【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练2 Word版含解析.docx，共(13)页，1.214 MB，由管理员店铺上传

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长郡中学2025届高三数学复习小题精练（2）一、单选题1．已知集合22|log(24)0,|21,xAxxxByyx=−++==，则AB=（）A．()2,3B．()0,2C．()1,2−D．(),3−2．已知复数()()1izaaa=+−R，则

“1z=”是“0a=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”

，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（）A．164B．1564C．516D．384．已知函数π(),0()4sin,0fxtxfxxx−+=，满足π12f=，则实数t的值为（）A．14B．12C．1D．25．已知

ABCV的外接圆圆心为O，且2,AOABACOAAB=+=，则向量BA在向量BC上的投影向量为（）A．34BCB．14BCC．34BC−D．14BC−6．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以

中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”（*Nn）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分

形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（）（取lg30.4771，lg20.3010）A．9B．10C．11D．127．已知四棱锥PABCD−的各顶点在同一球面上，若2224ADABBCCD====，PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，则该球的表面

积为（）A．13π3B．16πC．52π3D．20π8．已知()fx为定义在R上且不恒为零的函数，若对,xyR，都有()()()fxyxfyyfx=+成立，则下列说法中正确的有（）个．①()()010ff==；②若当1x时

，()0fx，则函数()()fxgxx=在()0,+单调递增；③对*nN，()()1nnfxnxfx−=；④若1122f=−，则()1222innifi==−.A．1B．2C．3D．4二、多

选题9．已知函数()()ππ3sin222fxx=+−的图象关于直线5π12x=对称，则下列说法正确的是（）A．π6=−B．7π12fx−为偶函数C．()fx在ππ,42

上单调递增D．若()()126fxfx−=，则12xx−的最小值为π210．过点(35,4)向抛物线28xy=作两条切线，切点分别为()()1122,,,AxyBxyF、为抛物线的焦点，则（）A．1265xx+=−B．1232xx=C．||||49AFBF

=D．||||18AFBF+=11．如图1，将三棱锥型礼盒ABCD−的打结点P解开，其平面展开图为矩形，如图2，其中A，B，C，D分别为矩形各边的中点，则在图1中（）A．ACBD=B．ADBC⊥C．AC⊥平面BDPD．三棱锥ABCD−外接球的表面积

为5π三、填空题12．在正项等比数列na中，13516,12aaa=+=，则242naaa的最大值为．13．在锐角ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量()sin,3mA=，(),2nab=．若mn∥，则sinsinsinABC++的取值范围是．14．椭圆C：22221xya

b+=（0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，过1F且斜率为37−的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若1122()0FAFFAF+=，则C的离心率为.参考答案1．A【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数

值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】由222log(24)0241xxxx−++−++，得13x−，则(1,3)A=−，当1x时，22x，则(2,)B=+，所以(2,3)AB=.故选：A2．B【分析】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充

分必要条件的定义判断即可．【详解】因为()()1izaaa=+−R，且()2211zaa=++=，整理得20aa+=，解得0a=或1a=−，即1z=等价于0a=或1a=−，且0是0,1的真子集，所以“1z=”是“0a=”的必要不充分条件.故选：B．3．B【分析】先计算出“重

卦”的种数，然后再计算出恰有2个阴爻的种数，根据比值求解出结果.【详解】所有“重卦”共有62种，恰有2个阴爻的情况有26C种，所以该重卦恰有2个阴爻的概率为266C15264p==.故选：B.4．B【分析

】将x的值依次代入解析式，解出t的值即可求解.【详解】()ππππππ2021224444fftftftft=−+=+=−+=+=，即sin021t+=，则12t=.故选：B.5．B【分析】由2AOABAC=+，得O是B

C中点，从而得出=60B，30C=，作AHBC⊥于H，BH即为向量BA在向量BC上的投影向量，设ABa=，求出BH，|BC后可得结论．【详解】因为2AOABAC=+，所以O是BC中点，则BC是圆O直径，90BAC=，又||

||OAAB=，所以OAB△是等边三角形，=60B，30C=设ABa=，则2BCa=，作AHBC⊥于H，则=30BAH，所以122aBHAB==，BH即为向量BA在向量BC上的投影向量，14BHBC=．故选：B．6．C【分析】从条件中分析出线段长度的变化规律，得到“

n次分形”后折线的长度，进而建立不等式解得答案即可.【详解】图1线段长度为1，图2线段长度为43，图3线段长度为243，…，“n次分形”后线段长度为43n，所以要得到一个长度不小于20的分形图，只需满足4203n，则4lglg20

1lg23n=+，即得()2lg2lg31lg2n−+，解得1lg210.301010.422lg2lg30.60200.4771n++−−，所以至少需要11次分形.故选：C.7．C【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O到四棱锥所有顶点距离相等；根

据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD的中点E，取AB的中点G，连接EG、PG，在线段PG上取一点F，使13FGPG=，过点E作平面ABCD的垂线OE，使OEFG=，连接OF，易知四边形ABCD是等腰梯形，ABE、BCE、CDE均为等边三角

形，所以2AEBECEDE====，因为OE⊥平面ABCD，所以90OEAOEBOECOED====，所以OAOBOCOD===，因为PAB为正三角形，G为AB的中点，所以PGAB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB

平面ABCDAB=，PG平面PAB，所以PG⊥平面ABCD，因为OE⊥平面ABCD，所以//PGOE，即//FGOE又因为OEFG=，所以四边形OEGF为平行四边形，所以//OFEG，因为ABE为正三角

形，G为AB的中点，所以EGAB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，EG平面ABCD，所以EG⊥平面PAB，所以OF⊥平面PAB，又因为F是ABP的外心，所以FAFBFP==，所以OAOBOP==，所以O即为四棱锥外接球的球心，因为1333OEFGPG===，

2AE=，所以2222339233ROAOEAE==+=+=所以2239524π4π()π33SR===，故选：C.8．C【分析】①利用赋值法，令0xy==即可得证，所以①正确.②根据题意()()()gxygxgy=+，取()120,xx+，()()222

1111xxgxgxgxgxx==+，所以()()212212110xfxxgxgxgxxx−==，所以②正确.③0x=时由①可得③成立；当0x时，由②得()()()1nngxgxgx−=+，利用累加法得

()()ngxngx=，因此()()nnfxfxnxx=，所以()()1nnfxnxfx−=，所以③正确．④令12x=，2y=，()()11221022fff+==，因为1122f=−，所以得()22f=，所以由③()2

2nnfn=，利用等比数列的求和公式，得()11222iinnfi=+=−，所以④错误．【详解】令0xy==有()00f=，令1xy==有.所以①正确.120xx，因为()()fxgxx=，所以

()()()()()()()()fxyxfyyfxfxfygxygxgyxyxyxy+===+=+，所以()()2221111xxgxgxgxgxx==+，又因为211xx，且当1x时，()0fx，所以()(

)212212110xfxxgxgxgxxx−==.所以②正确.当0x=时由①可得③成立；当0x时，由②得()()()1nngxgxgx−=+，所以()()()1nngxgxgx−=−，所以()()(

)()()112nnnngxgxgxgxgx−−−=−=−=……()()2gxgx=−，累加得()()()()()1ngxgxngxngx=+−=，即()()nnfxfxnxx=，所以()()1nnfxnxfx−=，所以③正确．令12x=，2y=，由①得()()11221022fff+==

，又因为1122f=−，所以()22f=，由③得()()1nnfxxfxn−=，所以()()12222nnnffn−==，所以()1112312222222......22212iniiinnnnf

i+==+−==++++==−−，所以④错误．故选：C9．BD【分析】利用对称轴5π12x=，结合ππ22−，可解得=3−；有了具体的解析式()π3sin23fxx=−，就可以得7π3cos212

fxx−=，从而判断选项B是正确的；利用相位π2π2,363x−，可判断正弦函数在此区间不单调；利用()3,3fx−可确定()()126fxfx−=时，一定是相邻的两个最值点取到等号，即为半个周期，可确定D

是正确的.【详解】由函数()()ππ3sin222fxx=+−的图象关于直线5π12x=对称可得：52=122k++，解得：=,Z3kk−+，又因为ππ22−，所以0,=3k=−，即选项A是

错误的；此时()π3sin23fxx=−，则7π7π3π3sin23sin23cos2121232fxxxx−=−−=−=为偶函数，所以选项B是正

确的；当ππ,42x，π2π2,363x−，此时正弦函数sinyx=在区间π2π,63上不单调，所以选项C也是错误的；因为()π3sin23fxx=−，所以()3,3fx−，而()()126fxfx−=，则12xx−的最小值就

是半个周期，即2，所以选项D是正确的.故选：BD.10．BC【分析】设，利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦达定理判断AB，根据焦半径公式化简求解判断CD.【详解】设点(35,4)为点P，抛物线的方程为28xy=，即218yx=，则14yx=,设，则切线PA

，PB的斜率分别为1211,44xx，切线方程分别为()()11122211,44yyxxxyyxxx−=−−=−，将P的坐标及22112211,88yxyx==代入，并整理得22112265320,65320xxxx−+=−+=，可得12,xx为方程2x6532

0x−+=的两个实数根，由韦达定理得121232,65xxxx=+=，故A错误，B正确；()()()()()222222121212121211111222248864464AFBFyyxxxxxxxx

=++=++=+++=+()22212121112432(65)2324494644xxxx+−+=+−+=，故C正确；()221112121224418.58AF

BFyyyyxx+=+++=++=++=，故D错误.故选：BC11．ACD【分析】对于A，结合展开图可得ACAPCP=+，判断A；对于B，利用平面向量数量积，求1ADBC=，判断B；对于C，利用线面垂直的判定定理，判断C；对于D，将三棱锥放在长方体中，求出外接球的表面

积，判断D.【详解】对于A，2ACAPCPBD=+==，故A正确；对于B，2BPDP==，2BD=，所以222BPDPBD+=，则BPDP⊥，又在ABCV中，ABBC=，APCP=，故ACBP⊥，所以()()ADBCAPPDBPPCAP

BPAPPCPDBPPDPC=++=+++010010=+++=，故,ADBC不垂直，故B错误；对于C，因为在ACD中，,ADCDAPCP==，所以ACDP⊥，又ACBP⊥，BPDPP=，BP平面BDP，DP平面BDP，所

以AC⊥平面BDP，故C正确；对于D，因为2,3ACBDCDABBCAD======，所以三棱锥三组对棱相等，可以将其放入长方体中，设外接球半径为R，则有()()()222221225R=++=，解得254R=，所以外接球的表面积为24π5πSR==，

故D正确，故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于D选项，根据三棱锥棱长相等，将其直接放在长方体中，求出外接球表面积.12．256【分析】设等比数列na的公比为q，列出方程求得22q=，得到21422422nnnaaa−+=…，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设等比数列na

的公比为(0)qq，因为13516,12aaa=+=，可得241112aqaq+=，即24161612qq+=，解得22q=，所以222114(4)813(21)4222421,N22222nnnnnn

nnaaaaqn−+−−++++−====…，所以当4n=时，242naaa…取得最大值，最大值为82256=．故答案为：256.13．3333,222+【分析】先应用向量平行结合正弦定理得出

角，再根据诱导公式减少未知量，最后应用三角恒等变换化简应用三角函数值域求解.【详解】因为//mn，所以2sin3bAa=,所以2sinsin3sinBAA=，(0π),sin0A,A，故3sin2B=，又因为三角形为锐角三角形，所以π3B=,所以3π133sins

insinsinsinsinsincos23222ABCAAAAA++=+++=+++333=sincos222AA++3133sincos222AA=++π33sin62A=++，因为三角形为锐角三角形所以πππ,,322

BABA=+，即ππ62A，所以ππ2π363A+所以3πsin126A+所以33π3333sin22622A+++.所以sinsinsinABC++取值范围是3333,222+，故答案为：3333,222+1

4．25/0.4【分析】取2AF中点D，根据给定条件，可得12FDAF⊥，再利用椭圆定义，结合二倍角的余弦公式列式计算即得.【详解】设椭圆C的半焦距为c，取2AF中点D，连接1FD，则11212FAFFF

D+=，由1122()0FAFFAF+=，得1220FDAF=，于是12FDAF⊥，则1122||||AFFFc==，2||22AFac=−，由直线AB的斜率为37−，得12tan37AFF=−，即1212sin37cosAFFAFF=−，而221212sincos1AFFAFF+=

，解得121cos8AFF=−，即121cos28DFF=−，212112sin8DFF−=−，于是123sin24acDFFc−==，解得25ca=，所以C的离心率为25.故答案为：25