【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题2.11 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）.docx，共(11)页，163.653 KB，由管理员店铺上传

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1专题2.11《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的

方法．【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，

也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未

知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：⎯⎯⎯→降次2解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解

题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的

实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(

1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有

关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．)0(02=++acbxaxacb42−)0(02=++acbxaxacb42−=)0(02=++acbxax21xx，abxx−=+21acxx=213要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际

问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的

等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解

应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足

的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．【答案】m=﹣1﹣2﹣43【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．解：根据题意得，|m|+1=2且

m﹣1≠0，解得m=1或﹣1且m≠1，所以，m=﹣1，m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，所以，此方程为22430xx−−+=，4所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．【点拨】本题考

查了一元二次方程的一般形式是：20axbxc++=（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．举一反三：【变式】若22(2)310mmx

x-++-=是关于x的一元二次方程，则m的值为______．【答案】2【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数进行分析即可．解：∵22(2)310mmxx-++-=是关于x的一元二次方程，∴m2-2=2

，且m+2≠0，解得：m=2．故答案为：2．【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．类型二、一元二次方程的解法2．解下列方程（1）2250

xx−−=（配方法）；（2）23(2)(2)xxx−=−（因式分解法）；（3）(2)(35)1tt−−=（公式法）．【答案】（1）116x=+，216x=−；（2）12x=，23x=；（3）111136t+=，211136t−=．【分析】（

1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；5（3）整理后求出24bac−的值，再代入公式求出即可；解：（1）2250xx−−=，225xx−=，配方得：22151xx−+=+，2(1)6x−=，开方

得：16x−=，解得：116x=+，216x=−；（2）23(2)(2)xxx−=−，23(2)(2)0xxx−−−=，(2)[3(2)]0xxx−−−=，20x−=，3(2)0xx−−=，12x=，23x=；（3）(2)(35)1tt−−=，整理得：231190tt−+=，∵a=3，b

=-11，c=9∴224(11)43913bac−=−−=>0，∴241113223bbacta−−==，解得：111136t+=，211136t−=．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能灵活运用各种方法解方程是解此题的关键．举

一反三：【变式】按要求的方法解方程，否则不得分．（1）2450xx−=+（配方法）6（2）22730xx−+=（公式法）（3）(1)(2)24xxx++=+（因式分解法）【答案】（1）1215xx==−，

；（2）12132xx==，；（3）1221xx，=−=．【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可．解：（1）2450xx−=+，移项得：245xx+=，配方得：24454xx++=+，即()229x+=，直接开平方

得：23x+=，∴1215xx==−，；（2）22730xx−+=，∵2a=，7b=−，3c=，()2247423250bac=−=−−=V，∴72575224x==，∴12132xx==，；（3）(1)(2)24xxx++=+，整理得：23224xxx++=+，即

220xx+−=，因式分解得：()()210xx+−=，∴20x+=或10x−=，∴1221xx，=−=．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程．7类型三、一元二次方程根的

判别式的应用3．已知关于x的一元二次方程()212102xkxk+++−=，求证：不论k为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．【分析】根据一元二次方程的根的判别式得出△=()212?412kk+−−，然后对此进行化

简，最后根据化简结果进一步求证即可.解：由题意得：△=()212?412kk+−−=228kk++=()217k++，∵()210k+，∴()2170k++，∴不论k为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．【点拨】本题主要考查了一元二次

方程根的判别式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键.举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若△ABC的两边AB，AC的长是关于x的

一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实根，第三边BC的长是5．①当k＝2时，△ABC是三角形？（直接写出结果）②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？【答案】（1）证明见解析；（2）①直角；②当k＝3或k＝4时，△ABC是等腰三角形【分析】（1）由△＝[﹣（2k+

3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0即可证明；（2）①直接将k代入，根据题意得出AB、AC的长，再利用勾股定理逆定理得出即可；②利用因式分解法解方程求得x1＝k+1，x2＝k+2，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：AB＝AC，AB＝BC，BC＝AC，据此求解可得．解：（1）

∵△＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8＝1＞0，8∴无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）①当k＝2时，x2﹣（2k+3）+k2+3k+2＝0为：x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（

x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．②∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，解得：x1＝k+1，x2＝k

+2，当AB＝AC时，k+1＝k+2，显然不存在；当AB＝BC时，k+1＝5，解得k＝4，此时AC=k+2=6，而5＋5＞6，故满足题意；当BC＝AC时，k+2＝5，解得k＝3，此时AB=k+1=4，而4＋5＞5，故满足题意；；综上，当k＝3或k＝4时，△ABC是等腰三角形．【点拨】此题考

查的是一元二次方程根的情况和一元二次方程的应用，掌握一元二次方程根的情况和△的关系、勾股定理的逆定理和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4.已知关于的一元二次方程：.

(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程

都有实数根；（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论．解：（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中，△=[﹣（t﹣1）]2﹣4

×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根；（2）解：设方程的两根分别为m、n，∵方程的两个根互为相反数，∴m+n=t﹣1=0，解得：t=1．9∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．考点：根与系数的关系；根的判别式.举一反三

：【变式】已知关于x的一元二次方程的两实数根为，．（1）求m的取值范围；（2）设，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为．∵原方程有两个实数根．∴，∴．（2），且．因为y随m的增大而减小，故当时，取得最

小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图，直线y＝43x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求点P的坐标．（3）点M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B1处，求出点M的坐标．（4）点C

在y轴上，连接AC，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4）；（2）点P的坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）点M的坐标为（0，1.5）；（4）点C的坐标为（

0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣222(1)xmxm=−−1x2x12yxx=+222(1)0xmxm+−+=22[2(1)]4840mmm=−−=−+△12m1222yxxm=+=−+12m12m=104）．【分析】（1）

分别令y=0和x=0，即可得到A、B两点的坐标；（2）设点P（x，0），则由△ABP的面积可得关于x的方程，解方程即可得到点P的坐标；（3）由（1）可得OA、OB，再由勾股定理可得AB，从而得到1B的坐标，设点M的坐标为（0，m），再由1MB

MB=可得关于m的方程，解得m可得点M的坐标；（4）设点C（0，t），则当AB＝BC或AB＝AC时分别可以得到关于t的方程，解方程即可得到点C的坐标．解：（1）对于y＝43x+4，令y＝0，即y＝43x+4＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝4，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）

、（0，4）；（2）设点P（x，0），则△ABP的面积＝12×AP×OB＝12×4×|x+3|＝8，解得x＝1或﹣7，故点P的坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）由点A、B的坐标知，OA＝3，BO＝4，则AB＝22AOBO+＝5＝AB1，故点B1的坐标为

（2，0），设点M的坐标为（0，m），由题意得：MB＝MB1，即m2+4＝（m﹣4）2，解得m＝1.5，故点M的坐标为（0，1.5）；（4）设点C（0，t），则AB＝5，AC＝223t+，当AB＝BC时，则5＝|t﹣4|，解得t＝9或﹣1，当AB＝AC时，即2

5＝9+t2，解得t＝4（舍去）或﹣4，故点C的坐标为（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点拨】本题考查图形与函数和方程的综合运用，熟练掌握一次函数的图象与性质、一元一次方程和一元二次方程的解法是解题关键．6．某商店销售一款口罩，每袋的进价为1

2元．经市场调查发现，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋．当售价为每袋18元时，日均销售量为100袋．设口罩每袋的售11价为x元，日均销售量为y袋．物价部门规定，该款口罩的每袋售价不得高于22元．当每袋售价定为多少元时，商店销售该款口罩所得

的日均毛利润为720元？【答案】每袋售价定为20元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元【分析】根据“总利润=每袋利润×日均销售量”列方程求解可得出答案．解：设每袋售价定为x元时，商店销售该款口罩所得的日均毛

利润为720元，日均销售量为：()1005185190xx−−=−+，根据题意可得：()()125190720xx−−+=．解得：x1=20，x2=30．∵该款口罩的每袋售价不得高于22元，∴x=30舍去．∴x=20．答：每袋售价定为20

元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．