【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）》第3讲 三角函数与解三角形（2021-2022年高考真题）（解析版）.docx，共(26)页，1.519 MB，由envi的店铺上传

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第3讲三角函数与解三角形一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为12,FF，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C的两支交于M，N两点，且123cos5FNF=，则C的离心率为（）A．52B．32C．132D．172【答案】C【解析】【分析】依

题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右支，设12FNF=，21FFN=，即可求出sin，sin，cos，在21FFN中由()12sinsinFFN=+求出12sinFFN，再由正弦定理求出1NF，2NF，最后根据双曲线的定义得到2

3ba=，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，所以1OGNF⊥，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，所以OGa=，1OFc=，1GFb=，设12FNF=，21FF

N=，由123cos5FNF=，即3cos5=，则4sin5=，sinac=，cosbc=，在21FFN中，()()12sinsinsinFFN=−−=+4334sincoscossin555baabccc+=+=

+=，由正弦定理得211225sinsinsin2NFNFccFFN===，所以112553434sin2252ccababNFFFNc++===，2555sin222ccaaNFc===又12345422222ababaNF

NFa+−−=−==，所以23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=故选：C2．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()22cossin4+++=+，则（）A．()tan1−=B．()tan1+=C．()tan

1−=−D．()tan1+=−【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sincoscossincoscossinsin2cossinsin++−=−,即：sinco

scossincoscossinsin0−++=，即：()()sincos0−+−=,所以()tan1−=−,故选：C3．（2022·全国·高考真题）记函数()sin(0)4f

xxb=++的最小正周期为T．若23T，且()yfx=的图象关于点3,22中心对称，则2f=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入

即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得223，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ+=，且2b=，所以12,63kkZ=−+，

所以52=，5()sin224fxx=++，所以5sin21244f=++=.故选：A4．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin3fxx=+在

区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A．513,36B．519,36C．138,63D．1319,66【答案】C【解析】【分析】由x的取值范围得到3x+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可

．【详解】解：依题意可得0，因为()0,x，所以,333x++，要使函数在区间()0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx=，,33x的图象如下所示：则5323+，解得13863，即138,63

．故选：C．5．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CDAB⊥．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDsABOA=

+．当2,60OAAOB==时，s=（）A．11332−B．11432−C．9332−D．9432−【答案】B【解析】【分析】连接OC，分别求出,,ABOCCD，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC

，因为C是AB的中点，所以OCAB⊥，又CDAB⊥，所以,,OCD三点共线，即2ODOAOB===，又60AOB=，所以2ABOAOB===，则3OC=，故23CD=−，所以()22231143222CDsABOA−−=+=+=.故

选：B.6．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cosxxyx−=−在区间ππ,22−的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos,,22x

xfxxx−=−−，则()()()()()33cos33cosxxxxfxxxfx−−−=−−=−−=−，所以()fx为奇函数，排除BD；又当0,2x时，330,cos0xxx−−，所以()0fx，排除C.

故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin(0)3fxx=+的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A．16B．14C．13D．12【答案

】C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得,232kk+=+Z，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx=++=++，又C关于y轴对称，则,

232kk+=+Z，解得12,3kk=+Z，又0，故当0k=时，的最小值为13.故选：C.8．（2021·全国·高考真题（文））函数()sincos33xxfx=+的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2【答案】C【

解析】【分析】利用辅助角公式化简()fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22()sincos2sinco2sin3s3323234xxxxfxx=+=++，所以()fx的最小正周期为2613Tpp

==，最大值为2.故选：C．9．（2021·全国·高考真题（文））22π5πcoscos1212−=（）A．12B．33C．22D．32【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得22225coscoscossin1

2121212−=−，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscoscoscoscossin1212122121212−=−−=−3cos26==.故选：D.10．

（2021·全国·高考真题（理））把函数()yfx=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx=−的图像，则()fx=（）A．7sin212x−B．sin212x+C．

7sin212x−D．sin212x+【答案】B【解析】【分析】解法一：从函数()yfx=的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23yfx=−，即得

2sin34fxx−=−，再利用换元思想求得()yfx=的解析表达式；解法二：从函数sin4yx=−出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()yfx=的解析表达式.【详解】解法一：函数()yfx=图象上所有点的横坐标缩短

到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx=的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx=−的图象，根据已知得到了函数sin4yx=−的图象，所以2sin34fxx−=−，令23

tx=−,则,234212ttxx=+−=+,所以()sin212tft=+,所以()sin212xfx=+；解法二：由已知的函数sin4yx=−逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，

得到sinsin3412yxx=+−=+的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy=+的图象，即为()yfx=的图象，所以()sin212xfx=+.故选：B.11．（2021·全

国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH

的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）A．+表高表距表目距的差表高B．−表高表距表目距的差表高C．+表高表距表目距的差表距D．表高表距-表目距的差表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似

的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，,DEEHFGCGABAHABAC==，而DEFG=，所以DEEHCGCGEHCGEHABAHACACAHCH−−====−，而CHCEEHCGEHEG=−=−+，即CGEHEGEGD

EABDEDECGEHCGEH−+==+−−＝+表高表距表高表目距的差．故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．12．（2021·全国·高考真题（文））

在ABC中，已知120B=，19AC=，2AB=，则BC=（）A．1B．2C．5D．3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,ABcACbBCa===

，结合余弦定理：2222cosbacacB=+−可得：21942cos120aac=+−，即：22150aa+−=，解得：3a=（5a=−舍去），故3BC=.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求

第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．13．（2021·全国·高考真题（文））若cos0,,tan222sin=−，则tan=（）A．1515B．55C．53D．15

3【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin==−，再结合已知可求得1sin4=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】costan22sin

=−2sin22sincoscostan2cos212sin2sin===−−，0,2，cos0，22sin112sin2sin=−−，解得1sin4=，215

cos1sin4=−=，sin15tancos15==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.14．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：

m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB=，60ABC=．由C点测得B点的仰角为15，BB与CC

的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC−约为（31.732）（）A．346B．373C．446D．473【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形

中，借助正弦定理，求得''AB，进而得到答案．【详解】过C作'CHBB⊥，过B作'BDAA⊥，故()''''''100100AACCAABBBHAABBAD−=−−=−+=+，由题，易知ADB△为等腰直角三角形，所以ADDB=．所以''10

0''100AACCDBAB−=+=+．因为15BCH=，所以100''tan15CHCB==在'''ABC中，由正弦定理得：''''100100sin45sin75tan15cos15sin1

5ABCB===，而62sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin304−=−=−=，所以210042''100(31)27362AB==+−，所以''''100373AACCAB−=+．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将''A

ACC−的长度通过作辅助线的方式转化为''100AB+．15．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22【答案】

A【解析】【分析】解不等式()22262kxkkZ−−+，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sinyx=的单调递增区间为()22,22kkkZ−+，对于函数()7si

n6fxx=−，由()22262kxkkZ−−+，解得()22233kxkkZ−+，取0k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为2,33−，则20,,233−，2,,233

−，A选项满足条件，B不满足条件；取1k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233−且358,,233，358,2,233

，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sinyAωxφ=+形式，再求()sinyAωxφ=+的单调区间，只需把x+看作一个整体代入sinyx=的相应单调区间内即可，注

意要先把化为正数．16．（2021·全国·高考真题）若tan2=−，则()sin1sin2sincos+=+（）A．65−B．25−C．25D．65【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公

式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sincos=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2=−即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos

+++==+++()2222sinsincostantan422sincos1tan145++−====+++．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2=−，求出sin,cos

的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．二、多选题17．（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)fxx=+的图像关于点2π,03中心对称，则（）A．()fx在区间5π0,12

单调递减B．()fx在区间π11π,1212−有两个极值点C．直线7π6x=是曲线()yfx=的对称轴D．直线32yx=−是曲线()yfx=的切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性

质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin033f=+=，所以4ππ3k+=，kZ，即4ππ,3kk=−+Z，又0π，所以2k=时，2π3=，故2π()sin23fxx=

+．对A，当5π0,12x时，2π2π3π2,332x+，由正弦函数sinyu=图象知()yfx=在5π0,12上是单调递减；对B，当π11π,1212x−时，2ππ5π2,322x+，由正弦函数sinyu=图象知()y

fx=只有1个极值点，由2π3π232x+=，解得5π12x=，即5π12x=为函数的唯一极值点；对C，当7π6x=时，2π23π3x+=，7π()06f=，直线7π6x=不是对称轴；对D，由2π2cos213yx=+=−得：2π1cos232x

+=−，解得2π2π22π33xk+=+或2π4π22π,33xkk+=+Z,从而得：πxk=或ππ,3xkk=+Z,所以函数()yfx=在点30,2处的切线斜率为02π2cos13xky====−，切线方程为：3(0)2yx−=−−

即32yx=−．故选：AD．18．（2021·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点()1cos,sinP，()2cos,sinP−，()()()3cos,sinP++，()1,0A，则

（）A．12OPOP=B．12APAP=C．312OAOPOPOP=D．123OAOPOPOP=【答案】AC【解析】【分析】A、B写出1OP，2OP、1APuuur，2APuuur的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积

的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：1(cos,sin)OP=，2(cos,sin)OP=−，所以221||cossin1OP=+=，222||(cos)(sin)1OP=+−=，故12||||OPOP=，

正确；B：1(cos1,sin)AP=−，2(cos1,sin)AP=−−，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP=−+=−++=−==，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP=−+

=，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31cos()0sin()cos()OAOP=+++=+，12coscossin(sin)cos()OPOP=+−=+，

正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP=+=，23coscos()(sin)sin()OPOP=++−+()()()cosβαβcosα2β=++=+，故一般来说123OAOPOPOP故错误；故选：AC三、填空题1

9．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos(0,0π)fxx=+的最小正周期为T，若3()2fT=，9x=为()fx的零点，则的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T，根据()32fT=求出，再根

据π9x=为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cosfxx=+，（0，0π）所以最小正周期2πT=，因为()()2π3coscos2πcos2fT=+=+==，又0π，所以π6=，即()πcos6

fxx=+，又π9x=为()fx的零点，所以ππππ,Z962kk+=+，解得39,Zkk=+，因为0，所以当0k=时min3=；故答案为：320．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC中，点D在边BC上，120

,2,2ADBADCDBD===．当ACAB取得最小值时，BD=________．【答案】31−##1+3−【解析】【分析】设220CDBDm==，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBDm==，则在ABD△中，22222cos42ABBDADB

DADADBmm=+−=++，在ACD△中，22222cos444ACCDADCDADADCmm=+−=+−，所以()()()2222224421214441243424211mmmACmmAB

mmmmmm++−++−===−+++++++()1244233211mm−=−++，当且仅当311mm+=+即31m=−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m=−.故答案为：31−.21．（2021·全国·高考真题（文））已知函数()()

2cosfxx=+的部分图像如图所示，则2f=_______________.【答案】3−【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解2f的值即可.【详解】由题意可得：31332,,

241234TTT=−====，当1312x=时，()131322,2126xkkkZ+=+==−，令1k=可得：6=−，据此有：()52cos2,2cos22cos

362266fxxf=−=−==−.故答案为：3−.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离

原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用

诱导公式变换使其符合要求.22．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()2cos()fxx=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043fxffxf−−−的最小正整数x为________

．【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()fx的解析式，再求出7(),()43ff−的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T=−=，即2T==，所以2=；由五点法可得232+=，即6=−；所以()2cos

26fxx=−.因为7()2cos143f−=−=，()2cos032f==；所以由74(()())(()())043fxffxf−−−可得()1

fx或()0fx；因为()12cos22cos1626f=−−=，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0fx，即cos206x−，解得

,36kxkk++Z，令0k=，可得536x，可得x的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0fx，又(2)2cos406f=−，符合题意，可得x的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根

据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.23．（2021·全国·高考真题（理））记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B=，223acac+=，则b=________

．【答案】22【解析】【分析】由三角形面积公式可得4ac=，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin324ABCSacBac===，所以224,12acac=+=，所以22212cos122482bacacB=+−=−

=，解得22b=（负值舍去）.故答案为：22.四、解答题24．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12331,sin23SSS

B−+==．(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC=，求b．【答案】(1)28(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,SSS，再由12332SSS−+=求得2222acb+−=，结合余弦定理及平方关系求

得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sinsinsinbacBAC=，即可求解.(1)由题意得222212313333,,22444SaaSbSc====，则22212333334442SSSabc−+=−+=，即2222acb+−=，由余弦定理得222cos2acbBac

+−=，整理得cos1acB=，则cos0B，又1sin3B=，则2122cos133B=−=，132cos4acB==，则12sin28ABCSacB==；(2)由正弦定理得：sinsi

nsinbacBAC==，则223294sinsinsinsinsin423bacacBACAC====，则3sin2bB=，31sin22bB==.25．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别

为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB=++．(1)若23C=，求B；(2)求222abc+的最小值．【答案】(1)π6；(2)425−．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos

2ABAB=++化成()cossinABB+=，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB=+，π22AB=−，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc+化成2224cos5cosBB+

−，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB===++，即()1sincoscossinsincoscos2BABABABC=−=+=−=，而π02B，所以π

6B=；(2)由（1）知，sincos0BC=−，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC=−=−，所以π2CB=+，即有π22AB=−．所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB+++−==()222

2222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB−+−==+−−=−．当且仅当22cos2B=时取等号，所以222abc+的最小值为425−．26．（2022·全国·高考真题（文））记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知()()sinsi

nsinsinCABBCA−=−．(1)若2AB=，求C；(2)证明：2222abc=+【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，()sinsinCCA=−，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sinsinc

oscossinsinsincoscossinCABABBCACA−=−，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2AB=，()()sinsinsinsinCABBCA−=−可得，()sinsinsinsinCBBCA=−，而π02B，所以()sin0,1B，即有()sinsin0CC

A=−，而0π,0πCCA−，显然CCA−，所以，πCCA+−=，而2AB=，πABC++=，所以5π8C=．(2)由()()sinsinsinsinCABBCA−=−可得，()()sinsincoscossinsinsincosc

ossinCABABBCACA−=−，再由正弦定理可得，coscoscoscosacBbcAbcAabC−=−，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222acbbcabcaabc+−−+−=+−−+−，化简得：2222abc=+，故原等式成立．27．（2022

·全国·高考真题（理））记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA−=−．(1)证明：2222abc=+；(2)若255,cos31aA==，求AB

C的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得bc+，即可得解.(1)证明：因为()()sinsinsinsinCABBCA−=−，所以sinsinco

ssinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC−=−，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab+−+−+−−=−，即()22222222222acbabcbca+−+−−+−=−，所以2222abc=+；(2)解

：因为255,cos31aA==，由（1）得2250bc+=，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，则50502531bc−=，所以312bc=，故()2222503181bcbcbc+=++=+=，所以9bc+=，所以ABC的周长为14abc

++=.28．（2021·全国·高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba=+，2ca=+.．（1）若2sin3sinCA=，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；

若不存在，说明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且2a=.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出23ca=，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出s

inB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C结合三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sin3sinCA=，则()2223caa=+=，则4a=，故5b=，6c=，2221cos28ab

cCab+-==，所以，C为锐角，则237sin1cos8CC=−=，因此，1137157sin452284ABCSabC===△；（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦

定理可得()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++，解得13a−，则0<<3a，由三角形三边关系可得12aaa+++，可得1a，aZ，故

2a=.29．（2021·全国·高考真题）记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=.（1）证明：BDb=；（2）若2ADDC=，求cosABC.【答案】（1）证明见解析；（

2）7cos12ABC=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBDb=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cosABC的值.【详解】（1）设ABC的外接圆半径

为R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR==，因为sinsinBDABCaC=，所以22bcBDaRR=，即BDbac=．又因为2bac=，所以BDb=．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2ADDC=，如图，在ABC中，222cos2abcC

ab+−=，①在BCD△中，222()3cos23babbaC+−=．②由①②得2222223()3babcab+−=+−，整理得22211203abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，解得3ca=或32ca=，当22,33ccabac===时

，333ccabc+=+（舍去）．当2233,22ccabac===时，22233()722cos31222ccABCccc+−==．所以7cos12ABC=．[方法二]：等面积法和三角形相

似如图，已知2ADDC=，则23ABDABCSS=△△，即21221sinsin2332bacADABBC=，而2bac=，即sinsinADBABC=，故有ADBABC=，从而ABDC=．由2bac=，即bcab=，即CABACBBD

=，即ACBABD∽，故ADABABAC=，即23bccb=，又2bac=，所以23ca=，则2227cos212cabABCac+−==．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BDbAC==，再由2ADDC=得21,

33ADbCDb==．在ADB△中，由正弦定理得sinsinADBDABDA=．又ABDC=，所以s3sinn2iCbAb=，化简得2sinsin3CA=．在ABC中，由正弦定理知23ca=，又由2bac=

，所以2223ba=．在ABC中，由余弦定理，得222222242793cos221223aaaacbABCaca+−−+===．故7cos12ABC=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DEAB∥，交BC于点E，则DECABC△∽△．由2ADDC=，得2,,333caaDEECB

E===．在BED中，2222()()33cos2323BEDacbac−=+．在ABC中222cos2aaBCcAbc+−=．因为coscosABCBED=−，所以2222222()()3322233acbacbacac+−+−=−，整理得2226113

0abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，即3ca=或32ac=．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2ADDC=，所以2ADDC=uuuruuur．以向量,BABC为基底，有2133BDBCBA=+．所以22

2441999BDBCBABCBA=++，即222441cos999baccABCa=++，又因为2bac=，所以22944cosacaacABCc=++．③由余弦定理得2222cosbacacABC=+−，所以22

2cosacacacABC=+−④联立③④，得2261130aacc−+=．所以32ac=或13ac=．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，DC长为单位长

度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0DAC−．由（1）知，3BDbAC===，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33Bxyx−，则229xy+=．⑤由2bac=知，2BABCAC=，即2222(

2)(1)9xyxy++−+=．⑥联立⑤⑥解得74x=−或732x=（舍去），29516y=，代入⑥式得36||,||6,32aBCcBAb=====，由余弦定理得2227cos212acbABCac+−==．【整体点

评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是

解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定

理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.