【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）》专题12 函数与方程（解析版）.docx，共(70)页，3.932 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b64402899d3094b26fd3a986360b95b0.html

以下为本文档部分文字说明：

专题12函数与方程【考点预测】一、函数的零点对于函数()yfx=，我们把使()0fx=的实数x叫做函数()yfx=的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0fx=有实数根函数()yfx=的图像与x轴有公共点函数()yfx=有零点.三、零点存在性定理如果函数()yfx=在区间

,ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么函数()yfx=在区间(),ab内有零点，即存在(),cab，使得()0,fcc=也就是方程()0fx=的根.四、二分法对于区间,ab上连续不断且()()0fafb的函数()fx，通过

不断地把函数()fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0fx=的近似解就是求函数()fx零点的近似值.五、用二分法求函数()fx零点近似值的步骤（1）确定区间,ab，验证()()0fafb

，给定精度.（2）求区间(),ab的中点1x.（3）计算()1fx.若()10,fx=则1x就是函数()fx的零点；若()()10fafx，则令1bx=（此时零点()01,xax）.若()()10fbfx，则令1ax=（此时零点()01,x

xb）（4）判断是否达到精确度，即若ab−，则函数零点的近似值为a（或b）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【方法技巧与总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(xf在定义域上是单调函数，

则)(xf至多有一个零点.②连续不断的函数)(xf，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(xf通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(xf在闭区间][ba，上有零点，不一定能推出0)()(bfaf.【题型归纳目录】题型一：求函数的零

点或零点所在区间题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题题型四：嵌套函数的零点问题题型五：函数的对称问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型题型七：唯一零点求值问题题型八：分段函数的零点问题题型九：零点

嵌套问题题型十：等高线问题题型十一：二分法【典例例题】题型一：求函数的零点或零点所在区间例1．（2022·全国·模拟预测）已知函数()fx满足()()1fxfx=−−，且0x是()exyfx=+的一个零点，则0x−一定是下列函数的零点的是（）A．(

)e1xyfx=−B．()e1xyfx=−−C．()1exyfx=+D．()exyfx=−【答案】A【解析】【分析】首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，()000xfxe+=，再经过变形，结合选项判断0x−是否是函数的

零点.【详解】因为()()1fxfx=−−，所以()()fxfx−=−，所以函数()fx是奇函数．由已知可得()00e0xfx+=，即()00exfx=−．所以()00e1xfx−=−，所以()00e1xfx−−=，故0x−一定是()e1xyfx=−

的零点，故A正确，B错误；又由()00e1xfx−−=，得()001exfx−−=，所以()0000011120eeeexxxxfx−−−−−+=+=，故C错误；由()()000000eeee0xxxxfxfx−−−−−=−−=−，故D错误.故选：A．例2．

（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数()()21,01,0xxfxxx−=+，则1()2yfx=−的所有零点之和为（）A．212+B．122−C．2D．0【答案】D【解析】【分析】根据零点定义求出零点后可得．【详解】0x

时，由21(1)02x−−=得212x=，0x时，由1102x+−=得12x=−或32x=−，所以四个零点和为22131102222++−−−=．故选：D．例3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数()24xfxx=+−，(

)e4xgxx=+−，()ln4hxxx=+−的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（）A．abcB．cbaC．bacD．cab【答案】C【解析】【分析】将()fx，()gx，()hx的零点看成函数4

yx=−分别与2xy=，exy=，lnyx=的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.【详解】由已知条件得()fx的零点可以看成2xy=与4yx=−的交点的横坐标，()gx的零点可以看成exy=与4yx=−的交点的横坐标，()hx的零点可以看成lnyx=与4yx=−

的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2xy=，exy=，lnyx=，4yx=−的函数图象，如下图所示,可知cab，故选：C.例4．（2022·天津红桥·一模）函数()e26xfxx=+−的零点所在的区间是（）A．()3,4B．()2,3C．()

1,2D．()0,1【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存在性定理判断即可【详解】函数()e26xfxx=+−是R上的连续增函数,2(1)e40,(2)e20ff=−=−,可得(1)(2)0ff,所以函数()fx的零点所在的区间是(1,2).故选：C例5．（2022·安徽·安庆一中高三期末

（理））函数2()logfxxx=+的零点所在的区间为（）A．11,32B．12,23C．23,34D．3,14【答案】B【解析】【分析】依据函数零点存在定理去判断2()logfxxx=+的零点所在的区

间即可.【详解】2()logfxxx=+为(0,)+上的递增函数，222111112loglog3log03333332f=+=−−=−，21111log02222f=+=−，()22

222251loglog353log333333f=+=−=−()221log32log2703=−()()22222333511loglog354log3loglog04444443281f=+=−+=−+=−+

，则函数2()logfxxx=+的零点所在的区间为12,23故选：B例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）A．0或12−B．0C．12−D．0或12【答案

】A【解析】【分析】根据函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得到b＝－2a，再令g(x)＝0求解.【详解】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－12．故选：A例7

．（2022·全国·高三专题练习）已知0x是函数()22eln2xfxxx−=+−的零点，则020elnxx−+=_______．【答案】2【解析】【分析】根据零点定义可得02200eln2=0xxx−+−，整理可得0200e2ln

0eelnexxxx=，根据此时可得020exx−=成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得02200eln2=0xxx−+−，整理可得020002ln=exxxx−−，02000e222ln00eee=lnlneexxxxxx=可得当200elnxx=，即020exx−=

成立，又02200ln=2exxx−−，代入可得020000212eln2xxxxx−=++−=.故答案为：2.例8．（2022·广东广州·二模）函数()sinln23fxxx=−−的所有零点之和为__________．【答案】9【解析】【

分析】根据给定条件，构造函数sinyx=，ln23yx=−，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由()0sinln|23|xxfx==−，令sinyx=，ln23yx=−，显然sinyx=与l

n23yx=−的图象都关于直线32x=对称，在同一坐标系内作出函数sinyx=，ln23yx=−的图象，如图，观察图象知，函数sinyx=，ln23yx=−的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,xxxxxx，这6个点两两关于直线32x=对称，有1625343xxxxxx+=

+=+=，则1234569xxxxxx+++++=，所以函数()sinln23fxxx=−−的所有零点之和为9.故答案为：9例9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log3xx=，23yy

=，ln3zz=，则x、y、z由小到大的顺序是___________.【答案】yxz【解析】【分析】把给定的三个等式作等价变形，比较函数1223log,2,lnxyxyyx===的图象与曲线43yx=交点的横坐标大小作答.【详

解】依题意，0,0,0xyz，223log3logxxxx==，3232yyyy==，ln3zz=3lnzz=，因此，2log3xx=成立的x值是函数12logyx=与43yx=的图象交点的横坐

标1t，23yy=成立的y值是函数22xy=与43yx=的图象交点的横坐标2t，ln3zz=成立的z值是函数3lnyx=与43yx=的图象交点的横坐标3t，在同一坐标系内作出函数1223log,2,lnxyxyyx===，43yx=的图象，如图，观察图象得：213ttt

，即yxz，所以x、y、z由小到大的顺序是yxz.故答案为：yxz【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.【方法技巧与总结】求函数()xf零点的方法：（1）代数法，

即求方程()0=xf的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()xfy=的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围例10．（2022·浙江·高三专题练习）设

b是常数，若函数()()()212fxxbxxb=−−+不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（）A．1b或1b−B．01bC．1D．1−【答案】D【解析】【分析】令()()()2120fxxbxxb=−−+=，易知1x=是()yfx=的一个零点.只需讨论220bxxb−+=

的情况：分为b=0和b≠0分类讨论.在b≠0时，根据判别式讨论根的情况即可.【详解】令()()()2120fxxbxxb=−−+=，即10x−=或220bxxb−+=.显然1x=是()yfx=的一个零点.下面讨论220

bxxb−+=的根的情况：（1）b=0时，0x=.不符合题意.（2）b≠0时，2224b=−①若时，有1b或1b−，此时220bxxb−+=没有实数根，符合题意；②若0=时，有1b=或1b=−，若1b=，2210xx−+=的根为

1x=，所以()()()212fxxbxxb=−−+有一个零点，符合题意；若1b=−，2210xx++=的根为1x=−，所以()()()212fxxbxxb=−−+有两个零点，不符合题意；③若0时，有01b或10b−，此时

220bxxb−+=有实数根，要使函数()()()212fxxbxxb=−−+不可能有两个零点，只需1x=不是220bxxb−+=的根，所以20bb−+，即1b，符合题意；故选：D【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的

根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．例

11．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数()elnxfxxxxa=−−−，若()fx在(0,e)存在零点，则实数a值可以是（）A．1−B．0C．1eD．e【答案】D【解析】【分析】根据题意得elnxaxxx=−−，令()elnxgxxxx=−−，()0,ex，则函数()e

lnxfxxxxa=−−−在(0,e)上存在零点等价于ya=与()gx的图像有交点，再根据()gx的单调性求解即可.【详解】根据题意，令()0fx=，所以elnxaxxx=−−，令()elnxgxxxx=−−，()0,ex，则函数()elnx

fxxxxa=−−−在(0,e)上存在零点等价于ya=与()gx的图像有交点．()()()()()1e1111ee1e11exxxxxxxxgxxxxxxxx+−+=+−−=+−=+−=，令()e1xhxx=−，()0,ex，则()ee

0xxhxx=+，故()hx在(0,e)上单调递增，因为()010h=−，()1e10h=−，所以存在唯一的()00,1x，使得()00hx=，即00e10xx−=，即001exx=，00lnxx=−，所以当00xx时，()00hx，()0gx，()gx单调递减，当0ex

x时，()00hx，()0gx，()gx单调递增，所以()0min000000()eln11xgxgxxxxxx==−−=−+=，又0x→时，()gx→+，故(0,e)x，()[1,)gx+，所以1a.故选

：D．【点睛】利用导数研究函数零点的核心是根据题意构造合适的函数，通过研究函数的单调性，进而确定函数大致图形，数形结合，有助于简化题目.例12．（2022·浙江省浦江中学高三期末）已知二次函数()2fxaxbxc=

++，设()()exgxfx−=，若函数()gx的导函数()gx的图像如图所示，则（）A．ab，bcB．ab，bcC．1ba，bc=D．1ba，bc=【答案】D【解析】【分析】求出函数()gx，再根

据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.【详解】依题意，()2e()xgxaxbxc−=++，求导得2()e()e(2)xxgxaxbxcaxb−−=−++++2[(2)]exaxabxcb−−−+−=−，观

察()gx的图像得：()00gcb=−=，即bc=，()gx的另一个零点为221abbaa−=−，即1ba，所以有1ba，bc=.故选：D例13．（2022·全国·高三专题练习）函数3()2xfxax=−−的一个零点在区间()1,3内，则实数a的取值范围是（）A．()7,

+B．(),1−−C．()(),17,−−+D．()1,7−【答案】D【解析】【分析】先判断出3()2xfxax=−−在(0,)+上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.【详解】∵2xy=和3yx=−在(0,)

+上是增函数，∴3()2xfxax=−−在(0,)+上是增函数，∴只需(1)(3)0ff即可，即()()170aa−−−，解得17a−.故选：D.【方法技巧与总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点

及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题例14．（2022·新疆·三模（理））函数()32,03e,0xxxfxxx+=−+的零点个数为___________.【答案】2【解析】【分析】当0x时，令320

x+=，直接解出零点即可；当0x时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.【详解】当0x时，令320x+=，解得32x=−，320−，此时有1个零点；当0x时，()3exfxx=−+，显然()fx单调递增，又1215e0,(1)2e>022ff=−+=−+

，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例15．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数()()fxxR是偶函数，且(2)(2)fxfx+=−，当[0,2]x时，()1fxx=−

，则方程1()||fxx=−在区间[10,10]−上的解的个数是________【答案】10【解析】【分析】根据函数满足(2)(2)fxfx+=−，得到函数图象关于2x=对称，再结合奇偶性得到函数的周期性，作

出函数()fx和函数1||yx=−在区间[10−，10]上的图象，把方程解的个数问题转化成两函数图象的交点个数问题解决．【详解】函数()()fxxR是偶函数，()()fxfx−=①，(2)(2)fxfx+=−②，()fx的图象关于2x=对称，由①②得，(2)(2)fxfx

+=−，即()(4)fxfx=+，∴函数f(x)的一个周期为4，画出函数()fx和函数1||yx=−在区间[10−，10]上的图象，方程1()||fxx=−在区间[10−，10]上的解的个数就是这两个图象的交点个数，由图象可知方程解的个数为10，故答案为：10．例16．（202

2·全国·高三专题练习）已知()lg2fxxkx=−−，给出下列四个结论：（1）若0k=，则()fx有两个零点；（2）0k，使得()fx有一个零点；（3）0k，使得()fx有三个零点；（4）0k，使得()fx有三个零点．以上正确结论的序号是__．【答案】（1）（2）（4）【

解析】【分析】将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.【详解】函数()|lg|2fxxkx=−−的零点的个数可转化为函数||ylgx=与直线2ykx=+的交点的个数；作函数|lg|yx=与直线2ykx=+的图象如图，若0k=，则函数|lg|yx=与直线2

ykx=+的图象在(0,1)与(1,)+上各有一个交点，则()fx有两个零点，故（1）正确；若0k，则当函数|lg|yx=与直线2ykx=+的图象相切时，()fx有一个零点，故（2）正确；当0k时，函数|lg|y

x=与直线2ykx=+的图象至多有两个交点，故（3）不正确；当0k且k足够小时，函数|lg|yx=与直线2ykx=+的图象在(0,1)与(1,)+上分别有1个、2个交点，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）．例17．（2022·黑龙江·哈师大

附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足310xax−−=，则实数a的取值范围是（）A．(),2−B．332,2−−C．(,2−D．332,2−【答案】D【解析】【分析】根据参数分离，将有且只有一个实数x满足310xax−

−=转化为方程21axx=−只要一个实数根，利用求导，得函数单调性，结合图像即可求解.【详解】0x=显然不是310xax−−=的根.所以0x因此只有一个实数x满足310xax−−=等价于方程21axx=

−只有一个实数根.令2211(),()2fxxfxxxx=−=+，令00023011()2=02fxxxx=+=−，故可知：当31,2x−−时，()0fx，此时()fx单调递减当3102x−，时，

()0fx，此时()fx单调递增，当()0x+，时，()0fx，此时()fx单调递增，且当=-100x时，1()=10000100fx+，=100x时，1()=10000100fx−，当1=100x−时，1()=10010000fx+，当1=100

x时，1()=10010000fx−，故()fx图像如图：故303132()22afxf=−=.故选：D例18．（2022·全国·高二）若存在两个正实数x、y，使得等式3(24)(lnln)0xayexyx+−−=成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）．A．()0−

，B．3(0)[)2e−+，，C．3(0]2e，D．3[)2e+，【答案】B【分析】方程有解，原方程两边同除以x，然后令ytx=，问题变为3(24)ln0atet+−=有解，即3(2)ln2teta−=−有解，引入函数()(2)lngttet=−，由导

数求出它的最小值，解关于参数a的不等式可得a的范围．【详解】由3(24)(lnln)0xayexyx+−−=得32(2)ln0yyaexx+−=，设ytx=，0t，则3(24)ln0atet+−=，则3(2)ln2teta−=−有解，设()(2)lngttet=−，2()ln1egttt

=+−为增函数，2()ln10egeee+−==，当te时()0gt，()gt递增，当0te时()0gt，()gt递减，所以当te=时函数()gt取极小值，()(2)lngeeeee=−

=−，即()()gtgee=−，若3(2)ln2teta−=−有解，则32ea−−，即32ea，所以0a或32ae，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解问题，对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的

不等式可得所求参数范围．例19．（2022·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数[1,e]x，总存在三个不同的实数y，使得ln0yexyxayy−−=成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是A．2(,)4e−−B．2(

,0)4e−C．2[,)4e−+D．2(,)4e−+【答案】A【分析】原式可化为2lnyexxay−=令()()2ln,yefxxxagxy=−=,研究函数的单调性和值域，问题转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集.【详解】原式可化为2lnye

xxay−=令()()2ln,yefxxxagxy=−=()1ln0fxx=+，故函数f(x)在1,xe上是单调递增的，()fx[-a,e-a].()()32yyegxy−=，故函数g(x)在()()(),0,0,2,2,−+()

224eg=函数的大致图像为：对于任意的实数1,xe，总存在三个不同的实数y，使得ln0yexyxayy−−=成立，即方程f(x)=g(x)有解，满足2,e,4eaa−−+故2244eeaa−−.故答案为A.【点睛】本题考查了函数的单调

性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．例20．（2022·江西省抚州市第一中学高二月考（理））若存在两个正实数x，y，使得等式2(2)(lnln)0xmyexyx+−−=成立，其中c为自然对数的底数，则实数m的取值范围是（）A．2()e−

，B．3(0)e，C．2(0)[)e−+，，D．3(0)[)e，，−+【答案】C【解析】由2x+m（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+m（y﹣2ex）lnyx=0，即2+m（yx﹣2e）lnyx=0，即设t=yx，则t＞0，则条件等价为2+m（t﹣

2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣2m有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣2et为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣2ee=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0

，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣2m有解，则﹣2m≥﹣e，即2m≤e，则a＜0或a≥2e，故答案选：C点睛;本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程

的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。【

方法技巧与总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：

嵌套函数的零点问题例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)xfxxxe=−−，设关于x的方程25()()()fxmfxmRe−=有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xfx

xxefx=−+在(),2−−和()1,+上单增，()2,1−上单减，又当x→−时，()0,fxx→→+时，()fx→+故()fx的图象大致为：令()fxt=，则方程250tmte−−=必有两个根，12,tt且125tte=−，不仿设120tt，当1te=−时，恰有22

5te−=，此时()1fxt=，有1个根，()2fxt=，有2个根，当1te−时必有2205te−，此时()1fxt=无根，()2fxt=有3个根，当10et−时必有225te−，此时()1fxt=有2个根，()2fxt=，有1个根，综上，对任意

mR，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角

坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),ygxyhx==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),yaygx==的交点个数的图象的交点个数问题.例22．（2022·全国

·高三专题练习（文））已知函数()||12xfxe=−，()()11,021ln,0xxgxxxx+=−若关于x的方程()()0gfxm−=有四个不同的解，则实数m的取值集合为（）A．ln20,2B．ln2,12C．ln22

D．()0,1【答案】A【分析】设()tfx=，根据()fx的解析式，可得()fx的单调性、奇偶性，即可作出()fx的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断()gx的单调性，结合t的范围，作出()gt的图象，数形结合，可得ln

20,2m时，1(),2ygtt=的图象与ym=图象有2个交点，此时1yt=与2yt=分别与()yfx=有2个交点，即即()()0gfxm−=有四个不同的解，满足题意，即可得答案.【详解】设()tfx

=，则()0gtm−=有四个不同的解，因为||||11()2()2xxfexefx−−=−−==，所以()tfx=为偶函数，且当0x时，1()2xfxe=−为增函数，所以当0x时，()tfx=为减函数，所以0m

in11(0)22tfe==−=，即12t，当0x时，()()1lngxxx=−，则()11()ln1ln1gxxxxxx=+−=−+，令()0gx=，解得1x=，所以当(0,1)x时，()0gx，()gx为减函数，当(1,)x+时，()0gx，()

gx为增函数，又111ln2ln2222g=−=，作出0x时()gx的图象，如图所示：所以当ln20,2m时，1(),2ygtt=的图象与ym=图象有2个交点，且设为12,tt，作出()tfx=图象，如下图所示：此时

1yt=与2yt=分别与()yfx=有2个交点，即()()0gfxm−=有四个不同的解，满足题意.综上实数m的取值范围为ln20,2.故选：A【点睛】解题的关键是根据解析式，利用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题，考查分析理解，数形结合的能力，属

中档题.例23．（2022·河南·高三月考（文））已知函数()lnxfxx=，若关于x的方程()()210fxafxa++−=有且仅有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是()A．()2e,1e

−−B．()1e,0−C．(),1e−−D．()1e,2e−【答案】C【分析】首先利用导函数求()fx的单调性，根据其单调性作出()fx的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.【详解】因为()ln

xfxx=，所以()()2ln1lnxfxx−=，当()()0,11,ex，()0fx；当()e,x+，()0fx，所以()fx在()0,1和()1,e单调递减，在()e,+单调递增，且当0x→时，()0fx→，()eef=，故()fx的大致图象如图所示：关于

x的方程()()210fxafxa++−=等价于()()110fxfxa++−=，即()1fx=−或()1fxa=−，由图知，方程()1fx=−有且仅有一解，则()1fxa=−有两解，所以1ea−，解得1ae−，故选:C.

例24．（2022·安徽·马鞍山二中高二期末（文））已知函数()xxfxe=，若关于的方程2[()]()10fxmfxm++−=恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是A．()(),22,−+B．11,e−+C．11,1e−D．()1,e【答案】C【分析】先画

出函数()fx的图象，令()fxt=，由题意中的恰有3个不同的实数解，确定方程210tmtm++−=的根的取值情况，继而求出m的范围【详解】()xxfxe=，则()()21xxxxexexfxee−−=

=当()1x−，时，()0fx，()fx单调递增当()1x+，时，()0fx，()fx单调递减如图所示：令()fxt=，则有210tmtm++−=即()()110tmt+−+=解得1211tmt=−=

−，故101me−即111me−故选C【点睛】本题考查了复合函数根的情况，在解答此类题目时需要运用换元法，根据原函数图像，结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的情况，然后求解，本题需要进

行转化，有一定难度．例25．（2022·云南保山·高二期末（文））定义域为R的函数2log4,4()1,4xxfxx−==，若关于x的方程2()()0fxmfxn++=恰有5个不同的实数解1x，2x，3x，4x，5x，

则所有实数1x，2x，3x，4x，5x之和为（）A．12B．16C．20D．24【答案】C【分析】设()tfx=，作出函数()fx的图象，根据关于x的方程()()20fxmfxn++=恰有5个不同的实数解，得到t的取值情况，结合图象利用

对称性，即可求出结论．【详解】设()tfx=，则关于x的方程2()()0fxmfxn++=等价为20tmtn++=，作出()fx的图象如图：由图象可知当1t=时，方程()1fx=有三个根，当1t时方程()fxt=有两个不同的实根，∴若关于x的

方程2()()0fxmfxn++=恰有5个不同的实数解1x，2x，3x，4x，5x，则等价为20tmtn++=有两个根，一个根1t=，另外一个根1t，不妨设12345xxxxx，对应的两个根1x与5x，2x与4x分别关于4x=对称，则34x=，则158xx+=，且24

8xx+=，则1234520xxxxx++++=，故选：C．【方法技巧与总结】1.涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2.二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题例26．（2022·安徽省滁州

中学高三月考（文））已知函数()22ln,03,02xxxxfxxxx−=−−的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y=的对称点在10kxy+−=的图象上,则实数k的取值范围是A．1,12B．13,2

4C．1,13D．1,22【答案】A【分析】将问题转化为直线1ykx=+与()fx在(),0−和()0,+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1ykx=+

与()fx的两段图像相切的斜率即可求出k的取值范围.【详解】直线10kxy+−=关于直线1y=的对称直线为10kxy−+−=，则直线10kxy−+−=与()yfx=的函数图像有4个交点，当0x时，()1lnfxx=−，当0xe时，()0fx，当xe时，()0fx，()f

x在()0,e上单调递增，在(),e+上单调递减，作出()yfx=与直线10kxy−+−=的函数图像，如图所示：设直线1ykx=+与2lnyxxx=−相切，切点为()11,xy，则111111ln2

ln1xkxxxkx−=−=+，解得11,1xk==，设直线1ykx=+与()2302yxxx=−−相切，切点为()22,xy，则22222322312xkxxkx−−=−−=+，解得211,2xk=−=，1ykx=+

与()yfx=的函数图像有4个交点，直线1ykx=+与()fx在(),0−和()0,+上各有2个交点，112k故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像

，属于中档题.例27．（2022·内蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数()fx的图像上；②点A、B关于原点对称，则点(),AB是函数()fx的一个“姊妹点对”.点对(),AB与(),BA可看作是同一个“姊

妹点对”，已知函数()()()22020xxxxfxxe+=，则()fx的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数()220yxxx=+的图像关于原点对称的图像，

再作出函数()20xyxe=，由图像可得结论【详解】解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.可作出函数()220yxxx=+的图像关于原点对称的图像，看它与函数()20xyxe=交点个数即

可.如图所示：当x=1时，201xe观察图象可得：它们有2个交点.故选：C.例28．（2022·湖南·高三月考）若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数()fx的图象上；②点A，B关于原点

对称，则称点(,)AB是函数()fx的一个“姊妹点对”点对(,)AB与(,)BA可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数1(0)()ln(0)axxfxxx−=恰有两个“姊妹点对”，则实数a的取值范围是（）A．2

0ae−B．20ae−C．10ae-<<D．10ae−【答案】A【分析】根据题意转化为函数()ln,0fxxx=与函数()1,0gxaxx+=的图象恰好有两个交点，即方程ln10xax−−=在(0,)+上有两个不同的解，构造函

数()ln1hxxax=−−，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意知函数1(0)()ln(0)axxfxxx−=恰有两个“姊妹点对”，等价于函数()lnfxx=，0x与函数()1gxax=+，0x的图象恰好有两个交点，所以方

程ln1xax=+，即ln10xax−−=在(0,)+上有两个不同的解，构造函数()ln1hxxax=−−，则1()hxax=−，当0a时，()0hx，函数()hx区间(0,)+上单调递增，不符合题意；当0a时，令()0hx，解

得10xa，所以函数()hx在区间10,a上单调递增，令()0hx，解得1xa，所以函数()hx在区间1,a+上单调递减，所以10ha，解得20ae−，又由()ln10heeaeae=−−=−，所以

函数()hx在1,ea上有且仅有一个零点，令()ln1Mxxx=−−，则112()22xMxxxx−=−=，令()0Mx，解得04x，所以函数()Mx在区间(0,4)上单调递增，令()0

Mx，解得4x，所以函数()Mx在区间(4,)+上单调递减，所以max()(4)ln430MxM==−，所以()ln1(4)0MxxxM=−−，即ln1xx+，又由22222222ln11haaaaa=−−+22221(12)0aaa−−=−，所以

函数()hx在212,aa上有且仅有一个零点．综上可得：20ae−，即实数a的取值范围是2(0,)e−．故选：A.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参

数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

例29．（2022·浙江·高三专题练习）若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在()fx图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对()AB，是函数()fx的一个“和谐点对”，()AB，与()BA，可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)xxxxfx

xe+=则()fx的“和谐点对”有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】问题转化为0,()xfx关于原点对称的函数与2()2fxxx=+在(,0)−交点的个数，先求出0,()xfx关于原点对称的函数()gx，利用导数方法求出2

()2gxxx=+在(,0)−解的个数，即可得出结论.【详解】设(,)(0)Pxyx是()(0)yfxx=关于原点对称函数图象上的点，则点P关于原点的对称点为()Pxy−−，在()(0)yfxx=上，2,2xxyyee−−==−，设()2(0)xgxex=−，“和谐点对”的个数即为

()gx与()fx在(,0)−交点的个数，于是222xexx−=+，化为2220(0)xexxx++=，令2()22(0)xxexxx=++，下面证明方程()0x=有两解，由于20xe，所以220xx+，解得20x−，∴只要考虑(20)x−，即可，()222

xxex=++，()x在区间(20)−，上单调递增，而2(2)2420e−−=−+，1(1)20e−−=，∴存在0(2,1)x−−使得0()0x=，当0(2,),()0,()xxxx−

单调递减，0(,0),()0,()xxxx单调递增，而2(2)20e−−=，10()(1)210xe−−=−，(0)20=，∴函数()x在区间(21)−−，，(1,0)−分别各有一个零点，即()fx的“和谐点对”有2

个.故选：B.【点睛】本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.【方法技巧与总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型例

30．（2022·浙江奉化·高二期末）若函数322ln()xexmxxfxx−+−=至少存在一个零点，则m的取值范围为（）A．21,ee−+B．21,ee++C．1,ee−+D．1,ee++【答案】A【分析】将条件转化为

2ln2xmxexx=−++有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.【详解】因为函数322ln()xexmxxfxx−+−=至少存在一个零点所以322ln0xexmxxx−+−=有解即2ln2xmxexx=−++有

解令()22lnhxxexxx=+−+，则()21ln22xhxxex−=−++()()34244432ln1ln32ln322ln222xxxxxxxxxxxxhxxexxxx−−−−−+−−+=−++=−+=

=因为0x，且由图象可知3lnxx，所以()0hx所以()hx在()0,+上单调递减，令()0hx=得xe=当0xe时()0hx，()hx单调递增当xe时()0hx，()hx单调递减所以()()2max1hxheee==+且

当x→+时()hx→−所以m的取值范围为函数()hx的值域，即21,ee−+故选：A【点睛】1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.2.若方程()afx=有根，则a的范围即为函数()fx的值域例31．（2022·天津·耀华中学高二期中

）设函数()322lnfxxexmxx=−+−，记()()fxgxx=，若函数()gx至少存在一个零点，则实数m的取值范围是A．21,ee−+B．210,ee+C．21e,e++D．22

11e,eee−−+【答案】A【详解】函数()gx定义域是(0,)+，2ln()2xgxxexmx=−+−，21ln'()22xgxxex−=−−，设221ln()22xhxxexx=−−+，则3333212ln232ln'()2xxxhxxxx−+−=++=，设

3()232lnqxxx=+−，则32262'()6xqxxxx−=−=，31'()03qxx==，易知()qx=极小值33121()32ln333q=+−0，即()0qx也即'()0hx在(0,)+上恒成立，所以()hx在(0,)

+上单调递增，又()0he=，因此e是()hx的唯一零点，当0xe时，()0hx，当xe时，()0hx，所以()gx在(0,)e上递减，在(,)e+上递增，()gx极小值()ge=，函数()gx至少有一个零点，则221

()20geeeme=−+−，21mee+．故选A．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数()gx的最小值不大于0，因此要确定'()gx的正负与零点，又要对'()gx求导，得3333212

ln232ln"()2xxxgxxxx−+−=++=，此时再研究其分子3()232lnqxxx=+−，于是又一次求导，最终确定出函数()fx的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．例32．（2022·湖南·长沙一

中高三月考（文））设函数()22xxfxxxae=−−+（其中e为自然对数的底数），若函数()fx至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．1(0,1]e+B．1(0,]ee+C．1[,)ee++D．1(,1]e−+【答案】D【分析】由题意得，构造新

函数，通过利用函数的单调性，可知()fx在1x=处取最小值，函数()fx至少存在一个零点，只需()10f即可，即可求出实数a的取值范围.【详解】依题意得，函数()fx至少存在一个零点，且()22xxfxxxae=−−+，可构造函数2

2yxx=−和xxye=−，因为22yxx=−，开口向上，对称轴为1x=，所以(),1−为单调递减，()1,+为单调递增；而xxye=−，则1xxye−=，由于0xe，所以(),1−为单调递减，()1,+为单调递增；可知函数22yxx=−及x

xye=−均在1x=处取最小值，所以()fx在1x=处取最小值，又因为函数()fx至少存在一个零点，只需()10f即可，即：()11120fae=−−+解得：11ae+.故选：D.【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，通过构

造新函数以及利用二次函数性质和导数求出函数的单调性进而求出函数最小值，结合零点求出参数范围．例33．（2022·天津·南开中学高三）设函数21()2nxfxxexax=−−+（其中e为自然对数的底数），若函数()fx至少存在一个零点，则实数a的取值范围是A．21(0]ee，−B．21(0]

ee+，C．21[)ee−+，D．21(]ee−+，【答案】D【详解】令()2ln20xfxxexax=−−+=,则2ln2(0)xaxexxx=−++，设()2ln2xhxxexx=−++，令()212hxxex=−+，()2lnxhxx=，则()'221lnxhxx−=，发现函数(

)()12,hxhx在()0,e上都是单调递增，在),e+上都是单调递减，故函数()2ln2xhxxexx=−++在()0,e上单调递增，在),e+上单调递减，故当xe=时，得()2max1hxee=+，所以函数()fx至少存在一个零点需满

足()maxahx，即21aee+．应选答案D．点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式()2ln2xfxxexax=−−+中的参数a分离出来，得到2ln2(0xaxexxx=

−++，然后构造函数()2ln2xhxxexx=−++，分别研究函数()212hxxex=−+，()2lnxhxx=的单调性，从而确定函数()2ln2xhxxexx=−++在()0,e上单调递增，在),e+上单调递减，故当xe=时，得()2max1hx

ee=+，所以函数()fx至少存在一个零点等价于()maxahx，即21aee+．使得问题获解．题型七：唯一零点求值问题例34．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数()()()2ln1lnfxxxax=−+−−有唯一零点，则a=（）A．

0B．12−C．1D．2【答案】C【分析】分析可知函数()fx存在极小值()00fx=且满足0001121xaxx=−−+，由此可得出()()200020021ln011xfxxxx=+−=++，构造函数()()

2212ln11xxxxx=+−++，其中3112x−−，利用导数分析得出函数()x在区间311,2−−上为减函数，可求得0x的值，进而可求得a的值.【详解】函数()fx的定义域为()1,a−，则1a−，()1121fxxxx

a=−−+−，则()()()2211201fxxxa=+++−，所以，函数()fx在()1,a−上为增函数，当1x+→−时，()fx→−，当xa−→时，()fx→+，则存在()01,xa−，使得()000011201fxxxxa=−−=+−，则00

01121xaxx=−−+，当01xx−时，()0fx，此时函数()fx单调递减，当0xxa时，()0fx，此时函数()fx单调递增，()()()()20000minln1lnfxfxxxax==−+−−，由于函数()()()2

ln1lnfxxxax=−+−−有唯一零点，则()()()()20000minln1ln0fxfxxxax==−+−−=，由0000112011xaxxx=−−+−，解得03112x−−，所以，()()()2220000000200002111ln1lnln

1ln2ln0111xxxxxxxaxxxx−++=−++−=+−=−+++，令()()2212ln11xxxxx=+−++，其中3112x−−，()()()()()()()()()2432322212

222482422122221122111xxxxxxxxxxxxxxxxxx++++++=+−=+=−−+−++−++()()()()222241222211xxxxxx++−=+−+，3112x−−，则22210xx+−，10x+，220

x−，则()0x，所以，函数()x在311,2−−上单调递减，且()00=，00x=，从而可得11a=，解得1a=.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根

据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分

离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.例35．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数()(),gxhx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且()()xgxhxex+=+

，若函数()()12216xfxgx−=+−−有唯一零点，则正实数的值为（）A．12B．13C．2D．3【答案】A【分析】首先利用方程组的方法分别求函数()gx和()hx的解析式，令()()226xxgx=+−，利用导数分析函数的单调性，以及极值点，利用函数有唯一的零点，可知极小值()

00f=，利用平移可知()10f=，求正实数的值.【详解】由已知条件可知()()()()()()xxgxhxexgxhxexgxhx−+=+−+−=−=−由函数奇偶性易知()2xxeegx−+=令

()()226xxgx=+−，()x为偶函数.当0x时，()'2202xxxeexln−−=+，()x单调递增，当0x时，()x单调递减，()x仅有一个极小值点()0,fx()x图象右移一个单位，所以仅在1处有极

小值，则函数只有1一个零点，即()10f=，解得12=，故选：A【点睛】本题考查函数解析式，导数分析函数的单调性，极值的综合问题，本题的关键是利用函数的性质，求函数的解析式.例36．（2022·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()gx，()hx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

且()()sinxgxhexxx++=−，若函数()()20202320202xfgxx−=−−−有唯一零点，则实数的值为A．1−或12B．1或12−C．1−或2D．2−或1【答案】A【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出()2xxeegx−+=，结合函数的对称性得出

20203x−和()2020gx−都关于2020x=对称，由()fx有唯一零点，可知()20200f=，即可求.【详解】解：已知()()sinxgxhexxx++=−，①且()gx，()hx分别是R上的偶函数和奇函数，则()()()sinx

xgxexxh−+−−−=++，得：()()sinxexxgxhx−−=−+，②①+②得：()2xxeegx−+=，由于2020x−关于2020x=对称，则20203x−关于2020x=对称，()gx为偶函数，关于y轴对称，则()2020gx−关于2020x=对称，由于(

)()20202320202xfgxx−=−−−有唯一零点，则必有()20200f=，()01g=，即：()()0223021202020fg=−−=−−=，解得：1=−或12.故选：A.【点睛】本题考

查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.例37．（2022·全国·高三专题练习）已知函数211()2()xxfxxxaee−−+=−++有唯一零点，则a=A．12−B．13C．12D．1【答案】C【详解】因为()221111()2()1()1xxxxfx

xxaeexaee−−+−−+=−++=−++−，设1tx=−，则()()()21ttfxgttaee−==++−，因为()()gtgt=−，所以函数()gt为偶函数，若函数()fx有唯一零点，则函数()gt有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0t=时，()0gt=才满足题意，即1x=是

函数()fx的唯一零点，所以210a−=，解得12a=.故选：C.例38．（2022·云南师大附中高三月考（理））已知函数2112()cos(1)1()xxxxaeexfx−−+=−+++−−有唯一零点，则a=（）A．1B．13−C．13D．12【答案】D【分析】把函数等价

转化为偶函数2()(ee)cos2ttgttat−=+++−，利用偶函数性质，()gt有唯一零点，由(0)0g=得解.【详解】因为21(1)()(1)(ee)cos(1)2xxfxxax−−−=−+++−−，令1xt−=则2()(ee)cos2tt

gttat−=+++−，因为函数()2112(1(s))co1xxxxaeefxx−−+=−+++−−有唯一零点，所以()gt也有唯一零点，且()gt为偶函数，图象关于y轴对称，由偶函数对称性得(0)0g=，所以2120a+−=，解得12a=，

故选：D.【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.【方法技巧与总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟

悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题例39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2log,1()11,14xxfxxx=+，()()gxfxkx=−，若函数()gx有两个零点，则k的取值范围是（）A．1

0,4B．10,ln2eC．10,eD．11,42eln【答案】D【分析】作出()fx的图象，函数()gx有两个零点，即()yfx=与ykx=有两个交点，根据图象，利

用数形结合即可求解结果.【详解】作出2log,1()11,14xxfxxx=+的图象，如图所示，当ykx=与2logyx=相切时，设切点为()00,xy，则有000200log1ln2ykxyxkx===，解得0xe=，所以相切时的斜率

1ln2ke=；将函数ykx=的图象顺时针旋转，当114ln2ke时，()fx与ykx=有2个交点，满足题意；当104k时，()fx与ykx=有3个交点，不满足题意；当0k时，()fx与ykx=有1个交点，不满足题意；当1ln2ke时，()fx与ykx=有0个或1个交点，不满足题意.故

选：D.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）

利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.例40．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22,0()log,0xxfxxx=，函数()()gxfxxm=++，若()gx有两个零点，则

m的取值范围是（）．A．[1,)−+B．(,1]−−C．[0,)+D．[1,0)−【答案】A【分析】()gx存在两个零点，等价于yxm=−−与()fx的图像有两个交点，数形结合求解.【详解】()()()=++=−−Qgxfxxmfxxm()gx存

在两个零点，等价于yxm=−−与()fx的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：由图可知，当直线在0x=处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，故：1m−，解得：)1,m−+故选：A.【点睛】方法点睛：已

知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合

法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.例41．（2022·全国全国·模拟预测（理））已知函数()22,0,log,0,xxxfxxxx−=−若函数()2yfxxa=+−有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A

．(,2−B．(,1−C．(),1−D．)1,+【答案】B【分析】将函数的零点问题转化为方程的根的问题，变换方程的形式，从而转化为两个曲线的交点问题，作出函数的大致图象，数形结合求解即可．【详解】解法一：

函数()2yfxxa=+−有两个不同的零点等价于方程()20fxxa+−=有两个不同的根，即方程()fxxxa+=−+有两个不同的根，等价于函数()yfxx=+与函数yxa=−+的图象有两个不同的交点．()22,0log,0xxxfxxxx−=−，()22,0

log,0xxyfxxxx=+=，作出函数()yfxx=+与yxa=−+的大致图象如图所示，数形结合可知：当1a时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数()2yfxxa=+−有两个不同的零点．解法二：函数()2yfxxa=+−有两个不同的零点，等价于方程()2

0fxxa+−=有两个不同的根，即方程()2fxxa+=有两个不同的根，等价于函数()2yfxx=+与函数ya=的图象有两个不同的交点．()22,0log,0xxxfxxxx−=−，()22,02log,0xxxyfxxxxx+=+=+，作出函数()2yfxx

=+与函数ya=的大致图象如图所示．数形结合可知：当1a时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数()2yfxxa=+−有两个不同的零点．故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值

(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解.例42．（2022·北京·北师大实验中学高三月考）已知函数()131,0ln,0xxfxxx+−=，若函数()()gxfxm=−有两个零点，则实数m的取值范围为（）A．(,2]−B．(,2)−C．(

1,2]−D．(1,2)−【答案】C【分析】先把原命题转化为()fxm=由两个零点，再数形结合分析得到m的取值范围.【详解】令()()gxfxm=−，所以()fxm=.当0x时，()131xfx+=−在(0−，上单调递增，则()(1311,2xfx+=−−当0x时

，()lnfxx=，此时()fxR函数的图象如图:函数()()gxfxm=−有两个零点,即方程()fxm=有两个实数根.所以(1,2m−故选:C.【方法技巧与总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的

根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：零点嵌套问题例43．（2022

·湖北武汉·高二月考）已知函数2()()(1)()1xxfxxeaxea=+−+−有三个不同的零点123,,xxx.其中123xxx，则3122123(1)(1)(1)xxxxexexe−−−的值为（）A．1B．2(1)a−C．1−D．1a−【答案】A【分析】令xtxe=，求得导数和单调

性，画出图象，从而考虑2(1)10tata+−+−=有两个不同的根，从而可得3a−或1a，结合图象可得111xxet=，221xxet=，332xxet=，结合韦达定理即可得到所求值．【详解】解：令xtxe=，则(1)xtxe=+，故当(1,)x

−+时，0t，xtxe=是增函数，当(,1)x−−时，0t，xtxe=是减函数，可得1x=−处xtxe=取得最小值1e−，x→−，0t→，画出xtxe=的图象，由()0fx=可化为2(1)10tata+−+−=，故结合题意可知，2(1)

10tata+−+−=有两个不同的根，故2(1)4(1)0aa=−−−，故3a−或1a，不妨设方程的两个根分别为1t，2t，①若3a−，1214tta+=−，与1220tte−+相矛盾，故不成立；②若1a，则方程的两个根

1t，2t一正一负；不妨设120tt，结合xtxe=的性质可得，111xxet=，221xxet=，332xxet=，故3122123(1)(1)(1)xxxxexexe−−−2112(1)(1)

(1)ttt=−−−21212(1())tttt=−++又121tta=−，121tta+=−，31222123(1)(1)(1)(111)1xxxxexexeaa−−−=−++−=．故选：A．【点睛】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用

，同时考查了分类讨论思想的应用，属于难题．例44．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数2()eexxxaxfxa=+−有三个不同的零点123,,xxx（其中123xxx），则3122312111eeexxxxxx−−−

的值为A．1B．1−C．aD．a−【答案】A【分析】令=exxt，构造()exxgx=，要使函数2()eexxxaxfxa=+−有三个不同的零点123,,xxx（其中123xxx），则方程20tata+−=需要有两个不同的根12,tt，则240aa=+，

解得0a或4a<-，结合()exxgx=的图象，并分0a，4a<-两个情况分类讨论，可求出3122312111eeexxxxxx−−−的值.【详解】令=exxt，构造()exxgx=，求导得1()exxgx−=，当1x时，()

0gx；当1x时，()0gx，故()gx在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减，且0x时，()0gx，0x时，()0gx，max1()(1)egxg==，可画出函数()gx的图

象（见下图），要使函数2()eexxxaxfxa=+−有三个不同的零点123,,xxx（其中123xxx），则方程20tata+−=需要有两个不同的根12,tt（其中12tt），则240aa=+，解得0

a或4a<-，且1212ttatta+=−=−，若0a，即121200ttatta+=−=−，则1210ett，则12301xxx，且()()232gxgxt==，故()()()()312222223121212121111

1111eeexxxxxxttttttaa−−−=−−=−++=+−=，若4a<-，即121244ttatta+=−=−，由于max1()(1)egxg==，故1224ett+，故4a<-不

符合题意，舍去.故选A.例45．（2022·吉林·白城一中高三期末（理））已知函数()2lnln(1)1xxFxaaxx=+−+−有三个不同的零点123,,xxx（其中123xxx），则2312123lnlnln111xxxxxx−−−

的值为A．1a−B．1a−C．1−D．1【答案】D【分析】令y=lnxx，从而求导y′=21lnxx−以确定函数的单调性及取值范围，再令lnxx=t，从而化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，从而

可得a＜﹣3或a＞1，讨论求解即可．【详解】令y=lnxx，则y′=21lnxx−，故当x∈（0，e）时，y′＞0，y=lnxx是增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＞0，y=lnxx是减函数；且0xlnxlimx→=﹣∞，lnee=1e，

xlnxlimx→+=0；令lnxx=t，则可化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故结合题意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，①若a＜﹣3，

t1+t2=1﹣a＞4，与t1≤1e且t2≤1e相矛盾，故不成立；②若a＞1，则方程的两个根t1，t2一正一负；不妨设t1＜0＜t2，结合y=lnxx的性质可得，11lnxx=t1，22lnxx=t2，33lnxx=t2，故（1﹣11lnxx）2（1﹣22ln

xx）（1﹣33lnxx）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣11lnxx）2（1﹣22lnxx）（1﹣33lnxx）=1；故选D．【点睛】本题考查了导数的综合

应用及转化思想的应用，考查了函数的零点个数问题，考查了分类讨论思想的应用．例46．（2022·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数()()()2lnlnfxaxxxxx=+−−，有三个不同的零点，（其中123xxx），则2312123lnl

nln111xxxxxx−−−的值为A．1a−B．1a−C．-1D．1【答案】D【详解】令f（x）=0，分离参数得a=lnlnxxxxx−−令h（x）=lnlnxxxxx−−由h′（x）=()()()22ln1ln2l

n0lnxxxxxxx−−=−得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1

＜x2＜e＜x3，a=lnlnxxxxx−−令μ=lnxx则a=11−−即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，对于μ=lnxx，21lnxx−=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ

恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=31223123lnlnln,,xxxxxx==，2312123lnlnln111xxxxxx−−−=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a

）]2=1．故选D．点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强．【方法技巧与总结】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.题型

十：等高线问题例47．（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数2()log1fxx=−，若方程()fxa=(0)a的4个不同实根从小到大依次为1x，2x，3x，4x，有以下三个结论：①142xx+=且23

2xx+=；②当1a=时，12111xx+=且34111xx+=；③21340xxxx+=．其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】绘制出函数2()log1fxx=−与xa=有四个交点的图像，然后依次判断三

个结论的对错即可.【详解】由题绘制函数2()log1fxx=−如图所示，可知函数()fx的图象关于直线1x=对称，又1234xxxx<<<，可得142xx+=且232xx+=，故结论①正确，当1a=时，由2log11x−=解得2log|1|1x−=，即|1|2x−=或12，解得11

x=−，212x=，332x=，43x=，此时12111xx+=和34111xx+=均成立，故结论②正确，由图可知1234012xxxx，则由()()34fxfx=得()()2324log1log1xx−−=−，解得()()341

11xx−−=，即34111xx+=，同理可得12111xx+=，由①有14442xxxx+=，23332xxxx+=，则231421343434341122222xxxxxxxxxxxxxx+++=+=+=++=

，解得21340xxxx+=，则结论③正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数图像的绘制，方程根与函数图像交点横坐标之间的关系，属于中档题.例48．（2021·江苏省天一中学高三月考）已知函数2()(2)xfxxxe

=−，若方程()fxa=有3个不同的实根()123123xxxxxx，，，则22ax−的取值范围为（）A．10e−，B．212ee−，C．()22,0e−−D．()222,2ee−−【答案】A【分析】求导函数()fx，由导函数()fx确定函数()f

x的单调性，极值，函数的变化趋势，得出()fxa=有3个不等实根时a的范围，同时可得出中间根2x的范围，然后化简222()22fxaxx=−−，引入新函数，再用导数求得函数的值域．【详解】2()(2)xfxxe=−，当2x−或2x时，()0fx，2

2x−时，()0fx，所以()fx在(,2)−−和(2,)+上都递增，在(2,2)−上递减，()fx极大值2(2)(222)fe−=−=+，()fx极小值2(2)(222)0fe==−，当0

x时，2()(2)0xfxxxe=−，x→−时，()0fx→，所以当20(222)ae−+时，()fxa=有三个不同的实根，设3个不同的实根为()123123xxxxxx，，，则220x−，2222(2)xaxxe=−．22222222(2)

22xxxxeaxexx−==−−，设()(22)xgxxex=−，则()(1)xgxxe=+，21x−−时，()0gx，()gx递减，10x−时，()0gx，()gx递增，所以min1()(1)gxge=−=−，又(0)0g=，2(2)2ge−−

=−0，所以()gx的取值范围是1[,0)e−，即为22ax−的取值范围．故选：A．【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，用导数求函数的值域．解题关键是用导数确定出函数的极值后，要得出方程()fxa=有3个根的范围时还需确定函数的

变化趋势，本题中不是说a在极大值和极小值之间方程()fxa=就有3个根的，需确定函数的变化趋势才能得出正确结论，这也是易错的地方．例49．（2021·浙江·高一单元测试）已知函数()2max,32fxxx=−，其中,

max,,ppqpqqpq=，若方程()()302fxaxa=+有四个不同的实根1x、2x、3x、()41234xxxxx，则1423xxxx++的取值范围是（）A．93,102−−B．193,102−−C．39,210−D．319

,210−【答案】B【分析】作出函数()fx的图象，求出a的取值范围，利用韦达定理求得14xx的值，求出2x、3x关于a的表达式，可得出14233342xxxxaa=+−+−，再利用函数的单调性结合不等式的基本性质可求得1423xxxx++的取值

范围.【详解】由232xx−，可得2230xx+−，0xQ，可得01x，即11x−，所以，()22,11max,3232,11xxxfxxxxx−=−=−−或，作出函数()fx的图象如下图所示：因为方程()()302fxaxa=+有

四个不同的实根，则3123120aaa−++，解得102a，由已知可得1x、4x是方程2302xax−−=的两根，则1432xx=−，2x满足223322xax+=+，可得()2322xa=−，3x满足333322xax−=+，可得()3322xa=+，因此，1

423233334242xxxaaxaa=−+−++=−−，当10,2a时，4aa−随着a的增大而增大，则4152aa−−，因此，142333193,42102xxaxax=−−−+−+.故选：B.例50．（2021·四川省新津中学高一开学考试）已知函数()

32log,031108,333xxfxxxx=−+，若方程()fxm=有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，满足1234xxxx<<<，则()()341233xxxx−−的取值范围是（）A

．()0,3B．(0,4C．(3,4D．()1,3【答案】A【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出211xx=，3410xx+=，即可求解()()341233xxxx−−的取值范围.【详解】作出函数()32log,031108,333xxfxxxx=−+的图象，

如图所示：方程()fxm=有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，满足1234xxxx<<<，则01m，()33,4x3logxm=即：3231log,logxmxm==−，所以3231loglog0xx+=，321log0x

x=，所以211xx=，根据二次函数的对称性可得：3410xx+=，()()()()341212343423333391021103231xxxxxxxxxxxxxx−−==−+−−=−+−+，()33,4x考虑函数()21021,3,

4yxxx=−+−单调递增，3,0xy==，4,3xy==所以()33,4x时2331021xx−+−的取值范围为()0,3.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函

数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.例51．（2021·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数()()ln,02,4,24xxfxfxx=−，若方程()fxm=有四个不等实根()12341234,,,xxxxx

xxx，时，不等式22341211kxxxxk+++恒成立，则实数k的最小值为A．98B．2516C．322−D．132−【答案】C【分析】画出函数f（x）()02424lnxxfxx=−，＜，＜＜的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2

＝1，x1+x2122xx=＞2，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k()221234111xxxx−+−恒成立，求出()221234111xxxx−+−的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的

最小值．【详解】函数f（x）()02424lnxxfxx=−，＜，＜＜的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx

2|，即x1•x2＝1，x1+x2122xx=＞2，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k(

)221234111xxxx−+−恒成立，由()()()()()2222121212123434121111213114161644xxxxxxxxxxxxxx−+−++−+===−+−−+[（x1+x2）﹣4123()4xx+++−8]≤232−故k≥

232−，故实数k的最小值为232−，故选C．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．题型十一：二分法例52．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求

函数()lg2fxxx=+−的一个零点，根据参考数据，可得函数()fx的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg1.50.176，lg1.6250.211，lg1.750.243，lg1.8750.273，lg1.93750.287）A．1.6B．1

.7C．1.8D．1.9【答案】C【解析】根据函数特点及所给数据计算相关函数值，再结合零点存在定理即可获得解答.【详解】由题意可知：(1.75)lg1.751.7520.2431.7520.0070f=+−+−=−，(1.875)lg1.8751.

87520.2731.87520.1480f=+−+−=−，又因为函数在(0,)+上连续，所以函数在区间(1.75,1.875)上有零点，约为1.751.8751.82+故选：C.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直

接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点

的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．例53．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求函数()()ln11fxxx=++−在区间0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间

的次数最少为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】【分析】由题可得经过n次操作后，区间的长度为12n，令10.012n即可求解.【详解】根据题意，原来区间0,1的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为12n，若10.012n

，即7n.故选：B．例54．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln(2)2fxxxm=++−(Rm)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.066

0.2150.5121.099由二分法,方程ln(1)20xxm++−=的近似解(精确度0.05)可能是（）A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066【答案】C【解析】【分析】按照二分法的方法流程

进行计算，根据()()0fafb的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．【详解】()ln(2)2fxxxm=++−在(0,)+上单调递增.设近似值为0x，由表格有(0.531

25)(0.5625)0ff，所以0(0.53125,0.5625)x故选：C【点睛】本题考查了二分法求近似根的解法步骤，在解题时要注意先判断该解区间是否单调，然后再进行计算，此类题计算量较大，要避免计算错误．属于基础题.例55．（2022·全国·高三专题练习）已知方

程lg3xx=−的根在区间()2,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．【答案】()2.5,3【解析】【分析】由题意构造函数()lg3fxxx=−+，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的

符号是否异号即可．【详解】解：令()lg3fxxx=−+，其在定义域上单调递增，且()2lg210f=−，()3lg30f=，()2.5lg2.50.5lg6.25lg100f=−=−，由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为()2.5,

3．故答案为：()2.5,3．【过关测试】一、单选题1．（2022·海南省直辖县级单位·三模）设函数()fx定义域为R，(1)fx−为奇函数，(1)fx+为偶函数，当(1,1)x−时，2()1fxx=−+，则函数()lgy

fxx=+有（）个零点A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】【分析】根据题意可得()fx的对称性，再画出()fx的图象，再数形结合判断(),lgyfxyx==−的图象交点个数即可【详解】()lgyfxx=+的零点个数即(),lgyfxyx==

−的图象交点个数.因为(1)fx−为奇函数，故(1)fx−关于原点对称，故()fx关于()1,0−对称，又(1)fx+为偶函数，故()fx关于1x=对称，又当(1,1)x−时，2()1fxx=−+，画出图象，易得函数(),lgyfxyx==−的图象有6个交点故选：C2．

（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数()2ln,02,0xxfxxxx=−−，若()()gxfxa=−有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．()0,1B．(0,1C．0,1D．)1,+【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出

(),yfxya==的图象，根据()()gxfxa=−有4个零点求解.【详解】解：令()()0gxfxa=−=，得()fxa=，在同一坐标系中作出(),yfxya==的图象，如图所示：由图象知：若()()gxfxa=−有4个零点，则实数a的取值范围是()0,1，故选：A3．（2

022·河南河南·三模（理））函数()112ee1xxfxx−−=−−−的所有零点之和为（）A．0B．2C．4D．6【答案】B【解析】【分析】结合函数的对称性求得正确答案.【详解】令()112ee01xxfxx−−=−−=−，得1

12ee1xxx−−−=−，()21gxx=−图象关于()1,0对称，在()(),1,1,−+上递减.()11ee,xxhx−−=−，令()()()()1ee,eexxxxHxhxHxHx−−=+=−−=−=−，所以()Hx是奇函数，图象关于原点对称，所以()hx图象关于()1,0对称，(

)10h=，()1eeexxhx−=−在R上递增，所以()hx与()gx有两个交点，两个交点关于()1,0对称，所以函数()112ee1xxfxx−−=−−−的所有零点之和为2.故选：B4．（2022·陕西·长安一中模拟预测

（文））已知函数()2xfxx=+，()2loggxxx=+，()3hxxx=+的零点分别为a、b、c，则a、b、c的大小顺序为（）A．acbB．abcC．bacD．bca【答案】A【解析】【分析】计算出c

的值，利用零点存在定理求出a、b所在区间，由此可得出a、b、c的大小关系.【详解】因为函数2xy=、yx=均为R上的增函数，故函数()2xfxx=+为R上的增函数，因为()11102f−=−，()010f=，所以，10a−，因为函数2logyx=、yx=在()0,

+上均为增函数，故函数()2loggxxx=+在()0,+上为增函数，因为111022g=−+，()110g=，所以，112b，由()()210hccc=+=可得0c=，因此，acb.故选：A.5．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数()yfx=是

周期为2的周期函数，且当时11x−，时，()21xfx=−，则函数()()lgFxfxx=−的零点个数是（）A．9B．10C．11D．18【答案】B【解析】【分析】作出(),lgyfxyx==图象，由图可得有10个交点．【详解】()()lgFxfxx=−零

点个数就是(),lgyfxyx==图象交点个数，作出(),lgyfxyx==图象，如图：由图可得有10个交点，故()()lgFxfxx=−有10个零点．故选：B．6．（2022·天津·高三专题练习）设函数()lg,0sin,04xxxfxxx+

=+−有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（）A．1317,44B．13,4+C．17,4−D．1319,44【答案】A

【解析】【分析】分段函数分段处理，显然0x有1个零点，所以0x−有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证0x−之间有4个零点即可.【详解】易知函数yx=、lgyx=在(0,)+上为增函数，所以当0x时，函数()lgfxxx=+单调递增，当x无限接近0时，()0fx，当1x=

时，()10fx=，所以函数()fx在(0,)+上存在一点0x，使得0()0fx=，即()fx在(0,)+上有且只有一个零点；所以当0x−时，函数()sin4fxx=+有4个零点，令()0fx=，即4xkk+=，Z，解得4kx−+=，

kZ，由题可得0x−区间内的4个零点分别是0,1,2,3k=−−−，所以−即在34kk=−=−与之间，即3444−−−−−−，解得131744故选：A7．（2022·海南·

嘉积中学模拟预测）已知定义在R上的函数()fx满足如下条件：①函数()fx的图象关于y轴对称；②对于任意()(),2xRfxfx=−；③当0,1x时，()32fxx=；若过点()1,0−的直线l与函数()fx的图象在0,4x上恰有4个交点，则直线l的斜率k的取值范围是

（）A．60,11B．30,5C．10,4D．30,8【答案】D【解析】【分析】根据条件可知()fx是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.【详解】因为函数()fx的图象关于y轴对称，所以()fx为偶函数，即()()fxfx=−，又因为

对于任意()(),2xRfxfx=−，所以()()()2fxfxfx=−=−，从而()()2fxfx=+，即()fx是周期为2的函数，结合当0,1x时，()32fxx=，可作出()fx在0,4的图像以及直线l的图像，如下图所

示：当3x=时，易知()32fx=，则直线MA的斜率()3032318MAk−==−−，过点()1,0−的直线l与函数()fx的图象在0,4上恰有4个交点，则只需直线l斜率k的取值范围是30,8.故选：D.8．

（2022·全国·高三阶段练习）函数()244xfxx=−的零点个数为（）．A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】将()244xfxx=−的零点问题转化为函数14xy−=，与函数2yx=的焦点个数.【详解】令(

)0fx=，得124xx−=；在同一直角坐标系中分别作出14xy−=，2yx=的大致图象如图所示；观察可知，两个函数的图象有3个交点（其中1个交点的横坐标介于1−到0之间，另外两个交点分别为()1,1，()2,4，故函数()244xfxx=−的零点个数为3，故选

：D．9．（2022·四川·高三阶段练习（文））已知函数22,1()92,1xaxfxaxx+−=−−，恰有2个零点，则a的取值范围是（）A．(,4)−B．(2,4)C．(4,7)D．(2,7)【答案】B【解析】【分析】数形结合，做出图像即可根据零点个数求参数.【

详解】解：由题意得：作出函数22,1()92,1xxgxxx+=−的图象，如图所示，由()0fx=，得()gxa=，则直线ya=与()gx的图象恰有两个交点，数形结合得a的取值范围是(2,4).故选

：B10．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()fx为定义在R上的单调函数，且()()2210xffxx−−=．若函数()()22,0,log1,0fxxaxgxxax−−=−−有3个零点，则a的取值范围为（）A．(2,3B．(1,3−C．(3,

4D．(1,4−【答案】A【解析】【分析】设()10ft=，则()2210tftt=+=求出t值，可得()222xfxx=++，由()0gx=分离参数，结合图象即可求解．【详解】因为()fx为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的R

t，使得()10ft=，则()22xfxxt−−=，()22tfttt−−=，即()2310tftt=+=，因为函数23tyt=+为增函数，且223210+=，所以2t=，()222xfxx=++.当0x时，由()0gx=，得22xa=+；当0x时，由()0gx=，得2l

og1ax=−.结合函数的图象可知，若()gx有3个零点，则(2,3a．故选：A11．（2022·湖南·模拟预测）已知()2()lnefxxx=+，则()0fx的解集是（）A．10exx−B．1exx−或1exC．10ex

x−或10exD．10exx−或1ex【答案】B【解析】【分析】首先谈论0x，利用导数研究()fx的单调性，进而确定出()0fx所在的区间，再根据偶函数的性质，求出()0fx的解集.【详解】当0x时，()2()lnefxxx=+，

21()2e0fxxx=+在0x恒成立，∴()fx在()0,+单调递增，且10ef=，∴当1,ex+时，()0fx，()()()2()lnefxxxfxxR−=−

+−=，()fx是偶函数，∴()0fx的解集是1exx−或1ex，故选：B.二、多选题12．（2022·辽宁·三模）已知函数()fx为定义在R上的单调函数，且()()2210xffxx−−=.若函数2()2,0,()log1,0fxxaxgxxax−−=−−

有3个零点，则a的取值可能为（）A．2B．73C．3D．103【答案】BC【解析】【分析】设()10ft=，则()2210tftt=+=求出t值，可得()222xfxx=++，由()0gx=分离参数，结合图象即可求解．【详解】因为(

)fx为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的Rt，使得()10ft=，则()22xfxxt−−=，()22tfttt−−=，即()2310tftt=+=，因为函数23tyt=+为增函数，且22321

0+=，所以2t=，()222xfxx=++.当0x时，由()0gx=，得22xa=+；当0x时，由()0gx=，得2log1ax=−.结合函数的图象可知，若()gx有3个零点，则(2,3a．故选：BC13．（2022·广东·高三阶段练习）设函数22,0()ln,0xxxfxxx−−

=„，则下列命题中正确的是（）A．若方程()fxa=有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx的取值范围是(0,1)B．若方程()fxa=有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx+++的取值范围是(0,)+

C．若方程()fxax=有四个不同的实根，则a的取值范围是10,eD．方程21()()()10fxafxa−++=的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【解析】【分析】作出()fx的图像，利用函数与方程之间的关系，分

析问题，即可得出答案．【详解】解：对于A：作出()fx的图像如下：若方程()fxa=有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，则01a，不妨设1234xxxx<<<，则1x，2x是方程220xxa−−−=的两个不等的实数根，3x，4x是方程|ln|xa=的两个不等的实数根，所以12

xxa=，34lnlnxx−=，所以43lnln0xx+=，所以341xx=，所以1234(0,1)xxxxa=，故A正确；对于B：由上可知，122xx+=−，34lnlnxxa−==，且01a，所以341xx=，所以31,1ex，4e(1,

)x，所以344411(2,1)exxxx+=++，所以12341(0,1)exxxx++++，故B错误；对于C：方程()fxax=的实数根的个数，即可函数()yfx=与yax=的交点个数，因为yax=恒过坐标原点，当0a=时，有3个交点，当0a时最多2个交点，所以0a，当yax=与

ln(1)yxx=相切时，设切点为()00,lnxx，即1yx=，所以0000ln1|xxxyxx===，解得0ex=，所以0e1|xxy==，所以1ea=，所以当yax=与ln(1)yxx=相切时，即1ea=时，此时有4个交点，若()fxax=有4个实数根，

即有4个交点，当1ea时由图可知只有3个交点，当10ea时，令()lngxxax=−，()1,x+，则()11axgxaxx−=−=，则当11xa时()0gx，即()gx单调递增，当1xa时()0gx，即()gx单调递减，所以当1xa=时，

函数取得极大值即最大值，()max1ln10gxgaa==−−，又()10ga=−及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x无限大时()0gx，即()gx在11,a和1,a+

内各有一个零点，即()fxax=有5个实数根，故C错误；对于D：21()()()10fxafxa−++=，所以1[()][()]0fxafxa−−=，所以()fxa=或1()fxa=，由图可知，当1

m>时，()fxm=的交点个数为2，当1m=，0时，()fxm=的交点个数为3，当01m时，()fxm=的交点个数为4，当0m时，()fxm=的交点个数为1，所以若1a时，则1(0,1)a，交点的个数为246+=个，若1a=时，则11a=，交点的个数为3个，若01

a，则11a，交点有426+=个，若0a且1a−时，则10a且1aa，交点有112+=个，若11aa=−=，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D正

确；故选：AD．14．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知m为常数，函数()2,0,()21ln,0xxfxgxmxxxx+==++，若函数()()yfxgx=−恰有四个零点，则实数m的值可以是（）A．2−B．1−C．31eD．2

1e【答案】AC【解析】【分析】当0x=时，得到0x=是函数的一个零点，当0x时，令()1,01ln2,01ln2,1xxxhxxxxxx−+−=−−，转化为ym=和()yhx=的图象由三个不同的交点，作出函数()

yhx=的图象，结合图象和选项，即可求解.【详解】由题意，函数()2,0,()21ln,0xxfxgxmxxxx+==++，当0x=时，可得()22,(2)2fg==，此时0x=是函数的一个零点；当0x时，令()()0fxg

x−=转化为()mhx=，其中()1,01ln2,01ln2,1xxxhxxxxxx−+−=−−，要是使得()mhx=有三个零点，只需ym=和()yhx=的图象有三个不同的交点，作出函数()yhx=的图象，如图所示，结合图象，可得当1em−−或31m

e=.结合选项，实数m的值可以是2−和31e.故选：AC.15．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数()224,0,21,0,xxxxfxx−+=−若关于x的方程()()244230fafxax−++=有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（）A．32−B．43−C．65−D

．76−【答案】BCD【解析】【分析】换元，将原方程根的个数问题转化二次函数零点的分布问题，结合图象可解.【详解】令()fxm=，记2()4423gmmama=−++的两个零点为12,mm，则由()fx的图象可知：方程()()244230fxafxa−++=有5个不同的实根12,ymym==

与()fx的图象共有5个交点121m−−，且210m−（不妨设12mm）.则()()()221019016700230Δ230gagagaaa−=+−=+=+=−−解得3726a−−.故选：BCD16

．（2022·河北保定·一模）已知a、b分别是方程20xx+=，30xx+=的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.A．10ba−B．10ab−C．33abbaD．22baab【答案】BD【解析】【分析】在同一直角

坐标系中画出2,3,xxyyyx===−的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.【详解】函数2,3,xxyyyx===−在同一坐标系中的图象如下：所以10ab−，所以22,33,0ababba−−所以()()22,33ababbaba−−−−所以22baab

，33abba故选：BD17．（2022·山东枣庄·高三期末）已知函数()321,1(),1axxfxxax−+=−，若()yfxx=−恰有两个零点，则a的可能取值为（）．A．12−B．14−C．4D．6【答案】BD【解析】【分析】根据函数的解析式，

结合题意和函数的图象，分类讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】因为函数3yx=与函数yx=交于点()1,1,由函数图象的性质得函数()3yxa=−与yx=在()1,+上至多一个交点，由题意，函数()321,1(),1axxfxxax−+=

−，函数(),yfxyx==有两个交点，若1x时，()yfxx=-恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足()3112122211111aaa−−+−−+−，解得102a−；若1x时，

()yfxx=-恰有一个零点，在1x时，()yfxx=-恰有一个零点，则()311212211aa−−+=−−或()3112122211111aaa−−+−−+−解得4a，结合选项，可得a的可能取值为14−和6.故选

：BD.三、填空题18．（2022·新疆·三模（文））函数()22,0e,0xxfxxx+=+的零点个数为_________．【答案】1【解析】【分析】分0x和0x时，求函数的零点个数，可得答案.【详解

】当0x时，()2fxx=+有一个零点2−；当0x时，2()e0fxx=+，无零点，故函数()22,0e,0xxfxxx+=+的零点个数为1个故答案为：119．（2022·北京昌平·二模）若函数2,0,(),0xbxfxxx−=有且仅有两个零

点，则实数b的一个取值为______.【答案】12（答案不唯一）【解析】【分析】由零点的概念求解【详解】令()0fx=，当0x时，由0x=得0x=，即0x=为函数()fx的一个零点，故当0x时，20xb−=有一解，得(0,

1)b故答案为：12（答案不唯一）20．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数()22fxxxt=−−有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.【答案】10,2【解析】【分析】作出函数|2

|yxx=−的图象和直线2yt=，由它们有三个交点可得结论．【详解】作出函数|2|yxx=−的图象和直线2yt=，如图，由图象可得021t时，直线与函数图象有三个交点，即函数()fx有三个零点．102t．故答案为：1(0,)2．21．（2022·云南·高三阶段练习（理

））函数()()23,33,3xxfxxx−=−，函数()(3)gxfxm=−−，若函数()()yfxgx=+恰有4个零点，则实数m的取值范围是_________．【答案】11(,3)4【解析】【分析】根据题意，转化为直线ym=与函数()(3)yfxfx=+−的图象有四个不同的交

点，化简函数()(3)yfxfx=+−，画出函数的图象，结合函数的图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()yfxgx=+恰有4个零点，即()()0fxgx+=，即()(3)fxfxm+−=有4个不同的实数根，即直线

ym=与函数()(3)yfxfx=+−的图象有四个不同的交点，又由()223,0(3)3,03715,3xxxyfxfxxxxx++=+−=−+，作出该函数()(3)yfxfx=+−的图象，如图所示，当0x时，

函数23yxx=++，其中1x=−时，min114y=；当3x时，函数2715yxx=−+，其中72x=时，min114y=，结合图象可得，当1134m时，直线ym=与函数()(3)yfxfx=+−的图象有4个不同的交点，即函数()()yfxgx=−恰有4个零点时，所以实数

m的取值范围是11(,3)4.故答案为：11(,3)4.22．（2022·北京·模拟预测）已知函数()()221,11,1xxfxxx−=−−.若函数()()=−gxfxk有两个不同的零

点，则实数k的取值范围是___________.【答案】)0,1【解析】【分析】画出()fx的图象，由()yfx=与yk=的图象有两个交点来求得k的取值范围.【详解】画出()fx的图象如下图所示，()()()0,gxfxkfxk=−==，即()yfx=与yk=的图象有两个交点，由图可知，

k的取值范围是)0,1.故答案为：)0,123．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e9e42xaaxfxxx−−=++−−有零点，则实数=a___________.【答案】2ln3−【解析】【分析】先由基本不等式求得e9e6xaax−−+，再由二次函数求得2426xx−−−，要

使函数有零点，必须同时取等，即9eexaxa−−=，2x=，解方程即可.【详解】由e0xa−可得99e9ee2e6eexaaxxaxaxaxa−−−−−−+=+=，当且仅当9eexaxa−−=时取等，又()2242266xxx−−=−−−，当且仅当2x=时取等，故()2e9e426(

6)0xaaxfxxx−−=++−−+−=，当且仅当9eexaxa−−=，2x=时取等.要使函数有零点，则9eexaxa−−=且2x=，化简得2e3a−=，解得2ln3a=−.故答案为：2ln3−.24．（2022·四川·石室中学三模（文））若函数()()()221fxx

xaxb=−++的图象关于直线2x=对称，且直线yk=与函数()fx的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．【答案】9−【解析】【分析】依题意是()fx的两个零点，根据对称性可得3和5也是()

fx的零点，即可得到()fx的解析式，整理得()()()22242415fxxxxx=−−+−+，令24xxt−=，依题意关于t的方程22150ttk−−+=有两个不同的实数解1t，2t，且关于x的方程2140xxt−−=与2240xxt−−=中一个方程有两个相同的实数解，另

一个方程有两个不同的实数解，即可求出1t（或2t）的值，代入计算可得；【详解】解：由已知可得，是()fx的两个零点，因为函数图象关于直线2x=，因此3和5也是()fx的零点，所以()()()()()()()()21351315f

xxxxxxxx=−−−=−−−+−()()()()22222434542415xxxxxxxx=−−+−−=−−+−+．由题意可知，关于x的方程()fxk=有三个不同的实数解．令24xxt−=，则关于t的方程22150ttk−−+=有两个不同的实数

解1t，2t，且关于x的方程2140xxt−−=与2240xxt−−=中一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，则1216401640tt+=+或1216401640tt++=，因此1t与2t中有一个等于4−，另一个大于4−．不妨设1

4t=−，则90k+=，解得9k=−，此时22240tt−−=，解得14t=−、26t=满足条件，因此9k=−．故答案为：9−