【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练3 Word版含解析.docx，共(13)页，1.246 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三数学复习小题精练（3）一、单选题1．已知集合2230,e1xAxxxByy=−−==+∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A．11xx−∣B．11xx−∣C．13xx−∣D．13xx−∣2．设，是两个不同平面

，a，b是两条不同直线，则//的一个充分条件是（）A．//a，//b，abB．a⊥，b⊥，ab⊥C．a⊥，b⊥，abD．//a，//b，a与b相交3．已知数列nnab，均为等差数列，其前n项和分别为nnST，，满足(23)(31)nnnSnT+=−

，则789610aaabb++=+（）A．2B．3C．5D．64．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，()()2212~N,6,~N

,2XY．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（）A．()6DX=B．12C．(38)(38)PXPYD．(34)(34)PXPY5．设0.20.110.1e,,0.2e10abc===，则下列选项正确的是（）A．cbaB．bacC．b

caD．acb6．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比510.6182t−=还可以表示成2sin18

，则3tan12cos12t+=（）A．4B．2C．1D．127．在平面直角坐标系xOy中，已知圆()22:14Cxy−+=，P为直线:30lxy++=上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当PM最小时，则PMPC的值为（）A．4B

．2C．2D．38．已知函数()1cos4221fxxx=−+−，则21yx=−与()fx图象的所有交点的横坐标之和为（）A．12B．2C．32D．3二、多选题9．设12,zz为复数，则下列结论正确的是（）A．1212zzzz=B．1212zzzz+=+C．若12=zz，则2212

zz=D．“12zz＂是“120zz−＂的充分不必要条件10．如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的动点，，则（）A．若1PQ=，则APQ△的周长最大值为21+B．若1PQ=，则APQ△的面积最大值为

14C．若APQ△的周长为定值2，则PCQ的大小为30oD．若APQ△的周长为定值2，则PQ长度的最小值为222−11．椭圆222:1(0)4xyCmm+=的两个焦点分别为12,FF，则下列说法正确的是（）A．过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点，则1ABF的周长为8B．若C上存在点P

，使得120PFPF=，则m的取值范围为()0,222,+C．若直线10kxy−+=与C恒有公共点，则m的取值范围为)1,+D．若1,mP=为C上一点，()1,0Q−，则PQ的最小值为63三、填空题12．某公司需要把直径为20cm的实心铁球融化后

浇注为一个棱长为30cm的正方体实心模具（不计损耗），则至少需要个这样的实心铁球．13．已知数列na是等差数列，8,21,nnnanban−=+为奇数为偶数，记nS，nT分别为na，nb的前

n项和，若318S=，210T=，则20T=．14．若直线ykx=是曲线的切线，也是曲线()exgxa=的切线，则a=．参考答案：1．B【分析】根据题意求集合,AB的元素，进而利用集合的交集，补集运算

即可求解.【详解】由2230xx−−，解得13x−，则13Axx=−∣；e11xByyyy==+=∣∣.又13ABxx=∣，所以阴影部分表示的集合为()11AABxx=−∣

ð.故选：B.2．C【分析】结合充分条件的定义，再利用空间中线线、线面、面面间的关系一一判断即可.【详解】对于选项A，当满足aP，b∥，ab时，,可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面，用四边形AEFD代表平面

，故A错误；对于选项B，当满足a⊥，b⊥，ab⊥时，,可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面，用四边形AEFD代表平面，故B错误；对于选项C，因为a⊥，//abb⊥，又b⊥，所以//，故a⊥，b⊥，ab是//的一个充分条件，故C正

确；对于选项D，当满足//a，//b，a与b相交时，,可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面，用四边形AEFD代表平面，故D错误；故选：C.3．A【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.【详解】因为数列,nnab均为等

差数列，可得78988151131555aaaaaS++===，且610115bbbb+=+，又由()11515152bbT+=，可得61015215bbT+=．因此15789156101515133452222315

SaaaSbbTT++====+.故选：A．4．C【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，随机变量X服从正态分布，且()21~N,6X，可得随机变量X的方差为226=，即()36DX=，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密

度曲线图像，可得随机变量1230,34==，所以12，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得38X时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于38Y时随机变量Y对应的曲线与x围成的面积，所以(38)(38)PXPY，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像

，可得1(34)2PX，1(34)2PY=，即(34)(34)PXPY，所以D错误.故选：C.5．B【分析】先由指数函数的单调性比较,ac与b的大小，再作商比较,ac的大小即可得解.【详解】0.2

0.201110.1eee101010ab====，0.10.1011110.2eee55510cb====，而而0.11e2ac=，因为10e2，所以0.1e2，所以0.111e2122ac==，

故ac，所以bac.故选：B6．C【分析】将2sin18t=代入，利用凑特殊角的方法，结合两角差的正弦公式计算即可求解.【详解】由题意知，2sin18t=，则3sin122sin183sin123tan12cos12cos12cos12tt

+++==132(cos12sin12)3sin122sin(3012)3sin1222=1cos12cos12−+−+==.故选：C7．A【分析】判断出PM最小时P点的位置，进而求得此时PMPC的值.

【详解】由于PM是圆C的切线，所以PMCM⊥，所以2224PMPCCMPC=−=−，当PCl⊥时，最小，此时PM最小.()1,0C到直线:30lxy++=的距离为103222++=，则PCl⊥时，22PC=，()22min2222PM

=−=，所以此时三角形PCM是等腰直角三角形，所以当PM最小时，则PMPC的值为π222cos44=.故选：A8．D【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【

详解】由题意化简()11cos4sin(4)22121fxxxxx=−+=+−−11sin(42)sin2(21)2121xxxx=−+=−+−−，21yx=−与()fx图象有

交点，则1sin2(21)2121xxx−+=−−有实根，令21tx=−，则12tx+=，则化为1sin2ttt+=，即1sin2ttt=−的所有实根之和，即()sin2gtt=与1()httt=−所有交点横坐标之和，显然()gt是周期为1的奇函

数，()ht为奇函数且在(0,)+上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,tttttt，它们的和为0，则12345612345616322ttttttxxxxxx++++++++++=+=，故选：D.9

．ABD【分析】设12i,i(,,,)zabzcdabcd=+=+R，对于A：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于B：根据加法运算结合共轭复数分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的概念结合充分

必要条件分析判断.【详解】设12i,i(,,,)zabzcdabcd=+=+R，对于选项A：因为12(i)(i)()()izzabcdacbdadbc=++=−++，所以222222222212()()zzac

bdadbcacbdadbc=−++=+++，且22222222222212zzabcdacbdadbc=++=+++，所以1212zzzz=，故A正确；对于选项B：因为()()1212,,zzzaabizcbdicdi+=−==+−++

，则()()()()1212,acbdizzzacbdiz+=++=+−+−+，所以1212zzzz+=+，故B正确；对于选项C：若12=zz，例如12,1i1izz=+=−，满足122zz==，但()2211i2iz=+=，()2221i2iz=−=−，即2212zz，故C

错误；对于选项D：若12zz，则12,zz都是实数，且120zz−，即充分性不成立；若120zz−，例如12,1i2izz=+=+，且120zz−=−，但12,zz不是实数，无法比较大小，即必要性不成立；综上所述：“12zz＂是“120zz−＂的充分不必要条件，故D正确．故选：

ABD.10．ABD【分析】对于A、B，依题意可得221APAQ+=，利用基本不等式判断即可；对于C、D，设线段BP、DQ的长度分别为a、b，BCP=，DCQ=，由勾股定理可得1abab+=−，再由两角和的正切公式判断C，利用基本不等式得到2440PQ

PQ+−，解得PQ的范围判断D.【详解】对于A：若1PQ=，则2221APAQPQ+==，所以222222APAQAPAQ++=，当且仅当22APAQ==时取等号，所以12APQCAPAQPQ=++

+△，即APQ△的周长最大值为21+，故A正确；对于B：221112224APQAPAQSAPAQ+==，当且仅当22APAQ==时取等号，即APQ△的面积最大值为14，故B正确；对于C：设线段BP、DQ的长度分

别为a、b，BCP=，DCQ=，则1,1APaAQb=−=−，因为APQ△的周长为定值2，所以PQab=+.则由勾股定理得222()(1)(1)abab+=−+−，即1abab+=−，又因为tan,t

anab==，于是()tantantan11tantan1abab+++===−−，因为090+，所以45+=，即45PCQ=o，故C错误；对于D：由C选项的推理可知1abab+=−，PQab=+，所以2112aba

bab++=−−，当且仅当ab=时取等号，所以212PQPQ−，即2440PQPQ+−，又因为0PQ，解得222PQ−，当且仅当21ab==−即21BPDQ==−时等号成立，故D正确；故选：

ABD【点睛】关键点点睛：本题C、D选项解答的关键是设线段BP、DQ的长度分别为a、b，BCP=，DCQ=，从而推导出1abab+=−.11．BD【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：分析可知当P位于短轴顶点时，12FPF最大，此时2212ba，分类讨

论焦点所在位置分析求解；对于C：因为直线10kxy−+=过定点(0,1)，可知定点(0,1)在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于D：设()2cos,sinP，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解.【详

解】对于选项A：由椭圆定义可得1ABF的周长为121122AFBFABAFBFAFBF++=+++4a=，但焦点不一定在x轴上，故A错误；对于选项B：若120PFPF=，则12PFPF⊥，当P位于短轴顶点时，12FPF最大，此时12coscos452OPF=，可知22ba，即

2212ba，当02m时，由2142m，解得02m；当m>2时，由2412m，解得22m；综上所述：m的取值范围为()0,222,+，故B正确；对于选项C：因为直线10kxy−+=过定点(0,1)，则211m，即21

m，又因为24m，且0m，所以m的取值范围为)()1,22,+，故C错误；对于选项D：若1m=，即椭圆22:14xCy+=，设()2cos,sinP，可得||PQ=()222222cos1sin3cos33++=++，当2cos3=−时，min6||

3PQ=，故D正确．故选：BD．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为

因变量的函数，再求其值域．12．7【分析】根据球体体积和正方体体积计算公式，结合题意求解即可.【详解】直径为20cm的实心铁球的体积31440001033V==；一个棱长为30cm的正方体实心模具的体积323027000V==，设至少需要n个这样的实心铁球，则400027

0003n，解得814n，因为81674，故至少需要7个这样的实心铁球．故答案为：7.13．370【分析】根据已知条件得到关于1a、d的二元一次方程组，解方程组，求出1a、d，即可求出数列的通项公式，4nan=+，由此可得数列的通

项公式，分组求和即可求解.【详解】设等差数列的公差为d．由318S=，得111121332318aaaaaaaddd++=++++=+=①，由210T=得()1211182182110,3217aaaadad−++=−+++=+=②，联立

①②，1133183217adad+=+=，解得15,1ad==，所以()115(1)14naandnn=+−=+−=+．则4,29.nnnbnn−=+为奇数为偶数，所以()201319Tbbb=++++()2420bbb+++

(31115)(131749)=−−+++++++3151349101037022−++=+=．故答案为：37014．21e/2e−【分析】根据函数()fx在切点()11,lnxx的横坐标1x处的

导数即为斜率和切点在直线上即可先求出公切线的方程，然后根据函数()gx在切点()00,exxa的横坐标0x处的导数即为斜率和切点在直线上即可求解.【详解】因为()ln,(0,)fxxx=+，所以()1fxx=，设设直线ykx=

与()lnfxx=的切点为()11,lnxx，则切线方程为()1111lnyxxxx−=−,即111ln1yxxx=+−，又因为ykx=所以111ln10kxx=−=，解得1xe=，1ek=，所以切线方

程为：1eyx=，因为()exgxa=，所以()()eexxgxaa=='，设直线1yxe=与()exgxa=的切点为()00,exxa，所以001e()exagx==①，又因为切点()00,exxa在

直线1yxe=上，所以001eexax=②，由①和②可得01x=，所以1eea=，解得21e=a故答案为：21e．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数研究两个函数的公切线问题，解题的关键是根据函数解

析式设出切点坐标，然后利用函数在切点横坐标处的导数即为斜率以及切点在切线上求解即可.