【文档说明】高二数学期中模拟卷（全解全析）（苏教版2019）.docx，共(15)页，1.134 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一

、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线330xy−−=的倾斜角为（）A．π3B．π6C．4πD．2π3【答案】A【解析】设直线的330xy−−=的倾斜角为，且)0,π，直线

330xy−−=的斜率tan3k==，所以π3=，故选：A2．方程222242410xymxymm−−+−−+=所表示的圆的最大面积为（）A．4πB．9C．8πD．16π【答案】B【解析】由题意整理可得：()()222245xmymm−+−=−++

，则2450mm−++，解得15m−，且圆的半径()2245293rmmm=−++=−−+，当且仅当2m=时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为9π.故选：B.3．已知点()2,3A−，()3,2B−−，若过点(

)1,1的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）A．)3,4,4−−+B．(3,4,4+−−C．3,44−D．34,4−【答案】B【解析】记()1,1为点P，直线PA的斜率31421PAk−−=

=−−，直线PB的斜率213314PBk−−==−−，因为直线l过点()1,1P，且与线段AB相交，结合图象，可得直线l的斜率k的取值范围是(3,4,4−−+．故选：B．4．方程22142xymm+

=+−表示椭圆的充要条件是（）A．41m−−B．1m−C．42m−D．41m−−或12m−【答案】D【解析】若22142xymm+=+−表示椭圆，则有402042mmmm+−+−，解得41m−−或12m−.故选：D.5．

直线yxb=+与曲线21xy=−恰有1个交点，则实数b的取值范围是（）A．11b−B．21b−C．21b−−D．11b−或2b=−【答案】D【解析】曲线21xy=−，整理得221,0xyx+=，画出直线yxb=+与曲线21xy=−的图象，当直线

yxb=+与曲线21xy=−相切时，则圆心(0,0)到直线yxb=+的距离为||111b=+，可得2b=−（正根舍去），当直线yxb=+过(1,0),(0,1)−时，1b=−，如图，直线与曲线恰有1个交点，则11b−或2b=−.故选：D.6．设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，点A在C上，且

在第一象限，若直线AF的倾斜角为π3，则AF=（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点A作AB垂直准线于点B，过焦点F作FC垂直于AB于点C，由题意可知π2,3pAFxFAC===，根据抛物线的定义AFA

BACCB==+在RtAFC△中，π1cos32ACAFAF==，又2BCp==，所以122AFABAF==+，解得||4AF=.故选：C.7．设双曲线22221xyab−=()0,0ab的左右焦点分别为12,FF，过1F的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点2F且2

2MFNF=，则双曲线的离心率为（）A．6B．5C．3D．2【答案】C【解析】若以MN为直径的圆经过右焦点F2，则220MFNF=，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|2=m，由

|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有22ma=，取H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中可得22244(2222)caaaa++−=，化为223ca=，即e3ca==．故选C．8．若圆()()22

:cossin1Mxy−+−=02（）与圆22:240Nxyxy+−−=交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（）A．12B．34C．45D．43【答案】D【解析】22240xyxy+−−=可化为()()22125xy−+−=，故

圆N的圆心为()1,2，半径为5，由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所以2AB且25AB，故2AB，当M的坐标为()1,0时，2AB=，在△NAB中，2222103cos2105NANBABABANBNANB+−−==，又0,πANB，cosy

x=在π0,2x上单调递减，故ANB为锐角，且当3cos5ANB=时，ANB最大，又tanyx=在ππ,22x−上单调递增，所以当ANB最大时，tanANB取得最大值，且最大值为4

3，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若圆22:24200Cxyxy+−+−=上有四个不

同的点到直线:430lxyc++=的距离为2，则c的取值可能是A．13−B．13C．15D．18【答案】BC【解析】圆22:24200Cxyxy+−+−=化为22(1)(2)25xy−++=，则圆心(1,2)C−，半径为=5r，若圆22:24200Cxyxy+−+−=上有四个不同的点

到直线:430lxyc++=的距离为2，则圆心(1,2)C−到直线的距离3d，如图，则|413(2)||2|3,131755ccc+−+−=−故选：BC.10．已知直线()2:120laaxy++−+=，其中aR，则下列选项正确的是（）A．直线l过定点()0,2B．当0

a=时，直线l与两坐标轴的截距相等C．直线l与0xy+=垂直时，0a=D．若直线l与直线0xy−=平行，则两条平行直线之间的距离为2【答案】AD【解析】当0x=时，2y=，所以直线l过定点()0,2，故A正确；当0a=时，20lxy−+=:，直线l在x轴上的截距

为2−,在y轴上的截距为2，故B错误；当直线l与0xy+=垂直时，()21(1)1aa++−=−，解得0a=或1a=−，故C错误；若直线l与直线0xy−=平行时，21120aa++=，解得0a=或1a=−,当0a=或1a=−,时

，直线20lxy−+=:到直线0xy−=的距离为2022-=，故D正确.故选：AD.11．已知曲线1Γ的方程为22,Γxy=是以点()0,Aa为圆心､1为半径的圆位于y轴右侧的部分，则下列说法正确的是（）A．曲线1Γ的焦点坐标为1,04B．曲线2Γ过点()1,aC．若直线2yx=+被

1Γ所截得的线段的中点在2Γ上，则a的值为532D．若曲线2Γ在1Γ的上方，则54a【答案】BCD【解析】对于A中，由曲线21Γ:xy=，抛物线1Γ的焦点坐标为10,4，所以A错误；对于B中，圆2Γ的标准方程为：22()1(0)xyax+−=，点()1,a代入圆2Γ的方程得22

1()1aa+−=，所以圆2Γ过点()1,a，所以B正确；对于C中，设2yx=+被1Γ所截得的线段为DE，中点为G，联立方程组22yxxy=+=，整理得220xx−−=，可得12DEDExxxx+==−，则122DEGxxx+==，故522GGyx=+=

，所以15,22G，代入222Γ:()1xya+−=，可得215142a+−=，解得532a=，所以C正确；对于D中如图所示，曲线2Γ在1Γ的上方时，抛物线和圆无交点，联立方程组()2221xyaxy+−==，整理得()221210ya

ya+−+−=，由()22Δ(12)410aa=−−−，解得54a，所以D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy−=，则此双曲线的离心率为．

【答案】5【解析】因为焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy−=，所以12yx=，所以12ab=，所以2225baea+==.故答案为：5.13．设是直线:10lxy++=上的动点，过P作圆22:(3)(4)4Cxy−+−=的切线，则切线长的最小值为．【答案】27【解析

】22(3)(4)4xy−+−=，圆心(3,4)C，半径2r=．设切点为Q，由题意可知，点P到圆22:4Cxy+=的切线长PQ最小时，CPl⊥，圆心到直线的距离|341|422d++==，切线长的最小值为：2(42)427−=．故答案为：27．14．如图，12,FF分别是椭圆的左、右焦点，点P

是以12FF为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF与椭圆交于点Q，若124PFQF=，则直线2PF的斜率为【答案】2−【解析】连接1QF，如图所示设()20,QFxx=则14PFx=，由椭圆的定义得12122,2

,PFPFaQFQFa+=+=所以2124,2,PFaxQFax=−=−222423,PQPFQFaxxax=+=−+=−在1PFQ△中，190FPQ=,所以22211PFPQQF+=,即()()()2224242xaxxax

+−+=−，整理得3ax=，所以121244tan22464PFxxPFFPFaxxx====−−，所以直线2PF的斜率为()212tan180tan2kPFFPFF=−=−=−.故答案为：2−.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。15．（13分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：()()()121740Rkxkykk−+−−+=．(1)求证：直线l经过第一象限；(2)当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程．【解析

】（1）方程()()121740kxkyk−+−−+=可化为()2740kxyxy+−−−+=，由270,40,xyxy+−=−−+=解得1,3.xy==所以直线l过定点()1,3M，因为()1,3M在第一象限

，所以直线l经过第一象限．（6分）（2）由题意可得，当lOM⊥时，原点O到直线l的距离最大，因为3OMk=，则13lk=−，所以直线l的方程为()1313yx−=−−，即3100xy+−=．（13分）16．（15分）已知椭圆2222:1(0

)xyCabab+=过点(2,2)，且其一个焦点与抛物线28yx=的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AB与椭圆C交于A，B两点，若点(2,1)M−是线段AB的中点，求直线AB的方程.【解析】（1）抛物线28yx=的焦点为(2,0)，由题意得

222224212abab+==+，解得28a=，24b=，所以椭圆C的方程为22184xy+=.（6分）（2）直线l的斜率存在，设斜率为k，直线l的方程为1(2)ykx−=+，即21ykxk=++，联立2221184ykxkxy=+++=，消去y得：222(21)4

(12)8860kxkkxkk+++++−=，设()()1122,,,AxyBxy，因为1222+=−xx，即124xx+=−，所以24(12)412kkk+−=−+，解得1k=，此时240=满足题意所以所求直线l的方程为30xy−+=.（15分）17．（15分）已知半径为83的

圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12910xy−−=与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若(),Mxy是圆C上任意一点，求22133xy++−（）（）的取值范围；(3)已知()0,1A−，P为圆C上任意一点，试

问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）依题可设圆心坐标为()()0,0bb，则圆C的方程为()22649xyb+−=，因为直线12910xy−−=与圆C相切，所以点()0,Cb到直线12910xy−−

=的距离229183129bd−−==+，因为0b，所以133b=，故圆C的标准方程为22136439xy+−=.（4分）（2）若(),Mxy是圆C上任意一点，则22133xy++−（）（）表示圆上任意一点到点13,3D−距离的平方，所以22133x

y++−（）（）的最大值为()()2222221318823529035333339DBDCr=+=−+−+=+==，22133xy++−（）（）的最小值为()()

22222213188749035333339DADCr=−=−+−−=−==，所以22133xy++−（）（）的取值范围为：49529,99.（10分）（3）假设存在定点B，设()()0,1Bmm−，(),Pxy，则2226

41326359333xyyy=−−=−+−，则()()()()222222222352626352333326353232113333mmyyyymxymPBPAxyyyyy−+−−+−+−+−===++−+−++−+，当23

5262330323233mm−−=−，即3m=，1m=−（舍去）时，PBPA为定值，且定值为12，故存在定点B，且B的坐标为()0,3.（15分）18．（17分）已知动圆P过点2(2,0)F，并且与圆221:(2)4Fxy++=外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.(1)直线2FQ与圆1F相切于

点Q，求2FQ的值；(2)求曲线C的方程；(3)过点2F的直线1l与曲线C交于E，F两点，设直线1:2lx=，点(1,0)D−，直线ED交l于点M，证明直线FM经过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）由直线与圆的位

置关系可知，12FQFQ⊥，所以点2212416423FQFF=−=−=.（4分）（2）由题意可知，设动圆半径为R，2PFR=，12PFR=+，124FF=，即1224PFPF−=，所以点P是以12,FF为焦点的双曲线的右支，22a=，24c=，则23b=，所以曲线

C的方程为2213yx−=，0x；（8分）（3）当直线1l的斜率不存在时，()2,3E，()2,3F−，直线:1EDyx=+，当12x=，得32y=，即13,22M，直线:330FMxy+−=，此时直线过点()1,0，当直线1l的斜率存在时，设直线()1:2lykx

=−，()11,Exy，()22,Fxy，直线()11:11yEDyxx=++，当12x=时，()11321Myyx=+，()1131,221yMx+，联立()22233ykxxy=−−=，得()()222234340kxkxk−+−+=，230k

−，212243kxxk+=−−，2122343kxxk+=−−，（12分）下面证明直线FM经过点()1,0Q，即证FQMQkk=，1212311yyxx−=+−，把()112ykx=−，()222ykx=−代入整理得()12124540x

xxx−++=，即22222223441216204544440333kkkkkkk++−−−−+=+=−+=−−−，所以直线FM经过点()1,0，综上可知，直线FM经过定点，定点坐标为()1,0

.（17分）19．（17分）已知椭圆()2222:10xyabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，长轴长为4，13,2P是椭圆上的一点，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.(1)求椭圆的标准方程；(2)设1k=，直线l与椭圆交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求OA

B△面积的最大值；(3)设n是直线l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义NnMNn=.用a、b、k、m表示12FF，并利用12FF与2b的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出命题的证明.【解析】（1）因为1(3,

)2P是上的一点，所以22221()(3)21ab+=，化简可得223114ab+=，又因为长轴长24a=，所以2a=，1b=，所以的方程为2214xy+=；（4分）（2）由题意可知，直线l的方程为yxm=+，设()()1122,,,AxyBxy则2214yxmxy=++=，225

8440xmxm++−=，0得25m，所以21212844,55mmxxxx−+=−=，所以()2221212128442242455mmABxxxxxx−=−=+−=−−24255

m=−，又O到AB的距离2md=，所以AOBV的面积为222421142225255522555242mSABdmmmm==−=−=−−+，当且仅当252m=时，AOBV的面积取最大值，最大值为1；（9分）（3）因为直线k的斜率为k，在

y轴上的截距为m，所以直线l的方程为ykxm=+，则向量1(1,)k−为直线l的一个法向量，取(,1)=−nk，因为M是l上一点，故设0(Mx，0)kxm+，设椭圆的左焦点1F的坐标为(,0)c−，则椭圆的右焦点2F的坐标为(,0)c，则10(MFcx=−−,0)kxm−−，20(MFcx=

−,0)kxm−−，由已知112||1FnMFkcmnk−+==+，222||1FnMFkcmnk+==+，所以12222222222211FFmkcmkakbkk−++−==+，提出如下命题：椭圆222Γ:1(0)cxyabab+=的左、右

焦点分别为1F，2F，直线l的方程为ykxm=+，若122FFb=，则直线l与椭圆相切，证明如下：联立方程22221xyabykxm+==+，化简可得222222()bxakxmab++=，（12分）所以2222222

22()20akbxakmxamab+++−=．方程222222222()20akbxakmxamab+++−=的判别式()222222222222222Δ(2)4()4()akmakbamababa

kmb=−+−=−+，因为122FFb=，122222221FFmkakbk−+=+，所以2222222(1)mkakbbk−+=+，所以22220kamb−+=，所以0=，所以方程组22221xyabykxm+==+

只有一组解，所以直线l与椭圆只有一个交点，所以直线l与椭圆相切．（17分）