【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练7 Word版含解析.docx，共(13)页，680.141 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三数学复习小题精练（7）一、单选题1．已知集合0,1,2,3,4,5A=，|ln1Bxx=，则AB=（）A．1,2B．1,2,3C．0,1,2,3D．0,1,2,3,4,52．已知复数z满足()1i3iz−=+，则z在复

平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知正实数,ab满足4111abb+=++，则2+ab的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得abcd+为偶数的不同排列方

法有（）A．1224种B．1800种C．984种D．840种5．根据国家规定：100mL血液中酒精含量达20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定的酒后，其血液酒精含量上升到了1.2mg/mL．如

果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时20%的进度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整，参考数据：lg20.30，lg30.48）A．7B．8C．10D．116．双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的左､右焦点分别为()()12,0,,0FcFc−，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且1224FPFSa=，则曲线C的离心率为（）A．5B．512+C．51−D．27．如图，在等腰梯形ABCD中，𝐴𝐵=2𝐷𝐶=2，60DAB=，

E为AB的中点，将ADEV与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥𝑃−𝐷𝐶𝐸的外接球的体积为（）A．4√3π24B．√6π2C．6π8D．√6π248．设函数()()1sin(0)2fx

x=+−，若对于任意实数，函数()fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（）A．41,3B．45,33C．5,23D．72,3

二、多选题9．已知m，n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面.若直线l满足lm⊥，ln⊥，l，l，则下面结论错误的是（）A．//，//lB．与相交，且交线平行于lC．⊥，l⊥D．与相交，且交线垂直于l10．已知数列,n

nab的前n项和分别为,nnST，若121,22nnnanT+=−=−，则（）A．10100S=B．101024b=C．11nnaa+的前10项和为919D．1nb的前10项和为1023102411．已知椭圆()222:1039xyCbb+=左右两个焦点分别为1F和

2F，动直线l经过椭圆左焦点1F与椭圆交于,AB两点，且228AFBF+恒成立，下列说法正确的是（）A．6b=B．4,6ABC．离心率32e=D．若OAOB⊥，则2211518OAOB+=三、填空题12．△ABC的内角A、B、C所对边长分别为ab

c、、，面积为S，且2224abcS+−=，则角C=.13．在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(0,3),(3,0)ABC−，动点D满足1CD=，则OAOBOD++的最大值是14．已知函数()()1elnxfxxxx=−−，若()12

,0,xx+且12xx，有()()122212fxfxaxx−−恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案题号12345678910答案ADBABACCACDABD题号11答案AB1．A【分析】根据对数函数的性质求得B

，再根据集合的交集运算定义求解即可．【详解】由题可知，|0eBxx=，所以1,2=AB，故选：A．2．D【分析】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出z，根据共轭复数得到z，然后由复数的几何意义进行判断.【详解】根据复数的模长公式，223i31

2+=+=，则()1i2z−=，故222(1i)1i1i1iz+===+−−，故1iz=−，根据复数的几何意义，z在复平面上对应点是(1,1)−，在第四象限.故选：D3．B【分析】令211ababb+=+++−，用1abb+++分别乘4111abb+=++两边再用均值不

等式求解即可.【详解】因为4111abb+=++，且,ab为正实数所以1(414(1))41111)(abbabbabbabbabb+++=++++++++=+++++4(1)5291abbbab+++=++，当且仅当4(1)1abbbab++=++即2ab=+时等

号成立.所以219,28abab+++.故选：B.4．A【分析】考虑d为偶数和d为奇数两种情况，判断abc的奇偶性，根据,,abc中偶数的个数计算得到答案.【详解】当d为偶数，则abc为偶数，有11221334353533C(CCCCC)A1104++

=；当d为奇数，则abc为奇数，四个数均为奇数，有45A120=.所以不同排列方共有1224种．故选：A5．B【分析】设经过x个小时才能驾驶，则()1.2120%0.2x−，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【详解】设经过x个小

时才能驾驶，则()1.2120%0.2x−，即0.2210.8==1.2126x，由于0.8xy=在定义域上单调递减，所以()0.81lglg2lg31lg60.30.480.786log7.86lg0.8lg813lg2130.310.1x−+−−−=====−−−，∴

他至少经过8小时才能驾驶.故选：B.6．A【分析】设1AFO=，求出sinac=及cosbc=，由三角形面积及三角函数值得到14PFa=，由双曲线定义得到22PFa=，在12PFF中，由余弦定理得到方程，求出2ba=，得到离心率.【详解】设切点为A，1AFO

=，连接OA，则1sinAOaOFc==，2cos1sinbc=−=，过点P作PE⊥x轴于点E，则12212142FPFSFFPEcPEa===，故24aPEc=，因为1sinPEaPFc==，解得14PFa=，由双曲线定

义得122PFPFa−=，所以22PFa=，在12PFF中，由余弦定理得22222211221121644cos2242PFFFPFacabPFFFacc+−+−===，化简得2234acab+=，又222cab=+，所以22440abab+−=，方程两边同时除以2a得2440bb

aa+−=，解得2ba=，所以离心率2215bea=+=.故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea=；②

只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，结合222bca=−转化为,ac的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或2a转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).

7．C【分析】根据题意可得三棱锥𝑃−𝐷𝐶𝐸为正四面体，且棱长为1，则点P在底面CDE的投影为等边CDE的中心，设为G，所以正三棱锥𝑃−𝐷𝐶𝐸外接球的球心必在PG上，从而可求出球的半径，进而可求出球的体积.【详解】因为在等腰

梯形ABCD中，𝐴𝐵=2𝐷𝐶=2，60DAB=，E为AB的中点，所以△𝐴𝐷𝐸,△𝐶𝐷𝐸,△𝐵𝐶𝐸都为等边三角形，且边长均为1，所以三棱锥𝑃−𝐷𝐶𝐸为正四面体，且棱长为1，所以点P在底面CDE的投影

为等边CDE的中心，设为G，则𝐷𝐺=𝐶𝐺=𝐸𝐺=23×√32×1=√33，在Rt△𝑃𝐷𝐺中，𝑃𝐺2=𝑃𝐷2−𝐷𝐺2=1−13=23，所以𝑃𝐺=√63，正三棱锥𝑃−𝐷𝐶𝐸外

接球的球心必在PG上，设球心为O，则𝑂𝑃=𝑂𝐷=𝑂𝐶=𝑂𝐸，设外接球的半径为R，则𝑂𝑃=𝑂𝐷=𝑂𝐶=𝑂𝐸=𝑅，则在RtODG△中，𝑂𝐷2=𝑂𝐺2+𝐷𝐺2，则𝑅2=(√63−𝑅)

2+(√33)2，解得64=R，所以三棱锥𝑃−𝐷𝐶𝐸的外接球的体积为43π𝑅3=43π×(√64)3=√6π8.故选：C8．C【分析】根据为任意实数，转化为研究函数1sin2yx=−在任意一个长度为2π02π−=的区间上的

零点问题，求出函数1sin2yx=−在y轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为10π3，相邻五个零点之间的距离为4π，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于2π，相邻五个零点之间的距离大于2π，列式可求出结果.【详解】因为为任意实数，故函数()fx

的图象可以任意平移，从而研究函数()fx在区间0,2π上的零点问题，即研究函数1sin2yx=−在任意一个长度为2π02π−=的区间上的零点问题，令1sin2yx=−0=，得1sin2x=，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6，5π6，13π6

，17π6，25π6，L，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3，4π3，2π3，4π3，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3，相邻五个零点之间的距离为4π，所以要使函数()fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之

间的最大距离不大于2π，相邻五个零点之间的距离大于2π，即10π2π34π2π，解得523.故选：C【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间0,2π是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.

9．ACD【分析】AC选项，可反证法判断；BD选项，作出辅助线，由线面垂直的判断，性质和线线平行关系得到B正确，D错误.【详解】A选项，假设//，因为m⊥平面，n⊥平面，则//mn，这与直线m，n为异面直线矛盾，故A错误；C选项，假设l⊥，因为n⊥平面，所以

//nl，这与ln⊥矛盾，故C错误；BD选项，设a=，作//bm，使得b与n相交，记b与n构成平面，如图，因为m⊥平面，a，则ma⊥，又//bm，故ba⊥，同理：na⊥，而b与n构成平面，所以a⊥；因为lm⊥，又//bm，故lb⊥

，又ln⊥，b与n构成平面，所以l⊥，故而//la，即与的交线平行于l，故B正确，D错误；故选：ACD10．ABD【分析】本题首先根据题意判断出数列{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}分别是等差数列、等比数列，求出等比数列{𝑏𝑛}的通项公式，进而分析1nb也是等比数列并求出其通项公式

，可解决选项A、B、D的问题，再依据裂项法，111111()nnnnaadaa++=−可解决选项C的问题.【详解】21nan=−，所以{𝑎𝑛}是首项11a=，公差2=d的等差数列，()1010101101210

02S−=+=，故选项A正确.令11nnncaa+=×，则11111111()()2nnnnncdaaaa++=−=−，1210122310111111111111111()()22cccaaaaaaaa+++=−+−

++−=−，又11a=，1121a=，12101110(1)22121ccc+++=−=，故选项C错误.又122nnT+=−，1122222(1,N)nnnnnnbTTnn+−=−=−−+=＞，又1111222bT+==−=，1122b==，2(N)nnbn=，

{𝑏𝑛}是首项为12b=，公比2q=的等比数列，101021024b==，故选项B正确.又11111222nnnb−==，1nb是首项为12，公比为12的等比数列，101231011(1)111110232

21102412bbbb−++++==−，故选项D正确.故选：ABD.11．AB【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得6b=，由椭圆性质可得4,6AB，且离心率33e=，联立直线和椭圆方程可知当OAOB⊥，

方程无解，因此D错误.【详解】如下图所示：易知3a=，由椭圆定义可知22412ABAFBFa++==，因为228AFBF+恒成立，所以4AB，当ABx⊥轴，即|𝐴𝐵|为通径时，|𝐴𝐵|最小，所以2min24bABa==，解得

6b=，所以A正确；当|𝐴𝐵|为长轴时，|𝐴𝐵|最大，此时26ABa==，所以4,6AB，即B正确；可得椭圆方程为22:196xyC+=，易知223cab=−=，所以离心率33cea==，即C错误；因为()13,0F−，可设直线l的方程

为3xmy=−，𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立223196xmyxy=−+=，整理可得()222343120mymy+−−=，因此1212224312,2323myyyymm+==−++；若OAOB⊥，可得0OAOB=，即12120xxyy+

=，所以()()212121330myymyy+−++=；整理得2610m+=，此时方程无解，因此D错误.故选：AB12．4/45【分析】将ABCV的面积in12sSabC=，及2222cosabcabC+−=，代入条件计算即可.【详解】ABCV的面积in12sSabC=

，因为2224abcS+−=，所以12cos4sin2abCabC=，所以tan1C=，又()0,πC，所以π4C=.故答案为：π413．71+/17+【分析】由题意可设())()3cos,sin0,2πD

+，由向量线性运算、模的坐标公式结合辅助角公式即可得解.【详解】动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆，则设为())()3cos,sin0,2π+，则()()223cos1sin384cos2sin3OAOBOD++=+−++=++()827si

n82771=+++=+.等号成立当且仅当π2π,Z2kk+=+，且规定是锐角，2127cos,sin77==.故答案为：71+.14．1,2−【分析】将条件转化为()()2gxfxax=−在(0,+∞)上单调递增，再转化为ln1e2xxaxx−−在(0,+∞

)上恒成立，利用导数求函数()ln1=exxhxxx−−的最小值，可得结论.【详解】不妨设12xx，则不等式()()122212fxfxaxx−−可化为()()()221212fxfxaxx−−，所以()()221122fxaxfxax

−−，设()()2gxfxax=−，由已知可得()()2gxfxax=−在(0,+∞)上单调递增，所以()20fxax−在(0,+∞)上恒成立，所以eln120xxxax−−−在(0,+∞)上恒成立，

所以ln1e2xxaxx−−在(0,+∞)上恒成立，设()ln1=exxhxxx−−，则()222221ln1lneln=eexxxxxxxhxxxxx−+−+=+=，设()2elnxxxx=+，则()()212e0xxxxx=++，所以函数()2elnxxxx=+在(0

,+∞)上单调递增，又()1e>0=，121e2ln2lne0244=−−=，所以存在01,12x，满足()00x=，即0200eln0xxx+=，所以001ln0000ee111lnlnxxxxxx==，设()(

)e0xxxx=，则()ee0xxxx=+，所以()exxx=在(0,+∞)上单调递增，又0010,ln0xx，所以0001lnlnxxx==−，所以当0xx时，()0x，ℎ′(𝑥)>0，函数()ln1=exxhxxx−−在()0,x+

上单调递增，当00xx时，()0x，ℎ′(𝑥)<0，函数()ln1=exxhxxx−−在()00,x上单调递减，所以()()00000ln1exxhxhxxx=−−，又0200eln0xxx+=，所以()0

00000111ee11xxhxxxxx+−=+−=，所以21a，所以12a，所以实数a的取值范围是1,2−.故答案为：1,2−.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为()()2gxfxax

=−在(0,+∞)上单调递增，进一步转化为()0gx在(0,+∞)上恒成立.