【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 2.3 圆与圆的位置关系（七大题型）（原卷版）.docx，共(13)页，1.406 MB，由小赞的店铺上传

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2.3圆与圆的位置关系课程标准学习目标（1）能将平面几何关于圆与圆位置关系的定性描述，转化为通过圆的方程判断圆与圆位置关系的定量刻画，给出通过圆的方程判断圆与圆位置关系的基本步骤，并能用于解决给定圆的方程判断位置关系的问题.（

2）能通过具体实例归纳出坐标法解决圆与圆位置关系问题的基本步骤，并能用于解决简单的数学问题和实际问题.1、了解圆与圆的位置关系.2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点

01圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆

的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设1O的半径为1r，2O的半径为2r，两圆的圆心距为d．当1212rrdrr−+时，两圆相交；当12rrd+=时，两圆外切；当1

2rrd+时，两圆外离；当12rrd−=时，两圆内切；当12rrd−时，两圆内含．知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运

算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标

，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离

时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【即学即练1】圆212:(x1)(y3)36C++−=与圆222:(2)

(1)1−++=Cxy的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离题型一：判断圆与圆的位置关系例1．（2023·新疆·高二校联考期末）已知圆221:(1)1Cxy−+=，圆222:(4)4Cxy−+=，则圆1

C与圆2C的位置关系为（）A．相离B．相交C．外切D．内切例2．（2023·江苏·高二假期作业）圆221:430Oxyy+−+=和圆222:160+−=Oxyy的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含例3．（20

23·福建宁德·高二统考期中）已知圆222212:(3)(6)9,:40CxyCxyy−+−=+−=，则两圆的位置关系为（）A．相离B．外切C．相交D．内切变式1．（2023·贵州毕节·高二统考阶段练习）已知圆221:1Cxy

+=，圆222:(1)9Cxy−+=，则圆1C与圆2C的位置关系为（）A．外离B．相交C．相切D．内含变式2．（2023·全国·高二专题练习）圆O：221xy+=与圆C:22650xyy+++=的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切【方法技巧与总结】利用几何法判定两圆的位置

关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可．题型二：求两圆的交点例4．（2023·全国·高二专题练习

）圆22230xyx+−−=与224230xyxy+−++=的交点坐标为.例5．（2023·高二课时练习）若一个圆经过点()2,2M−及圆2260xyx+−=与圆224xy+=的交点，求此圆的方程．例6．（2023·全国·高二专题练习）求圆22230xyx+−−=与圆224230xyxy

+−++=的交点的坐标．变式3．（2023·高二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：221:2210Cxyxy++++=，222:6890Cxyxy+−++=．【方法技巧与总结】直接联立两圆方程求交点．题型三：由圆的位置关系确定参数例7．（2023·全国·高二课堂例题）在平面直角坐标系

xOy中，O为坐标原点，点()0,3A，若圆()()222:33Cxyr−+−=上存在动点M满足2=MAMO，则r的取值范围是．例8．（2023·高二课时练习）已知1O与2O的方程分别为22222(1)1,(1)(

1)xyxyrr−+=++=，若两圆相交，则r的取值范围是．例9．（2023·高二课时练习）若圆220xym+−=与圆22450xyx+−−=内切，则m的值是．变式4．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知圆2221:62

150Cxyxya+−++−=与圆()222:102210Cxybxby++−−−=相交于()()1122,,,AxyBxy两点，且满足22221122xyxy+=+，则b=．变式5．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）已知圆C：()()()222140xyrr++−=

和点M3,02，O为坐标原点，若圆C上存在点P满足2POPM=，则r的最大值为．变式6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆221:()(2)9Oxmy−++=与圆222:()(2)1Ox

ny+++=内切，则22mn+的最小值为变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知圆心在原点的单位圆1C和圆222:68250Cxyxym+−++−=外切，m=．变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知点(1,)Am，(1,25)−Bm，若圆22:20++=Cxyx上有且只有一点P

，使得PAPB⊥，则实数m的一个取值为.（写出满足条件的一个即可）题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长例10．（2023·全国·高二专题练习）圆2244120xyxy+−+−=与圆224xy+=的公共弦所在的直线方程为．例11．

（2023·福建福州·高二福建省福州高级中学校考期中）圆1C：22410xyx+−+=与圆2C：222210xyxy+−−+=的公共弦长为.例12．（2023·全国·高二专题练习）已知圆1C：22(4)(3)16xy−+−=与圆2C：222290xyxy+−+−=，若两圆相交

于A，B两点，则AB=变式9．（2023·上海·高二专题练习）已知圆224xy+=与圆22250xyxy+−+−=相交，则它们的公共弦所在的直线方程是．变式10．（2023·全国·高二专题练习）圆221:130Oxy+−=与圆222:650Oxyx+−+=的公共弦所在直线方程为.变式11．（20

23·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）圆221:210240Cxyxy+−+−=与圆222:2280Cxyxy+++−=的公共弦所在直线的方程为．变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知圆221:()4

Cxay−+=与()222:()1,RCxybab+−=交于,AB两点.若存在a，使得2AB=，则b的取值范围为.变式13．（2023·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）已知圆221:410Cxyx+++=和圆222:

2210Cxyxy++++=，则圆1C与圆2C的公共弦的弦长．【方法技巧与总结】求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方

程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用．题型五：圆的公切线条数例13．（2023·江西景德镇·高二统考期中）圆()()221:3425Oxy−++=与圆222:48440Oxyx

y++−−=的公切线条数为（）A．4条B．3条C．2条D．1条例14．（2023·全国·高二专题练习）圆221:(2)(4)25Cxy+++=与圆222:(1)9Cxy++=的公切线的条数为（）A．1B．2C．3D．4例15．（2023·

安徽合肥·高二统考开学考试）若两圆()2269900xymxmm+++−=和()2241400xynynn+−−+=恰有三条公切线，则114mn+的最小值为（）A．116B．14C．1D．4变式14．（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知圆1C：2224230xyxaya+−+++

=和圆2C：22224410xyxaya++−+−=，则圆1C与圆2C的公切线的条数为（）A．1B．2C．3D．4变式15．（2023·福建厦门·高二统考期末）已知圆2221:290Cxymxm+−+−=与圆222:20Cxyy+−=，若1C与2C有且仅有一条公切

线，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．2变式16．（2023·四川南充·高二统考期末）已知点()2,2A，()2,1B−−，若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的l有（）条A．1B．2C．3D．4题型六：圆的

公切线方程例16．（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）同时与圆()()221:122Cxy−+−=和圆()()222:342Cxy−+−=都相切的一条直线方程为．例17．（2023·全国·高二专题练习）写出与圆221:1Oxy+=和222:(3)1Oxy−+=都相切的一条直线方程．

例18．（2023·全国·高二专题练习）已知圆221:1Oxy+=，圆222:(2)4Oxy−+=.请写出一条与两圆都相切的直线方程：.变式17．（2023·全国·高二专题练习）写出与圆221xy+=和圆226890xyxy++−+=都相切的一条

直线的方程.变式18．（2023·全国·高二专题练习）已知圆221:4230Cxyxy+−−+=与圆222:8670Cxyxy+−−+=，则圆1C与圆2C的公切线方程是.变式19．（2023·广东深圳·高二校考阶段练习）圆221:1Cxy+

=与圆222:890Cxyx+−−=的公切线方程为．题型七：圆系问题例19．（2023·高二课时练习）经过直线10xy++=与圆222xy+=的交点，且过点(1,2)的圆的方程为．例20．（2023·高二课时练习）过圆22240xyy+−−=与2242

0xyxy+−+=的交点，且圆心在直线:2410lxy+−=上的圆的方程是．例21．（2023·江苏·高二专题练习）曲线2233xy−=与228yxx=−−的四个交点所在圆的方程是．变式20．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线20xy−=与圆224240xy

xy+−+−=的交点，且过点()1,0的圆的方程为.变式21．（2023·高二校考课时练习）过两圆2220xyxy+−−−=与224480xyxy++−−=的交点和点()3,1的圆的方程是.变式22．（2023·浙江

杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线:240lxy++=与圆22:240Cxyxy++−=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.变式23．（2023·江西九江·高一统考期中）经过两圆22640xyx++−=和226280xyy++−=的交点，且圆心在直

线40xy−−=上的圆的方程为【方法技巧与总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线1111:0++=lAxByC与直线2222:0++=lAxByC相交于点P，则过点P的直线系

方程为：11112222()()0+++++=AxByCAxByC2212(0)+简记为：221122120(0)+=+ll当10时，简记为：120+=ll（不含2l）（2）圆系方程：若圆221111:0++++=CxyDxEyF与圆2

22222:0++++=CxyDxEyF相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：2222111222()0(1)+++++++++=−xyDxEyFxyDxEyF简记为：120(1)+=−CC，不含2C当1=−时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）121212:()()0−+

−+−=lDDxEEyFF注意：与圆C共根轴l的圆系:0+=CCl一、单选题1．（2023·高二单元测试）已知圆22:20Cxyxm+−+=与圆()()22334xy+++=外切，点P是圆C上一动点，则点

P到直线51280xy++=的距离的最大值为（）A．2B．3C．4D．52．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考期中）圆1O：2220xyx+−=与圆2O：2240xyy++=的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切3．（2023·江苏·高二假期作业）若圆()

222=0xyrr+与圆22244=0xyxy++−+有公共点，则r满足的条件是（）A．051r+B．51r+C．51r−D．51r−4．（2023·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知在圆22:()(2)20−+

−=Cxaya上恰有两个点到原点的距离为5，则a的取值范围是（）A．()1,3B．()1,9C．()()3,11,3−−D．()()9,11,9−−5．（2023·全国·高二专题练习）在坐标平面内，与

点()1,2A距离为3，且与点()3,2B距离为1的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知圆()()22:211Mxy−+−=，圆()()22:211Nxy+++=，则下列不是M

，N两圆公切线的直线方程为（）A．0y=B．430xy−=C．250xy−+=D．250xy+−=7．（2023·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知圆C的方程为2216xy+=，直线:80lxy+−=，点P是直线l上的一动点，过P做圆C的两条切线，切点分别为A，

B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（）A．4xy+=B．344xy+=C．234xy+=D．1xy+=8．（2023·全国·高二专题练习）圆2221:22210Cxyaxaya++++−=与圆2222:22220Cxybxbyb++++−=的公共弦长的最大值是（）A．12B．1C．

32D．2二、多选题9．（2023·高二课时练习）圆221:(2)()9Cxym++−=与圆222:()(1)4Cxmy−++=外切，则m的值为（）A．5−B．2−C．2D．510．（2023·全国·高二专题练习）已知圆22:4Oxy+=和圆22:(3)

(3)4Cxy−+−=，,PQ分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是（）A．圆O与圆C有四条公切线B．PQ的取值范围是324,324−+C．2xy−=是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切

线，切点分别为,MN，则存在点Q，使得90MQN=11．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，该曲线W是由4个圆：()2211xy−+=，()2211xy++=，()2211xy++=，()2211xy+−=的一部分所构成，则下列叙述正确的是（）A．曲线W

围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆()2220xyrr+=与曲线W有8个交点，则22rC．BD与DE的公切线方程为120xy+−−=D．曲线W上的点到直线5210xy+++=的距离的最小值为412．（202

3·全国·高二专题练习）点P在圆1C：221xy+=上，点Q在圆2C：226490xyxy+−++=上，则（）A．PQ的最小值为133−B．PQ的最大值为13C．两个圆心所在的直线斜率为23−D．两个圆公共弦所在直线的方程为64100xy−−=三、

填空题13．（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）同时与圆()()221:122Cxy−+−=和圆()()222:342Cxy−+−=都相切的一条直线方程为．14．（2023·云南保山·高二统考期中）若圆1C：224xy+=与圆2C：()2217xy++=相

交于,AB两点，则公共弦AB的长为．15．（2023·全国·高二课堂例题）圆()22:216Cxy+−=关于直线120axby+−=对称，动点S在直线0yb+=上，过点S引圆C的两条切线,SASB，切点分别为,AB，则直线AB必过定点，那么定点的

坐标为．16．（2023·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点,AB的距离之比为定值()1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，()2,0A−，()4,0B，点P满足12PAPB

=．设点P的轨迹为C．①轨迹C的方程为()2249xy++=.②在x轴上存在异于,AB的两点,DE，使得12PDPE=.③当,,ABP三点不共线时，射线PO是APB的角平分线.④在C上存在点M，使得2MOM

A=.以上说法正确的序号是．四、解答题17．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期末）已知圆22110Cxy+=：与圆22222140Cxyxy+++−=：.(1)求证：圆1C与圆2C相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程.18．（2023·全国·高二专题练习）求过

两圆221:240Cxyy+−−=和圆222:420Cxyxy+−+=的交点，且圆心在直线:2410lxy+−=上的圆的方程.19．（2023·高二单元测试）过点()2,3P−−作圆C：()()22429xy−+−=的两条切线，切点分别为A，B.求：(1)经过圆心C，切点A，B

这三点的圆的方程；(2)直线AB的方程；(3)线段AB的长.20．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知圆222:2230++−+−=Cxyxaya与圆22():21Mxy−+=恰好有三条公切线，点(3,0)P，直线2yx=与圆C交

于点,AB．(1)求实数a的值；(2)证明：x轴平分APB．21．（2023·高二课时练习）如图，已知圆心坐标为()3,1M的圆M与x轴及直线3yx=均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线3yx=均相切，切

点分别为C，D.(1)求圆M和圆N的方程；(2)过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．22．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线3yx=对称，与x轴相切，被直线yx=截得的弦长为27．若点P在直线10xy+

+=上运动，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A，B点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线AB是否过定点？若AB过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明．