【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练1 Word版含解析.docx，共(14)页，1.096 MB，由管理员店铺上传

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长郡中学2025届高三数学复习小题精练（1）姓名：___________班级：___________学号：___________一、单选题1．设集合12Mxx=−，2230Nxxx=−−．则MN=（）A．15xx−B．13xxC．D．

15xx2．设复数z在复平面内对应的点为(2,1)−，则21iz−的模为（）A．3B．1C．10D．43．已知2sin42cos1+=+，那么cos的值为（）A．1B．3−C．1−D．134．已知点,,ABC是直线l上相异的三点，O为直线l外一点

，且23OAOBOC=+，则的值是（）A．1−B．1C．12−D．125．记nT为等比数列na的前n项积.设命题12:1pT，命题67:1qaa，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不

充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积近似计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”ABCD

EFGH−，其上、下底面均为正方形，若24EFAB==，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为22，则按《九章算术》的注释，该“刍童”的体积为（）A．8B．24C．1123D．1127．已知点P是以F1，F2为焦点的双曲线=1（a＞

0，b＞0）上一点，=0，tan∠PF1F2=，则双曲线的离心率为A．B．2C．D．8．已知函数()fx的定义域为R，对于任意实数x，y满足()()()()fxyfxyfxfy++−=，且()11f=，则下列结论错误的是（）A．()02f=B．()fx为偶函数C．()fx为奇函

数D．()21f=−二、多选题9．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为[60,70),[70,80),[80,90

),[90,100]，得到频率分布直方图如图所示，则（）A．0.05a=B．这组样本数据的75%分位数为88C．若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为1169D．若用样本的

频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为k”的事件为M，则()PM最大时，29k=.10．已知函数()2sin()(0,||π)fxx=+的图象如图所示，点(0,1)A−，()0,1Bx在曲线()fx上，若||1

3AB=，则（）A．π3=B．5π6=C．()fx的图象关于点对称D．()fx在[7,11]上单调递减11．设O为坐标原点，直线l过抛物线2:4Cyx=的焦点F且与C交于,AB两点，,MN满足2,2,MFOFBNONAM==与NF相交于点P，

则下列结论正确的是（）A．AB∥MNB．111MNAF+=C．0OPOFD．ANP面积的最大值为1三、填空题12．等比数列中，每项均为正数，且4581aa=，则3138loglogaa+=.13．已知

椭圆C：2214xy+=的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则PMPN的最大值为．14．在直三棱柱111ABCABC−中，15,4,25,AC

BCABAAE====是棱1CC上一点，平面1ABE将直三棱柱111ABCABC−分成体积相等的两部分.若11,,,ABAE四点均在球O的球面上，则球O的体积为.参考答案1．B【分析】化简M，N，由交集运算即可求解．【详解】集合1215Mxx

xx=−=，223013Nxxxxx=−−=−，则13MNxx=．故选：B2．C【分析】由题意可得2iz=−，然后代入21iz−化简，可求出其模【详解】由题意可得2iz=−，所以()()()()()22i22

i1i23i1i1i1i1iz−−+===+−−−+，故其实部为3，虚部为1，所以模长为10,故选：C．3．A【分析】根据同角三角函数的平方关系化成关于cos的方程，结合余弦函数值的范围进行计算.【详解】由2sin42cos1+=+，22sin2(cos

1)1cos=−=−，即2cos2cos30+−=，则()()cos1cos30−+=，根据余弦值的范围cos1，且分母cos1−可知cos3=−不符题意，为所求.故选：A4．A【分析】化简得322OAOBOC=+，再利用三点共线系数和为1的结论即

可得到方程，解出即可.【详解】23OAOBOC=+，即322OAOBOC=+，因为点,,ABC是直线l上相异的三点，则点,,ABC三点共线，则3122+=，解得1=−.故选：A.5．B【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件定义计算即可得.

【详解】若121T，则12121aaa，即()6671aa，即671aa或671aa−，故p不是q的充分条件，若671aa，则有()6121212671Taaaaa==，故p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件.故选：B.6．C【分析】先画出图形，连接HF，EG交于点

1O，连接AC，DB交于点2O，连接12OO，过C作12//CQOO，如图，根据题意结合图形得到CGQ是“刍童”ABCDEFGH−其中一条侧棱与与底面所成角的平面角，从而求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果．【详解】连

接HF，EG交于点1O，连接AC，DB交于点2O，连接12OO，过C作12//CQOO，如图，.因为“刍童”ABCDEFGH−上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以12OO⊥底面EFGH，又12//CQOO，所以CQ⊥底面EFGH，所以CGQ

是“刍童”ABCDEFGH−其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则tan22CGQ=，因为24EFAB==，所以42,22EGAC==，易知四边形ACGE是等腰梯形，则()122QGEGAC=−=，所以在RtCQG中，tan22CQCGQQG==，

则224CQQG==，即“刍童”ABCDEFGH−的高为4，则该刍童的体积()()42242242411263V+++==.故选:C.7．C【详解】试题分析：根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF

2|=2a，进而根据tan∠PF1F2=，可得|PF1|=2|PF2|，分别求得|PF2|和|PF1|，进而根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得．解：∵=0，∴PF1⊥PF2，∵tan∠PF

1F2=，∴|PF1|=2|PF2|∵|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=4a2+16a2，解得e=．故选C．考点：双曲线的简单性质．8．C【分析】由条件等式通过取特

殊值求()0f，()2f由此判断A，D，再取特殊值确定()fx，()fx−的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.【详解】因为,Rxy，()()()()fxyfxyfxfy++−=，取1x=，0y=可得()()()()1110ffff+=，又()1

1f=，所以()02f=；A对；取0x=，yx=可得()()()()0fxfxffx+−=，因为()02f=，所以()()fxfx−=，所以()fx为偶函数，C错，B对；取1x=，1y=可得()()()()2011ff

ff+=，又()11f=，()02f=；所以()21f=−，D对；故选：C.9．AB【分析】对于A，由频率之和为1结合频率分布直方图数据即可求解；对于B，先求出成绩在[60,80)和[60,90)内的频率，进而判断75%分位数的范围即可根据百分位数的定义直接进行求解；对于C，分别求出

成绩不低于80分和不低于90分的人数，即可求解概率；对于D，先由频率分布直方图得成绩不低于90分的概率，接着由二项分布概率公式求出()()=PMPXk=，再令()()()()11PXkPXkPXkPXk==−

==+即可求解.【详解】对于A，由频率分布直方图得()10.0050.0300.015100.0510a−++==，故A对；对于B，由频率分布直方图结合选项A可知：成绩在[60,80)内的频率为()0.0050.030100.350.

75+=，成绩在[60,90)内的频率为()0.0050.030+0.05100.850.75+=，所以75%分位数在80到90分之间，故75%分位数为0.750.358010880.5−+=，故B对；对于C

，成绩不低于80分的共有()0.05+0.01510100=65人，不低于90分的共有0.01510100=15人，则随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率315365C196CP==，故C错；

对于D，由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的概率0.01510=0.15P=，由题意()~199,0.15XB，由题意()()()()199199C0.850.15kkkPMPXk−===，令()()()()11PXkPX

kPXkPXk==−==+即()()()()()()()()199200111991991991981199199C0.850.15C0.850.15C0.850.15C0.850.15kkkkkkkkkkk

k−−−−−−+，所以()()()()()()199!199!0.150.85!199!1!200!199!199!0.850.15!199!1!198!kkkkkkkk−−−−+−即110.150.85200110.85

0.151991kkkk−−+，解得2930k，故k为29或30，故D错.故选：AB.10．AC【分析】根据两点间距离公式，结合正弦型函数的周期性、单调性、对称性逐一判断即可.【详解】由图可知00x，由220||213ABx=+=，解得03x=（负值舍去），

所以012π0322Tx==−=，解得π3=，A正确；则()2sin3fxx=+，将点(0,1)A−代入得，π2sin013+=−，即1sin2=−，由于0x=在()fx的增区间上，且|π，所以π6=−，B错误；因为ππ()2s

in36fxx=−，令πππ36xk−=，kZ，解得132xk=+，kZ，取0k=，则()fx关于点对称，C正确；令πππ3π2π2π2362kxk+−+，kZ，解得6265kxk++，kZ，取1k=，则()

fx在8,11上单调递减，D错误.故选：AC11．ABD【分析】根据抛物线标准方程，结合向量关系求选项A；进而根据四边形BMNF为平行四边形求选项B；当ABx⊥轴时，根据对称性求选项C；最后设，因为l过焦点F，则124yy=−，则0MAMBkk+=，求选项D.【详解】因为2MF

OF=，则O平分线段MF，又2BNON=，则O平分线段BN，则四边形BMNF为平行四边形，故A对；因为四边形BMNF为平行四边形，所以MNBF=，对于抛物线可证其有性质112||||AFBFp+=，证明如下：若斜率存在，设：()2pykx=−，，与方程22ypx=联立，得：22222(2)

04kpkxpkx−++=，由直线过焦点，0成立，21222kxxpk++=，2124pxx=，1221212121111||||()2224xxpppppAFBFxxxxxx+++=+=+++++222222222424kppkp

pkppk++==+++，若斜率不存在，则：2px=，易求得AFBFp==，112||||AFBFp+=，故11111||||AAFMFNFB+==+，故B对；当ABx⊥轴时，根据对称性，P在y轴上，此时0OPOF=，故C错；对于抛物线可证其有性质212yyp=−，证明如下：设，因为l过

焦点F，设：2pxmy=+，与方程22ypx=联立，得：2220ypmyp−−=212yyp=−，则124yy=−，则()()2212121212122222121211444164160114444MAMByyyyyyyyyykkx

xyyyy++++=+=+==++++++，则AMOBMO=，又NFMBMO=，则NFMAMO=，即PMF△为等腰三角形，且y轴为MF的垂直平分线，故P必在y轴上，此外，MN∥AB，则AMNFMNSS=，则12ANPFMPSSMFOPOP===，当MA与抛物线C相切时，取得

最大值1，即ANPS的最大值为1，故D对，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：若线段AB是抛物线22ypx=的一条过焦点F的弦，则112||||AFBFp+=，212yyp=−.12．4【分析】根据等比数列性质和对数运算求解即可.【详解

】由题意得()()31383183453logloglogloglog814aaaaaa+====.故答案为：4.13．322−【分析】将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，根据韦达定理，得到1212240,41xxxxk−+==+，根据2101PMkxx=+−，2201PNkxx=+−

，再根据0022xkx−=，即可求得答案.【详解】设()()()001122,,,,,,PxyMxyNxy直线MN的斜率为k，则直线MN的方程为：ykx=，联立方程得()2222141404xykxykx+=+−==，

则1212240,41xxxxk−+==+，所以12122414,xxxk==+−，因为椭圆C：2214xy+=的上顶点为A，右顶点为B，所以()()0,1,2,0AB，则直线AB的方程为112yx=−+，因为点P在线段AB上，直线OP与椭圆相交于M

，N两点，所以00000221112ykxxkxy==+−+=，因为点M在第一象限，所以1>0x，002x，201xxx，则2112412,xxxk==+−所以()22210102221112141PMkxxkxxkkk=+−=

+−=+−++，()22220102221112141PNkxxkxxkkk=+−=++=++++，()22222141214142141kkPMkkPNkkk+−++−+==+++，由00022212xxkkx−==+，

整理得，()()02200224422xxPMPNx−−+=−，当01x=时，max322PMPN=−故答案为：322−【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法：若题目的

条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围

；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．14．500π3【分析】由平面1ABE将直三棱柱111ABCABC−分成体积相等的两部分，确定E点为1CC的中点，再确定11AAB的外心以及三棱锥11EAAB−的高h，最后求三棱锥11EAAB−的外接圆半径即可.【详

解】如图，连接11,BCAC.因为111113ABCBABCABCVV−−=三棱锥三棱柱，且1111112ABCBACEBABCABCVVV−−−+=三棱锥三棱锥三棱柱所以111116ACEBABCABCVV−−=三棱锥三棱柱

，所以112ABCBACEBVV−−=三棱锥三棱锥，所以112BCBCEBSS=，因此11||||2||BBCECC==，即E为1CC的中点.取1AB的中点,MAB的中点N，连接,,MEMNCN，则1|1|||||2MNCEBB==，且MN∥CE，所以

四边形MNCE为平行四边形，所以ME∥CN.因为||||ACBC=，所以CNAB⊥，又因为平面11ABBA⊥平面ABC，且平面11ABBA平面ABCAB=,所以CN⊥平面11ABBA，则ME⊥平面11ABBA.因为M是11AAB的外心，且11AAB的外接圆半径22111||||||32A

AABrMA+===，三棱锥11EAAB−的高221||12hMECNACAB===−=.设球O的半径为R，则222()rhRR+−=，则222rhRh+==5，所以球O的体积34500ππ33VR==.故

答案为：500π3.【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）通过平面将直三棱柱分成体积相等的两部分可确定点E的位置；（2）求三棱锥11EAAB−的外接球半径R，先确定底面三角形11AAB的外接圆半径r及高h，再通过222()rhRR+−=即可求解.