【文档说明】《2023年高中数学学考复习名师精品课堂（人教A版2019，新教材地区）》06第六章 平面向量和复数（解析版）.docx，共(35)页，2.434 MB，由envi的店铺上传

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第六章平面向量和复数6.1平面向量的概念和运算6.2平面向量基本定理及坐标表示6.3平面向量的应用（正弦定理、余弦定理）6.4复数的概念及四则运算6.5平面向量和复数实战6.1平面向量的概念和运算知识回顾1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫

做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量AB或a；模||AB或||a.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作0.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用e表示.特别的：非零向量a的单位向量是||aa.（4）平行向量（共线向量）

：方向相同或相反的非零向量，a与b共线可记为=ab；特别的：0与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=ab.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作=−ab.2、向量的线

性运算（1）向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a，我们规定00aaa+=+=.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作ABa=,BCb=,则向量AC叫做a与b的和,记作ab+,即abA

BBCAC+=+=.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量a,b,作OAa=,OBb=,以OA,OB为邻边作OACB,则以O为起点的向量OC(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和.这种

作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.（2）向量的减法①定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即()abab−=+−.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量a,b,在平面内任取一点O,作OAa=,OBb

=,则向量abBA−=.如图所示如果把两个向量a,b的起点放在一起,则ab−可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.（3）向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运

算叫做向量的数乘,记作a.它的长度与方向规定如下：①||||||aa=②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0=时，0a=.3、共线向量定理①定义：

向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数，ba=.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意0a；特别地，若0ab==，实数仍存在，但不唯一．4、向量的夹角已知两个非零向量a和b，如图所示，作OAa=，OBb=，则AOB=(0)叫做向量a与b的夹角，记作,a

b．(2)范围：夹角的范围是[0,]．当0=时，两向量a，b共线且同向；当2=时，两向量a，b相互垂直，记作ab⊥；当=时，两向量a，b共线但反向．5、数量积的定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积(或内

积)，记作ab，即||||cosabab=，其中θ是a与b的夹角，记作：,ab=．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a=.高频考点1．（2022·天津南开·高二学业考试）如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA

的中点，则下列结论错误的是（）A．DEFC=B．12DFBC=C．DEEFDF+=D．0DEECCF++=【答案】D【详解】A.项DEFC=且利用中位线性质有,DEFC平行故DEFC=B.项12DFBC=，且,DFBC平行故12DFBC=C.项由向量加法运算有DEEFDF+=D.项DEEC

CFDF++=，不成立故选：D2．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，ABAD+=（）A．ABB．ACC．ADD．BD【答案】B【详解】由题意得，ABAD+=AC.故选：B.3．（2022·福建·高二学业考试）ABBDAC+−=A．ACB．CDC．ABD．DB【答案】B

【详解】依题意ABACBDCBBDCD−+=+=，故选B.4．（2022·广西·高二学业考试）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量AB相等的向量是（）A．BCB．EDC．AFD．CD【答案】B【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与AB方向相同的只有ED；而

BC,AF,CD与AB长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；故选：B5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量12ABAD+=（）A．AEB．ACC．DCD．AB【答案】A【详解】因为在矩形ABCD中，E为CD中点，所

以1122DEDCAB==，所以12ABADDEADAE+=+=，故选：A6．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知3a=，2b=，若a与b夹角的大小为60°，则ab=（）A．33B．3C．33−

D．3−【答案】B【详解】1cos,3232ababab===故选：B7．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）在ABC中，0ABBC=，ABC为（）A．直角三角形B．锐角三

角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A【详解】解：因为0ABBC=，所以ABBC⊥，则在ABC中，ABBC⊥，90B=，所以ABC为直角三角形.故选：A.8．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业

考试）设a，b都是非零向量，||||abab=成立的充分条件是（）A．ab=−B．2ab=C．//abD．//ab且||||ab=【答案】B【详解】解：因为||aa表示与a同向的单位向量，||bb表示与b同向的单位向量，所以要使||||abab=成立，即a、b方向上

的单位向量相等，则必需保证a、b的方向相同，故||||abab=成立的充分条件可以是2ab=；故选：B．9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知1a=，2b=，()aba+⊥，则a与b的夹角余弦值大小为（）A．12B．32C．32−D

．12−【答案】D【详解】由()aba+⊥，且1a=，得()210abaaabab+=+=+=，即1ab=−，又2b=，故11cos,122ababab−===−，故选：D.10．（2022·浙江·高二学业考试）已知AB，AC是非零

向量且满足()2ABACAB−⊥，()2ACABAC−⊥，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【详解】AB、AC是非零向量且满足(2)ABACAB−⊥，(2)ACABAC−⊥，(2)(2)0ABACABACABAC−=−=，

22||||2||||cosABACABACBAC==，||||ABAC=，60BAC=．ABC是等边三角形，故选：B11．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）设ab，是非零向量，则“||abab=−+”是“a与b共线”的

（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为||abab=−+，则()22||abab=+−，则()22()abab=+−，则22222cos<,>+2+aababbaabb−=+，所以

cos<,>1ab=−，所以<,>ab=，所以,ab共线；但若a与b共线也可能是同向共线，例如当它们方向一致大小相同时，有||=0=0ab−，而此时0ab+，所以“||abab=−+”是“a与b共线”的充分不必要条件.故选：A.12．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学

业考试）已知等腰RtABC△的直角边长为1，E为斜边BC上一动点，则ABBE+的最小值为（）A．22B．12C．1D．2【答案】A【详解】ABBEAE+=，显然当E为斜边BC中点时，AEBC⊥，此时AE最小为222BC=，即ABBE+的最小值为22

.故选：A.13．（2022·浙江·高三学业考试）已知单位向量12,ee不共线，且向量a满足1||.4a=若121|(1)|4aee−+−对任意实数λ都成立，则向量12,ee夹角的最大值是（）A．2B．23C．34D．56【答案】B【详解】设向量12

,ee夹角为，设向量a与21(1)ee−−的夹角为，222221(1)(1)2(1)cos2212(1)cosee−−=−−−+=−+−−，由121|(1)|4aee−+−，得2221211

2(1)(1)16aaeeee+−−+−−，所以221211(1)cos(1)02eeee−−+−−，所以211(1)cos2ee−−−，所以21max1(1)c

os2ee−−−所以211(1)2ee−−，所以212212(1)cos4−+−−对任意实数λ都成立，即23(22cos)(2cos2)04−+−+恒成立，当22cos0−=，即cos1=，得0=，上式恒成立，当22cos0−

时，即cos1，2(2cos2)3(22cos)0=−−−，(cos1)(2cos1)0−+，所以得1cos12−，因为[0,]，所以203综上，203，所以向量12,ee夹角的最大值是23，故选：B14．（2022·浙江·高三学业考试）已知12,

ee为平面内两个不共线的向量，121223,6MNeeNPee=−=+，若M，N，P三点共线，则λ=________.【答案】-4【详解】因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得MN=kNP，所以121223(6)eekee

−=+，又1e，2e为平面内两个不共线的向量，可得236kk=−=，解得λ=-4.故答案为：-415．（2022·天津南开·高二学业考试）已知||2,||3,||19abab==+=，则||ab−=rr____

______．【答案】7【详解】解：因为||2,||3,||19abab==+=，所以2||19ab+=，即22219aabb++=，即22219aabb++=，所以2222319ab++=，解得3ab

=；所以()222||2ababaabb−=−=−+rrrrrrrr222aabb=−+rrrr2272233−+==故答案为：716．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知向量,ab满足2,4ab==，且向量b

在向量a上的投影向量为12a−，则2ab+=__________.【答案】215【详解】解：设向量,ab的夹角为，因为向量b在向量a上的投影向量为12a−，所以1cos2abaa=−，又2,4ab==，解得：1cos4=−，因为()22

222244684cos60ababaabbab+=+=++=+=，所以2152ab+=.故答案为：215.17．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知,,abc是平面向量，a与c是单位向量，且,2ac=，若28150b

bc−+=，则ab−rr的最小值为_____________．【答案】171−【详解】如下图所示，设35=====OAaOBbOCcODcOEc，，，，28150−+=bbc且1ac==228150−+=bbcc()()350−−=bcbc()()35−⊥−bcbc35=

−=−DBbcEBbc，点B在以F为圆心，DE为直径的圆上又=−BAab当点B为圆F和线段FA的交点的时候，BAab=−最短22411171−=+−=−ab故答案为：171−6.2平面向量基本定理及坐标表示知识回顾1、平面向量的基本定理（1）定理：如果12,ee是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12，，使1122aee=+.（2）基底：不共线的向量12,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即0不能作为基底；（2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3）a用基底12,ee两种表示，即11

221122=aeeee=++，则1122==，进而求参数.2平面向量的坐标运算（1）向量加减：若()()1122,,,axybxy==，则()1212,abxxyy=；（2）数乘向量：若(),axy=，则(),

axy=；（3）任一向量：设()()1122,,,AxyBxy==，则2121()ABxxyy＝－，－.3、平面向量共线的坐标表示若()()1122,,,axybxy==，则ab的充要条件为12210xyxy−=4、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量11

22(,),(,)xyxy==ab，为向量a和b的夹角：（1）数量积1212||||cosababxxyy==+（2）模：2211||aaxy==+a（3）夹角：121222221122cos||||xxyyababxyxy+==++（4）非零向量ab⊥的充要条

件：121200abxxyy=+=高频考点1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知向量()4,3a=−，()5,12b=，则2abb−等于（）A．52B．3−C．10−D．3【答案】C【详解】由题意得，222||=45+31225+12=1

626=10abb−−−−−.故选：C2．（2022·贵州·高二学业考试）已知向量()()2,1,0,1ab==，则ab−=（）A．（2，0）B．（0，1）C．（2，1）D．（4，1）【答案】A【详解】因为()()2,1,0,1ab==，所以(

2,0)ab−=，故选：A3．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知向量(2,1)(2,4)ab==−，，则ab−rr（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【详解】因为()()()2,12,44,3

ab−=−−=−，所以()22435−=+−=ab.故选：D4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知向量(2,),(4,2)amb==−．若//ab，则实数m的值为（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】B【详解】解：因为//ab，所以2240m+=，解得1

m=−.故选：B.5．（2022·四川·高三学业考试）已知向量(1,2),(,2)abx==−，且ab⊥rr，则实数x的值为（）A．4B．1C．－1D．－4【答案】A【详解】因为ab⊥rr，所以0ab=，即40x−=，所

以4x=.故选：A.6．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）已知向量()1,1AB=，()2,1BC=−，则AC=（）A．5B．5C．3D．3【答案】B【详解】(1,1)(2,1)(1,2)ACABBC=+=+−=−，()22125AC=−+=．故选：B．7．（2022·浙江

·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知()1,2a=，()1,2b=−，则a在b上的投影向量为（）A．36,55−B．36,55−C．36,55−−D．36,55

【答案】A【详解】1(1)223ab=−+=，5b=，a在b上的投影向量为336(,)555abbbbb==−．故选：A．8．（2022·湖北·高二学业考试）已知平面向量()2,1a=−r，(

)3,1bxx=+，若ab⊥，则x的值为（）A．13−B．15C．32D．25【答案】B【详解】解：因为()2,1a=−r，()3,1bxx=+且ab⊥，所以()()23110abxx=−++=，解得15x=；故选：B9．（2022·浙

江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）在矩形ABCD中，2AB=，1BC=，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则DEDF的取值范围是（）A．2,4B．2,3C．3,4D．1,4【答

案】B【详解】以A为坐标原点，,ABAD正方向为,xy轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()0,1D，()1,0E，设()()2,01Fmm，()1,1DE=−，()2,1DFm=−，213DEDFmm=−+=−，01m，233m−，即DEDF的取值范围

为2,3.故选：B.10．（多选）（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知平面向量()()2,1,4,8ab=−=，则（）A．//abB．ab⊥C．()2,9ab+=D．()6,7ab−=−−【答案

】BCD【详解】由题设，()()2,14,824180ab=−=−+=，故ab⊥，A错误，B正确；()()2,14,8(2,9)ab+=−+=，C正确；()()2,14,8(6,7)ab−=−−=−−，D正确.故选：BCD6.

3平面向量的应用（正弦定理、余弦定理）知识回顾1、正弦定理（1）正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a，b及c，则有sin

sinsinabcABC==（2）正弦定理的推广及常用变形公式在ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a，b及c，其外接圆半径为R，则①2sinsinsinabcRABC===②sinsinaBbA=；sinsinbCc

B=；sinsinaCcA=；③sin:sin:sin::ABCabc=④2sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabcabacbcRABCABCABACBC+++++=======+++++⑤2sinaRA=，2sinbRB=，2sincRC=（可

实现边到角的转化）⑥sin2aAR=，sin2bBR=，sin2cCR=（可实现角到边的转化）2、余弦定理（1）余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹

角的余弦的积的两倍.②符号语言：在ABC中，内角,,ABC，所对的边分别是,,abc,则：2222cosabcbcA=+−；2222cosbacacB=+−2222coscababC=+−（2）余弦

定理的推论222cos2bcaAbc+−=；222cos2acbBac+−=；222cos2abcCab+−=3、三角形常用面积公式①12S=底高；②111=sinsinsin222SabCacBbcA==；③1()2Sabcr=++（其中，,,abc是三角形ABC的各边

长，r是三角形ABC的内切圆半径）；④4abcSR=(其中，,,abc是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径).高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若120A=o，2bc

==，则=a（）A．2B．3C．2D．23【答案】D【详解】由120A=o，2bc==，可得30BC==，由正弦定理可得sinsinabAB=，即sin23sin==bAaB.故选：D.2．（2022·天津红桥·高二学业考试）在ABC中，若1

AB=，2AC=，2π3A=，则BC=（）A．3B．5C．7D．22【答案】C【详解】解：因为1AB=，2AC=，2π3A=，所以22212cos1421272BCABACABBCA=+−=+−−=，所以7BC=.故选：C.3．（2022·浙江·高三学业考试）在ABC中，

角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3π4A=，1b=，2c=，则=a（）A．2B．5C．6D．7【答案】B【详解】由余弦定理可得，()222222cos312212cos4325abcbcA=+−=+−=+=，所以5a=.故选：B.4．（2022·天津南开·高

二学业考试）在ABC中，2,2,,4abA===则B=A．3B．6C．6或56D．3或23【答案】B【详解】由正弦定理可知2sin12,sin2sinsin22abABbABa====，,,6baBAB=，故选B

.5．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2sinaBb=，则2222bcabc+−=（）A．32B．32C．12D．12【答案】B【详解】由正弦定理可知，2sinsinsinABB=，易知sin0B，则1sin=2A，而

0A，则6A=或56，再由余弦定理可得2223cos22bcaAbc+−==或32−.故选：B.6．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的

仰角45,MANC=点的仰角30CAB=以及75MAC=；从C点测得60MCA=．已知山高100mBC=，则山高MN=（）A．1003mB．150mC．200m3D．100m【答案】A【详解】在RtABC中，30,100mCAB

BC==，所以200mAC=．在AMC中，75,60MACMCA==，从而45AMC=，由正弦定理得，sin45sin60ACAM=，因此1006mAM=．在RtMNA△中，()245,sin4510061003m2MA

NMNAM====故选：A．7．（2022·湖南娄底·高二学业考试）在ABC中，已知2AC=，4BC=，1cos4C=，则ABC的面积为（）A．154B．1C．15D．215【答案】C【详解】1cos4C=215sin1cos4CC=−=所以1115sin4215224ABC

SabC===故选：C8．（2022·浙江·高三学业考试）在RtABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC外一点，点P满足1()2OPOAABAC=++，则||AP等于（）A．2B．1C．12D．4【答案】B【详解】解：1()2OPOAABAC=++，1()2OPOAAB

AC−=+，1()2APABAC=+，AP为RtABC斜边BC的中线，||1AP=．故选：B．9．（2022·重庆·高一学业考试）小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取

相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得120BCD=，则教学楼AB的高度是（）A．20米B．25米C．153米D．202米【答案】B【详解】设A

Bx=，在直角三角形ABCABD、中，,3tan30oABBCABxBDx====，在三角形BCD中，2222cos120oBDBCCDBCCD=+−，即22213252252xxx=+−−，解得122525,2xx==−（

舍）.故选：B.10．（2022·天津河东·高二学业考试）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得15BCD=，135BDC=，20mCD=，在点C测得

塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（）A．30mB．202mC．203mD．206m【答案】D【详解】由题设知：AB⊥BC，又18030DBCBDCBCD=−−=，△BCD中sinsinBCDCBDCDBC=，可得202BC=m，在Rt△ABC中，tan3AB

ACBBC==，则206AB=m.故选：D11．（多选）（2022·重庆·高一学业考试）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列四个命题中，正确的命题为（）A．若::2:2:3abc=，则45A=oB．若::1:2:3ABC=，则::1:3:2

abc=C．若AB，则sinsinABD．若30,3,4Aab===o，则这个三角形有两解【答案】BCD【详解】对于A，因为::2:2:3abc=，则22249432cos222342bcaAbc+−+−===所以45A，故A错误;

对于B,若::1:2:3ABC=，又ABC++=，则6A=，3B=，2C=则13::sin:sin:sin::11:3:222abcABC===，故B正确;对于C，若AB，则ab由正弦定理可得2sin2sin

RARB（R为ABC的外接圆半径）所以sinsinAB，故C正确;对于D,由正弦定理得341sin2B=,所以2sin3B=,由ba得BA,所以B为锐角或钝角，有两解，故D正确.故选:BCD12．（2022·福建·高二学业考试）在ABC中，若14,2,cos4abA

===，则c=_____【答案】4【详解】由余弦定理可得222142224cc=+−，即2120cc−−=，()()430cc−+=，因为0c故4c=故答案为：413．（2022·天津南开·高二学业考试）在ABC中，若22,3,45BCACC===，则AB的长为___

_______．【答案】5【详解】解：由余弦定理2222coscababC=+−，即()2222223222352c=+−=，所以5c=故答案为：514．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b

，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=___________.【答案】6【详解】解：因为a=2，A=45°，B=60°，sinsinabAB=，所以32sin26sin22aBbA===.故答案为：6.15．（2022·贵州·高二学业考试）已知ABC的外接圆半径为22，边AB所对圆

心角为3，则ABC面积的最大值为___．【答案】423+【详解】解：如图设ABC外接圆的圆心为O，过点O作⊥ODAB，交AB于点D，依题意22rOAOB===，3AOB=，所以22AB=，226ODOAAD=−=，要使A

BC的面积最大，即C点到AB的距离d最大，显然点C到AB的距离max622dODr=+=+，所以()()max1226224232ABCS=+=+故答案为：423+16．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）在ABC中，已知6BC=，30A=，120B=，则ABC

的面积等于___________.【答案】93【详解】由正弦定理得：36sin2631sin2BCBACA===，又18030CAB=−−=，111sin66393222ABCSBCACC===.故答案为：93.

17．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,,abc2,45,60aAB===，则边c=____________，ABC的面积为__________．【答案】622+334+【详解】由三角形内角和可得75C=，故26sin7

5sin(4530)sin45cos30cos45sin304+=+=+=，根据正弦定理得：622sin624sin222aCcA++===，1162333sin222224ABCSacB++===

，故答案为：622+，334+18．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.【答案】（1）1534；（2）53【详解】（1）

在CBD中，由余弦定理可得22237511cos23714B+−==，则253sin1cos14BB=−=，153153372144CBDS==；（2）在ABC中，由正弦定理得sinsinBCACAB=，即7153214AC=，解得53AC=.19．（2022·重庆·高一学业考

试）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足方程222sinsinsin3sinsinBCABC+−=．(1)求角A的大小；(2)若1,4aB==，求ABC的面积．【答案】(1)6A=(2)134+（1）由正弦定理边角互化可知，2223bcabc+−=，所以2223cos22

bcaAbc+−==，因为()0,A，所以6A=；（2）64C=−−，所以26sinsinsincoscossin6464644C+=+=+=根据正弦定理sinsinabAB=，

得2b=，113sin24ABCSabC+==.20．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，3ACDC=.(1)若30DAC=，求角ADC的大小；(2)若2BDDC=，且1DC

=，求AD的长.【答案】(1)120(2)2(1)在ADC中，由正弦定理得sinsinACDCADCDAC=，所以，sin13sin322ACDACADCDC===又(90)6060ADCBBADBDACB=+=+−=+所以，120ADC=.(2)由2B

DDC=，且1DC=知：3,3BCAC==所以，直角三角形ABC中，3cos3ACCBC==在ADC中，由余弦定理得222232cos(3)123123ADACDCACDCC=+−=+−=所以，2

AD=.21．（2022·湖南娄底·高二学业考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sinAcosBba=．（1）求角B；（2）若3b=，sinC3sinA=，求a，c．【答案】（1）6B=；（2）3,3

3ac==.【详解】（1）在ABC中，由正弦定理sinsinabAB=，得3sinsinsincosBAAB=．又因为在ABC中sin0A．所以3sincosBB=．法一：因为0B，所以sin0B，因而cos0B．所以sin

3tancos3BBB==，所以6B=．法二：3sincos0BB−=即2sin06B−=，所以()6BkkZ−=，因为0B，所以6B=．（2）由正弦定理得sinsinacAC=，而sin3sinCA=，所以3ca=，①由余弦定理2

222cosbacacB=+−，得2292cos6acac=+−，即2239acac+−=，②把①代入②得3,33ac==.22．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2coscoscosaCbC

cB=+.(1)求角C的大小；(2)设23c=，从下面两个条件中选择一个，求ABC的周长.①2sinsin2AB−=；②ABC的面积为3.【答案】(1)π3C=(2)选条件①2623+，选条件②2623+（1）由2coscoscosaCbCcB=+可得2sincos

sincossincosACBCCB=+,即2sincossin()sinACBCA=+=，由于(0,π)A,故1cos2C=，而(0,π)C，故π3C=；（2）选①2sinsin2AB−=，234sinsinsin32ab

cABC====，2sinsin42abAB−−==，所以22ab−=，22212()2121cos,4222abababCababab+−−+−====，故22()()424,26abababab+=−+=+=，故ABC的周长为2623abc++=+.选②ABC的面积为3，则1sin32

ABCSabC==△,则4ab=，2222121cos,1622abCabab+−==+=，故2()24,26abab+=+=，故ABC的周长为2623abc++=+.23．（2022·重庆·高一学业考试）某市为应急处

理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为2百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心O处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心O正东方向相距4百米的点A处安

装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及圆弧外的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足,90ABACBAC==.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”：OC的长为“最远直接监测距离”.设AOB=.(1)求“直接监测覆盖区域”的面积的最大值：(

2)试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大.【答案】(1)4510+(2)421+（1）在OAB中,,2,4AOBOBOA===2222cosABOBOAOBOAAOB=+−,即2016cosAB=−211sin22OAOBCBAABCSSSOA

OBAB=+=+△△4sin8cos10OACBS=−+令tan2=,则()45sin10OACBS=−+“直接监测覆盖区域”的面积的最大值:4510+（2）以O点为坐标原点,以OA方向为x轴正方向,以垂直于OA的正北方向为y轴正方向,建立直角坐标系如图:则()0,0

O,()cos,sinB,()4,0A，设点(),Cxy,由题意有:1ABACABACkk==−，即()()222244cossinsin14cos4xyyx−+=−+=−−−解得:4sin4co

sxy=+=−，()()224sin4cos338sin8cos3382sin4OC=++−=+−=+−当sin14−=，即34=时,OC取得最大值:max||3382OC=+，()()222max||3382

4224211421421OC=+=++=+=+当34=时,使得"最远直接监测距离"最大为:421+6.4复数的概念及四则运算知识回顾1、复数的概念我们把形如,,abiabR+的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足21i=−.全体复数所构成的集合{|,}Cab

iabR=+叫做复数集.复数的表示:复数通常用字母z表示,即,,zabiabR=+,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.2、复数相等在复数集{|,}CabiabR=+中任取两个数abi+，cdi+，（,,,abcdR），我们规定acabicdibd=+=+=.3、复数的分类对

于复数abi+(,abR),当且仅当0b=时,它是实数；当且仅当0ab==时,它是实数0；当0b时,它叫做虚数；当0a=且0b时,它叫做纯虚数.这样,复数zabi=+(,abR)可以分类如下:

0)000baba==实数（复数纯虚数()虚数（）非纯虚数（）4、复数的几何意义（1）复数的几何意义——与点对应复数的几何意义1：复数zabi=+(,abR)复平面内的点(,)Zab（2）复数的几何意义——与向量对应复数的几何意

义2：复数zabi=+(,abR)平面向量(,)OZab=5、复数的模向量OZ的模叫做复数zabi=+,abR)的模，记为||z或||abi+公式：22||||zabiab=+=+，其中,abR复数模的几何意义：复数zabi=+在复平面上对应的点(,)Zab到原

点的距离；特别的，0b=时，复数zabi=+是一个实数，它的模就等于||a(a的绝对值).6、共轭复数（1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭

虚数.（2）表示方法表示方法：复数z的共轭复数用z表示，即如果zabi=+，则zabi=−.7、复数的四则运算（1）复数的加法法则设1izab=+，2izcd=+，（,,,abcdR）是任意两个复数，那么它们的和：12(i)(i)()()

izzabcdaccd+=+++=+++（2）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：()()cdixyiabi+++=+的复数xyi+叫做复数abi+减去复数cdi+的差，

记作()()abicdi+−+（3）复数的乘法法则我们规定，复数乘法法则如下：设1zabi=+,2zcdi=+是任意两个复数，那么它们的乘积为212()()()()zzabicdiacadibcibdiacbdadbci=++=+++=−++，即()()()()abicdiac

bdadbci++=−++（4）复数的除法法则222222()()()()()()()()abiabicdiacbdbcadiacbdbcadabicdiicdicdicdicdcdcd++−++−+−++====+++−+++（

0cdi+）高频考点1．（2022·天津南开·高二学业考试）设C为复数集，若Cx，且i(1i)(i1)x+=−（i为虚数单位），则x=（）．A．1B．1i+C．4D．1i−【答案】A【详解】解：因为i(1i)(i1)x+=−，所以1i(i1)x

−+=−，所以1i11ix−+==−+；故选：A2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）()()2i12i−+=（）A．43i+B．3iC．43i−D．2i−【答案】A【详解】()()22i12i24ii2i43i−+=+−−=+.故选：A.3．（2022·浙江·诸

暨市教育研究中心高二学业考试）复数2i1iz−=+,则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．(1,2)B．(2,1)−C．31,22D．13,22−【答案】D【详解】由题意得，()()()()2i1i2i13i13i1i

1i1i222z−−−−====−++−，因此z对应的点的坐标为13,22−.故选：D.4．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）复数13ii=+（）A．311010i−B．311010i+C．1

31010i−D．131010i+【答案】B【详解】因为复数()()()13131313iiiiii−=++−331101010ii+==+.故选：B5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知复数z满足()1i13iz−=+，则复数z

的模z为（）A．5B．2C．3D．2【答案】A【详解】()()()13i13i1i12i1i2z+++===−+−，故5z=，故选：A.6．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）若复数z满足(1)2zii−=，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为iB．z的共轭复数为1zi=−+C．z对应的点

在第二象限D．2z=【答案】C【详解】∵复数z满足()12zii−=，∴()()()1121ziiii−+=+，化为：1zi=−+.∴z的虚部为1，1zi=−−，z对应的点()1,1−在第二象限，2z=

.故选：C.7．（多选）（2022·重庆·高一学业考试）若1i1iz+=−，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为iB．1zz=C．12z−=D．23411zzzz++++=【答案】BD【详解】()()()221i1i12iii1i1i1i2z++++====−−+

，对于A，复数z的虚部为1，所以A错误，对于B，2i(i)i1zz=−=−=，所以B正确，对于C，221i1(1)12z−=−=−+=，所以C错误，对于D，23423411iiii1i1i11zzzz+

+++=++++=+−−+=，所以D正确，故选：BD8．（2022·天津红桥·高二学业考试）若i是虚数单位，则复数1i1i+=−______.【答案】i【详解】解：()()()()1i1i1ii1i1i1

i+++==−−+.故答案为：i.9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知,Rab，复数iza=+且1i1izb=−−(i为虚数单位)，则复数z的模为____．【答案】10【详解】因为iza=+，所以i1i1i1izab+==−−−，所以()()

()()i1i1i11iabbb+=−−=−−+，所以111abb=−=−−，解得32ab==−，所以3iz=+所以10z=，故答案为：1010．（2022·天津南开·高二学业考试）已知复数()2i,1izzbbR−=+是

实数，i是虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数2()mz+所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）2iz=−；（2）(),2−−．【详解】（1）∵izb=()bR，∴()()()()i21i2i222i1i

1i1i1i22bzbbb−−−−−+===++++−，又21iz−+是实数，∴202b+=，得2b=−.∴复数2iz=−.（2）由（1）得2iz=−，mR，∴()()()2222i44imzmmm+=−=−−，∵复数()2mz+所表示的点在第一象限，∴24040mm−−，得2m−

.∴实数m的取值范围是(),2−−.6.5平面向量和复数实战一、单选题1．设2i1iz+=−，则z的共轭复数的虚部为（）A．32B．3i2C．32−D．3i2−【答案】C【详解】因为()()()()2i1i2i13i13i1i1

i1i222z++++====+−−+，所以13i22z=−，所以z的虚部为32−，故选：C2．已知向量()1,1a=r，()1,2b=−r，则ab+=（）A．()0,3B．()2,1−C．()1,0D．1【答案】A【详解】解：因为()1,1a=r，()1,

2b=−r，所以()()()1,11,20,3ab+=+−=；故选：A3．ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若21,2,sin3cbA===则ABC的面积为（）A．13B．12C．22D．2【答案】A【详解】由三角形面积公式知：1121s

in212233ABCSbcA===.故选：A4．已知向量a和b的夹角为60，||2,||3ab==，则ab=（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【详解】由1cos602332abab==

=故选：D5．已知向量,ab，1a=，2b=，3ab=，则,ab=（）A．0B．π6C．π4D．π2【答案】B【详解】∵1a=，2b=，3ab=，∴3cos2ababab==，∵向量夹角的范围是0,，∴,ab6

=.故选：B.6．已知向量()1,2a=−，(),1bm=−，若()Rab=，则m=（）A．-2B．12−C．12D．2【答案】C【详解】因为向量()1,2a=−，(),1bm=−，()Rab=，所以()()1,2,1m−=−，所以1

,2,m−==−所以12m=．故选：C7．某人从出发点A向正东走mx后到B，然后向左转150°再向前走3m到C，测得ABC的面积为233m4，此人这时离出发点的距离为（）A．3mB．2mC．23mD．3m【答案】D【详解】如图，由题意可得30ABC=，因为A

BC的面积为233m4，3mBC=，mABx=，所以1333sin244ABCSABBCABCx===，解得3x=，由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC=+−33923332=+−=，所以3mAC=，故选：

D8．已知1ab==rr，向量a与b的夹角为60，则34ab−=（）A．5B．19C．32D．13【答案】D【详解】∵1ab==rr，向量a与b的夹角为60∴1cos602abab==∴()22234349241691216

13ababaabb−=−=−+=−+=故选：D.9．若平面上有A，B，C，D四点，且满足任意三点不共线，现已知36ABACAD+=，则ABDABCSS=（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【详解】令6AFAC=，3AEAB=，根据向量的加法的平行四边形法则

，作出如图所示平行四边形，作CGAE⊥于G，FHAE⊥于H，由6AFAC=，所以6FHCG=，所以12612ABDABCABFHSSABCG==，故选：D10．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，60BAC=，则AD的最大值为（）A．232

+B．4C．31+D．2【答案】A【详解】因为24BDDC==，所以6BC=，在ABC中，由正弦定理可得643sinsin32ABBCCBAC===，则43sinABC=，在ABD△中，由余弦定理得2222cosADABBDABBDB

=+−248sin16243sin4cosCCB=+−()248sin16323sincosCCAC=+++21348sin16323sincossin22CCCC=++−163sincos1683sin216CCC=+=+，因为0120C，所以02240C

，则当290C=，即45C=时，AD取得最大值为()28316232232+=+=+.故选：A.二、多选题11．已知向量()1,3a=，()1,3b=−−，则（）A．ab＞B．abC．ab=rrD．//abrr【答案】

CD【详解】解：132a=+=，132b=+=，所以ab=rr，因为()()13310−−−=，所以//abrr.故选：CD.三、填空题12．已知向量(2,1)a=−，(,)bmm=，若()aab⊥+，则实数m=_______.【答案】5【

详解】因为向量(2,1)a=−，(,)bmm=，所以()2,1abmm+=−+，因为()aab⊥+，所以()()()22110mm−−++=，解得5m=，故答案为：513．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若4A=，5a=，2b=，则A

BC的面积等于__________．【答案】32##1.5【详解】由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，所以2522cc=+−，所以3c=或1c=−（舍去），所以13sin22ABCSbcA==△．故答案为：32.四、解答题14．已知向量()3,4AB=,(

)5,CDy=.(1)求AB；(2)当ABCD⊥uuuruuur时，求y的值.【答案】(1)5；(2)154−.(1)9165AB=+=(2)若ABCD⊥uuuruuur，则3540ABCDy=+=，解得：154y=−15．在ABC中，∠A，∠B，∠C所

对的边分别为a，b，c，若o160sin82ABb===，，.(1)求a；(2)求ABC的面积.【答案】(1)83；(2)323.(1)o160sin82ABb===，，由正弦定理，sin83sinbaAB==，83a=(2)

由（1）知，83a=由余弦定理，2222212cos8161922abcbcAcc=+−=+−=解得c=16或8−（舍去），则1sin3232ABCSacB==ABC的面积是32316．已知,,ABC为ABC的三内角，且其对边分别为,,abc，若()cos

2cos0aCcbA++=.（1）求A；（2）若23a=，4bc+=，求ABC的面积.【答案】（1）23；（2）3.【详解】解：（1）∵()cos2cos0aCcbA++=，∴由正弦定理可得：()sincossin2

sincos0ACCBA++=，整理得sincossincos2sincos0ACCABA++=，即：()sin2sincos0ACBA++=，所以sin2sincos0BBA+=，∵sin0B，∴1co

s2A=−，∵()0,A，∴23A=.（2）由23a=，4bc+=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，∴2212()22cos3bcbcbc=+−−，即有1216bc=−，∴4bc=，∴ABC的面积为112sin4si

n3223SbcA===.