【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）》专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类（原卷版）.docx，共(17)页，1.798 MB，由envi的店铺上传

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专题30圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类【考点预测】1、三角形的面积处理方法（1）12S=△底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）12S=△水平宽·铅锤高12EDABxx=−或12AESCDyy=−△（3）在平面直角坐标系xOy中，已知OMN△的顶点分别为(00)O，，

11()Mxy，，22()Nxy，，三角形的面积为122112Sxyxy=−．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型1sin21sin2OACOBDOAOCSOAOCSOBODOBOD==（2）等角、共角模型1sin21sin2OACOBDOAOCSOAOCSOBOD

OBOD==3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直12SACBD=（2）一般四边形1sin2SACBD=（3）分割两个三角形121()2SACdd=+4、面积的最值问题或者取值

范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽

可能降低计算量．【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之12S=△底·高题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型题型六：四边形的面积

问题之对角线垂直模型题型七：四边形的面积问题之一般四边形【典例例题】题型一：三角形的面积问题之12S=△底·高例1．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆()222210xyabab+=的离心率为12，其左焦点到点()21P，的距离

为10．(1)求椭圆的方程；(2)直线32yxm=−+与椭圆相交于AB，两点，求ABP△的面积关于m的函数关系式，并求面积最大时直线l的方程．例2．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆C：()222210yxabab+=的离心率为32，且过点()1

,2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l被圆222xya+=截得的弦长为26，设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值.例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））设O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCa

bab+=的离心率为223，且过点(0,1)．(1)求C的方程；(2)若直线:lxkym=+与C交于P，Q两点，且OPQ△的面积是32，求证：2229mk−=．例4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知椭圆2222:1(0)xyCaba

b+=的左，右焦点分别为12(3,0),(3,0)FF−且经过点(3,2)P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求AOB面积的最大值（O为坐标原点）例5．（20

22·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）如图，椭圆C：()222210xyabab+=的离心率是12，短轴长为23，椭圆的左、右顶点分别为1A、2A，过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于,AB两点，与抛物线E相交于,PQ两

点，点M为PQ的中点．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)记1ABA△的面积为1S，2MAQ△的面积为2S，若123SS，求直线l在y轴上截距的范围．例6．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知圆221:(1)9Fxy++=，圆222:

(1)1Fxy−+=，动圆P与圆1F内切，与圆2F外切.O为坐标原点.(1)若求圆心P的轨迹C的方程.(2)若直线:2lykx=−与曲线C交于A、B两点，求OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程.题型二：三角形的面积问题之

分割法例7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆2222C:1(0)xyabab+=的离心率为32，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为83．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线:10lxmy−−=与x轴交于点

M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求MNQ△面积的最大值．例8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点13,2，其右焦点为()3,0F.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点,PQ在椭圆C上，右顶点

为A，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120.求APQ面积的最大值.例9．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，M、D分别为椭圆2221(1)xyaa+=的左、右顶点，离心率为32.(1)求椭圆

的标准方程；(2)过M点作两条互相垂直的直线MA，MB与椭圆交于A，B两点，求DAB面积的最大值.例10．（2022·云南大理·模拟预测）已知12,FF为椭圆C的左、右焦点，点31,2M为其上一点，且124MFMF+=．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1F的直线

l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问PQR的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化例11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线22

:13yCx−=的左右焦点分别为1F、2F，若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足128PFPF+=，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.（1）求四边形OAPB的面积；（2）若对于更

一般的双曲线()2222:10,0xyCabab−=，点P为双曲线C上任意一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.请问四边形OAPB的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a、b表示该

定值）；若不是定值，请说明理由.例12．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知P为椭圆22221xyab+=（0ab）上一点，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，1242PFPF+=，且椭圆离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过1F的直

线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求1AFC△面积的最大值例13．（2022·全国·高三专题练习）12,FF分别是椭圆于2214xy+=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的取值范围；(2)设()()2,0

,0,1AB是它的两个顶点，直线(0)ykxk=与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22xa＋22yb＝1，过A(2，0)，B(0，

1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.例15．（2022·广东·高三阶段练习）椭圆22122:1(0)

xyCabab+=经过点()1,1E且离心率为22；直线l与椭圆1C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点.(1)求椭圆1C的方程；(2)若过原点的直线m与椭圆1C交于,CD两点，且()OCtOAOB=+，求四边形ACBD面积的最大值.例16．（2022·浙江·高三竞赛）已知

直线l与椭圆C：22221(0)xyabab+=交于A、B两点，直线AB不经过原点O.（1）求OAB面积的最大值；（2）设M为线段AB的中点，延长OM交椭圆C于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭

圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为66，且经过点(6,15)E．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点()3,0M的直线l与椭圆C交于PQ，两点，点P关于x轴的对称点为点N，求MNQ△面积的最大值．例18．（

2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的焦距为22，且经过点31,22.(1)求椭圆C的方程;(2)过点()0,2P的直线交椭圆C于A、B两点，

求AOB（O为原点）面积的最大值.题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型例19．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线W：22221(00)xyabab−=，的左、右焦点分别为1F、2F，

点(0,)Nb，右顶点是M，且21MNMF=−，2120NMF=．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点(0,2)Q−的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点(7,0)H在以线段AB为

直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．例20．（2022·江苏·泰州中学高三开学考试）已知椭圆()2222:10xyEabab+=的右焦点为2F，上顶点为H，O为坐标原点，230OHF=，点31,2在椭圆E上．(1)求椭圆E的方

程；(2)设经过点2F且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点()2,0P−，()2,0Q．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记MPQ，NPQ△的面积分别为MPQS，NPQS△，求MPQNPQSS△△的值．例21．（2022·广东·高三阶段练习

）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点31,,(2,0)2−．(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M，连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E，连接动点M与椭圆的上顶点B，与x的正半轴交于点F，记四边形ABF

E的面积为1S，ABM的面积为2S，12SS=，求的取值范围．例22．（2022·上海金山·二模）已知椭圆22:143xyΓ+=的左､右焦点分别为12FF､，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，12PFPF､的延长线分别交椭圆Γ于点12QQ

､，直线12QF与21QF交于点R.(1)求12PQF的周长；(2)当2PF垂直于x轴时，求直线12QQ的方程；(3)记11FQR与22FQR的面积分别为12SS､，求21SS−的最大值.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：()222210

xyabab+=的短轴长为2，离心率为22．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，点B为椭圆C的上顶点，过点B作互相垂直的两条直线1l（1l的斜率为正数）和2l，直线1l与以短轴为直径的圆O和椭圆C分

别相交于点M，P，直线2l与圆O和椭圆C分别相交于点N，Q，且BPQV的面积是BMN△面积的95倍，求直线1l和2l的方程．例24．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆221:14xCy+=的上、下顶点分别为

12,BB，抛物线22:2(0)Cypxp=在点(2,2)Pp−处的切线l交椭圆1C于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线1MB交x轴于点D．(1)若点C是2OB的中点，求p的值；(2)设MCD△与1MNB的面积分别为12,SS，求12SS的最大值．例25．（2022·河北邯郸·

二模）已知点P（2，53）为椭圆C：22221(0)xyabab+=）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．(1)求C的标准方程；(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G

在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记1S，2S分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明12:SS为定值．例26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知椭圆221:193xyC+=，椭圆2C的焦点在y轴

上．经过点26,22且与椭圆1C有相同的离心率．(1)求椭圆2C的方程；(2)设A为椭圆1C的上顶点，点P是椭圆2C上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线,APAQ与椭圆1C的另一

个交点分别为M，N两点，设AMN与APQ的面积分别为12,SS，求12SS的取值范围．例27．（2022·江西鹰潭·二模（理））设O为坐标原点，动点P在圆22:1Oxy+=上，过点P作y轴的垂线，垂足为Q且3QD

QP=.(1)求动点D的轨迹E的方程；(2)直线l与圆22:1Oxy+=相切，且直线l与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记,BOTMON的面积分别为12,SS，求12SS的取值范围.题型五：三角形的面积比

问题之对顶角模型例28．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点为12,FF，焦距为2，点P是椭圆C上一点满足2PFx⊥轴，213PFPF=．(1)求椭圆C的方程；(2)过2F

的直线交椭圆C于A，B（异于点P）两点，直线,OAOB分别交直线2PF于M，N，记2212,AMFBNFSSSS==，求1211SS+的最小值．例29．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点B与点(1,1)A−关于原点O对称，P是动点，且直

线AP与BP的斜率之积等于13−．(1)求动点P的轨迹方程C；(2)设直线yt=与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段EF为直径作圆D，圆心为D，设(),GGGxy是圆D上的动点，当t变化时，求Gy的最大值；(3)设直线AP和BP分

别与直线3x=交于点M、N，问：是否存在点P使得PAB△与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的左、右焦点分别为12,FF，离心率为23，过点2F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且12FPF△的面积为1

03．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点(3,0)A的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，1EFx⊥轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若3SMASENSS=△△，求MN所在的直线方程．例31．（2022·全国·高三

专题练习）已知椭圆()222210xyabab+=的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且2maxmin4aPFQF=．(1)求椭圆的长轴和短轴的比值；(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点

，求DFMDOESS△△的取值范围．例32．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点31,2A−关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于34−.(1)求动点P的轨

迹方程，并注明x的范围；(2)设直线AP与BP分别与直线3x=交于M，N，问是否存在点P使得PAB△与PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆2

2132xy+=的左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线交椭圆于,BD两点，过2F的直线交椭圆于,AC两点，且ACBD⊥.求四边形面积的最小值.例34．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别为

12,,FFP是E上一动点，12PFF△的最大面积为123,23FF=.(1)求E的方程；(2)若直线10xy−−=与E交于,AB两点，,CD为E上两点，且CDAB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.例35．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系Ox

y中，动圆P与圆22145:204Cxyx++−=内切，且与圆2223:204Cxyx+−+=外切，记动圆P的圆心的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)不过圆心2C且与x轴垂直的直线交轨迹E于,AM两个不同的点，连

接2AC交轨迹E于点B.（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；（ii）若过圆心1C的直线交轨迹E于,DG两个不同的点，且ABDG⊥，求四边形ADBG面积的最小值.题型七：四边形的面积问题之一般四边形例36．（2022

·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆()222:1024xyCbb+=，直线1:lyxm=+与椭圆C交于A，B两点，且AB的最大值为463．(1)求椭圆C的方程；(2)当463AB=时，斜率为2−的直线2l交椭圆C于P，Q两点（P，Q两点在直线1l的异侧），若四边形APBQ的面积为16

69，求直线2l的方程．例37．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆C：()222210xyabab+=的左焦点为()11,0F−，上、下顶点分别为A，B，190AFB=．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆

上有三点P，Q，M满足OMOPOQ=+uuuruuuruuur，证明：四边形OPMQ的面积为定值．例38．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的内接正方形的面积为487，且长轴长为4．(1)求

C的方程．(2)直线l经过点()1,1−，且斜率大于零．过C的左焦点1F作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点2F作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形21FFAB，使得梯形21FFAB的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

例39．（2022·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆22122:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,FF，离心率为1e；双曲线22222:1xyCab−=的左右焦点分别为34,FF，离心率为2e，已知12154ee=，切2453=−FF．(1)求12,C

C的方程；(2)过1F作1C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与2C交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．例40．（2022·全国·高三专题练习）已知12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyE

abab+=的左､右焦点，长轴长为23，12,BB分别为椭圆的上、下顶点，且四边形1122FBFB的面积为22.(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的离心率为33，过点1F的直线l与曲线E交于,AB两点，设AB的中点为M，CD、两点为曲线E上关于原点O对称的两点，且

0()COOM=uuuruuur，求四边形ACBD面积的取值范围.例41．（2022·湖南·高考真题（理））如图,O为坐标原点,椭圆1:C()222210xyabab+=的左右焦点分别为12,FF,离心率为1e

;双曲线2:C22221xyab−=的左右焦点分别为34,FF,离心率为2e,已知1232ee=,且2431FF=−.(1)求12,CC的方程;(2)过1F点作1C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与2C交于,PQ两点时,求四边形APBQ面积的最小值.