【文档说明】高二数学期中模拟卷（全解全析）（新八省专用）.docx，共(13)页，1.973 MB，由管理员店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1~3.2。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线l经过点()1,0P，且法向量()1,2v=，则l的方程为（）A．220xy+−=B．220xy−−=C．210xy+−=D．210xy−−=【答案】C【详解】由题意知直线l的法向量是()1,2v=，可得其斜率为12−，所以直线l的方程

为()1012yx−=−−，即210xy+−=.故选：C2．已知()()2,2,11,1,abk==−−，，且2ab⊥，则k的值为（）A．5B．5−C．3D．4【答案】D【详解】由题意可得()22,2,2bk=−−，则24420abk=−−+=，解之可得4k=.故选：D

．3．已知平面的一个法向量()2,2,1n=−−，点()1,3,0A−在平面内，则点()2,1,4P−到平面的距离为（）A．10B．3C．103D．83【答案】C【详解】由题得()1,2,4PA=−，所以()2,1,4P−到平

面的距离为244103441nPAn−−−==++，故选：C.4．以点()1,5C−−为圆心，并与x轴相切的圆的方程是（）A．22(1)(5)9xy+++=B．22(1)(5)16xy+++=C．22(1)(5)9xy−+−=D．22(1)(5)25xy+++=【答案】

D【详解】解：由题意，圆心坐标为点()1,5C−−，半径为5，则圆的方程为22(1)(5)25xy+++=．故选：D．5．空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，23OMOA=，点N为BC的中点，则MN=（）A．121232abc−+

B．211322abc−++C．111222abc+−D．221332abc+−【答案】B【详解】如图，连结ON，因23OMOA=，点N为BC的中点，则11()()22ONOBOCbc=+=+，于是，12211()23

322MNONOMbcaabc=−=+−=−++.故选：B.6．已知椭圆22221(0)xyabab+=的两个焦点分别为()()12,,,0330FF−，上的顶点为P，且1260FPF=，则此椭圆长轴为（）A．43B．23C．6D．1

2【答案】D【详解】因为椭圆222210xyabab+=的两个焦点分别为()()123,0,3,0FF−，则3c=，又上顶点为P，且1260FPF=，所以1sin302ca==，所以6a=，故长轴长为12.故选：D7．如图，平行六面体1111ABCDABCD

−的各棱长均为111,60,90AABAADDAB===，则1AC=（）A．6B．5C．3D．2【答案】B【详解】由已知可得11111cos60,02ABAAADAAABAD====，11ACABADAA=++，两边平方得，222

21111222ACABADAAABADABAAADAA=+++++1111122522=++++=，所以15AC=.故选：B.8．已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点Q在C的右支上，2QF与C的一条渐近线平行，交C的另一条渐近线于点P，

若1OQPF∥，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．5【答案】A【详解】令()2,0Fc，由对称性，不妨设直线2PF的方程为()byxca=−，由()byxcabyxa=−=−，解得2xc=，2bcya=−，即点P的坐标为,22cbca−，由O

为12FF的中点，1OQPF∥，得Q为2PF的中点，则点Q的坐标为3,44cbca−，代入双曲线的方程，有222222911616cbcaab−=，即222ca=，222ca=，解得2e=，所以双曲线

C的离心率为2．故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．直线3330xy+−=的倾斜角为150B

．若直线0axbyc++=经过第三象限，则0ab，0bcC．点()1,2−−在直线()()()212430xy++−+−=R上D．存在a使得直线32xay+=与直线20axy+=垂直【答案】ACD【详解】对于A：直线3330xy+−=的斜率33k=−，所以该直线的倾斜角为

150，故A正确；对于B：当0a=，0bc时，直线cyb=−经过第三象限，故B错误；对于C：将()1,2−−代入方程，则()2212430y−−−−+−=，即点()1,2−−在直线上，故C正确；

对于D：若两直线垂直，则320aa+=，解得0a=，故D正确.故选：ACD.10．已知直线()0ykxk=与双曲线()2222100xyabab−=，交于,AB两点，F为双曲线的右焦点，且2ABAFAF=，若ABF△的面积为232a，则下列结论正确的有（）A．双曲线

的离心率为5B．双曲线的离心率为102C．双曲线的渐近线方程为62yx=D．34k=【答案】BCD【详解】由题意知：0k，不妨取0k，由2ABAFAF=，即ABAFAFAF=，所以()0,0AFAFABAFBF

−==，所以AFBF⊥，所以以AB为直径的圆过F点，圆心为()0,0O，半径为OFc=，所以圆的方程为：222xyc+=，设,AFmBFn==，连接,GBAG，则四边形AGBF为矩形，则2mna−=，则ABF△的面积为：21322ABFSm

na==，且2224mnc+=，联立2222234mnamnamnc−==+=，解得222235,410,2macacana====，再由222223,2cabba=+=，所以离心率102cea==，故A错误，

B正确；对于C，双曲线的渐近线方程为：62byxxa==，故选项C正确；对于D，不妨设点B在第一象限，由对称性可知232ABFBScya==，23325Baycc==，代入222xyc+=中，得45Bxc=，所以0304BBykx−==−，由对称性知：当0k，34k

=−，所以34k=，故选项D正确.故选：BCD.11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，EFGMN、、、、均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A．P在BC中点时，平面

PEF⊥平面GMNB．异面直线EFGN、所成角的余弦值为14C．EFGMN、、、、在同一个球面上D．111112APtAAAMtAB=+−，则P点轨迹长度为52【答案】ACD【详解】对于选项A：取AD的中

点Q，连接,PQFQ，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，EFGMN、、、、均为所在棱的中点，易知GMPQ⊥，1//,FQDDFQ⊥平面ABCD，GM在面ABCD内，所以GMFQ^，FQ面PQF，PQ面PQF，PQFQQ=，所以GM⊥

面PQF，PF面PQF，所以GMPF^，连接1BA，11ABBA是正方形，1GNAB⊥，因为1FA^面11ABBA，GN面11ABBA，所以1GNAF^，因为1FA面1PFAB，1AB面1PFAB，111=FAABA，所以GN⊥面1PFAB，因为PF面1PFAB

，所以GNPF^，综上，GN面GMN，GM面GMN，又GNGMG=，所以PF⊥面GMN，PF面PEF，故平面PEF⊥平面GMN，故A正确；对于选项B：取11AB的中点T，连接,ETFT，则//ETGN，所以TEFÐ是异面直线EFGN、所成的角，又2EFFTET===，则π1,c

os32TEFTEF??，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点O，则2OEOFOGOMON=====，所以EFGMN、、、、在以O为球心，以2为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为111112APtAAAMtAB=+−，且E为1AA的中点，所以111112

2APAMtAEtAB-=-，故12MPtBE=，所以P点轨迹是过点M与1BE平行的线段1MP，且112CP=，所以152MP=，故D正确；故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小

题5分，共15分。12．若直线420Axy+−=和直线250xyC−+=垂直，则A=．【答案】10【详解】易知直线420Axy+−=的斜率为4A−，直线250xyC−+=的斜率为25,由两直线垂直可得21

45A−=−，解得10A=.故答案为：1013．已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且12PFPF⊥，若12PFF的面积为9，则b的值为．【答案】3【详解】12

2PFPFa+=，222121224PFPFPFPFa++=，①又12,PFPF⊥222212124PFPFFFc+==②①-②得：()22212244PFPFacb=−=，2121,2PFPFb=12PFF△的面积为9，1221219,02PFFSPFPF

bb===，3.b=故答案为：3.14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABCABC−中，,MN分别是11AC，1BB的中点，G是MN的中点，若1AGxAByAAzAC=++，则xyz++

=.【答案】32【详解】解：连接,AMAN，如图所示：因为G是MN的中点，,MN分别是11AC，1BB的中点，所以1()2AGANAM=+111()2ABBNAAAM=+++1111111()222ABBBAAAC=+++11111

()222ABAAAAAC=+++1131()222ABAAAC=++1131244ABAAAC=++,又因为1AGxAByAAzAC=++，所以131,,244xyz===，所以32xyz++=.故答案为：32四、解答题：

本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知ABCV的两顶点坐标为()1,1A−，()3,0C，()10,1B是边AB的中点，AD是BC边上的高．(1)求BC所在直线的方程；(2)求高AD所在直线的方程.

【详解】（1）因为1()0,1B是边AB的中点，所以()1,3B−，所以直线BC的斜率34BCk=−，所以BC所在直线的方程为：()334yx=−−，即3490xy+−=，（2）因为1()0,1B是边AB的中点，所以()1,3B−，因为AD是BC边上的高，所以1

BCADkk=−，所以30113ADk−=−−−，所以43ADk=，因此高AD所在直线的方程为：41(1)3yx+=−，即4370xy−−=.16．（15分）如图，在平行六面体ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA的长为b，且120AABAAD

==.求：(1)AC的长；(2)直线BD与AC所成角的余弦值.【详解】（1）由题意得ACABADAA=++，所以()2ACABADAA=++()2222ABADAAABADABAAADAA=+++++2224cos120abab=++2222abab=+−；（

2）BDADAAAB=+−，所以()2BDADAAAB=+−()2222AAABAAABADAAABADAD=++−+−222ab=+，ACABAD=+，2ACa=,()()22BDACADAAABABADAAABABADAAAD

=+−+=+−+221122abaaabab=−−+−=−，故2222cos,2242BDACabbBDACBDACabaab−−===++，由于异面直线所成角的范围为大于0小于等于90，所以直线BD与AC所成角的余弦值为2242bab+.17．（

15分）已知平面直角坐标系xOy内两定点(1,0),(4,0)AB，满足2PBPA=的点(,)Pxy形成的曲线记为.(1)求曲线的方程；(2)过点B的直线l与曲线相交与,CD两点，当COD△的面积最大时，求直线l的

方程（O为坐标原点）【详解】（1）由题设知()()2222214xyxy−+=−+，两边化简得224xy+=，所以点P的轨迹的方程为224xy+=（2）由题意知直线l的斜率一定存在，设:(4)lykx

=−，即40kxyk−−=，因为原点到直线l的距离2421kdk=+，224CDd=−，所以()()2222414222CODddSCDddd+−==−=，当且仅当22d=时，取得等号，又当22d=时，由2216241kk=

+，得到217k=，解得77k=，所以直线l的方程为()747yx=−．18．（17分）如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAADAB===，M，N分别为AB，PC的中点.(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.【详

解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,0,1,1,1PCDMN,()()0,2,2,2,0,0PDCD=−=−，()0,1,1MN=，设平面PCD的

一个法向量为(),,nxyz=，则22020nPDyznCDx=−==−=，取1y=，得()0,1,1n=，因为//MNn，所以MN⊥平面PCD；（2）()()()0,0,2,2,2,0,1,0

,0,PCM()1,0,2PM=−，()1,2,0MC=，设平面PMC的一个法向量为(),,mabc=，则2020mPMacmMCab=−==+=，取2a=，得()2,1,1m=−，()0,2

,2,PD=−设直线PD与平面PMC所成角为，则直线PD与平面PMC所成角的正弦值为：43sin3226PDmPDm===．19．（17分）已知椭圆:C()222210+=xyabab的右焦点F的坐标为()1,0，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的

标准方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为1Q，试问1FPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）由题意可知：1c=，椭圆上任

意一点到两焦点的距离之和为4，所以24a=，即2a=，222413bac=−=−=，所以椭圆的标准方程为：22143xy+=.（2）由题意可知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为：1xmy=+，与椭圆的方程联立，得221143xmyxy=++=消去x，得()2234690

mymy++−=，所以()22Δ3636340mm=++，设()11,Qxy，()22,Pxy，则()111,Qxy−，由根与系数的关系，得122643myym−+=+，122943yym−=+直线1PQ的斜率为：()

21212121yyyykxxxx−−+==−−，所以直线1PQ的方程为()211121yyyyxxxx++=−−，令0y=，得()()()122112121221121212112myymyymyyyyxyxyxyyyyyy++++++===+++222962434

34643mmmmmm−−+++==−+，即直线1PQ与x轴交于一个定点，记为()4,0M，则11226139933422434433FPQmSFMyymmm=+===++，等号成立当且仅当233m=.