【文档说明】高二数学期中模拟卷（全解全析）（上海专用）.docx，共(16)页，3.967 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。5．难度系数：0.65。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．

“点A在直线l上”用符号语言可以表示为.【答案】Al【解析】A在直线l上，即Al故答案为：Al2．在正方体1111ABCDABCD−中，12AA=，则直线AB到平面11CDDC的距离为．【答案】2【解析】根据正方体的性质可知，//ABCD.又AB平面11CDDC，

CD平面11CDDC，所以，//AB平面11CDDC.所以，点A到平面11CDDC的距离，即等于直线AB到平面11CDDC的距离.又AD⊥平面11CDDC，所以点A到平面11CDDC的距离即为12ADAA==.所以，直线AB到平面11CDDC的距离为2

.故答案为：2.3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是．【答案】8π【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π24π=，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为24π8π=.故答案为：8π4．如图，在正方

体1111ABCDABCD−中，异面直线1AB与AC所成的角为．【答案】60o【解析】在正方体1111ABCDABCD−中，连接11,ADCD，正方体1111ABCDABCD−的对角面11ABCD是矩形，则11//CDAB，因此1ACD是

异面直线1AB与AC所成的角或其补角，而112ADCDACAB===，即1ACD△是正三角形，则160ACD=，所以异面直线1AB与AC所成的角为60o.故答案为：60o5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30，则该圆锥的高为．【答案】√3【解析】由已知得

该圆锥的高为2cos303=.故答案为：√3.6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且132ABOCOA===，，，则原梯形的面积为.【答案】8【解析】在xOy坐标系中作出直观图对应的原图形OA

BC，它是直角梯形，如图.易得24OAOA==，1ABAB==，3OCOC==，故原梯形的面积为：113482S=+=（），故答案为：8.7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的2倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为.

【答案】4/45【解析】设斜线和平面所成角为02，则12cos22==，4=.故答案为：4.8．已知球的两个平行截面的面积分别为49π，400π且两个截面之间的距离是9，则球的表面积为．【答案

】2500π【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为1r，2r，球的半径为R，因为21π49πr=，所以17r=，又22π400πr=，所以220r=，当两截面在球心的同侧时，2222720

9RR−−−=，解得2625R=，球的表面积为24π2500πR=；当两截面在球心的同侧时，22227209RR−+−=，无解；综上，所求球的表面积为2500π.故答案为：2500π.9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方

形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是．【答案】45°【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以C

D⊥PD，于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．故答案为：45°．10．如图是一个正方体的平面展

开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.（1）直线AF与直线DE相交；（2）直线CH与直线DE平行；（3）直线BG与直线DE是异面直线；（4）直线CH与直线BG成60角.【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCDEFGH−，可

得AF与ED为异面直线，故（1）错误；CH与DE为异面直线，故（2）错误；直线BG与直线DE是异面直线，故（3）正确；连接AH，AC，由正方体的性质可得//AHBG，所以AHC为异面直线CH与直线BG所成的角，因为AHC为等边三角形，所以60AHC=，即直线CH与直线BG所成角为

60，故（4）正确；故答案为：（3）（4）．11．设AB和CD都是平面的垂线，其垂足分别为,BD.已知5,9,3ABCDBD===，那么线段AC=.【答案】5或205【解析】如图所示，因为AB和CD都是平面的垂线，其垂足分别为,BD，可得//A

BCD，且,ABBDCDBD⊥⊥，如图（1）所示，当点,AC在平面的同侧时，过点A作AECD⊥，垂足为E，则//AEBD，又因为5,9,3ABCDBD===，可得4CECDDECDAB=−=−=，在直角AC

E△中，可得2222345ACAECE=+=+=.如图（2）所示，当点,AC在平面的两侧时，过点A作CD的延长线的垂线，设AFCF⊥，垂足为F，则//AFBD，又因为5,9,3ABCDBD===，可得14CFCDDFCDAB=+=+=，在直角ACF△中，可得2222314205ACAF

CF=+=+=.故答案为：5或205.12．如图，平面OAB⊥平面，OA，OAAB=，120OAB=．平面内一点P满足PAPB⊥，记直线OP与平面OAB所成角为，则tan的最大值是．【答案

】612【解析】如图，过点B作BHOA⊥，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PFOA⊥，垂足为F，平面OAB⊥平面，且平面OAB平面OA=，BH平面OAB，PF，BH⊥，PF⊥平面OAB，OP∴在平面OAB上的射影就

是直线OA，故AOP就是直线OP与平面OAB所成的角，即AOP=，AP，APBH⊥，又PAPB⊥，PBBHB=，PB，BH平面PBH，PA⊥平面PBH，PH平面PBH，PAPH⊥，故点P的轨

迹就是平面内以线段AH为直径的圆(A点除外)，OAAB=，且120OAB=，60BAH=，设(0)OAaa=，则ABa=，从而cos602aAHAB==，124aPEAH==，如图，当且仅当PEOP⊥，即OP是圆E的切线时，角有最大值，tan有最

大值，tan取得最大值为：22226412()()44aPEPEOPaaOEPEa===−+−．故答案为：612.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列说法错误的

是（）A．一个棱柱至少有5个面B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B14．已知l是直线，,是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A．若/

/,//ll，则//B．若,//⊥l，则l⊥C．若,//ll⊥，则⊥D．若//,//l，则//l【答案】C【解析】若,//,,mlmll=，则有//,//ll，故可判断A错误.若,//,

mlml=，则//l或l，故B错误.若,//ll⊥，则存在直线与l平行，所以⊥，故C正确.若//,//l，则//l或l，故D错误.故选：C.15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面

体ABCDEF，其中////ABDCEF，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a、b、c，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）．羡除的体积公式为()6abcmnV++=，过线段AD，BC

的中点G，H及直线EF作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分．若4AB=、2DC=，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】因为4AB=、2DC=、////ABDCEF，G

，H为线段AD，BC的中点，所以////GHABCD且()132GHABCD=+=，所以()26GHCDEFnEFDCGHmV++=，()26ABHGEFnEFABGHmV++=，即()526GHCDEFnEFmV+=，()726ABHGEFnEFmV+=，因为54ABHGEFGHCD

EFVV=，即()()72564526nEFmnEFm+=+，解得3EF=.故选：B16．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则以下命题正确的序号为（）①直线1BD⊥平面11ACD②平面1BCD与平面BCD的夹角

大小为π2③三棱锥11PACD−的体积为定值④异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,42A．①②B．①③C．①③④D．①④【答案】B【解析】如图，连接11BD，正方形1111DCBA中，1111ACB

D⊥，正方体的棱1BB⊥平面1111DCBA，11AC平面1111DCBA，111BBAC⊥，1111BBBDB=，111,BBBD平面11BBD，所以11AC⊥平面11BBD，又1BD平面11BB

D，所以111ACBD⊥，同理11ADBD⊥．1111ACADA=，111,ACAD平面11ACD，所以1BD⊥平面11ACD，①正确；因为CD⊥平面1BCB，1BC平面1BCB，所以1CDBC⊥，又平面1BCDI平

面BCDCD=，BCCD⊥，BC平面BCD，1BC平面1BCD，则1BCB是平面1BCD与平面BCD的夹角，显然三角形1BBC为等腰直角三角形，则该角大小为π4，②错；因为11//ABAB，11ABAB=，//,ABCDABCD

=，所以1111//,ABCDABCD=，所以四边形11ABCD为平行四边形，因此有11//ADBC，又1AD平面11ACD，1BC平面11ACD，所以1//BC平面11ACD，1PBC，因此P到平面11ACD的距离为

定值，三棱锥11PACD−的体积为定值，③正确；由于11//ADBC，因此异面直线AP与1AD所成角就是AP与1BC所夹的角，即图中APC或1APB，设正方体棱长为1，易知112ABACBC===，当点P为1BC中点时，此时1APBC⊥，因为

1ABC是等边三角形，P在线段1BC，因此APC或1APB中较小的角的范围是ππ,32，④错误．故选：B．三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)

17．如图，已知,,,EFGH分别是正方体1111ABCDABCD−的棱111,,,ABBCCCCD的中点，且EF与HG相交于点Q．(1)求证：点Q在直线DC上；(2)求异面直线EF与11AB所成角的大小．【解析】（1）平面ABCD平面11CDDCDC=，由于QEF平面ABCD，

QHG平面11CDDC，所以QDC，也即点Q在直线DC上.（6分）（2）根据正方体的性质可知11//ABDC，所以异面直线EF与11AB所成角为DQE，（8分）由于//,,ABDCEF分别是,ABBC的中点，所以45DQEFEB==，所以异面直线EF与11AB

所成角的大小为45.（14分）18．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，=45ADC，2ADAC==，⊥PO平面ABCD，2PO=，M是PD的中点．(1)证明：//PB平面AC

M(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小．【解析】（1）连接MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC与BD的交点，所以O为BD的中点，（2分）又M为PD的中点,所以//PBMO.因为PB平面,ACMMO平面ACM，所以//PB平面ACM.（6

分）（2）取DO中点N,连接MN,AN，因为M为PD的中点,所以//MNPO,且112MNPO==,由⊥PO平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.（8分）因为底面ABCD为平行四边形，且45ADC=o，2ADAC==，所以45AC

D=，则90DAC=，在RtDAO中,2,1ADAO==,所以5DO=,从而1522ANDO==，因为MN⊥平面ABCD,AN平面ABCD,MNAN⊥，所以在RtANM中，125tan552MNMANAN===，0,2

MAN，所以直线AM与平面ABCD所成角大小为25arctan5.（14分）19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图

所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为24πcm.(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到30.1cm）；(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包

裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米．．．．8元．，共需多少元？（结果精确到0.1元）【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为1h，圆柱高为2h，则由题意有2π24πr=，得12cmr=，圆锥高221201216cmh=−=，所以“笼具”的体积2232111πππ1

4430144165088π15984.4cm33Vrhrh=+=+=.（6分）（2）圆柱的侧面积2122π720πcmSrh==，圆柱的底面积22π144πSr==，圆锥的侧面积3π240πSrl==，所以“笼具”的侧面积21231104πcmSS

SS=++=侧.（12分）故造50个“笼具”的最低总造价为41104π5081104π138.71025=元.（14分）答：这种“笼具”的体积约为315984.4cm；生产50个笼具需要138.7元.20．如图，已知四棱锥PABCD−的底面为直角梯形，//ADBC，90BCD=，PAP

B=，PCPD=．(1)证明：CD与平面PAD不垂直；(2)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(3)如果CDADBC=+，二面角PBCA−−等于60，求二面角PCDA−−的大小．【解析】（1）若CD⊥平面PAD，则CDPD⊥，由已知PCPD=，得90PCD

PDC=，（2分）这与CDPD⊥矛盾，所以CD与平面PAD不垂直．（4分）（2）取AB、CD的中点E、F，连接PE、PF、EF，由PAPB=，PCPD=，得PEAB⊥，PFCD⊥，EF为直角梯形的中位线，（6分）EFCD⊥，又PF

EFF=，∴𝐶𝐷⊥平面𝑃𝐸𝐹，（8分）由PE平面PEF，得CDPE⊥，又ABPE⊥且梯形两腰AB、CD必交，PE⊥平面ABCD,又PE平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD,（10分）（3）由（2）及二面角的定义知PFE

为二面角PCDA−−的平面角,作EGBC⊥于G，连PG，由于PE⊥平面ABCD,BC平面ABCD,故PEBC⊥,EGBC⊥,,,EGPEEEGPE=平面PEG,故⊥BC平面PEGPG平面PEG,所以PG

BC⊥故PGE为二面角PBCA−−的平面角,（12分）即60PGE=，由已知，得11()22EFADBCCD=+=，又12EGCFCD==．EFEG=，RtFRtPEPEG．60PEFPGE==，故二面角PCDA−−的大小为60

．（18分）21．如图，斜三棱柱111ABCABC−中，ACBC=，D为AB的中点，1D为11AB的中点，平面ABC⊥平面11ABBA．(1)求证：直线1//AD平面11BCD；(2)设直线1AB与直线1BD的交点为点E，若三角形ABC是等边三角形

且边长为2，侧棱172AA=，且异面直线1BC与1AB互相垂直，求异面直线1AD与1BC所成角；(3)若122,2,tan2ABACBCAAB====，在三棱柱111ABCABC−内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每

个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABCABC−的高．【解析】（1）斜三棱柱111ABCABC−中，1D为11AB的中点，D为AB的中点，所以11111122ADABABBD===，且11ADBD，所以四边形11ADB

D为平行四边形，所以11//ADBD，（2分）因为1BD平面11BCD，1AD平面11BCD，所以1//AD平面11BCD；（4分）（2）因为AC=BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB，因为平面ABC⊥平面11ABBA，交线为AB，CD平面ABC，所以CD

⊥平面11ABBA，故11CD⊥平面11ABBA，所以111CDAB⊥,又1BC与1AB互相垂直，1111BCCDC=,111,BCCD面11BCD故1AB⊥面11BCD,得11⊥ABBD.即11BDE为直角三角形，（6分）在11ABBA中，1,DD为中点，11/

/ADBD，所以E为1AB的三等分点，设1BEt=，由余弦定理可得：()2222221111111111117322cos21232tBEABABAAtABABDABABt+−+−====

解之：32t=，所以11π,6ABA=故112DE=11111113//,,.22DEBDABABBDEBAB===11CD⊥平面11ABBA，111,CDBD⊥在11BDC△中，1123tan3DBC=.1AD与1BC所成的角为23arctan.3（10分）（3）过

B作1BPAA⊥于P，过P作1FPCC⊥于F，连BFBPF为直截面，小球半径为BPF△的内切圆半径因为2,2ABACBC===，所以222ACBCAB+=，故AC⊥BC，则112CDAB==（12分）设2,BPt=所以2APt=，由222ABBPAP=+解得63t=，2326,33BPAP

==；由最小角定理11221coscoscos263AACAABBAC===12sin3PFACAAC==（14分）由CD⊥面11ABBA,易知1BPCC⊥，23BFPFBP===内切圆半径为：13r=则1236

2sin.9hrrrAAB+=++=（18分）