【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题2.9 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（知识讲解）.docx，共(9)页，231.809 KB，由管理员店铺上传

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1专题2.9一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（知识讲解）【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方

程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元

二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相

等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为)0(02=++acbxaxacb42−)0(02=++acbxaxacb42−=cba.,acb42−acb42−()00

2=++acbxaxacb42−acb42−acb42−20这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条

件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根

．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；acb42−)0(

02=++acbxax21xx，abxx−=+21acxx=21222121212()2xxxxxx+=+−12121211xxxxxx++=g2212121212()xxxxxxxx+=+2221121212xxxxxxxx++=2121212()2xxx

xxx+−=22121212()()4xxxxxx−=+−12()()xkxk++21212()xxkxxk=+++2212121212||()()4xxxxxxxx−=−=+−222121212222221212

12()211()xxxxxxxxxxxx++−+==2212121212()()4xxxxxxxx−=−=+−3⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用

一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）

利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式判断根的情况1．已知关于x的一元二次方程220xk

xk−+−=．（1）若1x=−是该方程的一个根，求k的值；（2）请判定这个方程根的情况．【答案】（1）12k=；（2）该方程有两个不相等的实数根【分析】（1）将1x=−代入220xkxk−+−=，解方程即可得出k的值；22212121212||||(|

|||)+2||xxxxxxxx+=+=+g2121212()22||xxxxxx=+−+g20(0)axbxca++=1x2x120xx120xx120xx+120xx120xx+120xx120xx120xx+120xx

120xx+ab+ab−ab4（2）利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．解：（1）将1x=−代入220xkxk−+−=得：120kk++−=，解得12k=；（2）∵1a=，bk=−，2ck=−，∴()2222441248(2)4backkkkkD=-=-创-=-+=-+，∵()220k−

，∴()2240k-+>，∴该方程有两个不相等的实数根．【点拨】此题主要考查了一元二次方程解，根与系数的关系，根的判别式，熟悉相关性质是解答本题的关键．举一反三：【变式】关于x的一元二次方程20xmxn++=．（1）若方程有两个相等的实数根用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，

且4m=−．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．【答案】（1）214nm=（2）①4n；②13x=，21x=．【分析】（1）根据方程得出240mn=−=，变形即可；（2）①根据方程得到2(4)40n=−−，解得即可；②在n的

取值范围内取3n=，然后解方程即可．解：（1）∵关于x的一元二次方程20xmxn++=有两个相等的实数根，∴240mn=−=，∴214nm=．（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且4m=−，5∴2(

4)40n=−−，解得4n；②∵4n，∴n可以是3此时方程为2430xx−+=，(3)(1)0xx−−=，解得13x=，21x=．【点拨】此题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程20(a0)++=axbxc的根与24bac=−有如下关系：当0时，方程有两个

不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．类型二、由一元二次方程根的情况求根的参数2．已知关于x的方程220(0)mxnxm+−=．（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；（2）若

方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．【答案】（1）见解析；（2）n=4，m=−2，方程的根为x1=x2=1【分析】（1）先计算判别式得到=2(2)m+，根据非负数的性

质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程．（1）证明：=()()()2222424420mmmmm−−−=++=+，∴方程总有两个实数根；（2）由题意可知，m≠0，224

(2)80nmnm=−−=+=；即28nm=−；6以下答案不唯一，如：当n=4，m=−2时，方程为x2-2x+1=0，解得x1=x2=1．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（

a≠0）的根与=b2-4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．举一反三：【变式】已知关于x的方程()21230axx−++=．（1）若0a=，不解方程，试判断这个方程根的情况；（2）若这个方程有两个实

数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）43a且1a．【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可得；（2）根据一元二次方程的定义、根的判别式求解即可得．【详解】解：（1）∵0a=，∴方程为2230xx−++=，

∴其根的判别式为()22413160=−−=，∴该方程有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程()21230axx−++=有两个实数根，∴其根的判别式0且10a−，即()224130a−−且1a，

解得：43a且1a．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用73．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．【思路点拨】根据方程解的意义，

将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得，，从而解得：，k＝-7．方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．设另外一根为x1，则由一

元二次方程根与系数的关系，得，从而，故方程的另一根为，k的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值．举一反三：【变式】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．【答案】另一根为-1；的值为-3．4．已知关于x的一元二次方程22(21)0xmxm++

+=有两个实数根1x和2x．（1）求实数m的取值范围；（2）当22120xx−=时，求m的值．【答案】（1）14m−；（2）14m=−.【分析】（1）根据判别式△=24bac−≥0求解即可；(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可.解：(1)∵关

于x的一元二次方程22(21)0xmxm+++=有两个实数根1x和2x．∴△=22(21)4mm+−≥0,2560xkx+−=125kx+=−1625x=−g135x=−1725x+=135x=−35−12bxxa+=−12cxxa=g220xxc−+=cc8∴

14m−;(2)∵22120xx−=∴1212()()0xxxx−+=,∴120xx−=或120xx+=,∴△=0或2m+1=0,解得14m=−或12m=−(舍去),∴14m=−.【点拨】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判

别式和根与系数关系定理是解题的关键.【点拨】已知关于x的方程24280xxk−−+=有两个实数根1x，2x．（1）求k的取值范围；（2）若2212128xxxx+=−，求k的值．【答案】（1）k的取值范围为2k；（2）5k=．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=2(4)41(28)0

k−−−+…，然后解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=-2k+8，代入2212128xxxx+=−，然后解关于k的方程即可．解：（1）Q关于x的方程24280xxk−−+=有两个实数根

1x，2x．△0…，即2(4)41(28)0k−−−+…，解得2k…，k的取值范围为2k…；（2）Q关于x的方程24280xxk−−+=有两个实数根1x，2x．124xx+=，1228=−+xxk，2212128xxxx+=−Q，即12

12()8xxxx+=−，4(28)8k−+=−，9解得5k=，符合（1）中2k…5k=．【点拨】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，121

2,bcxxxxaa+=−=．