【文档说明】四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期期中适应性（二）考试数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，756.533 KB，由小赞的店铺上传

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2024级高一（上）半期数学适应性（二）一、单选题1.命题“1x，20xx−”的否定是（）A.01x，2000xx−B.01x，2000xx−C.1x，20xx−D.1x，20xx−【答案】B【解析】【分析】将全称量词改为特称量词，并将命题的结论

否定即可.【详解】∵全称命题的否定是特称命题，即先将量词“”改为量词“”，再将结论否定，∴“1x，20xx−”的否定为“01x，2000xx−”，故选：B.2.设集合1,2M=，则满足条件1,2,3,4,5MN=的

集合N的个数是（）A.3B.4C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根据集合并集的性质进行求解即可.【详解】因为1,2M=，1,2,3,4,5MN=，所以集合N中必含有3,4,5，因此3,4,5N=

或1,3,4,5N=或2,3,4,5N=或1,2,3,4,5N=，故选：B3.不等式x2≥2x的解集是()A.{x|x≥2}B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤2}D.{x|x≤0或x≥2}【答案】D【解析】【详

解】由x2≥2x解得：x(x－2)≥0，所以x≤0或x≥2.选D.4.已知函数()2fx+的定义域为()3,4−，则函数()()131fxgxx+=−的定义域为（）A.()4,3−B.()2,5−C.1,33D.1,53【答案】D【解析】【分析】根据抽象

函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2fx+的定义域为()3,4−，所以函数()fx的定义域为()1,6−，则对于函数()()131fxgxx+=−，需满足116310xx−+

−，解得153x，即函数()()131fxgxx+=−的定义域为1,53.故选：D.5.若集合1522Axx=+，513Bxx=−−，则AB=（）A.()3,3−B.[2,3)−C.(2

,2)−D.[2,2)−【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式得集合A，解分式不等式得集合B，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()15515323,222222Axxxxxx=+=−+=−=−，()

)2(3)05210232,33330xxxBxxxxxxxx+−+=−===−=−−−−，所以AB=[2,2)−.故选：D6.任给2,0u−

，对应关系f使方程220uv+=的解v与u对应，则()vfu=是函数的一个充分条件是（）A.4,4v−B.(8,4v−C.(8,0v−D.16,4v−【答案】D【解析】【分析】先求出,0[]8v−，再利用充分条件的定义判定即可．【详解】解：任给2,0u−，方程

22202uvvu+==−，]80[,v−，由][16[,4],08−−，则()vfu=是函数的一个充分条件是16,4−．故选：D．7.若不等式22121xxax+++在区间[0,1]上恒成立，则实数a的取值范

围是（）A.122a−B.1aC.43aD.1222a−【答案】A【解析】【分析】利用换元法构造函数，利用新函数的最值进行求解即可.【详解】解：令21xt+=，因为0,1x，则1,3t

，所以原不等式等价于222ttat−+在1,3t上恒成立；令()2212122ttftttt−+==+−，()ft在1,2t时单调递减，在()2,3t时单调递增，所以当2t=时，()min122ft=−，若()fta在1,3t上恒成立，

则()minfta，所以122a−.故选：A8.对于正整数集合()*12,,,,3nAaaann=N，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,iain=之后，剩余所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集

．记12nMaaa=+++．若集合A是平衡集，并且存在ia为奇数，则集合A中元素个数n的的奇偶性（）A.与M相关，既可以是奇数，又可以是偶数B.与M无关，既可以是奇数，又可以是偶数C.与M无关，必为偶数D.与M无关，必为奇数【答案】D【解析】【分析】根据平衡集的定义得2iMam−=，因此()

1,2,,iain=的奇偶性相同，又因为存在ia为奇数，所以根据集合中元素总和M与单个元素()1,2,,iain=的奇偶性的规律，即可判断.【详解】由已知得()*12,,,,3nAaaann=N，因为集合A

是平衡集，设去掉元素()1,2,,iain=，根据题意得12iAAAa=，其中12AA=，不妨设集合1A和2A中的元素之和均为m，所以2iMma=+，其中1,2,,in=，则2iMa

m−=，所以iMa-偶数，其中1,2,,in=，因此()1,2,,iain=的奇偶性相同；因为存在ia为奇数，所以()1,2,,iain=均为奇数，由2iMam−=知M也为奇数，且12nMaaa=+++，所以n也为奇数.

所以n必为奇数故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义下的集合问题，需要正确理解定义，根据定义正确推理即可.二、多选题9.英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知0

ba，0c，则下列不等式一定成立的有（）A.33bcacB.2abaC.bcbaca−−D.ab−−【答案】BCD【解析】【分析】采用作差法依次判断各个选项即可.为【详解】对于A，()()3322b

caccbababa−=−++，0cQ，0ba，0ba−，220ba+，0ab，()()220cbababa−++，即330bcac−，33bcac，A错误；对于B，()2abaaba−=−，0baQ，0ba−，()0aba−，即20aba−，2aba

，B正确；对于C，()()()()()bcaacbbacbcbacaacaaca−−−−−−==−−−，0cQ，0ba，0ba−，0ca−，()()0bacaca−−，即0bcbaca−−−，bcba

ca−−，C正确；对于D，()abbaababab−−−−−−−==−+−−+−，0baQ，0ba−，0ab−+−，0baab−−+−，即0ab−−−，ab−−，D正确故选：BCD.10.设正实数mn､满足2mn+=

，则（）A.mn的最大值为1B.mn+的最小值为2C.22mn+的最小值为2D.1122mnmn+++的最小值为43【答案】AC【解析】【分析】根据基本不等式即可直接求解ABC，利用乘“1”法即可求解D.【详解】因为2mn+=，0m，0n，

12mnmn+=，当且仅当1mn==时等号成立，故A正确；2()22224mnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当1mn==时等号成立，所以.2mn+，故B错误；2222()24242()22mnmnmnmnmn++=+−

=−−=，当且仅当1mn==时，等号成立，故C正确；()11111122(2)2222622622mnmnmnmnmnmnmnmnmnmn+++=++++=++++++++21(22)632222mnmnmnmn++++=+，当且仅

当2222mnmnmnmn++=++，即1mn==等号成立，故D错误.故选：AC．11.定义在()(),00,−+的函数()fx满足()()()1fxyfxfy=+−，当1x时，()1fx，则下列说法正确的是（）A.()11f−=B.若()122f

=，则()10244f=−C.函数()fx在()0,+上是增函数D.不等式()211fx+的解集为111,,022−−−【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法可判断AB；判断出函数的奇偶性，利用函数单调性定义即可判

断函数单调性，判断C；结合函数性质即可求解不等式判断D.【详解】对于A，令1xy==，则()()()1111fff=+−，则()11f=，令1xy==−，则()()()1111fff=−+−−，则()11f−=，A正确；对

于B，若()122f=，则()()()42210fff=+−=，()()()164411fff=+−=−，()()()256161613fff=+−=−，故()()()()10242564256414ffff==+−=

−，B正确；对于C，由于函数定义域为()(),00,−+，取1y=−，则()()()()11fxfxffx−=+−−=，即()fx偶函数；为任取()12,0,xx+，且12xx，则()()22

211111xxfxfxfxfxx==+−，因为211xx，故211xfx，则2110xfx−，则()()()221111xfxfxffxx=+−，故函

数()fx在()0,+上是减函数，C错误；对于D，由C的分析可知函数()fx在(),0−上是增函数，故由()211fx+结合()11f−=，()11f=可得1211x−+，且210x+，解得10x−，且12x−，即()211fx

+的解集为111,,022−−−，D正确，故选：ABD三、填空题12.已知函数()24212fxxx+=−，求()fx=__________．【答案】()2431xxx−+【解析】【分析】令21tx

=+，求解2x代入计算可得()ft，从而求出()fx.【详解】因为函数()24212fxxx+=−，令21tx=+，则()()()2212143fttttt=−−−=−+，因为211x+，所以1t，所以()()2431fxxxx=−+.故答案为：()2431xxx−+13.

已知实数x，y满足关系：14xy−+，23xy−.则32xy+的取值范围是__________.【答案】323(,)22−【解析】【分析】利用待定系数法把33xy+用xy+与xy−表示，再由不等式的性质得

答案.【详解】设32()()xymxynxy+=++−，则32mnmn+=−=，解得52m=，12n=，5132()()22xyxyxy+=++−，由14xy−+，23xy−，得55()1022xy−+，131()2

2xy−，所以35123()()2222xyxy−++−，即3233222xy−+，32xy+的取值范围为323(,)22−，故答案为：323(,)22−.14.已知函数()451xfxx−+=+，()224gxxax=−+，若对存在10,2x，存在21,2x

，使()()12fxgx，则实数a的取值范围是__________．【答案】[0,)+【解析】【分析】由题意可知只需maxmin()()fxgx，易求出()fx的值域，进而只需2max()24()gxxaxfx=−

+有解即可，用分离参数的方法即可．【详解】459()411xfxxx−+==−+++，所以()fx在0,2x时单调递减，所以()()min21fxf==−，max()(0)5fxf==，即()[1,5]fx−；因为对存在10,2x，存在21,2x，使12()

()fxgx≥，所以aminmx()()fxgx，所以存在1,2x，使得2()245gxxax=−+，即2210xax−−，即122xax−能成立，令1()22xhxx=−，则要使()ahx在1,2x能成立，只需使min()ahx，根据增

函数减减函数易知：函数1()22xhxx=−在1,2x上单调增，所以min()(1)0hxh==，故只需0a，所以a的取值范围是[0,)+．故答案为：[0,)+．四、解答题15.已知集合2{05},230,{32}MxxNxxxPxaxa==−−+=−∣∣∣．（1）

求()RMNð;（2）若()PMN，求实数a的取值范围．【答案】（1）30xx−（2）1a−【解析】【分析】（1）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先求得MN，然后分P=与P讨论，即可得到结果.【小问1详解】因为{05}Mxx=∣，则

R0Mxx=ð或5x，且223031Nxxxxx=−−+=−∣，所以()R30MNxx=−ð.【小问2详解】由（1）可知，{05}Mxx=∣，31Nxx=−，则35MNxx=−，且()PMN

，当P=时，即32aa−，解得1a；当P时，由()PMN可得323325aaaa−−−，解得11a−；综上所述，1a−.16.已知正实数x，y，满足20xyxy+−=．（1）求xy的最小值；

（2）若关于x的方程2(+1)42xymm−=−有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）8；（2）3m或2m−﹒【解析】【分析】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对(+1)42xy−进行变形，构造成可以使用基本不等式的形式，利用基本不

等式求其值域﹒【小问1详解】∵x，y为正实数，20xyxy+−=，∴222xyxyxy+=解得：8xy，当且仅当2xy=，即x＝4，y＝2时，等号成立，则xy的最小值为8．【小问2详解】由20xyxy+−=得：2xyxy+=，则211xy+=，∴(1)4242xyxyx+

−=+−212()422()42xyxyxy=+−=++−22342xyyx++−2(223)426+−=，当且仅当2xy=，即2+2x=，21y=+时，等号成立﹒∴26mm−，解得：3m或2m−．17.已知函数()24axbfxx+=+是定义在()

2,2−上的过原点的函数，且()115f=．（1）求函数()fx的解析式；（2）判断函数()fx在()2,2−上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式()()210ftft−−．【答案】（1）2()4xfxx=+（2）增函数，证明见解析（3

）(1−,1)．【解析】【分析】（1）由已知结合奇函数的性质即可求解a，b，进而可求函数解析式；（2）设任意22mn−，然后利用作差法比较()fm与()fn的大小即可判断．（3）根据函数的单调性，即可求

解.【小问1详解】由于函数()24axbfxx+=+是定义在(2,2)−上过原点的函数，则(0)04bf==，即0b=，因为()11145af==+，解得1a=，则2()4xfxx=+，【小问2详解】()fx在(2,2)−上为增函数，证明如下：设任意22mn−，则222222

22(4)(4)()(4)()()44(4)(4)(4)(4)mnmnnmmnmnfmfnmnmnmn+−+−−−=−==++++++，由于22mn−，则0mn−，4mn，即40mn−，又22(4)(4)0mn++，则有()()0fmfn−，则()fx在(2,2)−上是增函

数．【小问3详解】故()fx在(2,2)−上为单调递增的函数，由(2)(1)0ftft−−可得(2)(1)ftft−，所以2212tt−−，解得，11t−，故t的范围为(1−,1)．18.已知函数()()2

3fxxaxa=−+R．（1）已知()0Axfx=，若2A，求实数a取值范围；（2）求()fx在1,3−上的最小值()ha；（3）函数()ha的最大值．【答案】（1）7,2+（2

）()24,23,264312,6aaahaaaa+−=−+−−+（3）3【解析】【分析】（1）由2A可得()20f，即关于a的不等式，求解即可；（2）得二次函数的对称轴2ax=，然后分12a−，132a−，32a

三种情况分类讨论即可；（3）在（2）的基础上分段讨论函数的最值即可.【小问1详解】因为𝐴={𝑥|𝑓(𝑥)>0}，2A，所以()20f，所以20223a−+，解得72a；故实数a取值范围为7,2+.【小问2详解】函数()()23fxxaxa=−+R的对称轴为

2ax=，当12a−，即2a−时，()fx在1,3−上单调递增，故()()14hafa=−=+；当132a−，即26a−时，()fx在1,2a−上单调递减，在,32a

上单调递增，故()2324aahaf==−+；当32a，即6a时，()fx在1,3−上单调递减，故()()3312hafa==−+；综上所述()24,23,264312,6aaahaaaa+−=−+−−+；【小问3详解】由（

2）可知当2a−时，()4haa=+在(,2a−−上单调递增，此时()ha最大值为()22h−=；当26a−时，()2213344ahaa=−+=−+在(2,0a−上单调递增，在)0,6a上单调递减，此时()ha的最大值为()03h=；

当6a时，()312haa=−+在)6,a+上单调递减，此时()ha的最大值为()66h=−；综上所述()ha的最大值为3.19.对于基本不等式，即当0a，0b时有2abab+（当且仅当ab=时不等式取“=”）

，我们称2ab+为正数a，b的算术平均数，ab为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首

次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：n个正数123,,nxxxx的平方平均数12nnnnnxxxn+++大于等于它们的算术平均数123n

xxxxn++++大于等于几何平均数123nnxxxx大于等于调和平均数12111nnxxx+++，且当123,,nxxxx这些数全部相等时，等号成立．（1）请直接运用上述不等式链中

某个n的情形求()240yxxx=+的最小值；（2）写出3n=时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明；（3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正

方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？【答案】（1）3的（2）31231233111xxxxxx³++，其中1>0x，20x，30x（3）切去的正方形边长为1时，才能使盒子的容积最大.【解析】【分析】（1）根据已知条件给出的不等式求解即可；（2）根据已知条件给出的几何平均数大于等于调和平均数

写出不等式即可，证明见详解；（3）设出小正方形的边长，表示出盒子的容积，利用不等式求解最值即可.【小问1详解】由题意得123nxxxxn++++123nnxxxx所以0x时，22411422y

xxxxx=+=++321143322xxx=，当且仅当2142xx=时，即2x=时，等号成立，所以()240yxxx=+的最小值为3.【小问2详解】由题意可知，当3n=时，调和平均数与几何

平均数之间的关系为31231233111xxxxxx³++，其中1>0x，20x，30x，当且仅当123xxx==时，等号成立.证明：3331231233xxxxxx++−()32231212123

123333xxxxxxxxxx=+−−+−()()()()22123121233121233xxxxxxxxxxxxxx=+++−++−++()222123123122313xxxxxxxxxx

xx=++++−−−()()()()222123122331102xxxxxxxxx=++−+−+−所以，3331231233xxxxxx++，当且仅当123xxx==时，等号成立.根据题意，

可设1>0x，20x，30x，用31x，32x，33x替换1x，2x，3x可得31231233xxxxxx++，当且仅当123xxx==时，等号成立.所以312312311113xxxxxx++?，所以31231233311113xxxxxx£++3123312311xxxxxx=

=，当且仅当123xxx==时，等号成立.【小问3详解】设小正方形的边长为x，则盒子的高hx=，底边边长为62x−，可得盒子的容积为2(62)Vxx=−，其中03x，则221(62)4(62)4Vxxxx=−=

−3146262()1643xxx+−+−=，当且仅当462xx=−时，即1x=时，等号成立，所以切去的正方形边长为1时，才能使盒子的容积最大，最大容积为16.