【文档说明】高二数学期中模拟卷（全解全析）.docx，共(14)页，1.088 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（天津）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第三章5．难度系数：0.6。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共

45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，23OMOA=，点N为BC的中点，则MN=（）A．121232abc−+B．211322ab

c−++C．111222abc+−D．221332abc+−【答案】B【解析】如图，连结ON，因23OMOA=，点N为BC的中点，则11()()22ONOBOCbc=+=+，于是，12211()23322MNONOMbc

aabc=−=+−=−++.故选B.2．过点()0,1且与直线210xy−−=平行的直线方程是（）A．210xy−+=B．220xy−−=C．210xy+−=D．220xy+−=【答案】A【解析】与直线210xy−−=平行的直线方程可设为(

)201xymm−+=−，因为点在直线20xym−+=上，所以20101mm−+==，即过点且与直线210xy−−=平行的直线方程是210xy−+=，故选A3．抛物线22yx=的准线方程为（）A．14=−xB．12x=−C．14y

=−D．18y=−【答案】D【解析】抛物线22yx=的标准形式为212xy=，则122p=，解得14p=，即抛物线的准线为18y=−，故选D.4．在平行六面体1111ABCDABCD−中，其中111π

2,3ABBCBBABBABCBBC======，则1BD=（）A．12B．23C．6D．26【答案】D【解析】根据条件，以BA，BC，1BB作为一组基底，因为111BDBCCDDDBCBABB=++=++，所以()2211BDBABCBB=++，即22221111222BDBABCBBB

ABCBABBBCBB=+++++，所以2221121112cos2cos2cosABBDBABCCABBBBCBABABCBABBBCBB=+++++,因为111π2,3ABBCBBABBABCBBC======，所以21π

ππ444222cos222cos222cos24333BD=+++++=，所以126BD=.故选D.5．已知圆224240xyxy−−++=与圆()22212106100xyxyaa+−++−=相交，则a的取

值范围为（）A．()7,13B．()7,12C．()6,11D．()6,10【答案】A【解析】圆224240xyxy−−++=化为标准方程得()()22219xy++−=，则其圆心()12,1C−，半径13r=，圆()22212106100xyxyaa+−++−=化

为标准方程得()()22265xya−++=，则其圆心()26,5C−，半径2ra=，因为两圆相交，所以121212rrCCrr−+，即()()22326153aa−−−+++，解得713a，所以a的取值范围为()7,13.故选A

.6．已知双曲线22221(00)xyEabab−=：，的左，右焦点分别为1F，2F，过2F作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长2FA与另一条渐近线交于点B，若13(BOFAOBSSO=为坐标原点)，则双曲线的离心率为（）A．3B．2

C．5D．6【答案】D【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】利用已知条件求出A点坐标，求出点()1,0Fc−到渐近线byxa=−的距离d，结合13BOFAOBSS=可以得到点A到渐近线byxa=−的距离为3d，进而利用点到直

线的距离公式求出a与c的关系，然后求解双曲线的离心率.【解析】由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为byxa=，byxa=−，过点2F且与渐近线byxa=垂直的直线方程为()ayxcb=−−，联立()byxaayxcb==−−，可解得2,aabAcc

，点()1,0Fc−到渐近线byxa=−的距离21bcadbba==+−，因为13BOFAOBSS=，所以点A到渐近线byxa=−的距离为3b，所以22·31baabbaccba+=+−，即226ca=，所以6ca=，即双曲线的离心率为6.故选D．7．如图所示，AB

CD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足321432APABADAE=++，则P点到直线BC的距离为（）A．34B．54C．45D．55【答案】B【解析】如图，以D为坐标原点，,,DADCDH所在直线分别为x，y，z轴

建立空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,0,0D，()1,1,0B，()1,0,1E，()0,1,0C所以()0,1,0AB=，()1,0,0AD=−，()0,0,1AE=uuur，231,,323

214324APABADAE=++=−uuuruuuruuuruuurQ，131,,342P211,,342PB=−−uur，()1,0,0BC=−uuur，23BPBCBC=uuruuuruuur，22

22211109342144BP−+−+==uur所以点P到BC的距离221094514494BPBCdBPBC=−=−=uuruuuruuruuur．故选B.8．在平

面直角坐标系xOy中，若圆()()2221:14Cxyr−+−=(r>0)上存在点P，且点P关于直线10xy+−=的对称点Q在圆()222:49Cxy++=上，则r的取值范围是（）A．(2，+∞)B．[2，+∞)C．(2，8)D．[2，8]【答案】D【解析】()()2221

:14Cxyr−+−=圆心坐标()11,4C，设()1,4关于直线10xy+−=的对称点为(),ab，由141022411abba+++−=−=−，可得30ab=−=，所以圆()()2221:14Cxyr−+−=关于直线10xy+−=对称圆的方程为()2220:3Cxyr+

+=，则条件等价为：()2220:3Cxyr++=与()222:49Cxy++=有交点即可，两圆圆心为()03,0C−，()20,4C−，半径分别为r，3，则圆心距()()220230045CC=−−++=，则有353rr−+，由35r−得28r−，由35r

+得2r，综上：28r，所以r的取值范围是28,，故选D.9．已知双曲线2221(0)2xybb−=的右焦点到其一条渐近线的距离等于2，抛物线22(0)ypxp=的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线1:4380lxy−+=和2:3lx=−的距离之

和的最小值为（）A．115B．145C．165D．215【答案】D【解析】双曲线2221(0)2xybb−=的渐近线20bxy=，右焦点2(2,0)Fb+，依题意，22222bbb+=+，解得2b=，因此抛物线的焦点为(2,0

)F，方程为28yx=，其准线为2x=−，由243+8=0=8xyyx−消去x并整理得：26160yy−+=，264160=−，即直线1l与抛物线28yx=相离，过点F作1FPl⊥于点P，交抛物线于点M，过M作2MQl⊥于点Q，交直线2x=−于点

N，则有2242821||||||||||||||1||1154(3)MPMQMPMNNQMPMFFP++=++=++=+=+=+−，在抛物线28yx=上任取点M，过M作1MPl⊥于点P，作2MQl⊥于点Q，交准线于点N，连,MF

FP，如图，显然||||||||||||||1||||MPMQMPMNNQMPMFFPFP+=++=++，当且仅当点M与点M重合时取等号，所以抛物线上一动点M到直线1:4380lxy−+=和

2:3lx=−的距离之和的最小值为215.故选D第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．直线20mxy−−=被圆()2214xy++=截得的弦长的最小值为__________．【答案】23【解析】直线20mxy−−=恒过定点(0,2)P−，

而圆22(1)4xy++=的圆心为(0,1)C−，半径r为2，可得P在圆C内，经过点P与线段CP垂直的弦的长度最短，此时弦长为222||24123rCP−=−=．故答案为：23．11．如图，正四棱柱1111

ABCDABCD−中，设11,3ADDD==，点P在线段1CC上，且12CPPC=，则直线1AP与平面PBD所成角的正弦值是__________.【答案】223/223【解析】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴

，建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,3,0,1,1,1,1,0,0,0,0APBD，设平面PBD的法向量为(),,mxyz=，则()()()(),,0,1,10,,1,1,00mDPxyzyzmDBxyzxy==+===+=，令

1y=，则1xz==−，故()1,1,1m=−−，设直线1AP与平面PBD所成角大小为，则()()1111,1,11,1,211222sincos,311111436mAPmAPmAP−−−−++=====++++，故答案为：22312．已知

直线:30lxy−+=被圆()()()22:240Cxaya−+−=截得的弦长为22，则a的值为__________.【答案】1【解析】依题意可得圆心(),2Ca，半径2r=，则圆心到直线的距离()2223121

1aad−++==+−，由勾股定理可知，222222dr+=，代入化简可得12a+=，且0a，解得1a=．故答案为：1．13．在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点()12,0F−和()22,0F连线的斜率之积等于14，记点

P的轨迹为曲线E，直线l：()3ykx=−与E交于A，B两点，则E的方程为__________；若||4AB=则直线l的斜率为__________．【答案】221(2)4xyx−=15411【解析】令(,)Pxy，由题意得：1224

yyxx=+−，即得221(2)4xyx−=，设直线l与曲线E的交点11(,)Axy，22(,)Bxy，联立曲线E与直线l的方程2214(3)xyykx−==−，整理得：22222(41)243640,410kxkxkk−−++=−

，216(51)0k=+，∴2212122224364,4141kkxxxxkk++==−−，而2121||4ABkxx=+−=，代入整理：2224115||4|41|kkABk++==−，即有21

411k=或20k=(舍去），故15411k=.故答案为：221(2)4xyx−=；15411k=14．如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1160AADAABBAD===，13AAABAD===，点E为线段1BD上靠近

于点B的三等分点，设ABa=，ADb=，1AAc=，则AE=__________（用含有a，b，c的表达式表示）；若点G为棱1CC上的一个动点，则1EGDG的最小值为__________.【答案】211333abc++114/2.75【解析】由题

意得11111()()333AEABBEaBDaADAAABabca=+=+=++−=++−211333abc=++；设11,01CGCC=,则1111DGDCCCac=+=−，112122())3333(bcEGEDDGacabca+

−+=+=+−=+−，由题意可知193322abaccb====，故1122))333[(](EGDGbcaac=+−+−22((112222))333333cbabccaaca=−+−+−−−1929292923()()9

323232323=−+−+−−−2251191599(),0164=−+=−+，当56=时，25119()64−+取得最小值114，即则1EGDG的最小值为114，故答案为：211333abc++；114.15．若对圆()()22321xy−+

−=上任意一点(),Pxy，34349xyaxy−++−−的取值与,xy无关，则实数a的取值范围是__________．【答案】)4,+【解析】设2222343493434953434xyaxyzxyaxy−+−−=−++−−=+++，则34349

xyaxy−++−−可以看作点到直线:340mxya−+=，与到直线:l3490xy−−=的距离之和的5倍．因为34349xyaxy−++−−的取值与,xy无关，所以上述距离之和与点P在圆上的位置无关．如图，当直线m平移时

，点P到直线m，l的距离之和均为m与l间的距离，即此时圆在两直线之间．当直线m与圆()()22321xy−+−=相切时，223342134a−+=+，化简得15a+=，解得4a=或6a=−（舍去）．所以4a，即)4,a+．故答案为：)4,+三、解答题：本题

共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知ABCV的三个顶点A（-5,0），B（3,-3），C（0,2）.(1)求边AB所在直线的方程；(2)求边AB上的高所在直线的方程．【解析】（1）直线AB的斜率为0(3)

3538k−−==−−−，直线AB的方程为()3058yx−=−+，即38150xy++=.（7分）（2）由（1）知直线AB的斜率为38k=−，所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为83，因为AB上的高过点()0,2C，所以AB上的高线方程为823yx−=,化为一般式可得：8360

xy−+=.（14分）17．（15分）已知(1,5,1)a=−，(2,3,5)b=−.(1)当()//(3)abab+−时，求实数的值;(2)当(3)()abab−⊥+时，求实数的值.【解析】（1）解：因为(1,5,1)a=−，(2,3,5

)b=−，所以()()2,53,5,37,4,16abab+=−+−+−=−−。∵()//(3)abab+−，25357416−+−+==−−，解得13=−；（7分）（2）因为(3)()abab−⊥+，所以(3)()0abab−+=，所以()()()724

531650−−+−−+=，解得1063=.（15分）18．（15分）已知双曲线过点(32,4)P−，它的渐近线方程为43yx=.(1)求双曲线的标准方程；(2)设1F和2F是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且1232PFPF=，求12FPF的

大小.【解析】（1）解：根据题意，双曲线的渐近线方程为43yx=，可设双曲线的方程为22916xy−=，0；双曲线过点(32,4)P−，将P的坐标代入可得1816916−=，解得1=，则所求的双曲线方程为221916xy−=；（7分）（2）解

：设11||PFd=，22||PFd=，则1232dd=，又由双曲线的几何性质知12||26dda−==，221212236dddd+−=即有221212362100dddd+=+=，又12||210FFc==，22222121212||100||||FFddPFPF==+=+所

以12PFF是直角三角形，则1290FPF=．（15分）19．（15分）已知抛物线1C：()220ypxp=与离心率为22的椭圆2C：()222211xyabab+=的一个交点为()1,Pt，点Р到抛物线1C的焦点的距离为2.（Ⅰ）求1C

与2C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆2C上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线1C于点B，直线AB交y轴于点E，且OAEEOB=？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】解：（Ⅰ）因为

抛物线方程为()220ypxp=，则准线方程为：2px=−，点()1,Pt到焦点的距离等于到准线的距离，所以有122p+=，解得：2p=，抛物线方程为：24yx=.则()1,2P或()1,2P−，且点P在椭圆上，有22

141ab+=，又椭圆离心率为22，即2212ca=，即2212ba=，联立求解：22992ab==，所以椭圆方程为221992xy+=.（6分）（Ⅱ）由题意，直线OA斜率存在且大于0，设直线OA的方程为：()0ykxk=，因为OAOB⊥，则有直线OB的方程为：xyk=−，由221

992xyykx+==得：22312312xkkyk=+=+，即2233,1212kAkk++；由241yxyxk==−得：244xkyk==−，即()24,4Bkk−.（10分）设直线AB与x轴交于点D，因为在第一象限内

，满足OAEEOB=，又90OABEOD==o，所以有OADDOA=，DOBDBO=，所以ADODBD==，即D为线段AB中点，所以AByy=−，即23412kkk=+，231214k+=无解，所以不存在点A

的坐标使得OAEEOB=.（15分）20．（16分）如图，四棱锥PABCD−中，侧棱PD⊥平面ABCD，点E是PC的中点，底面ABCD是直角梯形，//12ABDCADDCABADPDCD⊥====，，，.(1)求证

：//BE平面PAD；(2)求异面直线PB和AC所成角的余弦值；(3)点Q在线段PC上，平面BDQ和平面PBD的夹角为45，求PQPC的值.【解析】（1）证明：PD⊥平面ABCDADDC⊥，，以D为原点，分别以DA、DC、DP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系.1,2ABADPDDC====，点E是PC的中点，()()()0,0,0,1,0,0,0,2,0DAC,()()11,1,0,0,0,1,0,1,2BPE，则11,0,2BE=−，DC⊥平面PAD，平面APD的一个法向量为()0,2,0DC=.0

BEDCBEDC=⊥，，BEQ平面PAD，//BE平面PAD；（5分）（2）()()1,1,1,1,2,0,PBAC=−=−设异面直线PB和AC所成的角为，115coscos,1535PBACPBACPBAC====，异面直线PB

和AC所成角的余弦值为1515.（10分）（3）()()()1,1,0,0,2,1,0,0,1DBPCDP==−=，设0,1PQPC=，，则()0,2,PQ=−，()0,2,1,DQDPPQ=+=−设平面PBD的法向量为，则有0,0,mDBmDP

==0,0,xyz+==不妨令1x=，得10yz=−=，，()110m=−，，.设平面BDQ的法向量为(),,nxyz=，则有0,0,nDBnDQ==()0,210,xyyz+=+−=不妨令1x=，得211yz=−=−，

，21,1,1n=−−，平面BDQ和平面PBD的夹角为45，222cos45cos,222111mnmnmn====++−，221012+−==−，，0,1,21=−，21PQPC=−∣∣∣∣.（

16分）