【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题2.10 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（专项练习）.docx，共(21)页，373.119 KB，由管理员店铺上传

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1专题2.10一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（专项练习）一、单选题1．已知一元二次方程x2﹣x＝3，则下列说法中正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程无实数根C．方程有两个不相等的实数根D．不能确定2．一元二次方程2

2210xx−+=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．

﹣2B．﹣12C．12D．24．已知a，b是一元二次方程2220200xx−−=的两个根，则223ab+−的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．20235．如果方程220xx−−=的两个根为，，那么22+−的值为（）A．7B．6C．2−D．06．在下列方程中，有一个方程

有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A．10x−=B．20xx+=C．210x−=D．210x+=7．若整数a使得关于x的一元二次方程()222310axax−+++=有两个实数根，并且使得关于y的分式方程32133ayyyy−+

=−−有整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．2B．3C．4D．58．关于x的一元二次方程()25410axx−−−＝有实数根，则a满足（）．A．5aB．1a且5aC．1aD．1a且5a9．若方程2360xxm−+=

无实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）2A．B．C．D．10．若关于x的一元二次方程()221230mxxmm+++−−=有一个根为0，则m的值是（）A．3B．1−C．1−或3D．l或3−11．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋

x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（）．A．1或－4B．1C．－4D．－1或4二、填空题12．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是___．13．若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是___

．14．关于x的方程()2931204kxkxk−+++=，当________时，方程有两个不等实数根.15．若关于x的一元二次方程230xxk+−=有两个相等的实数根，则k的值是______．16．一元二次方程23210xx−+=的根的判别式的值为_______________

________．17．如果关于x的一元二次方程222310xxm−+−=有两个实数根1x，2x，且它们满足不等式121213xxxx+−，则实数m的取值范围是________．18．若m，n是一元二次方程22202

10xx+−=的两个实数根，则22mnmn+−的值为______．19．若1x，2x是方程2210xx−−=的两个实数根，则2212122xxxx++的值为______．20．关于x的一元二次方程2210kxx+−=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．21．已知一周长为

11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a、b、5，且a、b是3关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值为__．22．已知实数m，n满足条件2720mm−+=，2720nn−+=，则nmmn+的值是______．23．若在实数范围内存在k的值，使

关于x的一元二次方程()()21310mxkx++−+=有两个相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．24．若关于x的一元二次方程()21210kxx−+−=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．25．关于x的方程2310mxx++=有两个不相等的实数根，则

m的取值范围是________．26．设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．27．若12,xx，边是一元二次方程230xx+−=的两个实数根，则2212020xx−+的值为_________．三、解答题28．已知,,abc是△ABC的三边长，关于x的一

元二次方程x2+2bx+2c-a=0有两个相等的实数根，关于x的方程322cxba+=的根为0x=．（1）试判断△ABC的形状；（2）若,ab是关于x的一元二次方程230xmxm+−=的两个实数根，求m的值．29．已知关于x的一元二次方程()2120xtxt−−+−=．（1）

求证：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）当t为何值时，方程的一个根为3x=？430．已知：关于x的方程2(1)220kxkxk−−++=有实数根．（1）求k的取值范围．（2）若1x，2x是方程2(1)220kxkxk−−++=的两个实数根，问：

是否存在实数k，使其满足21212(1)224kxkxkxx−+++=，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．31．关于x的一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得x12+x22=16+x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．5参考答案1．C【分析】求出根的判别式的值，判断即可．【详解】解：一元二次方程23−=xx，整理得：230xx−−=，∵1,1,3abc==−=−

，∴112130=+=，则方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；等于0，方程有两个相等的实数根；小于0，方程无实数根．2．A【分析】根据根的判别式判断即可．【详解】解：∵22210xx−+=，∴△=()222411−−

=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2-bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方程

有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．3．C【分析】直接利用根与系数的关系求解．6【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，∴x1•x2＝12．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程20axbxc++=（a≠0）的根与系数的关系：若方程

的两个根为x1,x2,则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．4．B【分析】根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：∵a，b是一元二次方程2220200xx−−=的两个根，∴a2-2a=2020，由根与系数的关系可知：a

+b=2，∴原式=a2-2a+2a+2b-3，=2020+2（a+b）-3=2020+2×2-3=2021，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．5．A

【分析】将代入方程220xx−−=，即可得22=+，即可推出22()22+−=+−+，再由韦达定理即可求出结果．【详解】将代入方程220xx−−=得：220−−=，即22=+7∴2222()22+−=++−=+−+．∵、是方程的两

个根，∴111−+=−=，221−==−．∴()2212(2)27+−−=−−+=．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．6．C【分析】根据题意一次项系数为0且△＞0判断即

可．【详解】解：A、x-1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；

D、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的根的判别

式．7．B【分析】对于关于x的一元二次方程()222310axax−+++=有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=（23a+）2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=61a−，而y≠3，则61a−

≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a的个数．【详解】8解：∵整数a使得关于x的一元二次方程()222310axax−+++=有两个实数根，∴a-2≠0且2a+3≥0

且△=（23a+）2-4（a-2）≥0，∴31122a−且a≠2，∴整数a为：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y，解得y=61a−，而y≠3，则61a−≠3，解得a≠3，当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，∴符

合条件的所有a的个数是3．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0

时，方程无实数根．8．B【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510aa−−−−−，解得：a≥1且a≠5．故选：B．

【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．9．D9【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：∵2360xxm−+=无

实数根，∴26430m−，解得3m，在数轴上表示为：故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解不等式并在数轴上表示解集，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．A【分析】把x=0代入原方程可得关于m的方程，解关于m的方程即可得到m的值．【详解】解：由题意可得：22

30mm−−=，解之可得：m=3或m=-1（不合题意，舍去），∴m=3，故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程及其根的意义和一元二次方程的解法是解题关键．11．C【解析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义可得：10

（1）∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得a2+3a-4=0，解此方程得到a1=-4，a2=1；（2）∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数a-1≠0，即a≠1；综合上述两个条件，a=-4，故选：C．点睛：本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元

二次方程成立的条件a-1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．12．1【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得一个关于m的方程，然后解方程即可得．【详解】∵关于x的一元二次方程220xxm++=有两个相等的实数根，∴其根的判别式2240m=−=，解得1m=，故答案为：

1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．13．1m【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【详解】解：∵方程x2−2x＋m＝0有两个不相同的实数根，∴△＝（−2）2−

4m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．1114．12k且0k【分析】利用判别式△＞0,代入式子解出即可.【详

解】一元二次方程有两个不等实数根,则k≠0且△=()29314202kkk−+−+,解得:12k,故答案为:12k且0k.【点睛】本题考查一元二次方程的概念和根的判别,掌握相关知识是解题关键.15．94−【分析】直接运用一元二次方程根的判别式解答即可

．【详解】解：∵一元二次方程230xxk+−=有两个相等的实数根∴△=32-4（-k）=9+4k=0，解得k=94−．故答案为94−．【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方

程有两个相等的实数根；当△0时，一元二次方程没有实数根．16．8−【分析】根据一元二次方程根判别式的定义式可得答案．【详解】()22424314128bac−=−−=−=−12故答案为：8−．【点睛】本题考查一元二次方程的

应用，熟练掌握根的判别式定义是解题关键．17．112m−【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得m的取值范围，再根据根的判别式求得m的取值范围，最后综合情况，求得m的取值范围．【详解】根据一元二次方程根与系数的关系知，121xx=+，12312mxx−=，代入不等式得3114m−−

，解得1m−，又∵方程有两个实数根，∴240bac=−，即2(2)42(31)0m−−−，解得12m，综合以上可知实数m的取值范围是112m−．故答案为：112m−．【点睛】一元二次方程根与系数的关系为：12bxxa+

=−，12·cxxa=，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．2017【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】解：由题意可得：13m+n=-2，mn=-2021，∴2m+2n−mn=2（m+

n）-mn=2×（-2）+2021=-4+2021=2017，故答案为2017．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．19．4【分析】先由根与系数的关系得出122xx+=，由()22212121

22xxxxxx++=+，代入即可求解．【详解】∵12,xx是方程2210xx−−=的两个根，∴122xx+=，∵()2221212122xxxxxx++=+∴原式=224=，故答案为：4．【点睛】本

题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．1k−＞且0k．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440backk=−=−−=+，解得1k−．又∵

该方程为一元二次方程，140k，1k−且0k．故答案为：1k−且0k．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．21．3或7【分析】先根据一元

二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程

x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+

2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根

与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．22．2或452【分析】15根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可．【详解】由题意，实数mn，是一元二次方程2720xx−

+=的两个实数根，此时题目并未告知mn，是否相等，故作以下讨论：①若mn=，则112nmmn+=+=；②若mn，则根据韦达定理，有72mnmn+==，，()222227224522mnmnnmmnmnmnm

n+−+−+====，故答案为：2或452．【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．m＞-1【分析】根据关于x的一元二次方程()()21310mxkx++−+=有两个相等的实数根可知10m+，

△＝0，故可得出关于m的不等式方程，即可求出实数m的取值范围．【详解】依题意可得()()2103410mkm+−−+=∴()()2341km−=+≥0∴m＞-1故答案为：m＞-1．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知

一元二次方程根的解与判别式△的关系是解答此题的关键．24．0k且1k【分析】根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k的不等式，然后解不等式即可16求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程()21210kxx

−+−=有两个不相等的实数根，∴21024(1)(1)0kk−=−−−，10kk，∴k的取值范围是0k且1k，故答案为：0k且1k．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一

次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．25．m﹤94且m≠0【分析】由于关于x的一元二次方程2310mxx++=有两个不相等的实数根，由此可以得到m≠0，并且方程的判别式△＞0，由此即可求出m的取值范围．【详解】

解：∵关于x的一元二次方程2310mxx++=有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△＝2b−4ac＝9-4m＞0，∴m﹤94且m≠0．故答案为：m﹤94且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关

的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△＝2b−4ac＞0．26．2017【分析】利用一元二次方程的解的定义得到α2＝﹣α+2018，则α2+2α+β＝α+β+2018，再根据根与系

17数的关系得到α+β＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，∴α2+α﹣2018＝0，∴α2＝﹣α+2018，∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018，∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的

两个实数根，∴α+β＝﹣1，∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017．故答案为2017．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系.27．2024【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案．【详解】解

：12,xxQ是一元二次方程230xx+−=的两个实数根，212221,30xxxx+=−+−=22121202032020xxxx−+=−−+()122023xx=−+()20231=−−2024=【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解．28．

（1）等边三角形；（2）-12【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即△=0，由△=0可以得到一个关于a，b的方程，再结合18方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可得到关于a，b的方程组，可求出a，

b的关系式；（2）根据（1）求出的a=b，得到方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根，从而得到关于m的方程，解方程即可求出m．【详解】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2bx+2c-a=0有两个相等的实数根,∴Δ=2(2)b-4×

1×(2c-a)=0,∴a+b=2c.又∵关于x的方程3cx+2b=2a的根为x=0,∴a=b,∴a=b=c,即△ABC是等边三角形.(2)∵a,b是关于x的一元二次方程x2+mx-3m=0的两个实数根,又

由（1）知a=b,∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根,∴Δ=m2+4×3m=0,解得m=0或m=-12.当m=0时,方程x2+mx-3m=0可化为x2=0,解得x1=x2=0.又由a,b,c是△ABC的三边长,得a

>0,b>0,c>0,故m=0不符合题意：当m=-12时,方程x2+mx-3m=0可化为x2-12x+36=0,解得x1=x2=6,可知m=-12符合题意.故m的值为-12.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别式与方程的解得定义，是一个比较简单的问题．29．（1）证明见解析；（2）5t=

．【分析】（1）易求得一元二次方程根的判别式△≥0，即可证得结论；19（2）将x=3代入已知方程中，解关于t的方程即可解答．【详解】（1）证明：∵()()224142bactt=−=−−−−=t2-6t+9=(

)230t−，∴对于任意实数t，方程都有实数根；（2）∵一元二次方程的一个根是3x=，∴()233120tt−−+−=，∴5t=．【点睛】本题考差了一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的解、解一元一次方程，熟知一元二次

方程根的判别式与根的关系是解答的关键．30．（1）k2（2）存在，2k=或1−【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；（2）根据已知得出211(1)220kxkxk−−++=①，122211kkxxkk−+=−=−−，1221kxxk+

=−推出2121kxxk=−−，求出221142(1)22411kkkxkxkkk+−−+++=−−②，把①代入②得出242411kkkk+=−−，最后求出k即可.【详解】解：（1）当10k−=即1k=时，方程230x−+=，32x=，即方程有实数根，当

10k−时，2(2)4(1)(2)0kkk=−−−+，方程有实数根，即k2，综合上述：k的取值范围是k2．（2）∵1x，2x是方程2(1)220kxkxk−−++=的两个实数根，∴211(

1)220kxkxk−−++=，①20122211kkxxkk−+=−=−−，1221kxxk+=−，∴2121kxxk=−−，∵21212(1)224kxkxkxx−+++=，∴21122(1)22411k

kkxkxkkk+−+−++=−−，∴221142(1)22411kkkxkxkkk+−+−++=−−，即：221142(1)22411kkkxkxkkk+−−+++=−−，②把①代入②得：242411kkkk+=−−，220−−=kk，2k=，1k=−，由（1）可

知k需满足：k2且1k，∴2k=或1−．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式、根与系数的关系等知识点的应用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．31．（1）m<1；（2）存在，m=-1【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得2

22(1)4(1)0mm−−−，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)xxm+=−−=2-2m，2121xxm=−，代入x12+x22=16+x1x2中求出m的值，根据（1）中m的取值范围确定m的值

.【详解】（1）∵一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴0，∴222(1)4(1)0mm−−−，解得m<1；（2）存在，21∵一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x

2，∴122(1)xxm+=−−=2-2m，2121xxm=−，若x12+x22=16+x1x2，则2121212()216xxxxxx+−=+，∴222(22)2(1)161mmm−−−=+−，解得m=-1或m=9，∵m<1，∴m=9舍去，即m=-1.【

点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键.