【文档说明】（北京专用，范围：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆） 高二数学期中模拟卷（全解全析） .docx，共(17)页，1.270 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共40分）一、选

择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线3310xy−−=的倾斜角为（）A．150B．135C．60oD．30o【答案】D【详解】因为该直线的斜率为3

3，所以它的倾斜角为30o.故选:D.2．若方程2220xyxym+−++=表示圆，则m的取值范围为（）A．1(,)4−B．(,0)−C．1(,)2−D．(,1)−−【答案】A【详解】由题意可得1,1,2,DEFm=−==故22411

80DEFm+−=+−，解得14m，故选：A3．已知空间向量()1,2,3m=，空间向量n满足//mnurr且7=mn，则n＝（）A．13,1,22B．13,1,22−−−C．31,1,22−−−D．31,1,22【答案】A

【详解】∵()1,2,3m=，且空间向量n满足//mnurr，∴可设(),2,3nm==，又7=mn，∴1233147++==，得12=．∴113,1,222nm==，故A

正确.故选：A.4．已知直线()12:20,:2120laxylxay+−=+++=，若1l∥2l，则a=（）A．1−或2B．1C．1或2−D．2−【答案】B【详解】因为1l∥2l，()12:20,:2120laxylxay+−=+++=，所以()11

2aa+=，所以220aa+−=，解得2a=−或1a=，当2a=−时，1:220lxy−+=，2:220lxy−+=，直线12,ll重合，不满足要求，当1a=时，1:20+−=lxy，2:10lxy++=，直线

12,ll平行，满足要求，故选：B.5．直线yxb=+与曲线21xy=−恰有1个交点，则实数b的取值范围是（）A．11b−B．21b−C．21b−−D．11b−或2b=−【答案】D【详解】曲线21xy=−

，整理得221,0xyx+=，画出直线yxb=+与曲线21xy=−的图象，当直线yxb=+与曲线21xy=−相切时，则圆心(0,0)到直线yxb=+的距离为||111b=+，可得2b=−（正根舍去），当直线yxb=+过(

1,0),(0,1)−时，1b=−，如图，直线与曲线恰有1个交点，则11b−或2b=−.故选：D.6．若圆222450xyxy++−−=与22210xyx++−=相交于A、B两点，则公共弦AB的长是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解

】圆222450xyxy++−−=，即()()221210xy++−=，所以圆心为()1,2−，半径为10，圆22210xyx++−=，即()2212xy++=，所以圆心为()1,0−，半径为2，所以两圆圆心距为(

)()()2211202102,102−++−=−+，所以两圆相交，两圆方程作差得到1y=−，即公共弦方程为1y=−，又圆()()221210xy++−=的圆心()1,2−到1y=−的距离为3，所以公共弦AB的

长为()2221032−=.故选：B7．一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F−，()23,0F，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A．2216428xy+=B．221167xy+=C．221169xy+=D．22143xy+=【答案】

B【详解】椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，故28,4aa==，且()13,0F−，故2223,7cbac==−=，所以椭圆的标准方程为221167xy+=.故选：B8．在正方体1111ABCDABCD−中，E是棱1DD的中点，则直线

1EC与平面1ACD所成角的正弦值为（）A．155B．789C．105D．223【答案】A【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则11(0,0,0),(2,2,0),(0,2,2),(0,2,1),(

2,2,2)ACDEC，所以11(2,2,0),(0,2,2),(2,0,1)ACADEC===设平面1ACD的法向量为(),,nxyz=，则1220220nACxynADyz=+==+=，令1y=−，则1xz==，所以(1,1,

1)n=−r，设直线1EC与平面1ACD所成角为，所以111315sincos535nECnECnEC====，，所以直线1EC与平面1ACD所成角的正弦值为155.故选：A.9．已知圆221:(2)(3)1Cxy−+−=，圆222:(3)(4)9Cxy−+−=，点M，N分别是圆

12,CC上的动点，点P为x轴上的动点，则PMPN+的最小值为（）A．174−B．524−C．622−D．171−【答案】B【详解】记圆1C关于x轴的对称圆为3C，点M关于x轴的对称点为M，由题知，圆1C的圆

心为(2,3)，半径为11r=，圆2C的圆心为()3,4，半径为23r=，则()32,3C−，由图可知3212324PMPNPMPNPCPCrrCC+=++−−−，当且仅当23,,,,CCMNP共线时取等号，因为()()22323

24352CC=−++=，所以PMPN+的最小值为524−.故选：B10．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点,EF分别为线段DM的三等分点，点N为线段AF的中点，过点N的平面与棱,,ABACAD分别交于,,OPQ

，设四面体AOPQ的体积为V，则VV的最小值为（）A．14B．18C．116D．127【答案】C【详解】连接AM，由题意知：()()111111222326ANAFADDFADDMADAMAD==+=+=+−()11111136231212ADABACADA

BAC=++=++；令AOxABAPyACAQzAD===，则AOABxAPACyAQADz===，11112123ANAOAPAQxyz=++，,,,NOPQ四点

共面，311111312123432xyzxyz++=（当且仅当14xyz==时取等号），116xyz；设点C到平面BAD的距离为d，则点P到平面BAD的距离为APdydAC=，又1sin2BADSABADBAD=，1sin2AOQSAOAQBA

D=，1131163AOQBADSydVAOAQyxyzVABADSd===，即VV的最小值为116.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．方程()2210xxy+−=表示的图形是.【答案】直线或单位圆【详解】由方程()

2210xxy+−=即可求解.由方程()2210xxy+−=可得：0x=或221xy+=，所以方程()2210xxy+−=表示的曲线是直线0x=或单位圆221xy+=，故答案为：直线或单位圆.12．已知点12,FF分别是椭圆221

259xy+=的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为，12PFF的周长为.【答案】45；18【详解】由已知可得2594525e−==，12PFF的周长为1212225225918PFPFFF++=+−=.故答案为：45；18.13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的

各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABCABC−中，M，N分别是111,ACBB的中点，122ABAAAC==，动点G在线段MN上运动，若=AG1xAAyABzAC++，则xyz++=.【答案】32【解析】如

图，取11AB的中点E，连接AE交1AB于点F．因为M，N分别是11,ACBB的中点，所以111,BCBCENABEM∥∥∥．因为1,BCAB平面1ABC，所以,EMEN∥平面1ABC．因为,,EMENEEMEN=平面EMN，所以

平面EMN∥平面1ABC，点G在平面EMN内，所以由等和面定理可知，||||AExyzkAF++===1131122AFEFAEAFAB+=+=+=．故答案为：32.14．已知点()1,1A−，点P在圆22:20Cxyx++=上，则AP的取值范围是；若AP与圆C相切，则AP=.【

答案】51,51−+2【详解】圆22:20Cxyx++=标准化为()22:11Cxy++=，圆心()1,0C−，半径1r=，()1,1A−，则()()2211015AC=−−++=，所以AP的取值范围是51,51−+，当AP与圆C相切时，可知22512APACr=−=−

=.故答案为：51,51−+；215．已知曲线242122,::(0)WxymxymWm+=+=，给出下列四个命题：①曲线1W关于x轴、y轴和原点对称；②当1m=时，曲线12,WW共有四个交点；③当2m=时，曲线2W围成的区域

内（含边界）两点之间的距离的最大值是3；④当01m时，曲线1W围成的区域面积大于曲线2W围成的区域面积．其中所有真命题的序号是．【答案】①②③【详解】①设点(),xy在212:(0)Wxymm+=上，对于点(,)xy−，

代入方程2222()xyxym+−=+=，也在1W上；对于点(,)xy−，代入方程2222()xyxym−+=+=，也在1W上；对于点(,)xy−−，代入方程2222()()xyxym−+−=+=，也在1W上；所以曲线1W关于x轴、y轴和原点对称，正确；②联立可得4211

xx+−=，即()22100xxx−==或1x=，当0x=时，都有1y=，即存在交点()()0,1,0,1−；当1x=时，都有0y=，即存在交点()()1,0,1,0−；综上，共有四个交点，正确；③当2m=时，则2242:

Wxy+=，故2402yx=−，可得222x−，曲线2W上任意一点(),xy到原点距离22221924dxyx=+=−−+，当212x=时max32d=，结合对称性知：曲线2W对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3，正确.④当01m时，对于曲线1

W是圆心为原点，半径为m的圆，设曲线1W围成的区域为1Q，曲线2W围成的区域为2Q，设()1,PxyQ，则22xym+，故2xmm，故42xx，故42xym+，故𝑃(𝑥,𝑦)在2Q的内部，故1Q的面积不大于2Q的面积，故④错误.故答案为：①②

③三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（13分）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点()A3,5且与圆22:2410Oxyxy+−−+=相切的直线方程；(2)求圆心在直线30xy−=上，与x轴相切，且被直

线0xy−=截得的弦长为27的圆的方程.【详解】（1）据点()A3,5可设直线方程为()()()()sin3cos50txty−−−=.圆O的方程可化为()()22124xy−+−=，故点()1,2到所求直线的距离为2，从而

222sin3cos2sincostttt−+=+.（4分）所以222242sin3cos9cos4sin12sincos45cos12sincosttttttttt=−+=+−=+−，得()cos5cos12sin0ttt−=.这就说明cos0

t=或5tan12t=，所以所求直线的方程为3x=或512450xy−+=.（7分）（2）设所求圆的圆心坐标为(),3Ptt，由于该圆与x轴相切，故该圆的半径为3t，所以该圆的方程是()()22239xtytt−+−=，即22

2260xtxytyt−+−+=.（11分）而该圆被直线0xy−=截得的弦长为27，故该圆圆心到直线0xy−=的距离为()2223797dtt=−=−.所以22972tt−=−，解得1t=.故所求的圆的方程为222610xxyy++++=或222610xxyy−+−+=.（13分）17．（1

4分）已知以点()12A−，为圆心的圆与直线:270lxy++=相切．过点(2,0)B−的直线l与圆A相交于,MN两点．(1)求圆A的标准方程；(2)当219MN=时，求直线l的方程．【详解】（1）设

圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为221472512d−++==+，即25r=，所以圆A的方程为22(1)(2)20xy++−=；（5分）（2）当直线l与x轴垂直时，直线方程为2x=−，即20x+=，点A到直线的距离为1，此时2201219MN=−=，

符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设:(2)lykx=+，即20kxyk−+=，取MN的中点Q，连接AQ，则AQMN⊥，（9分）因为219MN=，所以20191AQ=−=，（10分）又点A到直线l的距离为221kAQk−=+，（12分）所以22

11kk−=+，解得34k=，所以直线l方程为3460xy−+=．综上，直线l的方程为2x=−或3460xy−+=．（14分）18．（13分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，1ABAC==，12AA

=，ABAC⊥.(1)求直线AC与平面1ABC所成角的正弦值；(2)求点1B到平面1ABC的距离.【详解】（1）因为1AA⊥平面ABC，,ACAB平面ABC，所以11,AAACAAAB⊥⊥，又因为ABAC⊥，以1,,AC

ABAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，𝐴(0,0,0),()1,0,0C,()10,0,2A,()0,1,0B,()1,0,0AC=,()10,1,2AB=−,()1,1,0BC=−（5分）设平

面1ABC的法向量为(),,nxyz=100ABnBCn==得200yzxy−=−=，取2,2,1xyz===，()2,2,1n=（9分）设直线AC与平面1ABC所成角为，所以2sincos,3ACnACnACn===.

（11分）（2）因为()10,1,2B,()10,0,2BB=，()2,2,1n=设点1B到平面1ABC的距离为d，所以1223441BBndn===++.（13分）19．（15分）已知椭圆2222:1(0

)xyCabab+=的一个焦点为()5,0，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25−+=xy的圆心为,MP为此圆上一点.(1)求椭圆C的离心率；(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围.【详解】（1）由题意得2225,cabc==+，且1222122aba

b==，即6ab=，解得3,2ab==，所以椭圆C的离心率53cea==.（5分）（2）由题意，得5PQMPMQMQ=−=−.设()11,Qxy，则2211194xy+=.（8分）所以()()22

22211111459161149955MQxyxxx=−+=−+−=−+，（12分）因为13,3x−，所以当195x=时，min45||5MQ=；当13x=−时，max||4MQ=.所以PQ的取值范围为451,55−.（15分）2

0．（15分）如图，三棱柱111ABCABC−中，平面ABC⊥平面111,,2AACCABACAAABAC⊥===，160AAC=，过1AA的平面交11BC于点E，交BC于点F.(1)求证：1AC⊥平面1ABC；(2)求证：四边形1AAEF为平行四边形；

(3)若23BFBC=，求二面角1BACF−−的大小.【详解】（1）平面ABC⊥平面11,AACCABAC⊥，平面ABC平面11AACCAC=，AB平面ABC，所以AB⊥平面11AACC，所以1ACAB⊥，因为三棱柱111ABCABC－中，1AAAC=，所以四边形11AACC为菱形，所以11AC

AC⊥,1AC平面1ABC，AB平面1ABC,1ACABA=，所以1AC⊥平面1ABC；（4分）（2）因为111AABBAA∥，平面11BBCC，1BB平面11BBCC，所以1AA∥平面11BBCC，因为平面1AAEF平面11BBCCEF=，1AA平面1AAEF，所以1AAEF∥，

因为平面ABC∥平面111ABC，平面1AAEF平面ABCAF=，平面1AAEF平面1111ABCAE=，所以1AEAF∥，所以四边形1AAEF为平行四边形；（8分）（3）在平面11AACC内，过A作AzAC

⊥.因为AB⊥平面11AACC，如图建立空间直角坐标系Axyz−，由题意得，()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0ABC，()()110,1,3,0,3,3AC.因为23BFBC=，所以244,,0333BFBC

==−，所以24,,033F.（10分）由（1）得平面1ABC的法向量为()10,1,3AC=−.设平面1ACF的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则100nACnAF==，即33024033yzxy+=+=

，令1y=，则2,3xz=−=−，所以()2,1,3n=−−，（14分）所以1112cos,2nACnACnAC==，由图知二面角1BACF−−的平面角是锐角，所以二面角1BACF−−的大小为45°.（15分）21．（15分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位

置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母

球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为()0,a（aR），目标球B的位置为()4,0，球B的位置为()8,4−，解决下列问题：(1)如图①，若4a=，沿向量AB的方向击打母球A，能否使目标球B向球B的球心方向运动？判

断并说明理由；(2)如图②，若0a=，要使目标球B向球B的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程；(3)如图③，若2a=−，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球B的球心方向运动？判断并说明理由．【详解】（1）若4a=时，沿向量AB的方向击打母球A，则()4

,4AB=−，而()4,4BB=−，所以ABBB=，即两向量同向共线，所以沿向量AB的方向击打母球A，能使目标球B向球B的球心方向运动；（3分）（2）若0a=，过点𝐵(4,0)与点()8,4B−的直线方程为40xy+−=．依

题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线40xy+−=上，且在第一象限，设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为(),Aab，此2AB=，则有2240(4)20,0ababab+−=−+=，解得422ab=−=，（

7分）即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为(42,2)A−，∴母球A的球心运动的直线方程为2221742yxx+==−；（9分）（3）若2a=−，由（2）知(42,2)A−．又()()0,2,4,0AB−，∴()()42,22,2,2AABA=−+=−

，∴()()42,222,24220AABA=−+−=−，故AAB为锐角．（13分）∴点𝐵(4,0)到线段AA的距离小于2，故球A的球心未到直线BB上的点A之前就会与球B碰撞．故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向()8,

4B−处运动．（15分）