【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题2.3 一元二次方程的解法（1）（知识讲解）.docx，共(7)页，132.969 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-366e9c65cc61284332e8728edbf814d4.html

以下为本文档部分文字说明：

1专题2.3一元二次方程的解法（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解直接开平方法、配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应

用意识和能力.【要点梳理】要点一、一元二次方程的解法---直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有

两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开

平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.知识点二、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：2将

一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，

将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配

方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．知识点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完

全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大

（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重

要手段，是研究相等关2222()aabbab+=3系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程1．解方程24(21)250x−−=【答案】174x=，234x=−解：225(21)4x−=5212x−

=174x=，234x=−【点拨】本题考查一元二次方程解法中的直接开平方法，根据平方根定义进行开平方时，切记负数没有平方根．举一反三：【变式1】解方程：()213123x−=．【答案】129,3xx==−【分析】先去分母，然后利用直接开平方法进行求

解即可．解：()213123x−=()2336x−=，36x−=，解得：129,3xx==−．【点拨】本题主要考查直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【变式2】．解方程()()22211−=−xx【答案】12203，==xx【分析】运用直

接开方法进行求解即可．解：211xx−=−或211xx−=−4解得：23x=或x=0∴原方程的根是12203，==xx．【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．类型二、用配方法解一元二次方程2

.解方程：22410xx+−=【答案】12661122xx=−+=−−，．【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．解：22410xx+−=，移项得：2241xx+=，把二次项系数化为1得：2122xx+=，

配方得：212112xx++=+，即()2312x+=，直接开平方得：612x+=，解得：12661122xx=−+=−−，．【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成2()xmn+=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方

法．【变式】利用配方法解方程：22310xx+−=．【分析】利用配方法得到2317416x+=，然后利用直接开平方法解方程即可．解：23122xx+=22233132424xx++=+52317416x+=31744x+=317

44x=−所以原方程的解为131744x=−+，231744x=−−．故答案为131744x=−+，231744x=−−．类型三、配方法的应用3．（阅读理解）利用完全平方公式，可以将多项式20axb

xca++（）变形为2axmn++（）的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2axbxc++的配方法．例如：利用配方法将243xx+﹣变形为2()axmn++的形式．243xx+﹣＝2224223x

x++﹣﹣＝227x+()﹣．（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式262xx+﹣化成2()axmn++的形式．（2）求证：不论x，y取任何实数，多项式226215xyxy+++﹣的值总为正数．【答案】（1）

()237x−−；（2）见解析【分析】（1）根据配方法配方，即可得出答案（2）根据配方法把226215xyxy++−+变形成22315xy+++()(﹣)，再根据平方的非负性，可得答案．（1）解：262xx−+＝26

992xx−+−+＝()237x−−；6（2）证明：226215xyxy++−+＝()()2269215xxyy+++−++＝()()223155xy++−+，故不论x，y取任何实数，多项式22621

5xyxy+++﹣的值总为正数．【点拨】本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：2222aabbab+＝（）配方是解题关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝

0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3．根据你的观察，探究下面的问题：若x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求yx的值．【答案】-2.【分析】已知等式利用完全平方公式整理配方后，求出x与y的值，即

可求出所求.解：已知等式整理得：（x+2）2+（y-4）2=0，可得x+2=0，y-4=0，解得：x=-2，y=4，则2=−yx.【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（1）用等号或不等号填空：比较4x与242x+的大小：当x＝1时，4x242x

+；7当x=0时，4x242x+；当x＝-2时，4x242x+；试猜想：无论x取何值，4x242x+（2）已知2242+8164xyyxy++=，求xy的值．【答案】（1）＜，＜，＜，＜；（2）116【分析】

（1）将x的值分别代入左右两代数式计算即可做出比较；比较4x和4x2+2的大小，利用计算其差，并配方可得结论；（2）已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．

【详解】（1）当x=1时，4x=4，4x2+2=4+2=6，即4x＜4x2+2；当x=0时，4x=0，4x2+2=2，即4x＜4x2+2；当x=-2时，4x=-8，4x2+2=4×4+2=18，即4x＜4x2+2；猜想：

无论x取何值，4x＜4x2+2，理由为：∵4x2+2-4x=4x2-4x+1+1=(2x-1)2+1＞0，∴4x＜4x2+2；故答案为：＜，＜，＜，＜；（2）4x2+2y2+8y+16=4xy，4x2-4xy+y2+y2+8y+16=0，(2x-y)2+(

y+4)2=0，∴2x-y=0，y+4=0，∴x=-2，y=-4，∴yx=(-4)-2=116．【点拨】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．