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专练7函数的单调性与最值授课提示：对应学生用书13页[基础强化]一、选择题1．下列函数中是增函数的为()A．f(x)＝－xB．f(x)＝23xC．f(x)＝x2D．f(x)＝3x答案：D解析：方法一(排除法)取x1＝－1，x2

＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝32，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D．方法二

(图象法)如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D.2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是()A．y＝11－xB．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x答案：D解析：A项，x1＝0时，y1

＝1，x2＝12时，y2＝2>y1，所以y＝11－x在区间(－1，1)上不是减函数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图象与性质可得，y＝cosx在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝lnx为增函数，且y＝x＋1为增函数，所以y＝ln(x＋1)在(－1，

1)上为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．3．函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋

∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)答案：D解析：由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).4．[2024·新课标Ⅱ卷]设

函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为()A．18B．14C．12D．1答案：C解析：方法一f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)≥0可看作f1(x)＝x＋a与f2

(x)＝ln(x＋b)在定义域(－b，＋∞)上同正同负，因此两函数图象与x轴的交点重合，如图所示．令f1(x)＝x＋a＝0，f2(x)＝ln(x＋b)＝0，得－a＝1－b，即a－b＋1＝0，此时可以将a－b＋1＝0看成一条直线，a2＋b2可看成直

线a－b＋1＝0上的点(a，b)到原点的距离的平方，因而可知其最小值为原点到直线的距离的平方，所以所求最小值为(|0－0＋1|12＋（－1）2)2＝12，故选C.方法二若f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)≥

0，则f(x)的最小值大于或等于0.f′(x)＝ln(x＋b)＋x＋ax＋b＝ln(x＋b)＋1＋a－bx＋b(x>－b)，假设a≥b，则x＋a≥x＋b>0，当－b<x<－b＋1时，ln(x＋b)<0，此时f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)<0，不满足题意，所以a<b，则f′(x)＝ln(x＋b

)＋1＋a－bx＋b(x>－b)在定义域上为增函数．又当x→－b时，f′(x)→－∞，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，所以存在x＝x0使得f′(x0)＝0，即ln(x0＋b)＝－x0＋ax0＋b.则f(x)在(－b，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在

x＝x0处取得极小值，也是最小值，所以f(x)min＝f(x0)＝(x0＋a)ln(x0＋b)＝(x0＋a)－x0＋ax0＋b＝－（x0＋a）2x0＋b≤0，又f(x0)≥0，则x0＝－a，又ln(x0＋b)＝－x0＋ax0＋b

，所以ln(b－a)＝0，所以b－a＝1，所以b＝a＋1.所以a2＋b2＝a2＋a2＋2a＋1＝2a＋122＋12，则a2＋b2的最小值为12.5．[2024·四川内江测试]若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范

围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，1)D．(0，1]答案：D解析：由于g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有

0<a≤1.故选D.6．[2024·山东青岛一中测试]已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是()A．－∞，23B．(0，＋∞)C．0，23D．(－∞，0)∪23，＋∞答案：C解析：∵f(x)在定义域(－1，1)

上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，∴－1<1－a<1，－1<2a－1<1，1－a>2a－1，解得0<a<23.故选C.7．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上单调

递减，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．若a＝2022，则f(x)在(0，1)上单调递减答案：ACD解析：∵函数f(x)＝loga|x－1|在(

0，1)单调递减，∴f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上单调递减，∵y＝1－x在其定义域内是减函数，∴a>1.当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝loga|x－1|＝loga(x－1)，∵y＝x－1在其定义域内是增函数，且a>1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且

无最大值，故A正确，B错误．∵f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；由a>1可知，当a＝2022时，f(x)在(0，1)上单调递减，故D正确．

故选ACD.8．已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x<0，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1，2)C．(－2，1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C解析：f(x)＝x2＋4x＝（x＋2）2－4

，x≥0，4x－x2＝－（x－2）2＋4，x<0.由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1，故选C.9．[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2]B．[－2，0)C．(0，2]D．[2，＋∞)答案：D解析：方法一由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝a2≥1，解得a≥2.故选D.方法二取a＝3，则y＝x(x－3)＝(x－32)2－94

在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D.二、填空题10．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)解析：由

已知可得a2－a>0，a＋3>0，a2－a>a＋3，解得－3<a<－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).11．已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递增区间是________

.答案：[－1，1)解析：∵f(0)＝loga3<0，∴0<a<1，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为[－1，1).12．已知函数f(x)＝x＋1x－1，x∈[2，5]，则f(x)的最大值是________．答案：3解析：f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋2x－1＝1＋2x－1，显然f(x)

在[2，5]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝1＋22－1＝3.[能力提升]13．[2024·新课标Ⅰ卷]已知函数为f(x)＝－x2－2ax－a，x<0，ex＋ln（x＋1），x≥0在R上单调递增，则a的

取值范围是()A．(－∞，0]B．[－1，0]C．[－1，1]D．[0，＋∞)答案：B解析：方法一当x<0时，函数f(x)＝－x2－2ax－a＝－(x＋a)2＋a2－a，若函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0；

当x≥0时，函数f(x)＝ex＋ln(x＋1)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln(0＋1)＝1，解得a≥－1.综上可得－1≤a≤0.故选B.方法二当a＝1时，f(x)＝－（x＋1）2，x<0，ex＋ln（x＋1），x≥0，显然函

数f(x)＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，可排除C选项和D选项；当a＝－2时，f(x)＝－（x－2）2＋6，x<0，ex＋ln（x＋1），x≥0，当x从0的左侧趋近于0时，f(x)→2，而f(0)＝1，所以函数f

(x)在R上不单调，可排除A.故选B.14．设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，＋∞单调递增B．是奇函数，且在－12，12单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12单调递增D．是奇函数，且在－∞，－12单调递减

答案：D解析：|2x＋1|>0，|2x－1|>0⇒x∈xx≠±12，x∈R，∴函数f(x)的定义域关于原点对称，又∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈－12，

12时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝22x＋1－－21－2x＝41－4x2>0，∴f(x)在－12，12单调递增，排除B；当x∈－∞，－12时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－

2x)，则f′(x)＝－2－2x－1－－21－2x＝41－4x2<0，∴f(x)在－∞，－12单调递减，∴D正确．15．函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．答案：3解析：∵y＝13

x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3.16．f(x)＝ax，x<1，（a－3）x＋4a，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2<0成立，则a的取值范围是____

____．答案：0，34解析：∵对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2<0成立，∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，∴0<a<1，a－3<0，a≥（a－3）×1＋4a，解得0<a≤34，∴a的取值范围是0，34.