【文档说明】（沪教版2020，测试范围：必修第三册第十章~十一章）高二数学期中模拟卷（全解全析）（沪教版2020）.docx，共(17)页，2.609 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。5．难度系数：0.72。一、填空题（本大

题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16，则该球的体积

为.【答案】323【解析】设球的半径为r，则表面积2416Sr==，解得2r=，所以体积3344322333Vr===，故答案为：3233．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A的两边和角∠B的两边分别平

行，且方向相同，则∠A与∠B相等此时70BA==；②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，此时180110BA=−=.故答案为70或110.4．如图，正

三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1BC与底面ABC所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arctan2【解析】如图,因为1BB⊥平面ABC,BC平面ABC,所以1BBBC⊥,所以1BCB为直线1BC与底面ABC所成的角，所以111tan=2B

BBCBBC=,所以11=arctan2BCB，故答案为：1arctan2.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都

相等，则∥；③若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面时，有无数个平面垂直于平面，故①错误；②若三点在平面同侧，则∥；若三点在平面

两侧，则与相交，故②错误；③直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l垂直于平面内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：

③6．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为.【答案】33【解析】如下图：连接AC交BD于O点，连接OE，则OE//PA，所以OEB就是异面直线BE与PA所成的角，连

接PO，因为⊥PO面ABCD，所以PODB⊥，又因为ACDB⊥，ACPOO⊥=，所以BD⊥面POC，所以BDOE⊥，所以直在角三角形EOB中，设PAa=，则3,22aOEBEa==，3cos3OEOEBBE==.故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其

轴截面是边长为6m的正ABCV，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m.【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6

，则66180n=，解得：180n=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3mAP=，6(m)AB=，90BAP=所以在圆锥侧面展开图中：()223635mBP=+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆

台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AFDFAGDH====，1BECEBGCH====，所以3ABCD==，而上下底面周长分别为4π、2π，故

该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABCABC−的体积为3，P，Q，R分别为侧棱1AA，1BB，1CC上的点，且1APCRAA+=，则QACRPV−=.【答案】1【解析】在三棱柱111ABCABC−中，易知侧

面11ACCA为平行四边形，设其面积为1S，1AA上的高为h，在平行四边形11ACCA中，易知四边形ACRP为梯形或平行四边形，设其面积为S，且其高为h，则()11111222ShAPCRhAAS=+==，在三棱柱111ABCABC−中，易知1

//BB平面11ACCA，点Q到平面11ACCA的距离与点B到平面11ACCA的距离，设该距离为d，连接11,ACAB，作图如下：则111111113323QACRPACABACAAABCVdSdSdSVV−−−=====，设三棱柱111ABCABC−的体积3V=，由图可知，11

13AABCVV−==，即1QACRPV−=，故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．【答案】3【解析】如图，设二面角l−−为π6

，点A，且,6ABlAB⊥=，过点A作AC⊥平面，垂足为C，连接BC，∵AC⊥平面，,lBC，∴,AClACBC⊥⊥，又∵,ABlABACA⊥=I，,ABAC平面ABC，∴l⊥平面ABC，BC平面ABC，则lBC⊥，故二面角l−−的平面角为π6ABC=，

在Rt△ABC中，sin3ACABABC==，故点A到平面的距离为3.故答案为：3.11．正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将ADEV，CDFV，BEF△分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥ODEF−，则该三棱锥外接球半

径R与内切球半径r的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD中，,,ADAECDCFBEBF⊥⊥⊥，折起后,,ODOEOF两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以,,ODOEOF为棱的长方体外接球，不妨设正方形ABCD边长

为2，则2,1,1ODOEOF===，故22226RODOEOF=++=，则62R=，因为11111123323ODEFOEFVSOD−===△，而该三棱锥的表面积与正方形的面积相同，即4S=，则13O

DEFVSr−=，即11433r=，故14r=，所以64262Rr==.故答案为：26.12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点

到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；

（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上

满足条件的这样的平面共有4832=个，故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三

棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（）．A．、都垂直于一个平面γB．平面内有无数条直线与平面平行C．l、m是内两条直线，且l

∥，m∥D．l、m是两条异面直线，且l∥，m∥，l∥，m∥【答案】D【解析】对于A，如在正方体1111ABCDABCD−中，平面11AACC和平面11AABB都与平面ABCD垂直，但这两个平面不平行，所以A错误，对于B，如在正方体1111ABCDABCD−中，平

面11AACC和平面11AABB，平面11AACC中所有平行于交线1AA的直线都与平面11AABB平行，但这两个平面不平行，所以B错误，对于C，如在正方体1111ABCDABCD−中，平面11AACC和平面11AABB，,MN分别为11,ABAB的中点，则1,MNBB在平面11

AABB内，且都与平面11AACC平行，但这两个平面不平行，所以C错误.对于D，因为l、m是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面时，一定在内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212的正方形沿邻边的中点

剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为62的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A．17282B．864C．576D．2162【答案】B【解析】折成的多面体如图

①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V==故选：B.16．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E是棱BC的中点，F是侧面11BCCB上的动点，且1AF∥

平面1ADE．设1AF与平面11BCCB所成的角为1,AF与1AD所成的角为，那么下列结论正确的是（）A．的最小值为arctan2,的最小值为arctan3B．的最小值为arctan3,的最大值为

2C．的最小值大于arctan2,的最小值大于arctan3D．的最大值小于arctan3,的最大值小于2【答案】A【解析】如图，取1111,,CCBBBC的中点,,GMN，连接1111,,,,,EGDGMNAMANBF；设正方体的棱长为2，因为

MNGE∥，且MN平面1AEGD，GEÌ平面1AEGD，MN∥平面1AEGD；同理1AN∥平面1AEGD，且1ANMNN=；∴平面1AMN∥平面1AEGD，∴FMN;∵11AB⊥面11BBCC，所以1AF与平面11BCCB所成的角为11AFB=；又1ADMN，所以1AF与1AD所成的角为

1AFM=（或其补角）；111tanABBF=；当F为MN中点时，此时1BF最小，则tan最大，最大值为tan22=，此时的最大值为arctan22；当F与M或N重合时，此时1BF最大，则tan最小，最小值

为2，此时的最小值为arctan2；2tan22，arctan2arctan22；对于，当F为MN中点时，π2=；当F与M或N重合时，最小，又125,2AMMF==，()221232522AF=−=，tan3

=，tan3，πarctan32，故A正确，BC错误，又arctan31.4，arctan221.6，所以D选项错误.故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCDABCD−中，1ABAD

==，12AA=，点P为1DD的中点.(1)求证：直线1BD//平面PAC；(2)求异面直线1BD与AP所成角的大小.【解析】（1）设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，（1分)∵P是1DD的中点，∴1//POBD，(3分)又∵PO平面PAC，1BD平面PAC，∴直

线1BD//平面PAC；(6分)（2）由(1)知，1//POBD，∴APO即为异面直线1BD与AP所成的角，(8分)∵222PAPCCDPD==+=，1222AOAC==，且POAO⊥，∴212sin22AOAPOAP===．又(0,90]APO

，∴30APO=故异面直线1BD与AP所成角的大小为30．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，且AFDE⊥，F是垂足．(1)求证：AFDB⊥；(2)若圆柱与三棱锥DABE−的体积的比等于3，求

直线DE与平面ABD所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，因为EB平面ABE，所以DAEB⊥，又因为AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，所以AEEB⊥，因为AEDAA=且,

AEDA平面DAE，所以EB⊥平面DAE，(2分)又因为AF平面DAE，所以EBAF⊥，因为AFDE⊥，且EBDEE=I，且,EBDE平面DEB，所以AF⊥平面DEB，又因为DB平面DEB，所以AFDB⊥．(6分)（2）解：过点E作EHAB⊥，H是垂足，连接DH，根据圆柱性质，平面ABD

⊥平面ABE，且平面ABD平面ABEAB=,且EH平面ABE，所以EH⊥平面ABD，因为DH平面ABD，所以DH是ED在平面ABD上的射影，从而EDH是DE与平面ABD所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R，则2DAABR==，所以圆柱的体积为32πVR=，且21233DABEAB

ERVADSEH−==，由:3πDABEVV−=，可得EHR=，可知H是圆柱底面的圆心，且AHR=，且225DHDAAHR=+=，在直角EDH中，可得5tan5EHEDHDH==，所以5arctan5EDH=．(14分

)19．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且2AE=.(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；(2)求点C到平面BED的距离.【解析】（1）取BD的中点F，连接CF、AF，如图

，依题意，在BCD△中，,BCCDBCCD=⊥，则CFBD⊥，而平面ABD⊥平面CBD，平面ABD平面CBDBD=，CF平面CBD，于是得CF⊥平面ABD，且2CF=，因为AE⊥平面ABD，且2AE=，则有//AECF，且AECF=，从而得四边形AFCE为平行四边形

，//ECAF，(4分)又AF平面ABD，EC平面ABD，则//EC平面ABD，所以直线EC与平面ABD没有公共点；(6分)（2）因为CF⊥平面ABD，AF平面ABD，所以CFAF⊥，因为BDAF⊥，BDCFF=，,BDCF平面

,CBD所以AF⊥平面,CBD因为//,ECAF，于是得EC⊥平面CBD，因为AE⊥平面ABD，,ABAD平面ABD，所以,AEABAEAD⊥⊥，(8分)因为2ECAF==，所以226EBEDEAAD==+=，则等腰BED底边BD上的高22122hEBBD=−=，

1222BEDSBDh==，而2BCDS=，设点C到平面BED的距离为d，由CBEDEBCDVV−−=得1133BEDBCDSdSEC=，即2222d=，解得1d=，所以点C到平面BED的距离为1(14分)20．如图所

示，在四棱锥PABCD−中，底面四边形ABCD是菱形，底面,ACBDOPAC=△是边长为2的等边三角形，PB=PD=6，AP=4AF（1）求证：PO⊥底面ABCD（2）求直线CP与OF所成角的大小.（3）在线段PB上是否存在点M，使得//CM平面BDF？如果存在，求

BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD是菱形，且ACBDO=，所以O为AC，BD中点，在PBD△中，PB=PD，可得PO⊥BD，因为在PAC中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC，(3分)又因为ACBD=O，

所以PO⊥底面ABCD.(4分)（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，因为底面ABCD是菱形，ACBD=O，由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CP//OE.，故∠EOF为直线CP与OF所成的角，(8分)又由PAC为等边三角形，且E

为中点，所以∠EOF=30o.(10分)（3）存在，13BMBP=，连接CE，ME，因为AP=4AF，E为AP中点，所以13EFFP=，又因为13BMBP=，所以在PFB△中，EFBMFPBP=，即EM//BF，(12分)因为EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM

//平面BDF，由（2）知EC//OF，因为EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC//平面BDF，因为ECEM=E，所以平面EMC//平面BDF，因为CM平面EMC，所以CM//平面BDF.(18分)21．在棱长均为2的正

三棱柱111ABCABC−中，E为11BC的中点．过AE的截面与棱111,BBAC分别交于点F，G．(1)若F为1BB的中点，试确定点G的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG的面积为0S，AE

G△面积为1S，AEF△面积为2S，当点F在棱1BB上变动时，求2012SSS的取值范围．【解析】（1）在平面11BCCB内延长1CC，FE相交于点P，则P平面AGEF，又1PCC平面11ACCA，则有平面AGEF平面11ACCAAG=，PAG，即A，G，P三点共线．(2分)因为

E为11BC的中点，F为1BB的中点，所以11112PCBFCC==，所以113PCPC=，又因为1//GCAC，所以1113GCPCACPC==，所以111112333GCACAC===，即点G为棱11AC上靠近点1C的三等分点．(4分)（2）在平面11BCCB内延长C

B，EF相交于点Q，连接AQ，则平面AGEF平面ABCAQ=，在平面11ACCA内作GMAC⊥于点M，则GM⊥平面ABC，又AQ平面ABC，所以GMAQ⊥，在平面ABC内作MNAQ⊥于点N，连接GN，又,GMMN平面GMN，GMMNM=，所以AQ⊥平面GMN，GN平面GMN，所以AQ

GN⊥，所以GNM为截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC中，作CHAQ⊥于点H，11BQCE==，2AC=，3CQ=，60ACB=，1322322ABCS==△，332AQCS=，由

余弦定理2222cos4967AQACCQACCQACQ=+−=+−=，则7AQ=，33122AQCSAQCH==，可得3217CH=，所以222137MNCH==，又22GMAA==，所以21tan3GMGNMMN==，故截面AGEF与底面ABC所成锐

二面角的正切值为213.(10分)（3）设1GCm=，则0,1m，2PGmGAm=−．设PGE的面积为S，所以12SmSm=−，又因为21SSS=+，所以1222SmS−=，且1221,122SmS−=，故()22120121212212SSSSSSSSSSS+==++

，令12StS=，则1,12t，(11分)设()112,12gtttt=++，当12112tt时，()()()()121212121212111ttgtgttttttttt−−=+−−=−，120tt

−，120tt，1210tt−，则()()120gtgt−，即()()12gtgt，所以()12gttt=++在1,12t上单调递减，所以()()min14gtg==，()max1922gtg==，所以()94,2gt，所以2

0121221924,2SSSSSSS=++．(18分)