【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 2.1 圆的方程(八大题型)(原卷版).docx,共(18)页,1.931 MB,由小赞的店铺上传
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2.1圆的方程课程标准学习目标本章以“圆”为载体,再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路.通过本章的学习,学生将在类比直线的研究方法的基础上,进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程,进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系,体会数
形结合的思想,逐步形成用代数方法解决几何问题的能力.1、理解并掌握确定圆的几何要素.2、理解并探求圆的标准方程和一般方程.3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法.4、理解并掌握点与圆的位置关系.知识点01圆的标准方
程222()()xaybr−+−=,其中(),Cab为圆心,r为半径.知识点诠释:(1)如果圆心在坐标原点,这时00,==ab,圆的方程就是222xyr+=.有关图形特征与方程的转化:如:圆心在x轴上:b=0;圆与y轴相切时:||=ar;圆与x轴相切时:||=br;与坐标轴相切时:||||==a
br;过原点:222+=abr(2)圆的标准方程222()()xaybr−+−=圆心为(),ab,半径为r,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要a、b、r这三
个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.【即学即练1】(2023·全国·高二专题练习)已知点()()1,2,1,4AB−−,求(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线240xy−−=上的圆
的标准方程.知识点02点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()−+−=xaybr,圆心为(),Cab,半径为r,则有(1)若点()00,Mxy在圆上()()22200||=−+−=CMrxaybr(2)若点()00,Mxy在圆外()()22200||−+−CMrxay
br(3)若点()00,Mxy在圆内()()22200||−+−CMrxaybr【即学即练2】(2023·高二课时练习)点(,10)Pa与圆22(1)(1)2xy−+−=的位置关系是()A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.与a的值有关知识点03圆的一般方程当2240+−D
EF时,方程220++++=xyDxEyF叫做圆的一般方程.,22−−DE为圆心,22142+−DEF为半径.知识点诠释:由方程220++++=xyDxEyF得22224224+−+++=DEDEFxy(1)当2240+−=DEF时,方程只有实数解,
22=−=−DExy.它表示一个点.(2)当2240+−DEF时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.(3)当2240+−DEF时,可以看出方程表示以,22−−DE为圆心,22142+−DEF为半径的圆.【即学即练3】(2023·河南周口·高二校考阶段练习)在平面直角坐标
系中,四点坐标分别为()()()2,0,3,23,1,23,ABC−+()4,Da,若它们都在同一个圆周上,则a的值为()A.0B.1C.2D.3知识点04轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量,xy之间的方程.1、当动点
满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关点法).2、求轨迹方程时,一要区分“轨
迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等.3、求轨迹方程的步骤:(1)建立适当的直角坐标系,用(,)xy表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标;(2)列出关于,xy的方程;(3)把方程化为最简形式;(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点);(5)作答.【即学即练
4】已知()2,0A−,()2,0B,动点M满足2MAMB=,则点M的轨迹方程是.(,)22DE−−题型一:圆的标准方程例1.(2023·全国·高二专题练习)已知圆221:4Cxy+=与圆2C关于直线250xy++=对称,则圆2C的标准方程为()A.()()22424xy+++=B.()()2
2424xy−+−=C.()()22244xy+++=D.()()22244xy−+−=例2.(2023·甘肃临夏·高二校考阶段练习)已知圆C的圆心在y轴上,且经过(4,4)A,(4,0)B−两点,求圆C的标准方程.例3.(2023·高二课时练习)求满足下列条件的圆的标准方
程:(1)经过点()5,1P,圆心为点()8,3C−;(2)经过点()()4,2,6,2PQ−−,且圆心在y轴上.变式1.(2023·全国·高二专题练习)求经过点()1,1P和坐标原点,并且圆心在直线2310xy++=上的圆的方程.变式2.(2023·全国·高二专题练习)已知圆C的半径为
17,圆心在直线20xy−−=上,且过点()2,1−,求圆C的标准方程.变式3.(2023·高二单元测试)已知直线l过点()3,2且与直线712yx=−+垂直,圆C的圆心在直线l上,且过()6,0A,()1,5B两点.(1)求直线l的方程;(2)求圆C
的标准方程.变式4.(2023·河北保定·高二校考期中)求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在x轴上,半径为5,且过点()2,3A−;(2)圆心在直线2yx=−上,且与直线1yx=−相切于点()2,1-;【方法技巧与总结】一般情况下,如果已知圆心或易于求出圆心,可
用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心,()ab和半径r,一般步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为222()()−+−=xaybr;(2)根
据已知条件,建立关于a、b、r的方程组;(3)解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.题型二:圆的一般方程例4.(2023·全国·高二专题练习)过坐标原点,且在x
轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为()A.22230xyxy+−−=B.22230xyxy++−=C.22230xyxy+−+=D.22230xyxy+++=例5.(2023·天津和平·高二统考期末)ABC三个顶点的坐标分别是()1,5A−−,()2,
4B,()5,5C−,则ABC外接圆的方程是()A.2242200xyxy+−−−=B.2242200xyxy++−−=C.2242200xyxy+−+−=D.2242200xyxy+++−=例6.(2023
·全国·高二专题练习)已知圆C经过两点()0,2A,()4,6B,且圆心C在直线:230lxy−−=上,则圆C的方程为()A.2266160xyxy+−−−=B.222280xyxy+−+−=C.226680xy
xy+−−+=D.2222560xyxy+−+−=变式5.(2023·全国·高二专题练习)与圆224630xyxy+−++=同圆心,且过点()1,1-的圆的方程是()A.224680xyxy+−+−=B.2246
80xyxy+−++=C.224680xyxy++−−=D.224640xyxy+−−−=【方法技巧与总结】一般地,当给出了圆上的三点坐标,特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时,选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷;而在其他情况下的首选应该是圆的
标准方程,此时要注意从几何角度来分析问题,以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.题型三:点与圆的位置关系例7.(2023·全国·高二专题练习)若点()1,1aa+−在圆22240xyay+−−=的内部,则a
的取值范围是().A.1aB.01aC.115a−D.1a例8.(2023·四川巴中·高二统考期末)点()sin30,cos30与圆2212xy+=的位置关系是().A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定
例9.(2023·全国·高二专题练习)点(13)P,与圆2224xy+=的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定【方法技巧与总结】点与圆的位置关系,从形的角度来看,设圆心为O,半径为r,则点
P在圆内||PQr;点P在圆上||=PQr;点P在圆外||PQr.从数的角度来看,设圆的标准方程为222()()−+−=xaybr,圆心为(,)Aab,半径为r,则点()00,Mxy在圆上()()22200−+−=xaybr;点()00,Mxy在圆外22200()()−+−
xaybr;点()00,Mxy在圆内()()22200−+−xaybr.题型四:轨迹问题例10.(2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习)已知点()1,1B和圆22:4,CxyPQ+=、为圆上的动点.(1)求BP的中点E的轨
迹方程;(2)若90PBQ=,求线段PQ中点的轨迹方程.例11.(2023·全国·高二专题练习)已知圆C的圆心在x轴上,并且过()1,3A,()3,3B两点.(1)求圆C的方程;(2)若P为圆C上任意一点,定点()8,0M,点Q满足3PMQM=,求点Q的轨迹方程.例12.(2023·高二课时
练习)如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上异于A,B两点的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.变式6.(2023·全国·高二专题练习)在直角坐标系xOy中,线段4MN=,且两个端点M、N分别
在x轴和y轴上滑动.求线段MN的中点C的轨迹方程;变式7.(2023·高二课时练习)已知圆的方程是2222(2)20xyaxay+−+−+=,则圆心的轨迹方程为.变式8.(2023·全国·高三专题练习)如图所示,两根杆分别绕着定点A和B(AB=2a)在平面
内转动,并且转动时两杆保持互相垂直,则杆的交点P的轨迹方程是.变式9.(2023·全国·高二专题练习)过点()8,0A的直线与圆224xy+=交于点B,则线段AB中点P的轨迹方程为.变式10.(2023·高二单元测试)在平面直角坐标系中,已知点(4,0)A,点P在圆22:9Oxy+
=上运动,则线段AP的中点Q的轨迹方程是.变式11.(2023·全国·高二专题练习)点M与两个定点()0,0O,()2,0P的距离的比为3:1,则点M的轨迹方程为.变式12.(2023·全国·高二专题练习)为参数,圆2224cos
4sin30xyaxaya+−−+=的圆心的轨迹方程为.变式13.(2023·贵州铜仁·高三统考期末)已知直线1:(2)lymx=−+,2:20lxmym−−−=,当任意的实数m变化时,直线1l与2l的交点的轨迹方程是.变式14.(2023·山东临沂·高二统考期中)点()2,2A
−为圆C:()()22216xya−+−=上一点,点B在圆C上运动,点M满足12AMAB=.则点M的轨迹方程为.【方法技巧与总结】用直接法求曲线方程的步骤如下:(1)建立适当的直角坐标系,用(,)xy表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标;(2)列出关于,xy的方程;(3)把方程化为最简形式;(
4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点);(5)作答.题型五:二元二次曲线与圆的关系例13.(2023·高二课时练习)方程220xyDxEyF++++=表示的圆过原点且圆心在直线yx=上的条件是()A.0,0DEF==B.0,0DFE==C.0,0DEF=D.0,0DEF==例
14.(2023·全国·高二专题练习)“1a”是“方程22222650xyaxya++++=表示圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例15.(2023·全国·高二专题练习)方程222210xyaxay
a+−+++=表示圆,则实数a的可能取值为()A.1B.2C.0D.2−变式15.(2023·陕西·高二校考阶段练习)若方程22450xymxy++−+=表示圆,则实数m的取值范围是()A.()(),22,−−+B.()(),3
3,−−+C.()(),11,−−+D.()(),22,−−+变式16.(2023·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习)下列方程表示圆的是()A.220xy+=B.22210xyx+
−+=C.22122xy+=D.22210xyx−−+=变式17.(2023·全国·高二专题练习)已知2222420xykxykk++−++−=表示的曲线是圆,则k的值为()A.()6+,B.)6,−+C.(),6−D.(,6−【方法技巧与
总结】方程220++++=xyDxEyF表示圆的充要条件是2240+−DEF,故在解决圆的一般式方程的有关问题时,必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中,圆心为,22−−DE,半径22142=+−rDEF题型六:圆过定点例16.(20
23·全国·高二专题练习)对任意实数m,圆2236920xymxmym+−−+−=恒过定点,则定点坐标为.例17.(2023·全国·高二专题练习)若抛物线2yxaxb=++与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C,则ABC的外接圆恒过的定点坐标为例18.(2023·江苏·高二校考阶段
练习)已知圆C经过()0,1A,()()4,0Baa两点.(1)当3a=,并且AB是圆C的直径,求此时圆C的标准方程;(2)如果AB是圆C的直径,证明:无论a取何正实数,圆C恒经过除A外的另一个定点,求出这个定点
坐标.变式18.(2023·高二课时练习)求证:对任意实数2a−,动圆22(2)(2)420axayxa+++−−=恒过两定点.变式19.(2023·高二课时练习)已知点()2,3P−−和以Q为圆心的圆()()22134xmym−++−=.(1)
求证:圆心Q在过点P的定直线上,(2)当m为何值时,以PQ、为直径的圆过原点.变式20.(2023·辽宁大连·高二统考期中)对于任意实数,曲线22(1)(1)(64)1660xyx++++−−
−=恒过定点【方法技巧与总结】合并参数题型七:与圆有关的对称问题例19.(2023·全国·高三专题练习)已知直线():10lmxym+−=R是圆22:4210Cxyxy+−++=的对称轴,则m的值为()A.1B.1−C.2D.3例20.(2023·全国·高二专题练习)点M、N在圆2
2:2240Cxykxmy+++−=上,且M、N两点关于直线10xy−+=对称,则圆C的半径()A.最大值为22B.最小值为22C.最小值为322D.最大值为322例21.(2023·全国·高二专题练习)已知圆2220xxy++=关于直线10(ax
ybab++−=、为大于0的常数)对称,则ab的最大值为()A.14B.12C.1D.2变式21.(2023·全国·高三专题练习)已知圆22:220Exaxyy−+−−=关于直线:0lxy−=对称,则=a()A.0B.1C.2D.4变式22.(2023·江苏·高二专题练习)如果圆22
0xyDxEyF++++=(2240DEF+−)关于直线yx=对称,则有().A.0DEF++=B.DE=C.DF=D.EF=变式23.(2023·江苏泰州·高二泰州市第二中学校考阶段练习)若圆22:(3)(3)4Cxy−++=
关于直线:460laxy+−=对称,则直线l的斜率是()A.6B.23C.32−D.23−变式24.(2023·湖北荆门·高二荆门市东宝中学校考期中)已知圆1C:22xya+=关于直线l对称的圆为圆2C:222230xy
xay++−+=,则直线l的方程为A.2450xy−+=B.2450xy++=C.2450xy−−=D.2450xy+−=变式25.(2023·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习)已知A、B为圆22(1)4xy+
−=上关于点(1,2)P对称的两点,则直线AB的方程为().A.30xy+−=B.30xy−+=C.370xy+−=D.310xy−−=【方法技巧与总结】(1)圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称(2)圆关于点对称:①求已知圆关于某点对称的圆的方程,只需
确定所求圆的圆心,即可写出标准方程②两圆关于某点对称,则此点为两圆圆心连线的中点(3)圆关于直线对称:①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程,只需确定所求圆的圆心,即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题型八:圆的实际应用例2
2.(2023·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中)如图是一条过江行车隧道,横截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状),路面宽度46AB=米,拱高4OP=米.车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.5米,高
为3.5米的货车(可视为长方体)能否驶入这个隧道?请说明理由(参考数据:31.732).例23.(2023·全国·高二专题练习)如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图,该圆弧拱跨度AB为500m,圆拱的最高点H离水面AB的高度为100
m,桥面CD离水面AB的高度为50m.(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆拱所在圆的方程;(2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.(结果精确到0.1m)例24.(2023·浙江湖州·高二统考期中)如图,某海面有,,OAB三个小岛(小岛可视为质点,不计大小),A岛在O岛正西方向距O岛30千米处,B岛
在O岛北偏西45方向距O岛602千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为一个单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,,AB三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一渔船D在O岛的南偏东30方向距O岛60千米处,正沿着北偏西45方向行驶,
若不改变方向,试问该渔船是否有触礁的危险?请说明理由.变式26.(2023·全国·高二专题练习)如图是某圆拱形桥的示意图,雨季时水面跨度AB为6米,拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米.旱季时水位下降了1米,则此时水面跨度增大到米.变式27.(2023·
高二课时练习)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个图的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,则支柱A2P2=(参考数据:30=5.478,33=5.744,精确到0.01m).变式28.(2023·浙江宁波·高二期末)如图1,某圆拱形桥一孔圆拱
的平面示意图,已知圆拱跨度30mAB=,拱高5mOP=,建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑,则支柱11AP的高度等于m(精确到0.01m).若建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,则圆拱所在圆的标准方程是.(可用参考数据:61624.82,60024.4
9,59924.47,54423.32,52522.91=====.)【方法技巧与总结】解应用题的步骤(1)建模.(2)转化为数学问题求解.(3)回归实际问题,给出结论.一、单选题1.(2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中)“大漠孤烟直,长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的
认知.已知()1,3A,()3,1B−,则以AB为直径的圆的方程为()A.()()22215xy−+−=B.()()222120xy−+−=C.()()22125xy++−=D.()()221220xy++−=2.(2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习
)圆22410xyx++−=关于点(0,0)对称的圆的标准方程为()A.22410xyx+−−=B.22(2)5xy+−=C.228150xyx+++=D.22(2)5xy−+=3.(2023·高二课时练习)若当方程22220xykxyk++
++=所表示的圆取得最大面积时,则直线()12ykx=−+的倾斜角=()A.π2B.π4C.3π4D.π54.(2023·全国·高二专题练习)已知半径为3的圆C的圆心与点()2,1P−关于直线10xy−+=对称,则圆C的标准
方程为()A.22(1)(1)9xy++−=B.22(1)(1)81xy−+−=C.22(1)9xy++=D.229xy+=5.(2023·安徽马鞍山·高二校联考期中)若直线:()100,0axbyab−+=平分圆:222410xyxy++−+=的面积,则
21ab+的最小值为().A.8B.426+C.4D.66.(2023·浙江温州·高二校联考期中)“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军
饮马”:即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为224xy+,若将军从点()3,1A处出发,河岸线所在直线方程为=5yx−−,并假定将军只要到达军营
所在区域即回到军营,那么“将军饮马”的最短总路程为()A.10B.9C.8D.77.(2023·甘肃·高二校联考期中)点()4,2P−与圆224xy+=上任一点连线的中点的轨迹方程是().A.22(2)(1)1xy−++=B.22(2)(1)4xy−++=C.22(2)(1)1xy++−=D.22
(4)(2)4xy++−=8.(2023·河南许昌·高二统考期末)在平面直角坐标系Oxy中,A为直线l:2yx=上在第一象限内的点,(5,0)B,以AB为径的圆C与直线交于另一点D.若0ABCD=,则A点的横坐标为()A.1−B.3C.3或1−D.2二、多选题
9.(2023·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习)已知动直线m:0xy−+=和n:320xy+−−=,P是两直线的交点,A、B是两直线m和n分别过的定点,下列说法正确的是()A.B点的坐标为()3,2−B.mn⊥C.P
APB的最大值为10D.P的轨迹方程为222230xyxy+−−−=10.(2023·高二单元测试)设有一组圆kC:22()()4xkyk−+−=(R)k,下列命题正确的是()A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆kC均不经过点(30),C.经过点(22),的圆kC有且只有一个D.所有圆的面积均为4π11.(2023·全国·高二专题练习)已知曲线22:0CAxByDxEyF++++=()A.若1AB==,则C是圆B.若0AB=,2240DEA
F+−,则C是圆C.若0AB==,220DE+,则C是直线D.若0A,0B=,则C是直线12.(2023·全国·高二专题练习)已知圆222410xyxy++−+=关于直线220axby−+=(),abR对称,则下列结论正确的是()A.
圆222410xyxy++−+=的圆心是(1,2)−B.圆222410xyxy++−+=的半径是2C.1ab+=D.ab的取值范围是1,4−三、填空题13.(2023·全国·高二专题练习)已知复数z满足条件1z=,则13iz++的最
大值为.14.(2023·全国·高二专题练习)若复数12343i,3i,26i,3izzzza=−=−−=+=−在复平面内对应的点在同一个圆上,则正实数a的值为.15.(2023·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习)已知()()3,0,3,0,ABP−为圆22:1090C
xyx+−+=上的动点,则PAPB的最大值为.16.(2023·上海浦东新·高二校考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值(0且1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名
字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy中,()2,0A−、()2,0B,点P满足3PAPB=,则PAPB的最小值为.四、解答题17.(2023·高二单元测试)若动点(),xy在圆2240xyx+−=上,求2234x
y+的最大值.18.(2023·江苏·高二假期作业)如图,RtABC△的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于,PQ两点,求证:222APAQPQ++为定值.19.(2023·湖南郴州·高二校考阶段练习)已知圆C过点(4,
0),(0,4)AB,且圆心C在直线:60lxy+−=上.(1)求圆C的方程;(2)若从点(4,1)M发出的光线经过直线yx=−反射,反射光线1l恰好平分圆C的圆周,求反射光线1l的一般方程.20.(2023·高二课时练习)已知直线1:30lxy+−=与x轴交于点
A,直线2:2lyx=与1l交于点B,点C在y轴的正半轴上,且23AC=,求ABC外接圆的方程.21.(2023·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习)已知圆E经过点()0,0A,()1,1B,且圆E与y轴相切.(1)求圆E的
一般方程;(2)设P是圆E上的动点,点C的坐标为()4,0,求线段CP的中点M的轨迹方程.22.(2023·全国·高二课堂例题)已知P是圆222:(5)(5)(0)Cxyrr−+−=上的一个动点,它关于点(9,0)A的对称点为Q,O为原点,线段OP绕原点O逆时针方向旋转90后,所
得线段为OR,求QR的最小值与最大值.