【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练12 Word版含解析.docx，共(11)页，722.993 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三数学复习小题精练（12）一、单选题1．长沙市9月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，则这组数据的第70百分位数是（）A．86B．85.5C．8

5D．84.52．若复数i(,Rzabab=+且0)ab是方程250xbxa−+=的一个根，则z=（）A．12i+B．12i−C．12i−+D．12i−−3．已知单位向量a，b的夹角为60，则向量ab+在a方向上的投

影向量为（）A．12aB．12b−C．32aD．12a−4．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若a，b，⊥，则“a⊥”是𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若ln10,ln2ln5,ln4eabc===

，则abc、、的大小关系是（）A．cabB．abcC．cbaD．bac6．已知体积为43π的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为43.则该正四棱锥体积值是（）A．12833B．433C．963D．80337．已

知函数()()πsin06fxx=−在π6x=处取得最值，且()fx在()0,π上恰有两个极值点，则=（）A．4B．10C．2−D．8−8．“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒

子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过n次随机选择后到达2号仓的概率为nP，已知该粒子的初始位置在2号仓，则10P=（）．A．171512B．511512C．1512D．43128二、多选题9．已知椭圆22:416Cxy+=

的左、右焦点分别为1F，2F，P是C上的任意一点，则（）A．C的离心率为12B．128PFPF+=C．1PF的最大值为423+D．使12FPF为直角的点P有4个10．已知函数()()23log2fxxx=−，则下列结论正确的是（）A．函

数()fx的单调递增区间是)1,+B．函数()fx的值域是RC．函数()fx的图象关于1x=对称D．不等式()1fx的解集是()1,3−11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式6SF）的分子结构、金刚石等.如图，将正方体六个面的中心连线可得

到一个正八面体EABCDF−−，已知该正八面体的棱长为2，则（）A．EFAD⊥B．该正八面体的体积为823C．该正八面体外接球的表面积为2π3D．若P为棱EB上的动点，则APCP+的最小值为23三、填空题12．()()52xyxy+−的展开式中，33xy的系数是．（用数

字作答）13．已知函数()2(1)lnfxfxx=−，则()fx在1x=处的切线方程为.14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是几何体的高，“幂”

是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为5，且过点()2,23，则双曲线的渐近线方程为．若直线0y=与6y=在第一象限内与双

曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为．参考答案1．B【分析】按照百分位数的定义计算即可.【详解】100.77=，故从小到大排列后，35，54，58，58

，72，80，85，86，111，125，取第7个数和8个数的平均数得85.528586=+，故选：B.2．B【分析】将复数z代入方程，利用待定系数法，即可求解.【详解】由题意可知，()()2ii50abbaba+−++=，0ab即()()22252i0ababaabb−−++

−=，则2225020ababaabb−−+=−=，解得1a=，2b=，即12zi=+，所以12iz=−.故选：B3．C【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.【详解】依题意，因为两个单位向量a和b的夹角为60，所以11cos601122abab

===，所以()213122abaaab+=+=+=，()22223+=+=++=ababaabbrrrrrrrr，()3cos,2abaabaaba++==+，故向量ab+在向量b上的投影向量为3cos,2aababaaa++=．故选：C.4．A【分析】根据线面垂直

的性质判断充分性，由线线垂直得线面关系的各种情况判断必要性即可.【详解】若a⊥，由b可知ab⊥rr成立；若ab⊥rr，可能//a或a与相交，故不一定a⊥，所以“a⊥”是“ab⊥rr”的充分不必要条件.故选：A5．D【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较,a

c的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较,ab的大小，可得结论.【详解】ln4eln10ln4eln1022ca====，而()()22222ln2ln5ln104ln2ln5ln10244ab+

====，且0,0ab．所以ab，故bac．故选：D.6．A【分析】设正四棱锥PABCD−的内切球的半径为R，H为底面中心，取CD的中点F，设O点在侧面PCD上的投影为Q点，则Q点在PF上，利

用∽POQPFH求出球心到四棱锥顶点的距离h，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥PABCD−的内切球的半径为R，H为底面中心，由体积为3443π=π3R得3R=，连接PH，PH⊥平面ABCD，球心O在PH上，OHR

=，取CD的中点F，连接,HFPF，设O点在侧面PCD上的投影为Q点，则Q点在PF上，且OQPF⊥，∽POQPFH，球心到四棱锥顶点的距离为h，所以=PQPHOQFH，233323=−+hh，解得533h=，所以1183128343433333===ABCDVSPH.故

选：A.7．C【分析】根据题意求出与k的关系式，根据x的范围求出π6x−的范围，当0时同理即可求解.【详解】由题意可知，()ππ1π62k−=+，kZ，解得64k=+，kZ，当0时，由𝑥∈(0,π)，得πππ,π666x−−−，由

题意，得3ππ5ππ262−，解得5833，所以不存在，当0时，由𝑥∈(0,π)，得ππππ,666x−−−，由题意，得5π3ππ262π−−−≤，解得7433−−≤

，所以2=−.故选：C.8．A【分析】记粒子经过n次随机选择后到达1号仓的概率为nA，粒子经过n次随机选择后到达3号仓的概率为nB,分析可得11,11,22nnnnnnPABPAB+++==+整理得，11(1)2nnPP+=−，利用构造法推得1{}3nP

−为等比数列，即可求得通项，即得10P.【详解】记粒子经过n次随机选择后到达1号仓的概率为nA，粒子经过n次随机选择后到达3号仓的概率为nB，则有11,11,22nnnnnnPABPAB+++==+消去,nn

AB可得，11(1)2nnPP+=−，则1111111322326nnnPPP+−=−+−=−+，即1111()323nnPP+−=−−，因10P=,则数列1{}3nP−组成一个首项为13−，公比为12−的

等比数列，故1111()332nnP−−=−−，即1111()332nnP−=−−，故910111111171()33233512512P=−−=+=.故选：A.9．BCD【分析】根据椭圆的标准

方程求出,,abc，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段12FF为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为221164xy+=，4,223abc===，32cea

==，故A错误；由椭圆定义可知1228PFPFa+==，故B正确；由椭圆的性质知1max||423PFac=+=+，故C正确；易知以线段12FF为直径的圆（因为bca）与C有4个交点，故满足12FPF为直角的点P有4个，故D正确.故选：BCD10．BC【分析】根据对

数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对A：令220xx−，解得2x或0x，故()fx的定义域为()(),02,I=−+，∵3logyu=在定义域内单调递增，22uxx=−在(),0−上单调递减，在()2,

+上单调递增，故()fx在(),0−上单调递减，在()2,+上单调递增，A错误；对B：∵()222111xxx−=−−−，即22yxx=−的值域)1,M=−+，∵()0,M+，故函数()fx的值域是R，B正确；对C：∵()()()()()32232log222log2fxxx

xxfx−=−−−=−=，即()()2=fxfx−，故函数()fx的图象关于1x=对称，C正确；对D：()()233log21log3fxxx=−=，且3logyx=在定义域内单调递增，可得2023xx

−，解得23x或10x−，故不等式()1fx的解集是()()1,02,3−，D错误.故选：BC.11．ABD【分析】对于A项，由题意可知⊥EF平面ABCD，根据线面垂直的性质即可判断；对于B项

，根据锥体的体积公式运算求解；对于C项：利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形ABCD的中心即为外接球球心，计算即得；对于D项，通过两个侧面翻折共面后即得,APCP共线时APCP+取最小值.【详解】

如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，对于选项A：由题意可知⊥EF平面ABCD，且AD平面ABCD，所以EFAD⊥，故A正确；对于选项B：由题得可得：22ACEF==，122EOEF==，所以该正八面体的体积1822222232EABCDVV−===，故B正确；对于选项C：

设该正八面体外接球的半径为R，由题知，四边形ABCD是正方形，则2OAOBOCOD====，又因为2OEOF==，则点O为正八面体外接球的球心，则2R=，所以正八面体外接球的表面积为24π8πR=，故C错误；对于选项D：因为ABE与BCE是边长为2的全等正三角形，将BC

E翻折到BCE，使其与ABE共面，得到一个菱形ABCE，连接AC与BE相交于点P，此时APBE⊥，CPBE⊥，3APCP==，则APCP+取得最小值为23，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D：对于APCP+的最小值问题，关键点在于

将两条线所在的平面翻折成同一平面，结合平面几何知识分析求解.12．10【分析】先求()5xy−的展开式中3223,xyxy，然后与2xy+中的项相乘可得.【详解】()5xy−的展开式通项为()()55155C1CrrrrrrrrTxyxy−−+=−=−，则()(

)52xyxy+−的展开式中，含33xy的项为：()()3232323233551C1C210xyxxyyxy−+−=，系数为10.故答案为：1013．20xy−−=【分析】首先求函数的导数，代入1x=，即可求解𝑓′(1)，再根

据导数的几何意义，即可求切线方程.【详解】由题意可知，()()211ffxx=−，则()()1211ff=−，得()11f=，所以()2lnfxxx=−，()21fxx=−，()11f=−，()11f=，所以函数()fx在1x=处的切线方程为11yx+=−，即20

xy−−=.故答案为：20xy−−=14．2yx=6π【分析】根据离心率及双曲线过点()2,23求出2a、2b，即可得到双曲线方程与渐近线方程，求出()0ytt=与双曲线及渐近线（2yx=）在第一象限的交点

横坐标，即可求出阴影部分绕y轴旋转一周所得几何体被任意水平平面所截的截面面积，再由祖暅原理计算可得.【详解】双曲线C的离心率5cea==，5ca=，22225caba=+=，224ba=；双曲线的方程为222214xyaa−=

，又双曲线过点()2,23，即2241214aa−=，解得21a=，则24b=，双曲线方程为2214yx−=，则双曲线的渐近线方程为2yx=；因为()0ytt=与双曲线2214yx−=在第一象限的交点为(),PPxt且2214Ptx=+；()0ytt=与渐近线2yx

=在第一象限的交点为(),QQxt且224Qtx=；所以阴影部分绕y轴旋转一周所得几何体被任意水平平面所截，其截面面积为2222πππ1π44PQttxx−=+−=；所以由祖暅原理可知：该阴影图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积与底面半径为1高为6的圆柱

体积相等，即它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为6π．故答案为：2yx=，6π．【点睛】关键点点睛：本题关键是求出阴影部分绕y轴旋转一周所得几何体被任意水平平面所截，其截面面积.