【文档说明】高二数学期中模拟卷（全解全析）.docx，共(12)页，790.143 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写

在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章数列+第2章平面解析几何初步+第3章圆锥曲线与方程。5．难度系数：0.69。第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10xy−+=的倾斜角为（）A．π4B．π2C．3π4D．π4或3π4【答案】A【解析】直线10xy−+=可

化为1yx=+，设倾斜角为[0,),，则tan1,4==.故选：A2．记nS为等差数列na的前n项和．若158aa+=，3424aa=，则6S=（）A．10B．20C．30D．40【答案】C【解析】由等差数列的性质得

151248aaad+=+=①，()()13142324daaaad==++②，由①得142ad=−，代入②得()4424d+=，解得2=d，故1420ad=−=，故6161530Sad=+=.故选：C3．若22420xyxym++−−=表示圆的方程，则

m的取值范围是（）A．()5,+B．(),5−C．(),5−−D．()5,−+【答案】D【解析】因为方程22420xyxym++−−=表示一个圆，所以()224240m+−+，解得5m−，所以m的取值范围是()5,−+.故选：D4．以椭圆22925225xy+=的焦点

为焦点，离心率2e=的双曲线的标准方程为（）A．221412−=xyB．221124xy−=C．221204xy−=D．221420xy−=【答案】A【解析】椭圆22925225xy+=化为标准方程为221259xy+=，焦点为()4,0，双曲线的半焦距4c=

，离心率2cea==，2a=，22212bca=−=，双曲线的标准方程为221412−=xy．故选：A．5．在正项等比数列na中，nS为其前n项和，若55S=，1015S=，则15S的值为（）

A．30B．35C．40D．75【答案】B【解析】因为正项等比数列na中，nS为其前n项和，则51051510,,SSSSS−−也是等比数列，即()()210551510SSSSS−=−，又55S=，1015S=，所以()()21515

5515S−=−，解得1535S=.故选：B.6．已知两条直线1:3210lxy−+=和2:210laxy++=相互垂直，则a=（）A．2B．3C．43D．43−【答案】C【解析】易知1:3210lxy−+=的斜率

为32，2:210laxy++=的斜率为2a−，所以3122a−=−；解得43a=.故选：C7．已知实数,xy满足方程2220xyx+−=，则11yx++的最大值是（）A．34B．43C．0D．12【答案】B【解析】C的方程222

0xyx+−=可化为22(1)1xy−+=，它表示圆心()1,0，半径为1的圆，11yx++表示圆上的点与点()1,1P−−的连线的斜率k，设过圆上点与点()1,1P−−的直线方程为()11ykx+=+，则圆心()1,0到直线()11ykx+=+的距离22111kdk−=+，可

得403k，即最大值为43，故选：B.8．已知1F，2F分别是椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，1PF与y轴交于点M．若1OPOF=，156aMF=，则椭圆E的离心率为（）A．59或58B．32或12C．34或14D．53或1

04【答案】D【解析】由1OPOF=，得1212OPFF=，则12PFPF⊥，则121PFFOFM∽△△，则11211PFFFOFFM=，即1256PFcac=，解得21125cPFa=，则22221

1210122255cacPFaPFaaa−=−=−=，因为12PFPF⊥，所以2221212PFPFFF+=，即222222121012455caccaa−+=，整理得42247285250caca−+=，则427285250e

e−+=，解得259e=或258e=，故53e=或104e=．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列na是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A．1na

B．1nnaa+C．()2lgnaD．1nnaa++【答案】AB【解析】由题意知na为等比数列，设其公比为q()0q；对于A，11111111nnnaaqaq−−==，∴数

列1na是以11a为首项，1q为公比的等比数列，故A正确；对于B，21221nnnnnnaaaqaaa++++==，∴数列1nnaa+是以12aa为首项，2q为公比的等比数列，故B正确；对于C，当1na=时，()2lg0na=，数列()2lgna不是等比数列，故C

错误；对于D，当1q=−时，10nnaa++=，数列1nnaa++不是等比数列，故D错误.故选：AB.10．已知直线l：210kxyk−++=和圆O：228xy+=，则（）A．存在k使得直线l与直线0l：20xy−=垂直B．直线l恒过定点()2,1C．直线l与圆O相交D．直线l被圆O截得的最短

弦长为23【答案】ACD【解析】由题意可知：圆O：228xy+=的圆心为()0,0O，半径22r=，对A：因为直线0l：20xy−=的斜率为12，当直线l的斜率为2k=−时，此时直线l与直线0l垂直，满足题意，A正确；对B：由210kxyk−++=可得，()

210kxy+−+=，令2010xy+=−+=，解得21xy=−=，所以直线l恒过定点()2,1A−，故B错误；对C：因为定点()2,1A−到圆心的距离为41522+=，所以定点()2,1A−在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；对D：直线l恒过定点()

2,1A−，圆心到直线l的最大距离为5OA=，此时直线l被圆O截得的弦长最短为28523−=，D正确；故选：ACD.11．在平面直角坐标系xOy中，过拋物线2:4Cyx=的焦点F作直线l交抛物线C于,AB两点，则（）A．AB的最小值为2B．以线段AF为直径的圆与y轴相切C．111FAFB+=D．

0OAOB=【答案】BC【解析】由题意可知，抛物线2:4Cyx=的焦点(1,0)F，准线为1x=−，直线l的斜率不为零，设直线l为1xmy=+，1122()AxyBxy,,(,)，由{𝑥=𝑚𝑦+1𝑦2=4𝑥，得244

0ymy−−=，因为216160m=+，所以12124,4yymyy+==−，所以𝑥1+𝑥2=(𝑚𝑦1+1)+(𝑚𝑦2+1)=𝑚(𝑦1+𝑦2)+2=4𝑚2+2，所以|𝐴𝐵|=𝑥1+𝑥2+2=4(𝑚2+1)，对于A，因为|𝐴𝐵|=4(𝑚2+1)≥4，

当且仅当0m=时取等号，所以|𝐴𝐵|的最小值为4，所以A错误，对于B，因为线段AF的中点为𝑀(𝑥1+12,𝑦12)，|𝐴𝐹|=𝑥1+𝑝2=𝑥1+1，则M到y轴的距离为𝑑=𝑥1+12，而以线段AF

为直径的圆的半径为𝑥1+12，所以圆心到y轴的距离等于圆的半径，所以以线段AF为直径的圆与y轴相切，所以B正确，对于C，因为1|𝐹𝐴|+1|𝐹𝐵|=1𝑥1+1+1𝑥2+1=1𝑚𝑦1+2+1𝑚𝑦2+2=𝑚(𝑦1+𝑦2)+4𝑚2𝑦1𝑦2+2𝑚(𝑦1+𝑦2)+4

=4𝑚2+4−4𝑚2+8𝑚2+4=1，所以C正确，对于D，因为𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=(𝑚𝑦1+1)(𝑚𝑦2+1)+𝑦1𝑦2=(𝑚2+1)𝑦1𝑦2+𝑚(𝑦1+𝑦2)+1=−4(𝑚2+1)

+4𝑚2+1=−3≠0，所以D错误，故选：BC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线210xy−−=与210xy−+=之间的距离是.【答案】255【解析】易知直线2

10xy−−=与210xy−+=平行，这两条直线间的距离为()221125521d−−==+−.故答案为：255.13．已知圆1O：221xy+=，圆2O：()()22316xya++−=，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是.【答案】4,4−【

解析】由题意知，1122(0,0),1,(3,),4OrOar=−=，则22212(30)(0)9OOaa=−−+−=+，因为圆1O与圆2O有公共点，所以211221rrOOrr−+，即2395a+，解得44a

−，所以实数a取值范围是4,4−.故答案为：4,4−.14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为24dm20dm的长方形纸，对折1次共可以得到1

2dm20dm,24dm10dm两种规格的图形，它们的面积之和21480dmS=，对折2次共可以得到6dm20dm，12dm10dm,24dm5dm三种规格的图形，它们的面积之和22360dmS=，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么1nk

kS==2dm．【答案】6；515(3)14402nn−+−【解析】第一空：由对折2次共可以得到6dm20dm，12dm10dm,24dm5dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：3dm20dm，6dm10dm，512dm5dm,

24dmdm2共4种不同规格；对折4次可得到如下规格：3dm20dm2，3dm10dm，6dm5dm，5512dmdm,24dmdm24，共5种不同规格；对折5次可得到如下规格：3dm20dm4，3dm10dm2，3dm5dm，56dmdm2，5512dmdm,24d

mdm48，共6种不同规格；第二空：由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为2240dm,对于第n次对折后的图形的规格形状种数为1n+种，第n次对折后的图形面积之和为()124012

nnnS−+=，则01211240224032404240(1)2222knnkSnS−===+++++，1232124022403404240(1)22222nSn=+++++，两式作差得：123121224

02402402402400(1)242282nnSn−=+++++−+11240(1)240(1)240(3)7211(1)2402248024012120720222nnnnnnnn−−−=++++−=−=−−−，因此515(3)14402nnS−=−+.

故答案为：①6；②515(3)14402nn−+−.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知()()()3,2,5,4,0,2ABC−−−，在ABCV中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．【解析】（1）BC边过两点

(5,4),(0,2)BC−−由两点式，得()()452405yx−−−=−−−−，即25100xy++=，............................................................4分故BC边的方程是()2510005x

yx++=．............................................................6分（2）设BC的中点为(,)Mab，则50522a+==，()()4232b−+−==−，所以5,32M−，...............

.............................................9分又BC边的中线过点(3,2)A−，所以()()3253232xy−−−=−−−−，即101180xy++=，所以BC边上的中线所在直线的方程为101180

xy++=．............................................................13分16．（15分）已知数列na是单调递增的等比数列，数列nb是等差数列，且11

22333,17,14ababab==+=−=．(1)求数列na与数列nb的通项公式；(2)求数列nnab−的前n项和nS．【解析】（1）设等比数列na的公比为q，等差数列nb的公差为d，由223317,14,

abab+=−=得()1121117,214,aqbdaqbd++=−+=即2314,3217,qdqd+=−=即22150qq+−=，解得5q=−或3q=．.......................

.....................................3分当5q=−时，21aa，不满足na单调递增，当3q=时，112630nnnnaaa−+−==，满足na单调递增，故3q=，所以3nna=．.....................

.......................................6分又314qd+=，所以5d=，所以()35152nbnn=+−=−，即数列na与数列nb的通项公式为3nna=，*52,Nnbnn=−...........

......................................8分（2）利用等比数列前n项和公式可得，数列na的前n项和为()131333132nn+−−=−，....................................

........................11分数列nb的前n项和为()2352522nnnn+−+=，............................................................14分所以数列nnab−的前n项和1212335353222

nnnnnnnS++−+−−−=−=，即123532nnnnS+−−−=............................................................15分17．（15分）已知圆C与y轴相切，圆心在直线10xy+−=上，且被x轴截得的弦长为23．(1)

求圆C的方程；(2)已知直线l过点()1,3−，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．【解析】（1）设圆C的标准方程为()()()2220xaybrr−+−=，∵圆心C在直线10xy+−=上，10ab+−=，①......................

......................................2分∵圆C与y轴相切，ra=，②..........................................................

..4分又∵圆C被x轴截得的弦长为23，223br+=，③............................................................6分联立①②③解得，2a=，1b=−，2r=

，圆C的方程为()()22214xy−++=．............................................................7分（2）∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，圆心C到直

线l的距离11dr=−=．............................................................9分当直线l斜率不存在时，直线l的方程为1x=，圆心C(2,1)−到直线l的距离为1，符合题意；...

.........................................................11分当直线l斜率存在时，设直线l的方程为()31ykx+=−，即30kxyk−−−=，圆心C到直线l的距离222132111kkkdkk+−−−===++，解得34k=，

直线l的方程为34150xy−−=．综上，所求直线l的方程为1x=或34150xy−−=．............................................................15

分18．（17分）已知平面内两个定点(2,0)A−，(2,0)B，满足直线PA与PB的斜率之积为14的动点P的轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于不同两点,MN；(1)求曲线C的轨迹方程；(2)若直线AM和AN的斜率之积为112，求证

：直线l过定点；(3)若直线l与直线12:20,:20lxylxy+=−=分别交于,RS，求证：||||MRNS=.【解析】（1）设(,)(2)Pxyx，由题有1224yyxx−−=−−−，化简得到2214xy−=，所以曲线C的轨迹方程为221(0)4xy

y−=.............................................................3分（2）因为直线AM和AN的斜率之积为112，所以直线l的斜率存在，设:lykxb=+，11(,)Mxy，22(,)Nxy，由2214xyykxb−=

=+，消y得到()22211484402kxkbxbk−−−−=，则2222644(44)(14)0kbbk=++−，2121222844,1414kbbxxxxkk−−+==−−，........

....................................................6分2222222121222121212()()(44)841222()4441641612AMANyy

kxbkxbkbkbbbkkkxxxxxxbkbk++−−++−====+++++−−++−，化简整理得到2220kkbb+−=，得到2bk=或bk=−，当2bk=时，2(2)ykxkkx=+=+，直线过定点(2,0)−与A重合，不合题意，当bk=−，(1)ykxkkx=−=

−，直线过定点(1,0)，所以直线l过定点...........................10分（3）由（2）知122814kbxxk+=−，121222()214byykxxbk+=++=−，所以MN的中点坐标为224(,)1414kbbk

k−−，............................................................12分又易知直线12:20,:20lxylxy+=−=是双曲线2214xy−=的渐近线，设3344(,)(,)RxySxy,，由20xy

ykxb+==+，得R的坐标为2(,)1212bbkk−++，由20xyykxb−==+，得S的坐标为2(,)1212bbkk−−，得到RS的中点坐标为224(,)1414kbbkk−−，..............................................

..............15分所以MN的中点与RS的中点重合，设中点为P，则,PRPSPMPN==，从而有||||MRNS=.............................................

................17分19．（17分）如果数列na满足：1230naaaa++++=L且()*12313,naaaann++++=N，则称数列na为n阶“归化数列”．若数列na还满足：数列na项数有限为N；则称数列na为“N阶可控摇摆数

列”.(1)若某6阶“归化数列”na是等比数列，写出该数列的各项；(2)若某13阶“归化数列”na是等差数列，求该数列的通项公式；(3)已知数列na为“N阶可控摇摆数列”，其前n项和为nS，且存在1mN，

使得12NimiaS==，探究：数列nS能否为“N阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.【解析】（1）设123456,,,,,aaaaaa成公比为q的等比数列，显然1q，则有1234560aaaaaa+++++=，得61

(1)01aqq−=−，解得1q=−，由1234561aaaaaa+++++=，得161a=，解得116a=，所以数列111111,,,,,666666−−−或111111,,,,,666666−−−为所求6阶“归化数列”；.......................

....3分（2）设等差数列12313,,,,aaaa的公差为d，由123130aaaa++++=，所以113121302da+=，所以160ad+=，即70a=，......................................................

......5分当0d=时，与归化数列的条件相矛盾，............................................................6分当0d时，则12671,02aaaa+++=−=，所以111615260adad+=−+=，

即117142ad=−=，所以()117N,1374242nnnann−−=−+=，............................................................8分当0d时，由12671,02aaaa+++==，所以11

1615260adad+=+=，即117142ad==−，所以()117N,1374242nnnann−−=−=−，故()7N,1342nnann−=或()7N,1342nnann−=−；..........

..................................................10分（3）不能，理由如下：记123,,,,Naaaa中所有非负项之和为A，负项之和为B，因为数列na为“N阶可控摇摆数列”，则01ABAB+=−=，得11,22AB==−，故()111,

2,3,,22nBSAnN−===，所以12nS，............................................................13分若存在1mN，使得12NimiaS==，即12mS=，则12

120,0,,0,0,0,,0mmmNaaaaaa++，且1212mmNaaa+++++=−，假设数列nS也为“N阶可控摇摆数列”，记数列nS的前n项和为nT，则12312mmTSSSS=++++，因为12mS=，所以12310mSSSS−=====，所以1

23110,2mmaaaaa−======；又1212mmNaaa+++++=−，则12,,,0mmNSSS++，所以123123NNSSSSSSSS++++=++++；即1230NSSSS++++=与1231NSSSS++++=

不能同时成立.故数列nS不为“N阶可控摇摆数列”.............................................................17分