【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第一册 第三章　3-3　3-3-1　抛物线及其标准方程含解析【高考】.doc，共(7)页，487.500 KB，由小赞的店铺上传

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13.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课后训练巩固提升A组1.抛物线x=4y2的准线方程是()A.y=B.y=-1C.x=-D.x=解析:由x=4y2得y2=x,故准线方程为x=-.答案:C2.已知定点F和定直线l,点F不在直线l上,动圆M过点F且与直线l相切,则动圆圆心M的轨

迹是()A.射线B.直线C.抛物线D.椭圆解析:因为动圆M过点F,且动圆M与直线l相切,所以圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|,即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离,且定点F不在定直线l上,所以由抛物线的定义

,可知圆心M的轨迹是抛物线.答案:C3.若抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则此抛物线的方程为()A.y2=-16xB.y2=8xC.y2=16x或y2=-8xD.y2=-16x或y2=8x解析:抛物线的准线方程为x=-,则=3,m=8或-16.故所求抛物线方程为y2

=8x或y2=-16x.故选D.答案:D4.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1C.D.2解析:如图所示,设E为AB的中

点,过A,B,E作准线l:x=-的垂线,垂足分别为C,D,G.根据抛物线的定义,知|AC|+|BD|=|AF|+|BF|=3.根据梯形中位线定理,得线段AB的中点到y轴的距离为(|AC|+|BD|)-.答案:C5.一动圆圆心在抛物线x2=4y上,该圆过点(0,1

),且与定直线l相切,则直线l的方程为.解析:因为动圆过点(0,1),且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等.又因为动圆圆心在抛物线x2=4y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以直线l的方程为y=-1.答案

:y=-16.已知抛物线C:4x+ay2=0恰好经过圆M:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心,则抛物线C的焦点坐标为,准线方程为.解析:圆M的圆心为(1,2),代入4x+ay2=0得a=-1,将抛物线C的方程化为标准方程得y2=4

x,故焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.答案:(1,0)x=-17.一座抛物线形拱桥的示意图,如图所示,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水位下降1m后,水面宽m.解析:设水面与桥的一个交点

为A,如图建立平面直角坐标系,则A的坐标为(2,-2).设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则22=-2p×(-2),得p=1,3故抛物线方程为x2=-2y.设水位下降1m后水面与桥的交点坐标为(x0,-3),则=6,x0=±,水面宽为2m.答案:28.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1

)准线方程是y=3;(2)过点P(-2,4);(3)焦点到准线的距离为.解:(1)由准线方程为y=3知抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为x2=-12y.(2)因为点P(-2,4)在第二象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=2

py(p>0).若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由42=-2p×(-2),解得p=2;若抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),则由(-2)2=2p×4,解得p=1.故所求抛物线的标准方程为y2=-4x

或x2=2y.(3)由焦点到准线的距离为,得p=,故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-2x或x2=2y或x2=-2y.9.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;(2)求点P到点B的距离与到

直线x=-的距离之和的最小值.解:(1)将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.∵>2,∴点A在抛物线内部.4过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-于点Q,由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,当P,A

,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d.显然点B在抛物线的外部.由抛物线的定义,得|PB|+d=|P

B|+|PF|≥|BF|,当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.又|BF|==2,故所求最小值为2.B组1.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C

的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)解析:圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据已知只要|FM|>4即可,根据抛物线的定义,|FM|=y0+2,由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).答案:D2.已知直

线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2B.3C.D.解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为|PF|,5由图可知

,距离和的最小值即F到直线l1的距离d==2.答案:A3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2

x或y2=16x解析:因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点F,设M(x,y),由抛物线的性质,知|MF|=x+=5,得x=5-.因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为,由已知,得圆的半径也为,故由该圆与y轴相

切于点(0,2),得圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8.所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.答案:C4.如图所示,南北方向的公路l,A地在公路正东2km处,B地在A地东偏北30°方向2km处

,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等.现要在曲线PQ上建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A、到B的修建费用都为a万元/km,则修建这条公路的总费用最低是(单位:万元)()A.5aB.6a6C.(2+)aD.2(+1)a解析:依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛

物线,根据抛物线的定义知,欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线l距离即可,因为B地在A地东偏北30°方向2km处,所以点B到点A的水平距离为3km,所以B到直线l距离为3+2=5(km),故修建这两条公路的总费用最低为5a万元

.答案:A5.抛物线y=-x2上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为.解析:抛物线的标准方程为x2=-4y,其焦点坐标为(0,-1),准线方程为y=1,则|MF|的长度等于点M到准线y=1的距离,从而点M到两定点F,E的距离之和

的最小值为点E(1,-3)到直线y=1的距离.即最小值为4.答案:46.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值

.求曲线C1的方程.解法一:设点M的坐标为(x,y),由已知得|x+2|=-3.易知圆C2上的点位于直线x=2的右侧(包含x=2),于是x+2>0,所以=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.解法二:由题设知,条件“对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值

”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离”.故曲线C1是以点(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线,曲线C1的方程为y2=20x.7.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程

.解:①当点A在抛物线内部时,42<2p×,即p>,|MF|+|MA|=|MA'|+|MA|.7当A,M,A'共线时(如图,A,M',A″共线时),(|MF|+|MA|)min=5.故=5-⇒p=3,满足3>,故抛物线方程为y2=6x.②当点A在抛物线外部或在抛物线上时,42≥2p×,即0<p≤

,连接AF交抛物线于点M,此时(|MA|+|MF|)最小,即|AF|min=5,+42=25,=±3⇒p=1或p=13(舍去).故抛物线方程为y2=2x.综上,抛物线方程为y2=6x或y2=2x.