【文档说明】（江苏专用，苏教版2019选择性必修第一册第1~3章）高二数学期中模拟卷（全解全析）（江苏专用）.docx，共(14)页，1.996 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-54cc09f22093d889cbcdf294cfe2ab4e.html

以下为本文档部分文字说明：

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（江苏专用）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共

40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．经过两点()()2,,,4AmBm−的直线l的倾斜角为135，则m的值为（）A．-2B．1C．3D．4【答案】B【解析】经过两点()()2,,,4AmBm−的直线l的斜率为42mk

m−=+，又直线l的倾斜角为135，所以4tan13512mm−==−+，解得1m=.故选：B.2．求过两点()()0,4,4,6AB，且圆心在直线220xy−−=上的圆的标准方程是（）A．22(1(4)25)yx+++=B．22(

4)(1)25xy++−=C．22(4)(1)25xy−++=D．22(4)(1)25xy−+−=【答案】D【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即()()()()222222042246bbbb=+−+−+−+−

，解得1b=，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为22(4)(1)25xy−+−=．故选：D．3．已知双曲线22221xyab−=经过点()6,22A，且与椭圆221259xy+=有相

同的焦点，则双曲线的标准方程为（）A．221142xy−=B．221133−=xyC．221106xy−=D．221124xy−=【答案】D【解析】椭圆221259xy+=焦点为()4,0，双曲线焦点为()4,0，且4c=，将()6,22A代入双曲线22221xy

ab−=，得223681ab−=，又22216cab=+=，解得212a=，24b=，故双曲线的方程为221124xy−=，故选：D.4．设090，方程22cos1xy+=所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．

焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】若090，则0cos1，曲线22cos1xy+=,即2211cosyx+=，11cos，2211cosyx+=表示焦点在y轴上的椭圆．故选：C5．设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，点A在

C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为π3，则AF=（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点A作AB垂直准线于点B，过焦点F作FC垂直于AB于点C，由题意可知π2,3pAFxFAC==

=，根据抛物线的定义AFABACCB==+在RtAFC△中，π1cos32ACAFAF==，又2BCp==，所以122AFABAF==+，解得||4AF=.故选：C.6．已知直线l：30xy−+=与双曲线C：22221(0,0)xyabab−=交于A，B两点，点()1

,4P是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（）A．14yx=B．2yx=C．12yx=D．4yx=【答案】B【解析】解：设()()1122,,,AxyBxy，可得2211221xyab−=，2222221xyab−=，两式相减可得()()()()1212121222xx

xxyyyyab−+−+=，点()1,4P是弦AB的中点，且直线l：30xy−+=，可得122xx+=，124yy+=，1212yyxx−=−，即有224ba=，即2ba=，双曲线的渐近线方程为2yx=．经验证此时直线与双曲线有

两个交点.故选：B．7．已知函数()28fxxx=−，且点(),Pxy满足()()32fxfy+−≤，()0fy≤，若记点P构成的图形为，则的面积是（）A．64π1633−B．64π1633+C．64π163−D．64163+【答案】A【解析】将函数表达式()28fxxx=−代入

条件()()()320fxfyfy+−可得()()222883280xxyyyy−++−，即()()22446408xyy−++.所以区域即为圆()()224464xy−++的内部位于x轴上方的部分，即该圆的13去掉一个底为83，高为4的三角

形，故所求面积为2π8164π834163323S=−=−.故选：A.8．已知椭圆22:12516xyC+=的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则26PFQF+的取值范围为（）A．2,26B．

51,52C．51,76D．52,76【答案】C【解析】由对称性和椭圆定义可知210PFQFa+==，其中223cab=−=，故()()22226610660351PFQFPFPFPFPFPF+=+−=−+=−+，不妨设()3,0F，(),Pmn，55m−，则()()222222

216933316625525255mmmPFmnmm=−+=−+−=−+=−，故当5m=时，2PF取得最小值，最小值为4，当5m=−时，2PF取得最大值，最大值为64，故2,8PF，故当3PF=时，26PFQF+取得最小值，

最小值为51，当8PF=时，26PFQF+取得最大值，最大值为255176+=，故26PFQF+的取值范围是51,76.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，

部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线:1lyaxa=−+，下列说法正确的是（）A．直线l过定点()1,1−B．当1a=时，l关于x轴的对称直线为0xy+=C．直线l一定经过第四象限D．点()3

,1P−到直线l的最大距离为22【答案】BD【解析】对于A，直线():111lyaxaax=−+=−+，所以直线l过定点()1,1Q，故A错误；对于B.当1a=时，直线方程为yx=，l关于x轴的对称直线为0xy+=，故B正确；对于C，当1a=时，直线方程为yx=，直线

l不经过第四象限，故C错误；对于D，如图所示：设PHl⊥，由图象知：PQPH，点()3,1P−到直线l的最大距离为()()22311122d=−+−−=，故D正确；故选：BD10．已知抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，

经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是（）A．12MNAB=B．FNAB⊥C．Q是线段MN的一个三等分点D．QFMQMF=【答案】ABD【解析】如图，由抛物线的定义，

对于A，得ACAF=，BDBF=，又2ACBDMN+=，则122AFBFMNAB+==，A正确；对于B，由12MNAB=，AMMB=，得MNAM=，所以MANMNA=.而MNACAN=，所以MANCAN=，所以ANCANF△

△≌，可知90ACNAFN==，所以FNAB⊥，B正确；对于D，在RtMNF△中，QNQF=，可知QNFQFN=，所以QFMQMF=，D正确；对于C，由QFMQMF=，可知QFQM=，所以QNQM=，即Q是MN的中点，C不正确.故选：AB

D.11．直线y=kx与双曲线22143xy−=交于,PQ两点，点P位于第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，点F为双曲线的左焦点，则（）A．若27PQ=，则PFQF⊥B．若PFQF⊥，则PQF△的面积为4C．2PFPND．PFPN−的最小值为4【答案】

AD【解析】设双曲线右焦点为1F，由题意可知，四边形1PFQF为平行四边形，由双曲线22143xy−=可知：2,3,7abc===，对于A，因为27PQ=，所以1PQFF=，所以四边形1PFQF为矩形，所以PFQF

⊥，故A正确；对于B，据双曲线定义可知：114,27PFPFFF−==，若PFQF⊥，则四边形1PFQF为矩形，则22211||PFPFFF+=，所以()221112PFPFPFPFFF−+=，即22142(27),PFQF+=所以16PFPF

=，所以6PFQF=，所以116322PQFSPFQF===，故B不正确；对于C，由双曲线的方程可知，在RtPFN△中，2222222||||||1||||||PNFNPFPFFNPNPNPNPN+===+，又因为双曲

线渐近线方程为：32yx=，所以32PFPNkFN=，所以22||42111||33FNPN++=，即213PFPN，故C错误；对于D，()111min244,PFPNaPFPNPFPNPFPN−=+−=+−+−当且仅当1PFPN=时，PFPN−取到最小值为4，故D正确．故选：

AD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若220xay+−=与0xya−+=平行，则两直线之间的距离为.【答案】22【解析】∵直线1l与2l平行，∴2211aa−=

−，解得2a=−，∴直线1:10lxy−−=，直线22:0xyl−−=，∴直线1l与2l之间的距离()122211d−−−==+，故答案为：22.13．已知点()()2,0,2,0AB−，若圆22(1)(2)1xa

ya−++−−=上存在点M满足5MAMB=，则实数a的取值范围是.【答案】231231,22+−−【解析】由题意可知：圆22(1)(2)1xaya−++−−=的圆心()1,2Caa−+，半径1r

=，则,MAMOOAMOOBMOOAMB==++=−uuuruuuruuruuuruuuruuuruuuruur，其中O为坐标原点，可得()()22245MAMBMOOAMOOAMOOAMO=+−=−=−=，则3MO=，所以M

的轨迹是以O为圆心，r=3的圆，由题意可知：圆C与圆O有公共点，则RrOCRr−+，即()()222124aa−++，解得23123122a+−−，所以实数a的取值范围是231231,22+−−.故答案为：

231231,22+−−.14．已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，圆()()()2220:100Mxxyrr−+−=，圆心M是抛物线C上一点，直线0:22pplxx=，圆M与线段MF相交于点A，与直线l交于E，G两点，且2π3EM

G=，若2MAAF=，则抛物线方程为.【答案】225yx=【解析】如图，过点M作MKEG⊥于点K，则1π23EKMEMG==,由图知0π1||cos232pMKxrr=−==①，由2MAAF=可得，202

2||()10332prMFx==−+②，又点0(,10)Mx在抛物线22ypx=上，可得，0210px=，即05px=③，把①式代入②式，22191044rr+=，解得，5r=，回代入①可得，052px+=，代入

③式整理得，25100pp+−=，解得，5p=或25p=−（舍去），故抛物线方程为：225yx=.故答案为：225yx=.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知直线1l：2320xy+−=，2l：()2110m

xmy+−+=，其中m为实数.(1)当12ll∥时，求直线1l，2l之间的距离；(2)当1m=时，求过直线1l，2l的交点，且垂直于直线240xy−+=的直线方程.【解析】（1）由12ll∥得()2213mm−=，解得

2m=，.................................................2分此时直线1l：2320xy+−=，2l：2310xy++=，12,ll不重合，..................................4分

则直线1l，2l之间的距离为213131349−−=+；....................................................................6分（2）当1m=时，2l：10xy++

=，联立232010xyxy+−=++=，解得5,4xy=−=，..........................................................................9分又直线240xy−+=斜率为12，...........

............................................................................10分故过直线1l，2l的交点，且垂直于直线240xy−+=的直线方程为()425yx

−=−+，12分即260xy++=...........................................................................................

.......................13分16．（15分）已知圆C过两点()2,0A−，()2,4B，且圆心C在直线240xy−−=上.(1)求圆C的方程；(2)过点(6,3)P作圆C的切线，求切线方程.【解析】（1）根据题意，因为圆C过两点(2,0)A−，

(2,4)B，设AB的中点为M，则(0,2)M，因为4012(2)ABk−==−−，所以AB的中垂线方程为2(0)yx−=−−，即2yx=−又因为圆心在直线240xy−−=上，联立2240yxxy=−

−−=，解得20xy==，....................3分所以圆心(2,0)C，半径4rBC==，故圆的方程为22(2)16xy−+=；......................

...5分（2）圆22(2)16xy−+=的圆心为(2,0)C，半径4rBC==，.......................................6分当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线6x=与圆C相切；..................................8分当过

点P的切线斜率k存在时，设切线方程为()36ykx−=−，即360kxyk−+−=（*），........................................................................................

.......9分由圆心C到切线的距离23441kk−=+，即22168331616kkk−+=+，可得13324k=−，..........................................................12分将13324k=

−代入（*），得切线方程为()1333624yx−=−−，即133173244yx=−+，14分综上，所求切线方程为6x=或133173244yx=−+..................................

....................15分17．（15分）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆．．．．和一段圆弧．．．．组成的“果圆”．如图，在

平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点()0,1F−和短轴的两个顶点与()2,0−．(1)写出图中“果圆”的方程；(2)直线yx=交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）．【解析】（1）因为椭圆的一个焦点()0,1F−和短轴的两个

顶点()2,0与()2,0−.可得12cb==,，即25a=，所以半个椭圆的方程为()221,045xyy+=；...................................................................2分圆弧经过椭圆的

一个焦点()0,1F−和短轴的两个顶点()2,0与()2,0−，设圆弧方程为()()222,0xytry+−=，.......................................................................

....4分利用2212trt−−==+，解得32t=，所以52r=，得()22325,024xyy+−=.....................................................

..........................................6分所以果圆方程为()221,045xyy+=，()22325,024xyy+−=...................................7分（2）由()2

2325,024xyyyx+−==，解得34143414xy−=−=，得341341,44A−−，10分由()221,045xyyyx+==，解得253253xy==，得252

5,33B，.....................................13分所以2534123.31344AB=−+...................................

..........................................15分18．（17分）已知抛物线2:2(0)Dypxp=的焦点为F，点Q在D上，且QF的最小值为1.(1)求D的方程；(2)过点()3,2M−的

直线与D相交于A，B两点，过点(3,6)N−的直线与D相交于B，C两点，且A，C不重合，判断直线AC是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意可设(),Qmn，则22npm=..........

...................................................1分所以2222222pppQFmnmpmm=−+=−+=+则QF的最小值为2p，

则12p=，得2p=........................................................................4分所以D的方程为24yx=.................................

.....................................................................6分（2）因为A，C不重合，所以直线AB，BC，AC的斜率必然存在.设200,4yAy，211,4yBy

，222,4yCy.直线AB的斜率0102220100142344ABAMyyykkyyyyy−+====−+−，得10002001221222yyyyyy−+=−=−++.....................

......................................................................9分直线BC的斜率2122222121264344CCBNyyykkyyy

yy−+====+−−.得22212221261266yyyyyy−+=−=−++.由0210221261226yyyyy++=−=−++，可得0212yy=..............................

..................................12分直线AC的斜率0222202044ACyykyyyy−==+−.所以直线AC的方程2002002202020444124(3)4yxyyxyxyxyyyyyyyy++=−+===+++++.15分故直线

AC过定点()3,0−...................................................................................................17分19．（17分）已知双曲线C：()2

22210,0xyabab−=的离心率为2，点()3,1−在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程．(2)若()2,0M−，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出

直线l的方程；若不存在，说明理由．(3)点()4,2P−，直线AP交直线2x=−于点Q．设直线QA、QB的斜率分别1k、2k，求证：12kk−为定值．【解析】（1）由双曲线2222y:1xCab−=的离心率为2，且()3,1M−

在双曲线C上，可得222229112abceacab−====+，解得228,8ab==，............................................................................2分所以双曲线的方程为221

88xy−=．....................................................................................3分（2）双曲线C的左焦点为()4,0F−，当直线l的斜率为0时，此时直线为0y=，与双曲线C左

支只有一个交点，不符合题意，4分当直线l的斜率不为0时，设:4lxmy=−，由2248xmyxy=−−=，消去x得()221880mymy−−+=，.........................................

...............5分显然210m−，222Δ=6432(1)32(1)0mmm−−=+，设()()1122,,,yBxxyA，则12122288,011myyyymm+==−−，得11m−，....

.........6分于是()()11222,,2,MAxyMBxy=+=+，()()()()211212122222MAMBxxyymymyyy=+++=−−+()()()222121222811612444

11mmmyymyymm+=+−++=−+=−−−，........................................8分即0MAMB，因此MA与MB不垂直，所以不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上．..................................

.............10分（3）由直线()1:24APykx−=+，得(12,22)Qk−+，则2121222222222ykykkxmy−−−−==+−，又11111224PAyykkxmy−−===+，.............

..........................................................................12分于是()()()()12121121121212222222222ymymyykyykkkmymymymy−−−−−−−−−=−=−−()

2111112224222myymymkymymy−−+++=−，而1112ykmy−=，即有1112kmyy=−，且1212yymyy+=，................................................15分所以()()()121

2121212122222myyyykkmymyyyy−−−===−−+−，即12kk−为定值．.............................17分