【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练2 Word版含解析.docx，共(13)页，1.214 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三数学复习小题精练（2）一、单选题1．已知集合22|log(24)0,|21,xAxxxByyx=−++==，则AB=（）A．()2,3B．()0,2C．()1,2−D．(),3−2．已知复数()()1

izaaa=+−R，则“1z=”是“0a=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“

”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（）A．164B．1564C．516D．384．已知函数π(),0()4sin,0fxtxfxxx−+=，满足π12f=，则实数t的值为（）A

．14B．12C．1D．25．已知ABCV的外接圆圆心为O，且2,AOABACOAAB=+=，则向量BA在向量BC上的投影向量为（）A．34BCB．14BCC．34BC−D．14BC−6．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提

供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n

次分形”（*Nn）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（）（取lg30.4771，lg20.3010）A．9B．10C．11D．127．已知四棱锥PABCD−的各顶点在同一球面上，若2224ADABBCCD====，PAB为

正三角形，且面PAB⊥面ABCD，则该球的表面积为（）A．13π3B．16πC．52π3D．20π8．已知()fx为定义在R上且不恒为零的函数，若对,xyR，都有()()()fxyxfyyfx=+成立

，则下列说法中正确的有（）个．①()()010ff==；②若当1x时，()0fx，则函数()()fxgxx=在()0,+单调递增；③对*nN，()()1nnfxnxfx−=；④若1122f=−

，则()1222innifi==−.A．1B．2C．3D．4二、多选题9．已知函数()()ππ3sin222fxx=+−的图象关于直线5π12x=对称，则下列说法正确的是（）A．π6=−B．7π12fx−为偶函数C．()fx在ππ,42上单调

递增D．若()()126fxfx−=，则12xx−的最小值为π210．过点(35,4)向抛物线28xy=作两条切线，切点分别为()()1122,,,AxyBxyF、为抛物线的焦点，则（）A．1265xx+=−B．1232xx=C．||

||49AFBF=D．||||18AFBF+=11．如图1，将三棱锥型礼盒ABCD−的打结点P解开，其平面展开图为矩形，如图2，其中A，B，C，D分别为矩形各边的中点，则在图1中（）A．ACBD=B．ADBC⊥C．AC⊥平面BDPD．三棱锥ABCD−外

接球的表面积为5π三、填空题12．在正项等比数列na中，13516,12aaa=+=，则242naaa的最大值为．13．在锐角ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量()sin,3mA=，()

,2nab=．若mn∥，则sinsinsinABC++的取值范围是．14．椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，过1F且斜率为37−的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若1122()0F

AFFAF+=，则C的离心率为.参考答案1．A【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】由222log(24)0241xxxx−++−++，得13x−，则(1,3)A=−，当1x时，22x，则(2,)B=+，所以(2

,3)AB=.故选：A2．B【分析】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可．【详解】因为()()1izaaa=+−R，且()2211zaa=++=，整理得20aa+=，解得0a=或1a=−，即1z=等价于0a=或1a=−，且0是

0,1的真子集，所以“1z=”是“0a=”的必要不充分条件.故选：B．3．B【分析】先计算出“重卦”的种数，然后再计算出恰有2个阴爻的种数，根据比值求解出结果.【详解】所有“重卦”共有62种，恰有2个阴爻的情况有26C种，所以

该重卦恰有2个阴爻的概率为266C15264p==.故选：B.4．B【分析】将x的值依次代入解析式，解出t的值即可求解.【详解】()ππππππ2021224444fftftftft=−+=+=−+=+=

，即sin021t+=，则12t=.故选：B.5．B【分析】由2AOABAC=+，得O是BC中点，从而得出=60B，30C=，作AHBC⊥于H，BH即为向量BA在向量BC上的投影向量，设ABa=，

求出BH，|BC后可得结论．【详解】因为2AOABAC=+，所以O是BC中点，则BC是圆O直径，90BAC=，又||||OAAB=，所以OAB△是等边三角形，=60B，30C=设ABa=，则2BCa=，作AHBC⊥于H，

则=30BAH，所以122aBHAB==，BH即为向量BA在向量BC上的投影向量，14BHBC=．故选：B．6．C【分析】从条件中分析出线段长度的变化规律，得到“n次分形”后折线的长度，进而建立不等式解得答案即可.

【详解】图1线段长度为1，图2线段长度为43，图3线段长度为243，…，“n次分形”后线段长度为43n，所以要得到一个长度不小于20的分形图，只需满足4203n，则4lglg201lg23n=+，即得()2lg2lg31l

g2n−+，解得1lg210.301010.422lg2lg30.60200.4771n++−−，所以至少需要11次分形.故选：C.7．C【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O到四棱锥所有顶点距离相等；根

据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD的中点E，取AB的中点G，连接EG、PG，在线段PG上取一点F，使13FGPG=，过点E作平面ABCD的垂线OE，使OEFG=，连接OF，易知四边形ABCD是等腰梯形

，ABE、BCE、CDE均为等边三角形，所以2AEBECEDE====，因为OE⊥平面ABCD，所以90OEAOEBOECOED====，所以OAOBOCOD===，因为PAB为正三角形，G为A

B的中点，所以PGAB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PG平面PAB，所以PG⊥平面ABCD，因为OE⊥平面ABCD，所以//PGOE，即//FGOE又因为OEFG=，所以四边形OEGF为平行四边形，所以//OFEG，因为A

BE为正三角形，G为AB的中点，所以EGAB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，EG平面ABCD，所以EG⊥平面PAB，所以OF⊥平面PAB，又因为F是ABP的外心，所以FAFB

FP==，所以OAOBOP==，所以O即为四棱锥外接球的球心，因为1333OEFGPG===，2AE=，所以2222339233ROAOEAE==+=+=所以2239524π4π()π33SR===，故选：C.8．C【分析】①利用赋值法，令0

xy==即可得证，所以①正确.②根据题意()()()gxygxgy=+，取()120,xx+，()()2221111xxgxgxgxgxx==+，所以()()212212110xfxxgxgxgxxx−

==，所以②正确.③0x=时由①可得③成立；当0x时，由②得()()()1nngxgxgx−=+，利用累加法得()()ngxngx=，因此()()nnfxfxnxx=，所以()()1nnfxnxfx−=，所以③正确．④令12x=，2y=，()()11221022fff+=

=，因为1122f=−，所以得()22f=，所以由③()22nnfn=，利用等比数列的求和公式，得()11222iinnfi=+=−，所以④错误．【详解】令0xy==有()00f=，令1xy==有.所以①正确.120xx，因为()()fxgxx=，所以()()()

()()()()()fxyxfyyfxfxfygxygxgyxyxyxy+===+=+，所以()()2221111xxgxgxgxgxx==+，又因为211xx，且当1x时，()0fx，所以()()212212110xfxxgxg

xgxxx−==.所以②正确.当0x=时由①可得③成立；当0x时，由②得()()()1nngxgxgx−=+，所以()()()1nngxgxgx−=−，所以()()()()()112nnnngxgxgxgxgx−−−=−=−

=……()()2gxgx=−，累加得()()()()()1ngxgxngxngx=+−=，即()()nnfxfxnxx=，所以()()1nnfxnxfx−=，所以③正确．令12x=，2y=，由①得()()11221022fff+==，又因为1122f

=−，所以()22f=，由③得()()1nnfxxfxn−=，所以()()12222nnnffn−==，所以()1112312222222......22212iniiinnnnfi+==+−==++++==−−，所以④错误．

故选：C9．BD【分析】利用对称轴5π12x=，结合ππ22−，可解得=3−；有了具体的解析式()π3sin23fxx=−，就可以得7π3cos212fxx−=，从而判断选项B是正确的；利用相位π2π

2,363x−，可判断正弦函数在此区间不单调；利用()3,3fx−可确定()()126fxfx−=时，一定是相邻的两个最值点取到等号，即为半个周期，可确定D是正确的.【详解】由函数()(

)ππ3sin222fxx=+−的图象关于直线5π12x=对称可得：52=122k++，解得：=,Z3kk−+，又因为ππ22−，所以0,=3k=−，即选项A是错误的；此时()π3sin23fxx=−，则7π7π3π3sin23si

n23cos2121232fxxxx−=−−=−=为偶函数，所以选项B是正确的；当ππ,42x，π2π2,363x−，此时正弦函数sinyx=在区间π2π,63上不单

调，所以选项C也是错误的；因为()π3sin23fxx=−，所以()3,3fx−，而()()126fxfx−=，则12xx−的最小值就是半个周期，即2，所以选项D是正确的.故选：BD.10．BC【分析】设，利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦达

定理判断AB，根据焦半径公式化简求解判断CD.【详解】设点(35,4)为点P，抛物线的方程为28xy=，即218yx=，则14yx=,设，则切线PA，PB的斜率分别为1211,44xx，切线方程分别为()()11122211,44yyxxxyyxxx−=−−=−，将P

的坐标及22112211,88yxyx==代入，并整理得22112265320,65320xxxx−+=−+=，可得12,xx为方程2x65320x−+=的两个实数根，由韦达定理得121232,65xxxx=+=，故A错误，B正确；()()()()()222

222121212121211111222248864464AFBFyyxxxxxxxx=++=++=+++=+()22212121112432(65)2324494644xx

xx+−+=+−+=，故C正确；()221112121224418.58AFBFyyyyxx+=+++=++=++=，故D错误.故选：BC11．ACD【分析】对于A，结合展开图可得ACAPCP=+，判断A；对于B

，利用平面向量数量积，求1ADBC=，判断B；对于C，利用线面垂直的判定定理，判断C；对于D，将三棱锥放在长方体中，求出外接球的表面积，判断D.【详解】对于A，2ACAPCPBD=+==，故A正确；对于

B，2BPDP==，2BD=，所以222BPDPBD+=，则BPDP⊥，又在ABCV中，ABBC=，APCP=，故ACBP⊥，所以()()ADBCAPPDBPPCAPBPAPPCPDBPPDPC=++=+++010010=+++=，故,ADBC不垂直，故B错误；对于C，因为在

ACD中，,ADCDAPCP==，所以ACDP⊥，又ACBP⊥，BPDPP=，BP平面BDP，DP平面BDP，所以AC⊥平面BDP，故C正确；对于D，因为2,3ACBDCDABBCAD======，所以三棱锥三组对棱相等，可以

将其放入长方体中，设外接球半径为R，则有()()()222221225R=++=，解得254R=，所以外接球的表面积为24π5πSR==，故D正确，故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于D选项，根据三棱锥棱长相等，将其直接放在

长方体中，求出外接球表面积.12．256【分析】设等比数列na的公比为q，列出方程求得22q=，得到21422422nnnaaa−+=…，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设等比数列na的公比为(0)qq，因为13516,12aaa=+=，可得241

112aqaq+=，即24161612qq+=，解得22q=，所以222114(4)813(21)4222421,N22222nnnnnnnnaaaaqn−+−−++++−====…，所以当4n=时，242naaa…

取得最大值，最大值为82256=．故答案为：256.13．3333,222+【分析】先应用向量平行结合正弦定理得出角，再根据诱导公式减少未知量，最后应用三角恒等变换化简应用三角函数值域求解.【详解】因为//mn，所

以2sin3bAa=,所以2sinsin3sinBAA=，(0π),sin0A,A，故3sin2B=，又因为三角形为锐角三角形，所以π3B=,所以3π133sinsinsinsinsinsinsincos23222ABCAAAAA++=+

++=+++333=sincos222AA++3133sincos222AA=++π33sin62A=++，因为三角形为锐角三角形所以πππ,,322BABA=+，即ππ62A，所以

ππ2π363A+所以3πsin126A+所以33π3333sin22622A+++.所以sinsinsinABC++取值范围是3333,222+，故答案为：3333,222+14．25/0.4【分析】取2AF

中点D，根据给定条件，可得12FDAF⊥，再利用椭圆定义，结合二倍角的余弦公式列式计算即得.【详解】设椭圆C的半焦距为c，取2AF中点D，连接1FD，则11212FAFFFD+=，由1122()0FAFFAF+

=，得1220FDAF=，于是12FDAF⊥，则1122||||AFFFc==，2||22AFac=−，由直线AB的斜率为37−，得12tan37AFF=−，即1212sin37cosAFFAFF=−，而221212sincos1AFFAFF+=，解得121cos8AFF=−

，即121cos28DFF=−，212112sin8DFF−=−，于是123sin24acDFFc−==，解得25ca=，所以C的离心率为25.故答案为：25