【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 3.1 椭圆 Word版含解析.docx，共(14)页，928.788 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-910accb655d7efae70a2defe09ea1d20.html

以下为本文档部分文字说明：

3.1椭圆一、单选题1．已知命题p：方程22151xymm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（）A．35mB．45mC．15mD．1m>【答案】B【解析】若方程22151xymm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则150mm−−，

解得：35m．所以p成立的充要条件是：35m．结合四个选项可知：p成立的充分不必要条件是45m，故选：B.2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半

轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点1F、2F在y轴上，椭圆C的面积为23，且离心率为12，则C的标准方程为（）A．22143xy+=B．22112xy+=C．22134xy+=D．221163xy+=【答案】C【解析】由题意可

知，椭圆C的面积为23ab=，且a、b、c均为正数，即2222312abcaabc===+，解得231abc===，因为椭圆C的焦点在y轴上，所以C的标准方程为22134xy+=.故选：C.3．椭圆()2222:10xyEabab+=的左、

右焦点分别为1F、2F，E上存在两点A、B满足122FAFB=，243AFa=，则E的离心率为（）A．53B．23C．32D．12【答案】A【解析】作点B关于原点的对称点C，连接1BF、1CF、2CF、BC，则O为BC、12FF的中点，故四边形12BFCF为

平行四边形，故12//CFBF且12CFBF=，则12CFFB=，所以，112FACF=，故A、1F、C三点共线，由椭圆定义，122AFAFa+=，有123AFa=，所以13aCF=，则ACa=，再由椭圆定义122

CFCFa+=，有253aCF=，因为22222CFACAF=+，所以290CAF=，在12AFF△中，2221212FFAFAF=+即222049ca=，所以，离心率53e=．故选：A.4．已知F是椭圆22:115xyCm+=的右焦点，点352,2A在C上，直线AF与y轴交于

点B，点P为C上的动点，则PAPB的最小值为（）A．514B．154C．134−D．154−【答案】C【解析】由题可得223522115m+=，∴16m=，即椭圆22:11615xyC+=，∴()1,0F，直线AF方程为()35

12yx=−，∴20,35B−，又352,2A，设()00,Pxy，则220011615xy+=，00002,,353522,PAxPByyx=−=−−−

−，∴()()00003535222yyPAPBxx−=−−+−−200204542xyx=−+−202001521516454xxx−+−=−()2049111664x−=−

，又044x−，∴当04x=时，PAPB有最小值为134−.故选：C.5．如图，椭圆的中心在坐标原点,O顶点分别是1212,,,AABB，焦点分别为12,FF，延长12BF与22AB交于Р点，若12BPA为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）A．510,4+

B．51,14+C．510,2−D．51,12−【答案】D【解析】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则22(,)BAab=−，21(,)FBc

b=−−，因为12BPA就是22BA与21FB的夹角，所以22BA与21FB的夹角为钝角，所以22210BAFB，即20acb−+，又222bac=−，所以220aacc−−，两边同时除以2a，得210ee−−，即210ee+−，解得15

2e−−或152e−+，又01e，所以1512e−+，所以椭圆离心率的取值范围为51,12−，故选：D．6．在平面直角坐标系xOy中，若△ABC的顶点(0,2)A−和(0,2)C，顶点B在椭

圆221128yx+=上，则sinsinsinACB+的值是（）A．3B．2C．23D．4【答案】A【解析】由题设知：,AC为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，所以||||243ABCBa+==，||24ACc==，由正弦定理边

角关系知：||||3|sinsinsin|AACBCBABC+==+.故选：A7．已知点(4,0)A和(2,2)B，M是椭圆221259xy+=上的动点，则||||MAMB+最大值是（）A．10210+B．10210−C．810+D．810−【答案】A【解析】解：椭圆221259xy+=，所以A

为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F−，则由椭圆定义||||210MAMFa+==，于是||||10||||MAMBMBMF+=+−.当M不在直线BF与椭圆交点上时，M､F､B三点构成三角形，于是||||||MBMFBF−，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|||||

|MBMFBF−=−，在第三象限交点时有||||||MBMFBF−=.显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时||||MAMB+有最大值，其最大值为22||||10||||10||10(24)(20)10210MAMBMBMFBF+

=+−=+=+++−=+.故选：A.8．已知椭圆221222:1(0),,xyCabFFab+=为C的左､右焦点，(,)(0,0)Pmnmn为C上一点，且12PFF△的内心(,1)Is，若12PFF△的

面积为2b，则n的值为（）A．35B．43C．83D．3【答案】C【解析】由题意可得，12PFF△的内心(,1)Is到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，121212122,(22)122PFFPFPFFFacSacacb++=+=+

=+=.又(1),2aeceab+==，2222222(1),2aeabcaea+=++=，即222(1)44,5230eeee++=+−=，解得35e=或1−（舍），34,55caba==.又1212133,255PFFSFFn

cnaaan==+=，解得83n=.故选：C.二、多选题9．（多选）设定点1(0,3)F−，2(0,3)F，动点P满足129(0)PFPFaaa+=+，则点P的轨迹可能是（）A．圆B．线段C．椭圆D．直线【答案】BC【解析】由题意知，定点1(0,3)F−，2(0,3)F，可得1

26FF=，因为0a，可得129926PFPFaaaa+=+=，当且仅当9aa=，即3a=时等号成立．当96aa+=时，可得的1212PFPFFF+=，此时点P的轨迹是线段12FF；当96aa+时，可得1212PFPFFF+，此时点P的轨迹是椭圆．故选：BC．10．已知椭圆222

21(0)xyabab+=的左、右焦点分别是1F，2F，P是椭圆上一点，若122PFPF=，则椭圆的离心率可以是（）A．15B．14C．13D．23【答案】CD【解析】由椭圆的定义，可得122PFPFa+=．又122PFPF=，所以143PFa=，223PFa=．①当点P与1F，2

F不共线时，在12PFF△中，1212PFPFFF−，即223ac，所以13cea=．②当点P与1F，2F共线时，分析知1PFac=+，2PFac=−，所以2)acac+=−(，即3ac=，所以13c

ea==．综上，椭圆的离心率的取值范围是1,13，故选：CD．11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离

地面最远的点）距地面n千米，并且FAB、、三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222abc、、，则A．acmR−=+B．acnR+=+C．2amn=+D．()()bmRn

R=++【答案】ABD【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得macRnacR=−−=+−，（*）acmR−=+，故A正确；acnR+=+，故B正确；（*）两式相加22mnaR+=−，可得22amnR=++，故C不正确；由（*）可得mRacnRac+=−

+=+，两式相乘可得()()22mRnRac++=−222acb−=，()()()()2bmRnRbmRnR=++=++，故D正确.故选ABD12．已知椭圆22:1169xyC+=上有一点P，1F､2

F分别为其左右焦点，12FPF=，12FPF△的面积为S，则下列说法正确的是（）A．若60=，则33S=；B．若3S=，则满足题意的点P有4个；C．若12FPF△是钝角三角形，则970,4S

；D．椭圆C的内接矩形的周长的最小值为12.【答案】ABC【解析】由椭圆22:1169xyC+=可得4,3ab==，则7c=，对于A，设12,PFmPFn==，12FPF=，则222242cosmnacmnmn+==+−，由此可得221cosbmn=+，所以12FPF

△的面积为222112sinsinsintan221cos1cos2bSmnbb====++所以2tan9tan30332Sb===，所以A正确，对于B，因为121127322SF

Fhh===，则3737hb==，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点P有4个，所以B正确，对于C，因为12FPF△是钝角三角形，所以12FPF△中有一个角大于90，当2190PFF=时，设12,PFmPFn==，则2222428mncn=+=+，因为28mna+==，所以解得9

n4=，所以12211997272244SFFPF===，所以12FPF△是钝角三角形时，有970,4S，所以C正确，对于D，令4cos3sinxy==，0,2，则椭圆内接矩形的周长为344(3sin4cos)16cos12sin20sin

cos55+=+=+20sin()=+（其中,42且满足43sin,cos55==），由0,2得,2++，所以椭圆内接矩形的周长的

范围为20sin,20sin22+，即(12,20，所以D错误，故选：ABC三、填空题13．已知F1，F2是椭圆2214xy+=的两个焦点，点P在椭圆上，2PF⊥x轴，则12PFF的面积为_________．【答案】32##132【解析】由题意不妨

设1(F﹣3，0)，2(F3，0)，∵P2F⊥x轴，∴P(3，±12)，∵△P12FF的面积＝12|P2F||12FF|＝121223＝32，故答案为：32．14．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的焦

点为1F，2F，若椭圆C上存在一点P，使得120PFPF=，且△12FPF的面积等于4.则实数b的值为___________.【答案】2【解析】由题设，12||||42PPcycy==，且(,)(,)0PPPPcxycxy−−−−−=，可得222PPxcy=−，又222222222

:1PPPPxycyyCabab−+=+=，则2||Pbyc=，综上，24b=，又0b，则2b=.故答案为：215．已知椭圆22:143xyE+=的一个顶点为(2,0)H，对于x轴上的点(,0)Pt，椭圆E上存在点M，使得MPMH⊥，则实数t的取值范围是____________.【答案】(2,

1)−−【解析】设()()000,22Mxyx−，则2200143xy+=,①()00,MPtxy=−−，()002,MHxy=−−，由MPMH⊥可得0MPMH=，即()()200020txxy−−+=,②由①②消去0y，整理得()200012234txxx

−=−+−,因为02x，所以01342tx=−,因为022x−，所以21t−−,所以实数t的取值范围为(2,1)−−.故答案为：(2,1)−−.16．已知椭圆C的焦点()122,0F−，2(22,0)F，长轴长为6，设直线2y

x=+交椭圆C于A，B两点，则线段AB的中点坐标为________.【答案】91,55−【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中22c=，3a=，从而1b=，∴其标准方程是：2219xy+=，联立方程组22122x

yyx+==+，消去y得，21036270xx++=.设11()Axy，、22()Bxy，，AB线段的中点为00()Mxy，，则12185xx+=−，120925xxx+==−，∴00125yx=+=，即线段AB中点坐标为91()55−

，.故答案为：91()55−，四、解答题17．已知△ABC底边两端点(0,6)B、(0,6)C−，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49−，求点A的轨迹方程．【解析】设(,)Axy且0x，则22663649ABACyyykkxxx−+−===−，整理得：A的轨迹

方程()22108136xyx+=.18．已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.（1）求弦AB所在直线的方程；（2）求圆C的方程.【解析

】（1）由22222102402280xyxyxyxy+−+−=+++−=，得240xy−+=故弦AB所在直线的方程为240xy−+=（2）由222280240xyxyxy+++−=−+=，解得40xy=−=

或02xy==故(4,0),(0,2)AB−设圆心(,)Caa−，由2222(4)(2)aaaa++=++，解得3a=−，即(3,3)C−222(2)9110raa=++=+=，故圆C的方程为22(3)(3)10x

y++−=19．已知直线l：20mxym−+−=，⊙C的方程为22240xyxy+−−=．(1)求证：l与⊙C相交；(2)若l与⊙C的交点为A、B两点，求OAB的面积最大值．（O为坐标原点）【解析】(1)由直线l：20mxym−+−=，得()120mxy−

+−=，由1020xy−=−=可得12xy==，所以直线l过定点()1,2P，由圆C：22240xyxy+−−=可得()()22125xy−+−=，可得圆心坐标()1,2C，从而可得直线l过圆心，则l与⊙C相交；(2)因为

直线l过圆C的圆心，所以25AB=，因为O点在圆C上，则C到直线AB距离的最大值为5OC=，所以OAB的面积最大值为525125=．20．已知点P是椭圆22221(0)xyabab+=上一动点，12(3,0),(3,0)FF−分别为椭圆的左焦点和右焦点，12FPF的最大值为90，圆22

:2Oxy+=．（1）求椭圆的标准方程；（2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O．【解析】(1)当点P在短轴端点处时，12FPF最大，而12FPF的最大值为90，则有

3bc==，2226abc=+=，所以所求椭圆的标准方程为22163xy+=；(2)过点Q的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为2x=−或2x=，由椭圆及圆的对称性，不妨令切线为2x=，由(1)可得(2,2),(2,2)MN−，(2,2),(2,2)OMON==−，于

是得0OMON=，即OMON⊥，过点Q的圆O的切线斜率存在时，设切线方程为ykxm=+，则有2||21mk=+，即2222mk=+，由2226ykxmxy=++=消去y得：222(21)4260kx

kmxm+++−=，显然圆O在椭圆C内，则圆O的每一条切线都与椭圆C交于两点，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，2121222426,2121kmmxxxxkk−+=−=++，而11(,)OMxy=，22(,)ONxy=，于是得22121212121212()()(1)()OM

ONxxyyxxkxmkxmkxxkmxxm=+=+++=++++()()()()222222222222221264212641212121kmkmmkmkmkmkkk+−−++−=+−+=+++2222223663(22)6602121mkkkkk−−+−−===

++，则有OMON⊥，综上，过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，都有OMON⊥，所以，以MN为直径的圆过点O.21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，左、右焦点分别为12,FF，O为坐标原点，点P在椭圆C上，

且有14PF=，12=60FPF.（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点()2,0的直线l与椭圆C交于,MN两点，点()8,0Q，求证：MQONQO=.【解析】（1）在△12FPF中，2124,2cPFaa=−=，(

)()2241624424caa=+−−−，解得4,2ac==，所以212b=，则椭圆C的方程为：2211612xy+=.（2）当直线斜率为0时，易知MQONQO=成立，当直线斜率不为0时，设直线l方程为2xty=+，()()1122,,,MxyNxy22211612xty

xy=++=，消去x有()223412360tyty++−=，1212221236,3434tyyyytt−−+==++()()()()()221212121212127272263+43+40886666MQNQtttyyyyyyttk

kxxtytytyty−+−++=+===−−−−−−，所以MQONQO=，综上可知不论直线l的斜率是否为0，总有MQONQO=.22．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，点1F､2F分别是其左､右焦点，点A､B分别为其左､右顶点.若两焦点与短轴

两端点围成四边形面积为23，且圆2234xy+=为该四边形的内切圆.（1）求椭圆C的方程；（2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过1F的直线l交椭圆于PQ，两点，求BPQ面积的最大值.【解析】（1）设半焦距为c，则1222

232Sbcbc===即3bc=，又直线1xycb+=与圆2234xy+=相切，∴2232bcbcabc==+，故32bca=，∴2a=，故2234bcbc=+=，故3b=，1c=或1b=，,3c=，椭圆方程为22143xy+=或2214xy+=.

（2）较圆的椭圆为22143xy+=根据题意，直线l斜率不为0，设直线:1PQxty=−，联立方程221143xtyxy=−+=得，22(34)690tyty+−−=212122269144(1)0,,3434ttyyyytt−=++==++2212

121221331213||()422234BPQtSyyyyyyt+=−=+−=+令22211,1uttu=+=−，则22211181818134313BPQtuStuuu+===+++易知13[1,)yuu=++在单调递增，所以当1u=时，BPQS取最大值92，此时

0=t.