【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题2.7 一元二次方程的应用（知识讲解）.docx，共(13)页，186.633 KB，由管理员店铺上传

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1专题2.7一元二次方程的应用（知识讲解）【学习目标】1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程

解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实

际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分

别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字2只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示

，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-

1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数

之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)naxb+=(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率

问题：平均降低率公式为(1)naxb−=(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行

的时间叫期数.3利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.

利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积

公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一

般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．4【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0．【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这

个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4整理得：2x2－19x+24=0．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键

是找等量关系．举一反三：【变式】子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”—《论语·第十二章·为政篇》列方程解决下面问题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符哪位学子算得快，多少年华属周瑜？【答案】周瑜的年龄是36岁．【分析】设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，根据个位平方等于年龄，

即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由而立之年督东吴可确定x的值，此题得解．解：设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，根据题意得：10（x-3）+x=x2，解得：x1=5，x2=6，当x1=5时，周瑜的年龄是25岁，∵25非而立之年，∴不符合题

意，舍去；当x2=6时，周瑜的年龄是36岁，符合题意．答：周瑜的年龄是36岁．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5类型二、平均变化率问题2．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，我们在行动．广安市某县2018年的绿化面积约

1200万平方米，预计2020年的绿化面积约1587万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．（1）求每年绿化面积的平均增长率．（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？【答案】（1）每年绿化面积的平均增长率为15%；（2）2021年的绿化

面积是1825.05万平方米．【分析】(1)设平均增长率为x，用含有x的代数式表示两次增长的量值，利用表示同一量值的值相等建立一元二次方程求解即可；(2)根据增长率的意义列式求解即可.解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．由题意，得21200(1)1587x+=．解得10.15

x=，22.15x=−（不合题意，舍去）．所以每年绿化面积的平均增长率为15%．（2）1587(115%)1825.05+=（万平方米）．所以2021年的绿化面积是1825．05万平方米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，熟练掌握增长率问题的基本模型，正确布列一元二

次方程是解题的关键.举一反三：【变式】为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？（2）已知这种药品的成本为105元

，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？【答案】（1）这种药品每次降价的百分率是20%；（2）按此降价幅度再一次降价，药厂会亏本，见解析【分析】6（1）设这种药品每次降价的百分率是x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格=128元，即

可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据经过连续三次降价后的价格=经过连续两次降价后的价格×（1-20%），即可求出再次降价后的价格，将其与105元进行比较后即可得出结论．解：（1）设这种药品每次降

价的百分率是x，依题意，得：2200(1)128x−=，解得：10.220%x==，21.8x=（不合题意，舍去）．答：这种药品每次降价的百分率是20%．（2）再一次降价后的售价：128(120%)102.4−=（元），102.

4105Q，按此降价幅度再一次降价，药厂会亏本．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．类型三、利润（销售）问题3．水果店的张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，

通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．若销售这种水果想要每天盈利300元，求张阿姨需将每斤的售价定为多少元．【答案】张阿姨将每斤的售价定为3元【分析】设售价定为x元每斤，由题意可以得到关于x的一元一次不等式和一元

二次方程，分别解出不等式和方程，求出它们的公共部分即得解答．解：设售价定位x元，由题意知4100202600.1x−+解得3.2x又由题意可得：()42100203000.1xx−−+=

，∴2213210xx−+=7解得13.5x=（与x≤3.2不合，舍去），23x=答：张阿姨需将每斤的售价定位3元．【点拨】本题考查一元二次方程与一元一次不等式的综合运用，熟练掌握一元二次方程与一元一次不等式的列法与求解是解题关键．举一反三：【变式】某种商品平均每天

可销售40件，每件盈利60元，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？（3）商场日盈利能否达到3300元？【答案】（1）60件；（2）25元；（3）

不能达到，理由见解析【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算

出每天销售的数量，（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（3）设每件商品

降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于y的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案．解：（1）当每件盈利50

元时，每件商品降价：60-50=10（元），商场每天可多销售：10×2=20（件），每天销售：40+20=60（件），答：当每件盈利50元时，每天可销售60件，（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据题意得：8（

60-x）（40+2x）=3150，整理得：x2-40x+375=0，解得：x1=15，x2=25，为减少库存，应舍去15，答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元，（3）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y

件，根据题意得：（60-y）（40+2y）=3300，整理得：y2-40y+450=0，∵△=1600-1800=-200＜0，∴该方程无实数根，即商场日盈利不能达到3300元．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．类型四

、形积问题4．如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为2135m，求道路的宽度．【答案】道路宽度为1m【分析】本题可设道路宽为

x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（16-x）（10-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．解：原图经过平移转化如图所示，9设道路宽为xm，根据题意，得()()1610135xx−−=，整理得：226250xx−+=，解得：125x=（不合题意，舍去

），21x=．则道路宽度为1m．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．举一反三：【变式】某

校园有一块正方形的空地，若从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分为花带），横向花带宽为2m，纵向花带宽为1m，栽种鲜花后剩余空地面积为42m2，求原正方形空地的边长．【答案】原正方形空地的边长为8m．【分析】观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，列方程解决问题．解：设正方

形空地的边长为xm，由题意得()()2142xx−−=，化简得23400xx−−=，解得1285xx==−，，因为0x＞，故8x=，答：原正方形空地的边长为8m．【点拨】此题考查一元二次方程的实际应用

—图形面积类问题，观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，由此列方程解决问题的思路是解题的关键．105.如图，在ABCV中，13ABAC==厘米，10BC=厘米，ADBC⊥于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运

动时间为t秒．（1）求AD的长；（2）当PDC△的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得112PMDABCSS=VV？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【

答案】（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t的值为2或292814+或292814−，使得S△PMD=112S△ABC．【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×12=15即可求出

t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2-CD2∴AD=12cm．（

2）AP=t，PD=12-t，11又∵由△PDM面积为12PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S△PMD=112S△ABC．①若点M在线段CD上，即0≤t≤52时，PD=12-t，DM=5-2t，由S△PMD=112S△ABC

，即12×(12−t)(5−2t)＝5，2t2-29t+50=0解得t1=12.5（舍去），t2=2．②若点M在射线DB上，即52≤t≤12．由S△PMD=112S△ABC得12(12−t)(2t−5)＝5，2t2-29t+70=0解得t1＝292814+，t2＝2928

14−．综上，存在t的值为2或292814+或292814−，使得S△PMD=112S△ABC．【点拨】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．举一反三：【变式】如图，ABCV中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点

P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．12（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使28QPCScm=V？（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后24QPCScm=V？（3）如果点P

、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？【答案】（1）2或4；（2）2；（3）1082−+．【分析】本题可设P出发x秒后，QPCSV符合已知条件：在（1）中，=APxcm，()=6PCxcm−，2QCxcm=，根据题意列方程求解即可

；在（2）中，=APxcm，()=6PCxcm−，()22QCxcm=−，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PCxcm−，2QCxcm=，()=82BQxcm−，利用勾股定理和PQBQ=列出方程，即可求出答案．解：（1）P、Q

同时出发，经过x秒钟，28QPCScm=V，由题意得：()16282xx−=∴2680xx−+=，解得：12x=，24x=．经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4秒点P到离A点1×4＝4cm处，点Q到离C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求

．答：P、Q同时出发，经过2秒或4秒，28QPCScm=V．（2）设P出发t秒时24QPCScm=V，则Q运动的时间为()2t−秒，由题意得：()()162242tt−−=，13∴28160tt−+=，解得：124tt==．因此经4秒点P离A点1×4＝4c

m，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．答：P先出发2秒，Q再从C出发，经过2秒后24QPCScm=V．（3）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则()=6PCxcm−，2QCxcm=，()=82BQxcm−，()()()2226

282xxx−+=−，解得：11082x=−+，21082x=−−（不合题意，舍去），答：经过1082−+秒钟后PQ＝BQ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定

取舍．