ的方程为()

()21010tytxt−=+−.（2）由(),Ptt和四边形ABCD为正方形可知OAADAB==，OAa=，()()(),0,2,0,2,AaBaCaa因为点()2,Caa在直线PQ上，所以()()210210tatat−=+−，所以()()211510510102attt=−=−−+，而正方

形ABCD的面积最大，即a最大，所以当5t=时，52a=，此时图中阴影部分的面积最大.【技巧总结】在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，

求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截

距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．一、单选题1．（2023·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为()2,1-，且经过点()1,0A，则直线l的方程为（）A．10xy−−=B．10xy+−=C．210xy

−−=D．210xy+−=【答案】D【解析】因为直线l的一个方向向量为()2,1-，所以直线l的斜率1122k−==−，又直线l经过点()1,0A，所以直线l的方程为()112yx=−−，即210xy+−=.故选：D2．（2023·新疆塔城·高二统考开学考试）过点(1,1)−且

斜率为12的直线l的方程是（）A．3270xy+−=B．240xy+−=C．230xy−−=D．230xy−+=【答案】C【解析】过点(1,1)−且斜率为12的直线l的方程是1(1)(1)2yx−−=−，即230xy−−=.故

选：C3．（2023·浙江杭州·高二统考期末）方程22xxyx−=所表示的曲线是（）A．一个点B．一条直线C．两条直线D．抛物线【答案】C【解析】因为22xxyx−=，则()20xxy−−=即0x=或20xy−−=，方程22xxyx−=所表示的曲线是两条直线.故选：C

.4．（2023·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考期末）下列说法中，正确的是（）A．过点()1,1P且在,xy轴截距相等的直线方程为20xy+−=B．直线31yx=−在y轴上的截距为1−C．直线310xy++=的倾斜角为60D．过点()1,4并且倾斜角为90的直

线方程为40y−=【答案】B【解析】对于A，过点()1,1P且在,xy轴截距相等的直线方程为20xy+−=或0xy−=，故A不正确；对于B，31yx=−，令0x=，可得=1y−，所以在y轴上的截距为1−，故B正确；对于C，3331033xyyx−+==+，则直线的斜率3tan3k=

=，所以直线的倾斜角为30，故C不正确.对于D，过点()1,4并且倾斜角为90的直线方程为10x−=，故D不正确.故选：B.5．（2023·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线():1210lmxym−−++=恒过一定

点，则该定点的坐标是（）A．()2,3B．()2,3−C．()2,0−D．11,2−【答案】B【解析】直线方程可整理为：()210xmxy+−−+=，则由2010xxy+=−−+=得：23xy=−=，即直线l恒过定点()2

,3−.故选：B.6．（2023·新疆喀什·高二校考期末）直线l的倾斜角是60，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是（）A．32yx=−B．32yx=+C．323yx=−D．323yx=+【答案】A【解析】

因为直线l的倾斜角是60，所以直线l的斜率为tan603=，又直线l在y轴上的截距是-2，所以直线l的方程为32yx=−.故选：A.7．（2023·高二课时练习）已知直线0AxByC++=在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（）A．AB

B．ABC．0CCAB+D．0CCAB−【答案】D【解析】由已知0,0,0ABC，令0x=得直线在y轴的截距为CyB=−，令0y=得直线在x轴的截距为CxA=−，由直线0AxByC++=在x轴的截距大于在y轴的截距可得−−CCAB，即0CCAB−.

故选：D.8．（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）设方程()2221220xyxyx+−+−+=表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线【答案】D【解析】由()22110xy−++，

可得22220xyx+−+，则由()2221220xyxyx+−+−+=，可得210=0xy+−，则方程()2221220xyxyx+−+−+=表示的曲线是一条直线.故选：D二、多选题9．（2023·高二课时练习）已知直线l的方程为20axby+−=，则下列判断正确的是（）A．若0

ab，则直线l的斜率小于0B．若0,0ba=，则直线l的倾斜角为90C．直线l可能经过坐标原点D．若0,0ab=，则直线l的倾斜角为0【答案】ABD【解析】对于A选项，若0ab，则直线l的斜率0ab−，故A正确；对于B选项，若0,0ba=，则直线l的方程为2xa=，其倾斜角为9

0，故B正确；对于C选项，将()0,0代入20axby+−=中，显然不成立，故C错误；对于D选项，若0,0ab=，则直线l的方程为2yb=，其倾斜角为0，故D正确.故选：ABD.10．（2023·福建·高二校联考期中）下列说法正确的有（）．A．直

线32yaxa=−+过定点()3,2B．过点()2,1-且斜率为3−的直线的点斜式方程为()132yx+=−−C．斜率为2−，在y轴上的截距为3的直线方程为23yx=−D．经过点()1,1且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为20xy+−=【答案】A

B【解析】对于A，直线(3)2yax=−+恒过定点()3,2，A正确；对于B，过点()2,1-且斜率为3−的直线的点斜式方程为()(1)32yx−−=−−，B正确；对于C，斜率为2−，在y轴上的截距为3

的直线方程为23yx=−+，C错误；对于D，经过点()1,1且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为yx=，当该直线不过原点时，方程为20xy+−=，D错误.故选：AB11．（2023·山东济宁·高二统考期末）

下列说法中正确的是（）A．直线20xy++=在y轴上的截距是2−B．直线310xy++=的倾斜角是60C．直线()20mxymm−++=R恒过定点()1,2-D．过点()1,2且在x.轴､y轴上的截距相等的直线方程为30xy+−=

【答案】AC【解析】对于A，令0x=，则=2y−，所以直线20xy++=在y轴上的截距是2−，故A正确；对于B，直线310xy++=的斜率为33−，所以其倾斜角为150，故B错误；对于C，直线()20mxymm−++=R化为()120xmy+−+=，令10

20xy+=−+=，得12xy=−=，所以直线()20mxymm−++=R恒过定点()1,2-，故C正确；对于D，当直线过原点时，直线方程为2yx=，当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=，将()

1,2代入解得3a=，此时直线方程为30xy+−=，所以过点()1,2且在x.轴､y轴上的截距相等的直线方程为30xy+−=或2yx=，故D错误.故选：AC.12．（2023·山东潍坊·高二校考期中）关于直线:0laxya++=，以下说法正确的是（）A．直线l过

定点()1,0−B．0a时，直线l过第二，三，四象限C．0a时，直线l不过第一象限D．原点到直线l的距离的最大值为1【答案】ABD【解析】由:(1)0laxy++=过定点(1,0)M−，A正确；当0a，(1)yaxaax=−−=−+过定点(1,0)M−，斜率

为负，故过第二、三、四象限，B正确；当a<0，=−−yaxa过定点(1,0)M−，且斜率为正，过一、二、三象限，故C错误；要使原点O到直线l的距离的最大，只需OMl⊥，即距离等于||1OM=，D正确.故

选：ABD三、填空题13．（2023·高二课时练习）已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－1)，则m=__________【答案】1【解析】因为直线的倾斜角为90°且过点A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程为2x=，所以22m=，解得1m=.故答案

为：114．（2023·高二课时练习）与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为2−的直线l的方程为__________．【答案】24yx=−【解析】设直线l的方程为2yxb=−+，令0x=，可得yb=；令0y=，可得2b

x=；由题意可得：1422bb=，解得4b=，所以直线l的方程为24yx=−.故答案为：24yx=−.15．（2023·高二校考课时练习）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是___.【答案】440xy+−=【解析】设直线l的方程

为1ykx=+，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得1xk=−，所以11122k−=，即14k=，解得14k=−，所以直线l的方程为114yx=−+，即440xy+−=.故答案为：440xy+−=16．（202

3·浙江台州·高二校考阶段练习）已知直线:410lmxym−−+=与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则AOB△面积的最小值为______________【答案】8【解析】因为直线:410lm

xym−−+=与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，所以由410mxym−−+=化为41ymxm=−+，得<04+1>0mm−，即<01<4mm，故0m，令=0x，则41ym=−+；令=0y

，则14xm=−，所以()()81111414111642164222AOBSmmmmmm=−+=−−+−−−+=V，当且仅当116mm−=−，即14m=−时，等号成立，所以8AOBSV，即AOB△面积的

最小值为8.故答案为：8..四、解答题17．（2023·高二课时练习）已知直线m的一个方向向量为v=(3,3)，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程.(1)过点P(3,-4)；(2)与y轴的交点为(0,-3).【解析】（1）∵

直线m的一个方向向量为()3,3v=，∴直线m的斜率为33，则直线m的倾斜角为30°，则直线l的倾斜角为60°，即直线l的斜率为tan60°=3.∵直线l过点P(3,-4)，∴直线l的点斜式方程为(4)3(3)yx−−=−.（2）由（1）知：直线l的斜率为3.∵直线l与y

轴的交点为(0,-3)，∴直线l的点斜式方程为(3)3(0)yx−−=−.18．（2023·江苏·高二假期作业）把直线l的一般式方程260xy−+=化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.【解析】把直线l的一般式方程260xy

−+=化为斜截式132yx=+,因此，直线l的斜率12k=，它在y轴上的截距是3,在直线l的方程132yx=+中，令0y=，解得6x=−，即直线l在x轴上的截距是6−，由上面可得直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为()6,0A−

，()0,3B，如图，过A，B两点作直线，就得直线l.19．（2023·湖南郴州·高二校考期中）求符合下列条件的直线l的方程：(1)过点()1,3A−−，且斜率为4−；(2)()()1,32,1AB，求直线AB的方程；(3)经过点()3,6P且在两坐标轴上的截距相等．【解

析】（1）所求直线过点()1,3A−−，且斜率为4−，()341yx+=−+，即470xy++=.（2）所求直线过()()1,32,1AB，，31212ABk−==−−，()321yx−=−−，即250xy+−=.（3）当直线过原点时，设直线方程为ykx=，直线过P点()3,6，2k=，直

线方程为2yx=，即20xy−=；当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=，将点()3,6P代入上式得，361aa+=，解得9a=，故直线的方程为90xy+−=，综上，直线方程为20xy−=或90xy+−=.20．（2023·全国·高二假期作业）已知直线():20Rl

kxykk−++=.(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.【解析】（1）直线:20lkxyk−++=，即()()120kxy++−+=，联立1020x

y+=−+=，解得12xy=−=，故直线:20lkxyk−++=过定点(1,2)−；（2）直线:20lkxyk−++=，即2ykxk=++，直线不经过第四象限，020kk+，解得0k，故k的取值范

围是)0,+；（3）如图所示直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则0k，直线:20lkxyk−++=中，令0y=，解得2kxk+=−，令0x=，解得2yk=+，()2112442222AOBkkkSOAOBkk

k+++==+=22222422kkkk=+++=当且仅当22kk=，即2k=时等号成立.S的最小值为4，此时的直线方程为240xy−+=.21．（2023·全国·高二期末）已知直线():240Rlkxykk−++=.

(1)若直线l不经过第三象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点,BO为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.【解析】（1）直线():240Rlkxykk−++=

，()24ykx=++，直线l过定点()4,2E−，2142OEk==−−若直线l不经过第三象限，所以102k−，即k的取值范围是1,02−.（2）直线():240Rlkxykk−++=，()24ykx=++，直线l过定点()4,2E−，斜率存在，依题意，直线l交

x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点,BO为坐标原点，则0k，由240kxyk−++=，令0x=，得24yk=+；令0y=得2424kxkk+=−=−−，所以()24,0,0,24ABkk−−+，所以()()1224244122Skkkk

=++=++228882816kkkk=+++=，当且仅当218,2kkk==时等号成立，此时直线l的方程是()1142422yxx=++=+.