【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 2.3 圆与圆的位置关系 Word版含解析.docx，共(14)页，983.365 KB，由小赞的店铺上传

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2.3圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆1O的方程为22()()4xayb−+−=，圆2O的方程为22(1)1xyb+−+=，其中,abR．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A．外离B．外切C．内含D．内切

【答案】C【解析】由两圆的标准方程可得()1,Oab，12r=，()20,1Ob−，21r=；则2121211OOarr=+=−，所以两圆不可能内含.故选：C.2．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k(4x+3y)−1

＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定【答案】A【解析】圆C1：x2+y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r＝1，圆C2：x2+y2+k(4x+3y)−1＝0的圆心C232,2kk−−，半径R22514k=+，∴222

12925444CCkkk=+=，而2222525251111444kkk+−++，∴两圆相交．故选：A．3．已知圆2221:Cxyr+=与圆2222:()()4(0)Cxaybrr−+−=交于不同的()11

,Axy，()22,Bxy两点，下列结论正确的有（）A．12xxa+=B．122yyb+=C．221122axbyab+=+D．()()12120axxbyy−+−=【答案】D【解析】两圆方程相减可得直线AB的方

程为222223abaxbyr+−−=，即222223axbyabr+=+−，故C不正确；连立222223byxaaxbyabr+=+−=可得AB中点1212,22xxyy++，易知A、B错误.∴2221122222223223axby

abraxbyabr+=+−+=+−，两式相减可得()()12120axxbyy−+−=，故D正确.故选：D4．若圆221:1Cxy+=与圆222:680Cxyxym+−−+=外切，则m=（）A．21B．19C．9D．11−【答案】C【解析】

由题意，圆221:1Cxy+=与圆222:680Cxyxym+−−+=可得12(0,0),(3,4)CC，121,25rrm==−，因为两圆相外切，可得1212||1255CCrrm=+=+−=，解得9m=．故选：C.5．圆221:2220Cxyxy+++−=和圆222:42

10Cxyxy+−−+=的公切线的条数为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵两个圆221:2220Cxyxy+++−=与222:4210Cxyxy+−−+=，∴圆1C圆心为()1,1−−，半径为2，圆2C圆心为()2,1，半径为2，∴两圆圆心距为

()()22121113−−+−−=，∵2213224−+=，∴两圆相交，有2条公切线.故选：B.6．已知圆224410Mxyxy+−−−=：，直线:34110lxyP++=，为l上的动点，过点P作圆M的切线PAPB，，切点为

AB，，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为（）A．3450xy+−=B．3450xy−−=C．3450xy++=D．3450xy−+=【答案】A【解析】解：圆的方程可化为()()22229xy−+−=，点M到直线l的距离为223242115234d++==+，所以直线l与圆相离

．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP⊥，所以14462PAMPMABSPAAMPA===△，而29PAMP=−，当直线MPl⊥时，min5MP=，min4PA=，此时PMAB最小．∴()4:223MPyx−=−，即4233yx=−，由4233341

10yxxy=−++=，解得12xy=−=−．所以以MP为直径的圆的方程为()()()()21220xxyy−+++−=，即2260xxy−+−=，两圆的方程相减可得：3450xy+−=，即为

直线AB的方程．故选：A.7．设0r，则两圆222(1)(3)xyr−++=与2216xy+=的位置关系不可能是（）A．相切B．相交C．内切和内含D．外切和外离【答案】D【解析】圆2216xy+=的圆心为(0,0)，半径为4

；圆222(1)(3)xyr−++=的圆心为(1,3)−，半径为r．两圆心之间的距离为1910+=，又因为104，所以两圆不可能外切和外离．故选：D．8．已知圆221:64120Cxyxy+−++=与圆222:1420Cxyxya+−

−+=，若圆1C与圆2C有且仅有一个公共点，则实数a等于A．14B．34C．14或45D．34或14【答案】D【解析】设圆1C､圆2C的半径分别为1r､2r.圆1C的方程可化为22(3)(2)1xy−++=，圆2C的方程可化为22(7)(1)50xya−+−=−.

由两圆相切得，1212CCrr=+或1212CCrr=−，∵2212435CC=+=，∴215r+=或22154rr−==或26=r或24r=−(舍去).因此，5016a−=解得a=34或5036a−=解得14a=故选:D.二、多选题9．圆()()()2221:

2cos2sin0Cxyrr−+−=与圆222:1Cxy+=，下列说法中正确的是（）A．若1r=，对于任意的，圆1C与圆2C始终外切B．若1r=，,PQ分别为圆1C与圆2C上的动点，则PQ的最大值为4C．若2r=，对于任意的，圆1C与圆2C的公共弦长为152D．若5r=，,MN为

圆1C与圆2C的交点，则圆2C上存在无数个点S，使90MSN=【答案】ABCD【解析】对于A，当1r=时，圆1C的圆心()12cos,2sinC，半径为1；圆2C的圆心为()0,0，半径为1；()()()

2222122cos02sin04cossin2CC=−+−=+=，圆1C与圆2C始终外切，A正确；对于B，由A知：122CC=，max2114PQ=++=，B正确；对于C，当2r=时，公共弦所在直线方程为：4cos4sin10xy+−=，圆2C的圆心到公共弦所在直线

的距离2211416cos16sind==+，公共弦长为：2215212d−=，C正确；对于D，当5r=时，直线MN方程为：cossin0xy+=，直线MN过圆2C的圆心()20,0C，即MN为圆2C的直径，圆2C上异于,MN的点S，均

可以使90MSN=，有无数个，D正确.故选：ABCD.10．[多选题]当实数m变化时，圆1C：221xy+=与圆2C：()()2214xmy−+−=的位置关系可能是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【答案】ABCD【解析】

圆1C：221xy+=的圆心为()10,0C，半径11r=，圆2C：()()2214xmy−+−=的圆心为()2,1Cm，半径22r=，则22121CCm=+，121rr−=，123rr+=．∵221211CCm=+，∴当1

21CC=时，两圆内切；当1213CC时，两圆相交；当123CC=时，两圆外切；当123CC时，两圆外离；故选：ABCD.11．已知圆22:230Axyx+−−=，则下列说法正确的是（）A．圆A的半径为4B．圆A截y轴所得的弦长为23C．圆A上的点到直线34120xy

−+=的最小距离为1D．圆A与圆22:88230Bxyxy+−−+=相离【答案】BC【解析】对于A：由22230xyx+−−=可得()2214xy−+=，所以A的半径为2r=，故选项A不正确；对于B：圆心为()1,0到y

轴的距离为1d=，所以圆A截y轴所得的弦长为2222222123rd−=−=，故选项B正确；对于C：圆心()1,0到直线34120xy−+=的距离为22312334+=+，所以圆A上的点到直线34120xy−+=的最小距离为3321r−=−=，故选项C正确；对于D：由228

8230xyxy+−−+=可得()()22449xy−+−=，所以圆心()4,4B，半径3R=，因为()()2241405ABrR=−+−==+，所以两圆相外切，故选项D不正确；故选：BC.12．如图，点()2,0A，()1,1B，()1,1C−，()2,0D−，CD是以OD为直径

的圆上一段圆弧，CB是以BC为直径的圆上一段圆弧，BA是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（）A．曲线与x轴围成的图形的面积等于32B．CB与BA的公切线的方程为120xy+−−=C．BA所在圆与CB所在圆的公共弦所在直线的方程为0xy−=D．CD所在的圆截直线yx=所得弦的长

为2【答案】BCD【解析】由题意得：A选项：CD、CB、BA所在的圆的方程分别为22(1)1xy++=，22(1)1yx+−=，22(1)1xy−+=.曲线与x轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个14圆，其面积为22224S=++

=+，故A错误；B选项：设CB与BA的公切线方程为()0,0ykxbkb=+，则221111bkbkk−++==++，所以1k=−，12b=+，所以CB与BA的公切线方程为12yx=−++，即120yx+−−=，故B正确；C选项：由22(1)1yx+−=和22(1)1xy−+=两式相

减得0xy−=，即为公共弦所在的直线方程，故C正确；D选项：CD所在的圆的方程为22(1)1xy++=，圆心(10)−，，圆心到直线yx=的距离1222d−==，则所求的弦长为2221()22−=，故D正确.故选

：BCD三、填空题13．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．【答案】1【解析】圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝224ab+.因为两圆只有一条公切线

，所以两圆相内切，所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.故答案为：1．14．写出与圆221xy+=和22(3)(4)16xy−+−=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544yx=−+或7252424yx=

−或1x=−【解析】圆221xy+=的圆心为()0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy−+−=的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切

线为l时，因为143OOk=，所以34lk=−，设方程为3(0)4yxtt=−+O到l的距离||19116td==+，解得54t=，所以l的方程为3544yx=−+，当切线为m时，设直线方程为0kxyp++=

，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk=+++=+，解得7242524kp=−=，7252424yx=−当切线为n时，易知切线方程为1x=−，故答案为：3544yx=−+或7252424yx

=−或1x=−.15．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q−是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切

．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为__________；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d=__________．【答案】3125【解析】（1）根据条件得到两圆的

圆心坐标分别为(4,0)−，(4,0)，设公切线方程为(0)ykxmk=+且k存在，则22421421kmkkmk−+=++=+，解得33k=，0m=，故公切线方程为33yx=，则Q到直线l的距离332d=，故l截圆Q的弦长223323()32=−=；（2）设方程为(0)yk

xmk=+且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：12|4|1kmdk−+=+，22|4|1kmdk+=+，32|3|1mdk+=+，则22221234(4)4(4)4(9)dddd=−=−=−，即有2222|4||4|()()11kmkmkk−++=++，①22

22|4||3|4()9()11kmmkk++−=−++，②解①得0m=，代入②得2421k=，则2416144214(4)425121d=−=+，即125d=，故答案为：3；125．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx+−+=，若直线2ykx=−

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是_______.【答案】403k【解析】由228150xyx+−+=可得22(4)1xy−+=，因此圆C的圆心为(4,0)C，半径为1，若直线2ykx=−上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆

C有公共点，只需点(4,0)C到直线2ykx=−的距离2|42|1121kdk−=+=+，即22(21)1kk−+，所以2340kk−，解得403k，所以k的取值范围是403k，故答案为：403k

.四、解答题17．已知在平面直角坐标系xOy中，点()0,3A，直线:24=−lyx．设圆C的半径为1，圆心在直线l上．(1)若圆心C也在直线1yx=−上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使2=MAMO，求圆心C的横坐标a的

取值范围．【解析】(1)联立241yxyx=−=−，解得32xy==，即圆心()3,2C，所以，圆C的方程为()()22321xy−+−=.若切线的斜率不存在，则切线的方程为0x=，此时直线0x=与圆C相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求

切线的方程为3ykx=+，即30kxy−+=，由题意可得23111+=+kk，整理可得2430kk+=，解得0k=或34−.故所求切线方程为3y=或334yx=−+，即3y=或34120xy+−=.(2)解：设圆心C的坐标为(),24

aa−，则圆C的方程为()()22241xaya−+−−=，设点(),Mxy，由2=MAMO可得()222232xyxy+−=+，整理可得()2214xy++=，由题意可知，圆C与圆()2214xy++=有公共点，所以，()221233aa+−，即22512805120aaaa

−+−，解得1205a.所以，圆心C的横坐标a的取值范围是120,5.18．已知()Mmn，为圆C：22414450xyxy+−−+=上任意一点.(1)求2mn+的最大值；(2)求32nm−+的最大值和最小值；(3)求22mn+的最大值和最小值.【

解析】(1)∵22414450xyxy+−−+=的圆心(27)C，，半径22r=，设2mnt+=，将2mnt+=看成直线方程，∵该直线与圆C有公共点，∴圆心C到直线的距离2212272212td+−=+，解上式得：1621016210t−+，∴2mn+的最大值为16210+.(2

)记点()23Q−，，∵32nm−+表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：3(2)ykx−=+，即230kxyk−++=，由直线MQ与圆C有公共点，∴22723221kkk−+++，可得2323k−+，∴32nm−

+的最大值为23+，最小值为23−；(3)∵设22(0)(0)mn=−+−，等价于圆C的圆心(27)C，到原点的距离的平方，则2222max((20)(70))(5322)614106r=−+−+=+=+，2222min((20)(70))(5322)614

106r=−+−−=−=−；19．已知圆22:(4)(2)4Cxy−+−=，圆22:450Mxxy−+−=.(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；(2)若过点()6,2−的直线l与圆C相切，求直线l的方程.【解析】(1)把

圆M的方程化成标准方程，得22(2)9xy−+=，圆心为(2,0)M，半径13r=.圆C的圆心为(4,2)C，半径22r=，因为()221422225MC=−+=，所以圆C与圆M相交，(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为6x=到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存

在时，设其方程为2(6)ykx+=−，由题意得2426221kkk−−−=+，解得34k=−，故直线l的方程为34100xy+−=.综上，直线l的方程为34100xy+−=或6x=.20．动圆C与x轴交于()1,0Ax，()2,0Bx两点

，且12,xx是方程2240xmx+−=的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点(0,1)M时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．【解析】（1）12,xx是方程2240xmx+−

=的两根，122xxm+=−，124xx=−．动圆C与x轴交于()1,0Ax，()2,0Bx两点且线段AB是动圆C的直径，动圆C的圆心C坐标为(,0)m−，半径为()212122214||4222xxxxxxABm+−−===+．动圆C的方程为：222()4xmym++=+．

（2）证明：设动圆C的方程为：220xyDxEyF++++=，动圆C与y轴交于(0,1)M，()30,Ny，令0y=，则20xDxF++=．由题意可知2Dm=，4F=−．又动圆C过点(0,1)M，140E+−=，即3E=．令0x=，则2340yy+−=，解得1y=或4y=−．34y=−．动

圆C在y轴上截得弦长为315y−=．动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点(0,0)O，(2,0)A−，(3,3)B−−．（1）求圆C的一般方程；（2）若圆M与圆C相切

于点O，且圆M的半径为10，求圆M的标准方程．【解析】（1）设圆C的一般方程为：220xyDxEyF++++=，分别代入点O，A，B的坐标可得：042018330FDFDEF=−+=−−+=，解得2D=，4E=，0F=，故圆C的一般方程为：22240xyxy+++=.（2）

圆C的标准方程为：22(1)(2)5xy+++=，则圆心(1,2)C−−，所以直线OC的方程为：2yx=，由圆的性质可知，圆心M在直线OC上，设点(,2)Mmm，则圆M的标准方程为：22()(2)10xmym−+−=，代入点O可得：2510m=，解得2m=，故圆M的标准方

程为：22(2)(22)10xy−+−=或22(2)(22)10xy+++=．22．已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.（1）求弦AB所在直线的方程；（2）求圆C

的方程.【解析】（1）由22222102402280xyxyxyxy+−+−=+++−=，得240xy−+=故弦AB所在直线的方程为240xy−+=（2）由222280240xyxyxy+++−=−+=，解得40xy=−=或02xy==故(4,0),(0

,2)AB−设圆心(,)Caa−，由2222(4)(2)aaaa++=++，解得3a=−，即(3,3)C−222(2)9110raa=++=+=，故圆C的方程为22(3)(3)10xy++−=