【文档说明】高二数学期中模拟卷（全解全析）.docx，共(17)页，1.114 MB，由管理员店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。5．难度系数：0.65。第

一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线2π:tan5lx=的倾斜角为，则=（）A．0B．2π5C．π2D．不存在【答案】C【解析】因为2π:

tan5lx=，2πtan5为一常数，故直线的倾斜角为π2，故选：C2．在空间直角坐标系Oxyz中，点()()0,1,11,1,2AB−，，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面xOz对称的点为D，则向量CD的坐标为（）A．()1,2,1

−−B．()1,2,1−C．()1,0,1−D．()1,0,1−【答案】B【解析】()0,1,1A−，点A关于y轴对称的点为()0,1,1C，()1,1,2B，点B关于平面xOz对称的点为()1,1,2D−.则(

)1,2,1CD=−.故选：B.3．已知圆221:4Cxy+=，圆222:86160Cxyxy+−−+=，则两圆的位置关系（）A．内切B．外切C．相交D．相离【答案】B【解析】易知圆221:4Cxy+=的圆心为()10,0C，半径为12r=；圆222:86160Cxyx

y+−−+=可化为()()22439xy−+−=，圆心()24,3C，半径为23r=；圆心距222121435CCrr+===+，所以两圆外切.故选：B4．已知点()06,Py在焦点为F的抛物线2:2(0)Cypxp=上，若152PF=，则p=（）A．3B．6C．9D．12【答案】A【解析】抛

物线2:2(0)Cypxp=，准线2px=−，()06,Py,由抛物线的定义可知15622pPF=+=，解得3p=.故选：A.5．如图，在平行六面体ABCDABCD−中，5,3,7ABADAA===，60BAD=，45BAADAA==，则AC的长为（）A．98562

+B．98562−C．89562+D．89562−【答案】A【解析】平行六面体ABCDABCD−中，ACABBCCCABADAA=++=++，因为5AB=，3AD=，7AA=，60,45BADBAADAA===，所以22()ACABADAA=++222

222ABADAAABADAAABADAA=+++++12225949253257237222=+++++98562=+，所以98562AC+=，即AC的长为98562+，故选：A.6．点P在直线:10lxy−−=上运动，()()2,3,2,0A

B，则PAPB−的最大值是（）A．5B．6C．3D．4【答案】A【解析】设B关于:10lxy−−=的对称点为(),Cmn，则1221022nmmn=−−+−−=，解得11mn==，即

()1,1C故()()2221315AC=−+−=,5PAPBPAPCAC−=−=,当且仅当，,,PAC三点共线时，等号成立.故选：A7．已知椭圆的方程为22194xy+=，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，2F是椭圆的右焦点，则2ABF△的周长的最小值为（）A．8

B．623+C．10D．823+【答案】C【解析】椭圆的方程为22194xy+=，则3a=，2b=，225cab=−=，连接1AF，1BF，则由椭圆的中心对称性可知12OAOBOFOF==，，可知12AFBF

为平行四边形，则21BFAF=，可得2ABF△的周长为22122AFBFABAFAFABaAB++=++=+，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为24b=，所以周长为26410aAB++=．

故选：C.8．如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形11BCCB内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：①存在点P满足11PDMB⊥；②存在点P满足1PD与平面11ADM所成角的大小为60；③

存在点P满足1125MDMP+=；其中正确的个数是（）．A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图建立平面直角坐标系，则11,,02M，()11,0,1A，()10,0,1D，()11,1,1B，设(),1,Pxz，()(),0,

1xz，则110,,12MB=，()1,1,1DPxz=−若11PDMB⊥，则111102MBDPz=+−=，解得12z=，所以存在点P满足11PDMB⊥，故①正确；因为()111,0,0DA=，111,,12DM=−，设平面11ADM的法向量为

n⃗=(a,b,c)，则1110102nDAanDMabc===+−=，取()0,2,1n=，设1PD与平面11ADM所成角为，()060，则()12211sin511DPnzDPnxz

+==++−，令0x=，1z=，则2253sin525==，所以60，令0x=，0z=，则1103sin10210==，所以60，所以存在点P满足1PD与平面11ADM所成角的大小为60，故②正确；因为()2221131122DM

=++−=，11,,2MPxz=−，所以()221131,422MPxz=−++，所以()12,3MDMP+，所以存在点P满足1125MDMP+=，故③正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共

18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量()2,0,2a=r，13,1,22b=−−，()1,2,3c=−，则下列结论正确的是（）A．a与b垂直B．b与c共线C．a与c所成角为锐角D．a，b，c，可作为空

间向量的一组基底【答案】BC【解析】对A：13201213422ab=−++−=−−=−rr，故a与b不垂直，故A错误；对B：由13,1,22b=−−、()1,2,3c=−，有12bc=，故b与c共线，故B正确；对C

：()21022380ac=+−+=，且a与c不共线，故a与c所成角为锐角，故C正确；对D：由b与c共线，故a，b，c不可作为空间向量的一组基底，故D错误.故选：BC.10．已知圆225()(12)2Cxy−−+=：，直线()():211740lmxmym+++−−=.则以

下命题正确的有（）A．直线l恒过定点()3,0B．y轴被圆C截得的弦长为45C．直线l与圆C恒相交D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为250xy+−=【答案】CD【解析】对于A，直线()():211740lmxmym+++−−=，即()

2740mxyxy+−++−=，由27040xyxy+−=+−=，解得3,1xy==，故直线过定点()3,1P，故A错误；对于B,圆225()(12)2Cxy−−+=：，当0x=时，226y=，故y

轴被圆C截得的弦长为46，故B错误；对于C，直线过定点()3,1P，225(1123)(2)－＋－,故点P在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心()1,

2，则()()2121740mmm+++−−=，解得13m=−，故直线方程为：1250333xy−=＋，即250xy+−=，故D正确.故选：CD11．已知抛物线22(0)xpyp=的焦点为F，过F的直线l交抛物线于,AB两点，以线段AB为直径的圆交x轴于,MN两点，设线段AB

的中点为H，下列说法正确的是（）A．若抛物线上存在一点(,3)Et，到焦点F的距离等于4，则抛物线的方程为24xy=B．若2||||2AFBFp=，则直线AB的倾斜角为π4C．23=4OAOBp−D．若点F到抛物线准线的距离为2，则sinH

MN的最小值为13【答案】AC【解析】设1122()AxyBxy,,(,)，直线l的方程为2pymx=+，由222pymxxpy=+=，得2220xpmxp−−=，则212122,xxpmxxp+==−，所以21212(2yymxxppmp+=++=

+），2124pyy=，对于A：若抛物线上存在一点(,3)Et，到焦点F的距离等于4，即||4EF=，则342p+=，解得2p=，所以抛物线的方程为24xy=，故A正确；对于B：212||||()()222ppAFBFyyp=++=，即221

212()224ppyyyyp+++=，代入2122yypmp+=+，2124pyy=可得2222(2)2424ppppmpp+++=，解得1m=，所以l直线的斜率1k=，即直线的倾斜角为π4或3π4，故B错误；对于C：2

221212344ppOAOBxxyyp=+=−+=−，故C正确；对于D：若点F到抛物线准线的距离为2，则2p=，所以抛物线方程为24xy=，21242yym+=+，连接HM，过点H作HCx⊥轴于点C，则221242||2122yymHCm++===+，2212||422||22222

yypABmHMm++++====+，所以22222||212211sin1||2(1)2(1)2(1)HCmmHMNHMmmm++−====−+++，因为20m，所以211(0,]2(1)2m+，所以2111[,1)2(1)2m−+，综上，sinHMN最小

值为12，故D错误．故选：AC．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知ABCV的三个顶点()1,2A−，()0,5B，()3,4C−−．那么三角形外接圆

的方程是．【答案】2262150xyxy++−−=【解析】设ABCV的外接圆方程为220xyDxEyF++++=，则14202550916340DEFEFDEF++−+=++=+−−+=，解得6215DEF==−=−，所以三角形外接圆的方程为2262150xyxy++

−−=.故答案为：2262150xyxy++−−=13．已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则BNDM=．【答案】12−【解析】由题意可知：1BABCBD===，且12BABCBABDBCBD===，因为M

为BC中点，N为AD中点，则111,222BNBABDDMBMBDBCBD=+=−=−，所以111222BNDMBABDBCBD=+−211114422BABCBDBCBABDBD=+−−uuruuuruuuruuuru

uruuuruuur1111111142422222=+−−=−.故答案为：12−14．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点分别为12,,FFA为左顶点，过点1F的直线与双曲线C的左､右两支分别交于点

,NM（点M在第一象限）.若24MFNA=，则双曲线C的离心率e=，12cosFMF=.【答案】2715【解析】如图，由题意，知(),0Aa−，设双曲线C的焦距为2c，则()()12,0,,0FcFc−.由24MFNA=，得2MF//NA，

且24MFNA=，所以2113,3FAAFMNNF==，所以()3caca+=−，即2ca=，所以双曲线C的离心率2cea==.连接2NF，设2MFm=，则()()()1121112,2,2210444MFamNFamNFaamam=+=+=++=+.在12FNF△和12FM

F△中，由余弦定理的推论，得2222221211(2)16(10)(2)161616cos12(2)42(2)44amaamamamNFFamaama++−+++−==++，化简整理，得52ma=，所以在12FMF△中，由余弦定理的推论，得()22222212552(4)(2)(4)72

2cos5522152222aaaaammaFMFammaaa++−++−===++.故答案为：2；715.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1

3分）已知两直线1:20lxy++=和2:3210lxy−+=的交点为P．(1)直线l过点P且与直线310xy++=平行，求直线l的一般式方程；(2)圆C过点()1,0且与1l相切于点P，求圆C的一般方程．【解析】（1）直线l

与直线310xy++=平行，故设直线l为130xyC++=，（1分）联立方程组203210xyxy++=−+=，解得11xy=−=−．（3分）直线1:20lxy++=和2:3210lxy−+=的交

点()11P−−，．又直线l过点P，则1130C−−+=，解得14C=，（4分）即直线l的方程为340xy++=．（5分）（2）设所求圆的标准方程为222()()xaybr−+−=，（6分）1:20lxy++=的斜率为1−，故直

线CP的斜率为1，（7分）由题意可得222222(1)(1)(1)(0)111abrabrba−−+−−=−+−=+=+，解得216162518abr=−=−=，（10分）故所求圆的方程为2211256618xy

+++=．（11分）化为一般式：221140333xyxy+++−=．（13分）16．（15分）在正四棱柱1111ABCDABCD−中，124AAAB==，点E在线段1CC上，且14CCCE=，点F为BD中点.(1)求点1D到直线EF的距离

；(2)求证：1AC⊥面BDE.【解析】（1）如图,以D为原点，以1,,DADCDD分别为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系，（1分，建系正确即可）正四棱柱1111ABCDABCD−,1124,4,AAABCCCEF===为

BD中点,()()()()()110,0,4,0,2,1,1,1,0,0,2,3,1,1,1DEFEDEF=−=−−（2分）则点1D到直线EF的距离为：2221111141333EDEFdEDEF=−=−=

.（8分）（2）由（1）可得()()()10,2,0,2,2,0,2,0,4CBA，则()()()12,2,4,2,2,0,0,2,1ACDBDE=−−==，（9分）由122220ACDB+=−=可得1ACDB⊥，（11分）又由122(4)10ACDE

=+−=可得1ACDE⊥，（13分）又DBDED=，（14分）故1AC⊥面BDE.（15分）17．（15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，且过点3(1,)2.(1)求椭圆C的方程：(2)过点()1,0M的直线l与椭圆C交于点A、B，

设点1(,0)2N，若ABN的面积为310，求直线l的斜率k.【解析】（1）由椭圆2222:1xyCab+=的离心率为32，得2232aba−=，（1分）解得2ab=，（2分）由椭圆C过点3(1,)2，得221314ab+=，（3分）联立解得2,1ab==，（4分）

所以椭圆C的方程为2214xy+=.（5分）（2）依题意，直线l不垂直于y轴，设其方程为1xty=+，（6分）1122()AxyBxy,,(,)，则1kt=，由22144xtyxy=++=消去x得22(4)230tyty+−−=，显然0，（7分）则12122

223,44tyyyytt−+==++，（8分）ABN的面积212121211||||()424ABNSMNyyyyyy=−=+−（10分）2222221412334(4)4410ttttt+=+==+++，（13分）解得6t=，（14分）所以直线l的斜率166kt==.（15分）

18．（17分）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PDC⊥平面ABCD，ADDC⊥，ABDC，12ABDC=，1PDAD==，M为棱PC的中点.(1)证明：BM∥平面PAD；(2)若5PC=，1AB=，（i）求二面角P

DMB−−的余弦值；（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是269？若存在，求出PQPA的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）如图，取PD中点E，连接ME，AE，（1分，辅助线表述正确即可）因为M是PC中点，所以//MEDC，12MEDC=，（2分）

又//ABDC，12ABDC=，//MEAB，MEAB=，所以四边形ABME是平行四边形，（3分）//BMAE，（4分）又AE平面PAD，BM平面PAD，//BM平面PAD.（5分）（2）1

AB=，2DC=，又1PD=，5PC=，222PCPDDC=+，则PDDC⊥，（6分）又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC平面ABCDDC=，PD⊥平面ABCD，（7分）PDAD⊥，又ADDC⊥，所以PD，AD，DC两两互相垂直，如图，以点D为坐标原点

，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1,0,0A，()1,1,0B，()0,2,0C，()0,0,1P，10,1,2M，（8分）（i）设平面BDM的一个法向量为(),,mxyz=，则00mDBmDM==，即0102xyyz+

=+=，令1y=，可得1x=−，2z=−，()1,1,2m=−−，（10分）又平面PDM的一个法向量为()1,0,0DA=，（11分）16cos,61141mDAmDAmDA−===−++，所以二面角PDMB−−的余弦值为66−.（12分）（i

i）假设线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离为269，设PQPA=，()01，(),0,PQ=−，()()(),01,1,11,1,1BQPQPB=−=−−−=−−−，（13分）由（i）知平面BDM的一个法向量为()1,1,2m

=−−，所以点Q到平面BDM的距离为26BQmm−=，（15分）则22696−=，解得23=或103，（16分）又01≤≤，所以23=，即存在点Q到平面BDM的距离为269，且23PQPA=.（17分）19．（17分）已知A，B分别是双曲线2222:

1(0,0)xyCabab−=的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为12,kk，且12||4kkAB==.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点(4,0)的直线:4lxmy=+，交C的左，右两支于D，E两点（异

于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.【解析】（1）由题意可知(,0),(,0)AaBa−，因为||24ABa==，所以2a=.（1分）设(,)Pmn，则22214mnb−=，所以()2224

4bnm=−，（2分）又()2222122244422444bmnnnbkkmmmm−=====+−−−，（3分）所以216b=.（4分）所以双曲线C的方程为221416xy−=.（5分）（2）（i）由题意知直线l的方程为()()11224,,,,xmyDxyE

xy=+.（6分）联立2214164xyxmy−==+，化简得()224132480mymy−++=，（7分）因为直线l与双曲线左右两支相交，所以120yy，即m满足：()()2221224103219241048041mmmyym−−−=−，（1

0分）所以12m−或12m；（11分）（ii）1212223248,4141myyyymm−+==−−，（12分）直线AD的方程为11(2)2yyxx=++直线BE的方程为22(2)2yyxx=−−.（13分）联立直线AD与BE的方程

，得1212(2)(2)22yyxxxx+=−+−，（14分）所以21122112222662yyyyxmymymymy−=+++++，所以()211212624412yyxmyyyy−=++，所以()()1212212122112222422

634myyyyymyyyyxyyyyy+++++==−−++222222222483232224441414113232444141mmmyymmmmmyymm−+++−−−===−+−+−−.所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线1x=

上.（17分）