【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练6 Word版含解析.docx，共(13)页，730.254 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三数学复习小题精练（6）一、单选题1．已知复数z满足2ii4zz+=+，则z=（）A．1B．455C．2D．52．在等差数列{}na中，若351024aaa++=，则13S=A．13B．14C．15D．163．已知正三棱柱111ABCABC−与以△ABC的

外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（）A．π3B．3πC．3√34πD．43π94．已知52a=，7log3b=，51log92c=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bacD．cba5

．如图所示的矩形ABCD中，E，F满足BEEC=，2CFFD=，G为EF的中点，若AGABAD=+，则的值为（）A．12B．23C．34D．26．双曲线22221xyab−=的左､右焦点分别为

12,FF，过2F作x轴垂线交双曲线于,AB两点，1FAB为正三角形，则双曲线的离心率为（）A．213B．2C．3D．627．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃

，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（）A．()()11664PXPX====B．()52EX=C．()32D

X=D．()54DX=8．若两曲线ln1yx=−与2yax=存在公切线，则正实数a的取值范围是（）A．(0,2eB．31e,2−+C．310,e2−D．)2e,+二、多选题9．有一组样本数据1x，2x，…，nx，由

这组数据得到新样本数据1y，2y，…，ny，其中iiyxc=+(1,2,,),inc=为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知点()0,5A，()5,0B−，动点P在圆C：(

)()22348xy++−=上，则（）A．直线AB截圆C所得的弦长为6B．PAB的面积的最大值为15C．满足到直线AB的距离为2的P点位置共有3个D．PAPB的取值范围为245,245−−−+11．已知函数()πsin(0,

0π)2fxx=+的部分图象如图1所示，AB､分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2

所示，此时10AB=，则下列四个结论正确的有（）A．3=B．π3=C．图2中，5ABAC=D．图2中，S是ABC及其内部的点构成的集合.设集合2TQSAQ=，则T表示的区域的面积大于π4三、填空题12．《

九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为.13．在数列na中，11a=且1nnaan+=，当20n时，1231112nnnaaaaa+++++−，则实数的取值范围为．14．已知点A、B为

椭圆22:14xCy+=的左、右顶点，点M为x轴上一点，过M作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，过M作AP的垂线交BQ于点N，则BMNBMQSS=．参考答案1．A【分析】根据2ii4zz+=+求出1+i𝑧，求出i𝑧，求出z，求出||z.【详解】由2ii4zz+=+，有1+i𝑧=

42+i=4(2−i)(2+i)(2−i)=85−4i5，∴i𝑧=35−4i5，∴𝑧=5i3−4i=5i(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−45+3i5，∴|𝑧|=1.故选：B．2．A【分析】因为数列是{}na是等差数列，所以可将351024aaa++=用首项和

公差表示为14a24d4+=，即1a6d1+=，然后用首项和公差表示13S，即()13111312S13ad13a6d2=+=+，进而整体代入便可得结果．【详解】解：因为数列是{}na是等差数列，设首项为1a，公差为d所以351024aa

a++=可转化为14a24d4+=，即1a6d1+=所以()13111312S13ad13a6d132=+=+=故选A【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量(,,)1adn来进行求解，也可以利用等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用．3．D【分析】设正三棱柱111A

BCABC−的底面边长为a，高为h，设圆柱的高为m，表示出棱柱和圆柱的体积，由两体积相等化简可求出棱柱与圆柱的高的比值【详解】设正三棱柱111ABCABC−的底面边长为a，高为h，等边ABCV的面积为12𝑎·√32𝑎=√34𝑎2，则正三棱柱111ABCABC−的体积为√34𝑎2ℎ，设AB

CV的外接圆半径为R，则𝑅=√32𝑎·23=√33𝑎，故𝑅=√33𝑎，设圆柱的高为m，则圆柱的体积π𝑅2𝑚=π3𝑎2𝑚，由题意得√34𝑎2ℎ=π3𝑎2𝑚，解得ℎ𝑚=4π3√3=4√3

π9.故选：D.4．A【分析】将指数式化为对数式，求得a，根据对数的性质比较出,,abc的大小关系.【详解】由52a=得5log2a=，125551log9log9log32c===，由于55log3log2，所以ca.由于75log3log3，所

以bc.由于55772log2log41,2log3log91==，所以22ab，即ab.综上所述，abc.故选：A【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数比较大小，属于基础题.5．A【

分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将AG用,ABAD表示出出来，从而可求得的值【详解】因为G为EF的中点，BEEC=，2CFFD=，所以1111112322222334AGAEAFABADABAD

ABAD=+=+++=+，因为AGABAD=+，所以23,34==，所以231342==．故选：A6．C【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长|𝐴𝐵|=2𝑏2𝑎，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可.【详解】设()1,Acy，代入

双曲线方程可得22224221122221yxcabybabaa−−===，所以|𝐴𝐵|=2𝑏2𝑎即正三角形的边长，所以正三角形的高为223232bbaa=，所以()22222232232332303bcacb

accacacaea===−−−==，故选：C.7．D【分析】设Y=X-1，分析出15,2YB，从而求出X的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案.【详解】设A=“向右下落”，则A=“向左下落”，且()()12PAPA=

=，设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以15,2YB，于是()()55551111C1C222kkkkPYkPXk−===+=−=（0,1,2,3,4,5k=）.所以()()5051116C232PXPX=====

，A错误；()()5151525C232PXPX=====，()()5251534C216PXPX=====，所以()()()()15571625343232162EX=+++++=，B错误；()222

271757107101234232232232232DX=−+−+−+−2275715562322324+−+−=，C错误，D正确故选：D8．B【分析】设

公切线与曲线的切点为()11,ln1xx−，()222,xax，利用导数的几何意义分别求ln1yx=−和2yax=上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切

线与曲线ln1yx=−和2yax=的交点分别为()11,ln1xx−，()222,xax，其中1>0x，对于ln1yx=−有1yx=，则ln1yx=−上的切线方程为()()1111ln1yxxxx−−=−，即()11ln2xyxx=+−，对于2yax=有2yax=，则2

yax=上的切线方程为()22222yaxaxxx−=−，即2222yaxxax=−，所以2121212ln2axxxax=−=−，有1211ln24xax−=−，即()22111112ln0

4xxxxa=−，令()222lngxxxx=−，()()32ln32lngxxxxxx=−=−，令()0gx¢=，得32ex=，当320,ex时，()0gx¢>，𝑔(𝑥)单调递增，当32,ex+时，()0gx¢<，𝑔(𝑥)单调递减

，所以()332max1ee2gxg==，故3110e42a，即31e2a−.故选：B.【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研

究单调性求参数范围.9．CD【分析】A、C利用两组数据的线性关系有()()EyExc=+、()()DyDx=，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.【详解】A：()()()EyExcExc=+=+且0c，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为ix，则第二

组的中位数为iiyxc=+，显然不相同，错误；C：()()()()DyDxDcDx=+=，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为maxminxx−，则第二组的极差为maxminmaxminmaxmin()()yyxcxcxx−=+−+=−，故极差相同，正确；故选：CD10．B

CD【分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D

.【详解】对于A，因为()0,5A，()5,0B−，所以直线AB的方程为50xy−+=，圆心()3,4C−到直线AB的距离为()22345211d−−+==+−，又因为圆C的半径22r=，所以直线AB截圆C所得的弦长为()2282

26−=，A错误．对于B，易知52AB=，要想PAB的面积最大，只需点P到直线AB的距离最大，而点P到直线AB的距离的最大值为22232rd+=+=，所以PAB的面积的最大值为13252152=，B正确．对于C，当点P在直线AB上方时，点P到直线AB的距离的范

围是()0,2r+，即()0,32，由对称性可知，此时满足到直线AB的距离为2的P点位置有2个．当点P在直线AB下方时，点P到直线AB的距离的范围是(0,2r−，即(0,2，此时满足到直线AB的距离为2的P点位置只有1个．综上所述，满足到直线AB的距离为2

的P点位置共有3个，C正确．对于D，由题意知()()()2PAPBPCCAPCCBPCPCCACBCACB=++=+++．又因为()0,5A，()5,0B−，()3,4C−，所以()3,1CA=，()2,4CB=−−，故()()321410CACB=−

+−=−，()1,3CACB+=−．设点()00,Dxy满足CACBCD+=，则()003,4CDxy=+−，故0031,43,xy+=−=−解得002,1,xy=−=即()2,1D−，10CD=．所以(

)28cos,10PAPBPCPCCACBCACBPCCDPCCD=+++=+−22210cos,245cos,PCCDPCCD=−+=−+．又因为45cos,45,45PCCD−，所以2

45cos,245,245PCCD−+−−−+，即PAPB的取值范围为[245−−，245]−+，D正确．故选：BCD11．AC【分析】在图2中，以点O为坐标原点，OC、AA的方向分别为y、z轴的

正方向建立空间直角坐标系Oxyz−，根据已知条件求出的值，即可判断A；结合的取值范围求出的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出cosBAC，结合扇形的面积公式可判断D.【详解】函数()fx的最小正周期为2π4π2T==，在图2中，以点O为

坐标原点，OC、AA的方向分别为y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz−，设点()0,,0At，则点()0,,At、(),2,0Bt+，()()()2222020241

0ABtt=−++−+−=+=，因为0，解得3=，故A正确；所以，()π3sin2xfx=+，则()303sin2f==，可得1sin2=，又因为函数()fx在0x=附近单调递减，且0π，所以，5π6=，故B错误；因为()π5π3

sin326tft=+=，可得π5πsin126t+=，又因为点A是函数()fx的图象在y轴左侧距离y轴最近的最高点，则π5ππ262t+=，可得23t=−，所以，()π5π3sin26xfx=+，因为点C是函数()fx在y轴右侧的第一个对称中心，所以，π5

ππ26Cx+=，可得13Cx=，翻折后，则有20,,33A−、43,,03B、10,,03C、20,,03A−，所以，()3,2,3AB=−，()0,1,3AC=−，所以，在图2中，()202135ABAC

=++−=，故C正确；在图2中，设点(),,0Qxy，()22220323AQxy=+++−，可得22213xy++，()0,1,0AC=，()3,2,0AB=，2272cos7217ACABB

ACACAB===，易知BAC为锐角，则π04BAC，所以，区域T是坐标平面xOy内以点A为圆心，半径为1AC=，且圆心角为BAC的扇形及其内部，故区域T的面积21ππ1248TS

=，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题.12．20125+【分析】先利用勾股定理求出正四棱台侧面的高，再根据多面体的表面积公式即可得解.【详解】如图所示，,ACBD分别是正四梭台不相邻两个侧

面的高，AECD⊥，则AE即为正四梭台的高，2AE=，由2,4ABCD==，得2242252ACBD−==+=，所以此方亭的表面积为()22245424201252+++=+.故答案为：20125+.13．(,1−【分析】由数列的递

推式可得111nnnaaa+−=−，求和后结合条件可得22，求出即可.【详解】因为1nnaan+=，11a=，所以21a=，当2n时，11nnaan−=−，所以111nnnnaaaa+−−=，所以111nnnaaa+−=

−，所以3142531111223111nnnnnaaaaaaaaaaaaaaa+−++++=−+−+−++−=+−−12nnaa+=+−，因为1231112nnnaaaaa+++++−，所以1122nnnnaaaa+++−+−，所以22，解得1.所以实

数的取值范围为(,1−.故答案为：(,1−【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得111nnnaaa+−=−，然后利用累加法求和求解范围即可.14．45【分析】设点(),Pmn，则(),0Mm，(),Qmn−，写出直线MN和BQ的方程

，联立这两条直线的方程，求出点N的坐标，即可得出BMNBMQSS的值.【详解】如下图所示，设(),Pmn，则(),0Mm，(),Qmn−，由题设知2m且0n，直线AP的斜率2APnkm=+，直线MN斜率2MNmkn+=−.直线MN的方程为()2myxmn+=−−，直线BQ的方程为()

22nyxm=−−.联立()()222myxmnnyxm+=−−=−−，解得()22244Nnmymn−=−−+.又点P在椭圆C上，得2244mn−=，45Nyn=−.又1225BMNNSBMyB

Mn==，12BMQSBMn=，45BMNBMQSS=.故答案为45.【点睛】本题考查椭圆中三角形的面积比的计算，解题的关键就是要求出点的坐标，同时也要注意点的坐标满足椭圆方程，结合等式进行计算，考查运算求解能力，

属于中等题.