【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册单元复习试题 单元复习11 解三角形 提高题Word版含解析.docx，共(38)页，2.250 MB，由小赞的店铺上传

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单元复习11解三角形一、单选题1．在ABC中，B=30°，BC=2，AB=3，则边AC的长等于（）A．31−B．1C．3D．2【答案】B【分析】利用余弦定理即得．【解析】由余弦定理，得22232cos3423212ACABBCAB

BCB=+−=+−=，解得AC=1.故选：B.2．已知ABC的三个内角A、B、C满足578sinsinsinABC==，则B=（）A．30B．45C．60D．90【答案】C【分析】利用正弦定理结合余弦定理求出cosB的值，结合角B的取值范围可求得结果.【解析】因为57

8sinsinsinABC==，由正弦定理可得578abc==，设()50att=，则7bt=，8ct=，由余弦定理可得2221cos22acbBac+−==，0180B，因此，60B=.故选：C.3．在

ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscAb，则ABC必为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【答案】A【分析】由正弦定理得到sincossinCAB，得出sincos

0AB，进而sin0,0cosAB，即可求解.【解析】因为coscAb，由正弦定理可得sincossinCAB，即sincossinCAB，又因为sinsin()sincoscossinCABABAB

=+=+，所以sincoscosscosiinsnABABAB+，即sincos0AB，因为,(0,)AB，所以sin0,0cosAB，所以(,)2B，所以ABC为钝角三角形.故选：A.4．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在

东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为103km；基站A，B在江的北岸，测得75ACB=，120ACD=，30ADC=，45ADB=，则A，B两个基站的距离为（）A．106kmB．30(31)km−C．3

0(21)km−D．105km【答案】D【分析】根据题意可得103ACCD==，60CBD=，利用正弦定理求出BC，进而结合余弦定理即可求出AB.【解析】在ACD中，307545120ADCACD==+=，，所以30=CAD

，有ADCCAD=，所以103ACCD==，在BDC中，180(7545)60CBD=−+=，由正弦定理，得103sin755256sin60BC==+，在ABC中，由余弦定理，得2222cosABACBCACBCBCA=

+−22(103)(5256)2103(5256)cos75500=++−+=，所以105AB=，即两个基站A、B之间的距离为105km.故选：D5．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3coscAaC=，23c=

，8ab=，则ab+的值是（）A．6B．8C．4D．2【答案】A【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到tan3C=，再由余弦定理得()2221cos22ababcCab+−−==，代入已知条件可得到最终结果.【解析】因为sin3coscAaC=，根据正弦定理得到：si

nsin3sincosCAAC=sin0A故得到tan3C=()0,3CC=再由余弦定理得到：()2222221cos222ababcabcCabab+−−+−===代入23c=，8ab=，得到6ab+=.故选：A.6．已知锐角ABC的内角A，B，

C所对的边分别为a，b，c，tantan33tantanACAC++=，且1c=，则ABC面积的取值范围为（）A．()0,2B．131,2C．1,22D．33,82

【答案】D【分析】由已知条件结合两角和的正切公式及诱导公式可求出角B，再利用正切定理可得sin31sin2tan2cAaCC==+，结合角C的范围可得122a，从而可求出ABC面积的取值范围【解析】因为()tantan3tant

an3tan1tantan1tantanACACACACAC+−+==−−()3tantan131tantanACAC−==−−，所以()tantan3BAC=−+=.因为0B，所以3B=.由正弦定理得22

2sinsincoscossinsin31333sinsinsin2tan2CCCcAaCCCC−−====+.由于ABC为锐角三角形，故2032C−，02C.所以62C.所以122a.所以

1333sin,2482SacBa==.故选：D.二、多选题7．三角形ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，下列条件能判断ABC是钝角三角形的有（）A．6,5,4abc===B．2ABBC

a=C．sinsinsinabCcbAB−=++D．2222sinsin2coscosbCcBbcBC+=【答案】BC【分析】利用正余弦定理逐一判断即可【解析】A：由abc可知ABC，且2224136bca+==，所以A是锐角，故A

不能判断；B：由cos2ABBCacBa=−=,得cos0B，则B为钝角，故B能判断；C：由正弦定理abccbab−=++，得222bcabc+−=−，则1cos2A=−，23A=，故C能判断；D：由正

弦定理，条件等价于2222sinsinsinsinBCCB+=2sinsincoscosBCBC，则sinsincoscosBCBC=，即cos()0BC+=，故2BC+=，则2A=，故D不能判断.故选：BC8．不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（）A．30,25

,150abA===，有一解B．7,14,30abA===，有两解C．6,9,45abA===，有两解D．3,6,60abA===，无解【答案】AD【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求sinsinbABa=，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.

【解析】A：由正弦定理sin5sin12bABa==，又06B，故B只有一个解，正确；B：由正弦定理sinsin1bABa==，又506B，显然2B=只有一个解，错误；C：由正弦定理sin32sin14bABa==，显然B

无解，错误；D：由正弦定理sin6sin12bABa==，显然B无解，正确；故选：AD三、填空题9．已知在ABC中，sin:sin:sin4:3:2ABC=，则cosB等于________.【答案】1116【分析】由正弦定理可得::4:3:2abc=，令4,3,2ambmcm

===，然后利用余弦定理可求出cosB【解析】因为在ABC中，sin:sin:sin4:3:2ABC=，所以正弦定理可得::4:3:2abc=，则令4,3,2ambmcm===（0m），由余弦定理得222222221

6491111cos22421616acbmmmmBacmmm+−+−====，故答案为：111610．在ABC中，已知22coscos1BA−=，则ABBC的取值范围为___________.【答案】30,2【分

析】利用二倍角公式分析得出2AB=，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出12cos2cosABBBCB=−，令cosBt=，则1,12t，()122fttt=−，利用函数()ft的单调性可求得ABBC的取值范围.

【解析】因为22coscos1BA−=，所以2cos2cos1cos2ABB=−=，因为A、()0,B，故()20,2B，所以2AB=或22AB+=.因为BAB+，故22AB+，故2AB=.则由正弦定理得()sinsinsin

3sin2coscos2sinsinsinsin22sincosABABCBBBBBAABBBBC++====()2222sincos2cos1sin4cos112cos2sincos2cos2cosBBBBBBBBBB+−

−==−，因为()30,CB=−，所以0,3B，所以1cos,12B，设cosBt=，则1,12t，则122ABtBCt=−，设()122fttt=−，1,12t，则()ft在1,12

上单调递增，则()()112fftf，即302ABBC.所以ABBC的取值范围为30,2.故答案为：30,2.四、解答题11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin3cos0bCcB+=.(1)求角B的大小；

(2)若7b=，8ac+=，求△ABC的面积.【答案】(1)23(2)1534【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.【解析】（1）由正弦定理可得sinsin3sincos0BCCB+=，又()0,C，所以sin0C，因此

tan3B=−，又()0,B，所以23B=；（2）由余弦定理，得()()2222222cos22cos3bacacBacacacacac=+−=+−−=+−，所以()22644915acacb=+−=−=，所以△ABC的面积113153sin152224SacB===.

12．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsinsinABbcCba+−=−.(1)求角A；(2)若6a=，ABC的面积为3，求ABC的周长.【答案】(1)π3A=(2)632+【分析】（1）由正弦定理得到222cbabc+−=，再使用余弦定理求出A；（2）由面

积公式求出4bc=，再使用余弦定理求出32bc+=，进而求出周长.(1)因为sinsinsinABbcCba+−=−，所以abbccba+−=−，化简得222cbabc+−=，所以2221cos222bcabcAbcbc+−===.因为()0,πA，所以π

3A=.(2)因为ABC的面积为3，所以13sin324bcAbc==，得4bc=.因为π3A=，6a=，所以22π2cos63bcbc+−=，整理得()23618bcbc+=+=，解得32bc+=.故ABC的周长为632+.13．在①3

cossin2ABacA+=，②33cossinacBbC=+，③222coscossinsinsinACBAB−=−，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，3c=，____________，求2+ab的最大值.注：如果

选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】27【分析】若选①，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；若选②，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；若选③，由已知条件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大

值.【解析】若选①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知条件得3sinsinsinsin2CACA=，由sin0A，得3sin2sincos222CCC=，由sin02C，得3cos22C=，∵()0,C，∴26C

=，3C=，由正弦定理，有2sinsinsinabcABC===，∴2sinaA=，2sinbB=，∴22sin4sinabAB+=+132sin4sin2sin4sincos322AAAAA=++=++()4sin23cos27sinAAA=

+=+，(其中3sin7=，2cos7=)∵20,3A，∴存在A，使得2A+=，此时2+ab取得最大值为27.若选②：3sin3sincossinsinACBBC=+，∵A＋B＋C＝π，∴()3sin3sincossinsinBCCBBC+=+，()3sincosco

ssin3sincossinsinBCBCCBBC+=+，化简得3sincossinsinBCBC=，由sin0B，得tan3C=，∵()0,C，∴3C=.下同①；若选③：()2221sin1sinsinsinsin

ACBAB−−−=−，222sinsinsinsinsinCABAB−=−，由正弦定理得222cabab−=−，∴由余弦定理得2221cos22abcCab+−==，∵()0,C，∴3C=.下同①.14．（1）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2

3sin0aCCbc+−−=，且2a=，则ABC内切圆半径的最大值为_________（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有ABC，，三个旅游景点，在岸边BC两地的中点处设有一个垃圾回收站点O（如图），AB，两地相距10k

m，从回收站O观望A地和B地所成的视角为60，且224OAOBOAOB+，设ACx=km；（i）用x分别表示22OAOB+和OAOB，并求出x的取值范围；（ii）若B地到直线AC的距离为BD，求BD的最大值．【答案】（1）33；（2）（i）2221002xOAOB++=，21004xOA

OB−=，10103x；（2）BD的最大值为10．【分析】（1）由正弦定理得sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=，再由恒等变换求得1sin()62A−=，根据角的范围得3A=，由余弦定理得2()43bcbc+−=，根据基本不等式得04bc+，令ABC内切

圆的半径为R，由三角形的面积公式求得R3(2)6bc=+−，由此求得ABC内切圆半径的最大值；（2）（i）在OAC中，由余弦定理得2222cos120OAOBOAOBx+−=，①，在OAB中，由余弦定理得，222cos60100OAOBOAOB+−=，

②，两式进行加减运算可求得22OAOB+，OAOB，由已知不等式可求得x的范围．（ii）由2ABCOABSS=和12ABCACBDS=，设()BDfx=，得()()231002xfxx−=，(10103x，，根据函数()fx的单调性可求得BD的最大值．【解析】解：（1）因为c

os23sin0aCCbc+−−=，且2a=，所以cos3sin0aCaCbc+−−=，由正弦定理得sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=，又sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=，所以3sinsinc

ossinsinCAACC−=，由于sin0C，得3sincos1AA−=，即1sin()62A−=，又(0,)A，可得5()666A−−，，得66A−=，即3A=，由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==，可得2()43bcbc+−=，由2()2bcbc+

，得()223()44bcbc++−，所以有04bc+，令ABC内切圆的半径为R，故11()sin22ABCSabcRbcA=++=△，，得3(2)2bcRbc++=，代入2()43bcbc+−=，得()21433

32222bcbcRbcbc+−==++++()2(2)23()436262bcbcbcbcbc+++−+−==++++3(2)6bc=+−，故33(42)63R−=，故ABC内切圆半径的最大值为33；故答案为：33.（2）（i）在OAC中，120AOC=，ACx=，由余弦定

理得，2222cos120OAOCOAOCx+−=，又OCBO=，所以2222cos120OAOBOAOBx+−=，①，在OAB中，10AB=，60AOB=，由余弦定理得，222cos60100OAOBOAOB+−=，②，①+②得2221002xOAOB+

+=，即2221002xOAOB++=，①-②得24cos60100OAOBx=−，所以21004xOAOB−=又224OAOBOAOB+，所以22100100424xx+−，即2300x，又21000

2xOAOB−=，即2100x，所以10103x．（ii）OABOACSS=，故()23100122sin6024ABCOABxSSOAOB−===，又12ABCACBDS=，设()BDfx=，所以()()231002xfxx−=，(10103x，，又(

)31002fxxx=−，yx=，100yx=−在(10103，上都是增函数；所以，()fx在(10103，上是增函数，所以()fx的最大值为()10310f=，即BD的最大值为10

．【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把

这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.一、单选题1．在ABC中，D是边BC上的一点，4

0C=，60CAD=，BDAC=，则DBA=（）A．20B．25C．30D．35【答案】C【分析】根据题意，可得出80ADC=，利用正弦定理可知:sin40:sin80ADAC=，设()090DBA=

，在ABD△中由正弦定理得：sinsin(80)ADBD=−，进而利用诱导公式、两角和与差正弦和余弦公式、二倍角正弦公式进行化简，求出的值，从而得出DBA.【解析】解：如图所示，在ADC△中，40C=，60CAD=

，所以80ADC=，由正弦定理知:sin40:sin80ADAC=，设sin40ADk=，sin80ACk=，0k，所以sin80BDACk==，设()090DBA=，在ABD△中，由正弦定理得：sinsin(80)ADBD=−，则sin40sin8

0sinsin(80)=−，即()sin402sin40cos40sinsin9010=−+，所以12cos40sincos(10)=+，整理得()2cos3010sincos(10)+=+，即3cos10s

insin10sincos10cossin10sin−=−，即3sincos=，所以sin3tancos3==，又090，则30=，所以30DBA=．故选：C.2．在AB

C中，,,abc是角,,ABC的对边，已知,73Aa==，则以下判断错误的是（）A．ABC的外接圆面积是493；B．coscos7bCcB+=；C．bc+可能等于14；D．作A关于BC的对称点A，则AA的最大值是732.【答案】D【分析】对

A：利用正弦定理可求得ABC的外接圆半径，即可求解ABC的外接圆面积；对B：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解．【解析】解：对A：3A=，7a=，由正弦定理可得72sin32aR

A==，即ABC的外接圆半径733R=，ABC的外接圆面积是22734933R==，故A选项正确；对B：由余弦定理可得222222coscos722abccabbCcBbcaabac+−+−+=+==，故B选项正确；对

C：由正弦定理可得1432(sinsin)sinsin14cos333bcRBC+=+=−++=，33−，(7,14bc+，故C选项正确；对D：设A关于BC的对称点我A，A到BC的距离为h，11

sin223ahbc=，即314hbc=，又由余弦定理可得222222cos23abcbcbcbcbcbcbc=+−=+−−=…，当且仅当bc=时等号成立，所以23371414hbc=，即732h„，所以||AA的最大值是73，故D选项错误．故选：D．3．瀑布

是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20

m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为π3．已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3，则该瀑布的高度约为（）．A．60mB．90mC．108mD．120m【答案】A【分析】设瀑布顶端为P，底端为H，瀑布高为h，作出图形，根据条件可得23AHh=，33

BHh=，由余弦定理可得答案.【解析】解：如图，设瀑布顶端为P，底端为H，瀑布高为h，该同学第一次测量时所处的位置为A，第二次测量时的位置为B，由题意可知，3tan2PAH=，20mAB=，且π3PBHBAH==，所以23

AHh=，33BHh=，在ABH中，由余弦定理可知，2222cosBHAHABABAHBAH=+−，即221421400403932hhh=+−，解得60mh=．故选：A．4．设△ABC的三边长为BCa=，=CAb，ABc=，若tan2Aabc=

+，tan2Bbac=+，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，法一：由内切圆的性质有tan2Aabc=+、tan2Bba

c=+，根据边角关系可得ab=或222+=abc，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得AB=或π2AB+=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【解析】设()12Pabc=++，△ABC的内切圆半径为r，如图所示，法一：∴tan2Arapabc=

=−+①；tan2Brbpbac==−+②.①÷②，得：pbaacpabcb−+=−+，即()()()()22pbaacpabbc−+=−+．于是()()()()bbccabaacbca++−=++

−，232232abbbcabaac−+=−+，()()2220ababc−+−=，从而得ab=或222+=abc，∴AB=或90C=．故△ABC为等腰三角形或直角三角形，（1）当ab=时，内心I在等腰三角形CAB的底边上的高CD上，2211224ABCcSABCDac==−△，

从而得22242ccaSrabcac−==+++．又()1122pabcac−=+−=，代入①式，得()224122ccaaabcacacc−==+++，即2242acaacac−=++，上式两边同时平方，得：()2222acaacac−=++，化简2220ca−=，即

2ca=．即△ABC直角三角形，∴△ABC为等腰直角三角形．（2）当222+=abc时，易得()12rabc=+−．代入②式，得()()1212abcbacacb+−=++−，此式恒成立，综上，△ABC为直角三角形．法二：利用sintan21cosAAA=+，sintan21cosBB

B=+及正弦定理和题设条件，得sinsin1cossinsinAAABC=++①，sinsin1cossinsinBBBAC=++②.∴1cossinsinABC+=+③；1cossinsinBAC+=+④.由③和④得：1cossi

n1cossinABBA+−=+−，即sincossincosAABB+=+，ππsinsin44AB+=+，因为,AB为三角形内角，∴ππ44AB+=+或πππ44AB+=−−，即AB=或π2AB+=．（1）若

AB=，代入③得：1cossinsinABC+=+⑤又ππ2CABA=−−=−，将其代入⑤，得：1cossinsin2AAA+=+．变形得()()2sincossincos0AAAA−−−=，即()()sincossincos10AAAA−−−=⑥，由AB=知A为锐角，从而知sincos10AA

−−．∴由⑥，得：sincos0AA−=，即π4A=，从而π4B=，π2C=．因此，△ABC为等腰直角三角形．（2）若π2AB+=，即π2C=，此时③④恒成立，综上，△ABC为直角三角形．故选：B5．已知函数()21lne1xfxx−=++，a，b，c分

别为ABC的内角A，B，C所对的边，且222446,abcab+−=则下列不等式一定成立的是（）A．()()sincosfAfBB．f(cosA)≤f(cosB)C．f(sinA)≥f(sinB)D．f(sinA)≥f(cosB)【答案】D【分析】先利用余弦

定理和基本不等式求得2C，从而得到022BA−.由sinyx=和cosyx=在0,2上的单调性得到sincosBA,cossinBA，而sinsinAB、大小不确定，cos

cosAB、大小不确定.利用复合函数的单调性法则判断出()21lne1xfxx−=++在()0,+上单调递减.对四个选项一一验证：对于A、D：因为cossinBA，所以f(sinA)≥f(cosB).即可判断；对于B、C：因为sinsin

AB、大小不确定，coscosAB、大小不确定.【解析】因为a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，且222446,abcab+−=由余弦定理得：223362cos,abababC+=−利用基

本不等式可得：2262cos3332ababCabab−=+，所以2cos0abC−，所以cos0C.因为()0,C，所以2C，所以02AB+,所以022BA−.因为sinyx=在0,2上

单调递增，cosyx=在0,2上单调递减，所以sinsincos2BAA−=,coscossin2BAA−=,即sincosBA,cossinBA.由于A、B大小不确定，所以sinsinAB、大小

不确定，coscosAB、大小不确定.当x>0时，()21lne1xfxx−=++.因为21yx=+在()0,+上单调递增，所以211yx=+在()0,+上单调递减，所以21ln1yx=+在()0,+上单调递减；因为exy=在()0,+上单调递增，所以exy−=

在()0,+上单调递减，所以()21lne1xfxx−=++在()0,+上单调递减.对于A、D：因为cossinBA，所以f(sinA)≥f(cosB).故A错误，D正确.对于B、C：因为sinsinAB、大小不确定

，coscosAB、大小不确定，所以B、C不能确定.故选：D【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．6．在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且()222Sabc=−

−，则222bcbc+的取值范围为（）A．4359,1515B．4322,15C．5922,15D．)22,+【答案】C【分析】根据余弦定理和ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出sinsinbBcC=的

取值范围，即可求出222bcbc+的取值范围．【解析】解：在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，且ABC的面积1sin2SbcA=，由222()Sabc=−−，得sin22cosb

cAbcbcA=−，化简得sin2cos2AA+=，又(0,)2A，22sincos1AA+=，联立得25sin4sin0AA−=，解得4sin5A=或sin0A=（舍去），所以sinsin()sinc

oscossin43sinsinsin5tan5bBACACACcCCCC++====+，因为ABC为锐角三角形，所以02C，2BAC=−−，所以22AC−，所以13tantan2tan4CAA−==，所以140,tan3C

，所以35,53bc，设btc=，其中35,53t，所以221212222bcbcttbccbtt+=+=+=+，由对勾函数单调性知12ytt=+在32,52上单调递减，在2,253上单调递增，当22

t=时，22y=；当35t=时，4315y=；当53t=时，5915y=；所以5922,15y，即222bcbc+的取值范围是5922,15．故选：C.【点睛】关键点点睛：由2222bcbcbccb+=+，所以本题的解题关键点是根据已

知及sinsin()sincoscossin43sinsinsin5tan5bBACACACcCCCC++====+求出bc的取值范围.二、多选题7．在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2coscbbA−=，则下列结论正确的有（）A．2AB=B．B的取值范

围为0,4C．ab的取值范围为()2,2D．112sintantanABA−+的取值范围为53,33【答案】AD【分析】先利用正弦定理从条件2coscbbA−=中求出2AB=，得到选项A正确.选项B利用ABC为锐角三角形

求解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角B的范围求解；选项D先对式子化简，再换元利用对勾函数的性质求范围.【解析】在ABC中，由正弦定理可将式子2coscbbA−=化为sinsin2sincosCBBA−=，把()sinsinsincoscoss

inCABABAB=+=+代入整理得，()sinsinABB−=，解得ABB−=或ABB−+=，即2AB=或A=(舍去).所以2AB=.选项A正确.选项B：因为ABC为锐角三角形，2AB=，所以3CB

=−.由0,202,2032BBB−解得,64B，故选项B错误.选项C：sinsin22cossinsinaABBbBB===，因为,64B，所以23cos,22B，()2c

os2,3B，即ab的取值范围()2,3.故选项C错误.选项D：112sintantanABA−+()sin2sinsinsinABAAB−=+12sinsinAA=+.因为,64B，所以2,3

2AB=，3sin,12A.令sintA=，3,12t，则()12fttt=+.由对勾函数的性质知，函数()12fttt=+在3,12上

单调递增.又35323f=，()13f=，所以()53,33ft.即112sintantanABA−+的取值范围为53,33.故选项D正确.故选：AD.8．在△ABC中，内角,,ABC所对的边分别为

a、b、c，则下列说法正确的是（）A．sinsinsinsinbabcBABC++=++B．若AB，则sin2sin2ABC．coscosabCcB=+D．若()0ABACBCABAC+=，且12ABACABAC=uuuruuuruuuruuur，则△ABC为等边三角形【答案】

ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令,36AB==可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sincossincossinBCCBA+=，由正弦定理即可证；D若,ABACAEAFABAC==，AEAFAG+=，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数

量积的定义易知△ABC的形状.【解析】A：由sinsinsinabcABC==，根据等比的性质有sinsinsinsinbabcBABC++=++，正确；B：当,36AB==时，有sin2sin2AB=，错误；C：sincossincossin

()BCCBBC+=+，而BCA+=−，即sincossincossinBCCBA+=，由正弦定理易得coscosabCcB=+，正确；D：如下图，,ABACAEAFABAC==是单位向量，则ABACABAC+AEAFAG+==，即0AGBC=、12AE

AF=uuuruuur，则AGBC⊥且AG平分BAC，,AEAF的夹角为3，易知△ABC为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义

判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题9．如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA上，且23PQ=，2QR=，2PQR=，则AB长度的最大值为_________【答案

】4213【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【解析】正三角形ABC中，,60ABBCBC===，设QRC=，则根据题意有：180120RQ

CCQRC=−−=−，9030BQPRQC=−=−BPQ中，180150BPQBBQP=−−=−BQP中，根据正弦定理得：()23?sin150·sinsinsinsinsin60BQPQ

PQBPQBQBPQBB−===RQC中，根据正弦定理得：·sin2sinsinsinsinsin60CQRQRQQRCCQQRCCC===()23?sin1502sinsin6

0sin60ABBCBQQC−==+=+化简计算得：()421sin3AB=+（3tan5=）当()sin1+=时，AB有最大值4213.故答案为：4213.10．拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边

，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在ABC中，120A=，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O、2O、3O，若123OOO的面积为23，则ABC的周长的取值范围为__________．【答案】

[2632,46)+【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示图形，把几何问题转化为代数问题解答，即可求出ABC周长的取值范围．【解析】建立平面直角坐标系，如图所示：设ABx=，ACy=，120BAC=，所以以AC、AB为边作等边三角形，其中一边在BA、CA的延长线上；由ACy=，32

CMy=，2yAM=，11336OMCMy==；所以，1(2yO−，3)6y；同理，2(2xO，3)6x−；2222221233()11||()()()()22664123xyxyOOxyxyxy+=+++=++=+；所以等边△123OOO的

面积为123222121313sin60||()()2324312OOOSOOxyxy==+=+=，解得2()24xy+=，所以26xy+=；在ABC中，由120BAC=，所以222222cos120()24BCxyxyxyxyxyxyxy=+−=

++=+−=−，所以ABC的周长为242624lxyxyxy=++−=+−，又222()224xyxyxy+=++=，且222xyxy+…，所以424xy，解得6xy，当且仅当6xy==时取“=”；又0x，0y，所以06xy，2624[2632lxy

=+−+，46)，即ABC的周长最小值为[2632,46)+．故答案为：[2632,46)+．【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，面积、边长的计算转化为坐标运算是关键，利用均值不等式即可求出最小值，属于难题.四、解答题11．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，

且cos3sinaCaCbc+=+.(1)求A的值；(2)若1ac+=，2b，当ABC的周长最小时，求b的值；(3)若3BDDA=，11cos14B=，且ABC的面积为203，求CD的长度.【答案】(1)π3A=(2)22b=+(3)38【分析】（1）

由正弦定理化简得到3sincos1AA=+，利用辅助角公式得到π1sin62A−=，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时b的值；（3）由面积公式得到80bc=，结合正弦定理得到72,52,82abc===，求出2

24cAD==，由余弦定理求出答案.【解析】（1）由cos3sinaCaCbc+=+及正弦定理，得sincos3sinsinsinsinACACBC+=+，因为()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+

，且sin0C，所以3sincos1AA=+，即π1sin62A−=，因为0πA，所以π3A=；（2）由余弦定理，得222abcbc=+−，将1ca=+代入，整理，得212bbab−+=−，因为2b，所以ABC的周长为()2222613296

2922bblabcbbbb−+=++=++=−+++−−，当且仅当()6322bb−=−，即22b=+时取等号，所以当ABC的周长最小时，22b=+；（3）由ABC的面积为203，得1sin2032b

cA=，所以80bc=①，又11cos14B=，所以53sin14B=，()43sinsin7CAB=+=，由正弦定理，得::sin:sin:sin7:5:8abcABC==，②由①②可得72,52,82abc===，因为3BDD

A=，所以224cAD==，在ACD中，由余弦定理，得()()222522225222cos38π3CD=+−=，所以38CD=.12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(),mcb=与()cos,cosnCB=平行，(1)判断△ABC形状(2)设BDDC=，()0,1

，在下列三个条件中任选一个，求的值.条件①：若6BAD=，4CAD=；条件②：若sin1sin2BADCAD=；条件③：若6BAD=，3=CAD.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)等腰三角形；(2)选条件①②22=，选条件③33=.【分析】

（1）根据向量平行的坐标表示得出coscos0cBbC−=，再由正弦定理及两角差的正弦公式化简即可求出BC=，判断三角形形状；（2）根据正弦定理及（1）的结论可得sinsinBADBDCADDC=，根据条件①②③分别代入即可得出结果.(1)

因为(),mcb=与()cos,cosnCB=平行，所以coscos0cBbC−=,即sincossincossin()0CBBCBC−=−=，由,(0,)BC知BC−−，所以0BC−=，即BC=,故△ABC为等腰三角形.(2)选条件①，由正弦定理知，sin30sinBDABADB=

，sin45sinDCACADC=,因为ABAC=,sinsinADCADB=,所以sin45sin30DCBD=，即sin302sin452BDDC==，又BDDC=，所以22=.若选条件②：sin1sin2BADCAD=，由正弦定理可

得sinsinBDABBADADB=，sinsinDCACCADADC=,因为ABAC=,sinsinADCADB=,所以sinsinDCBDCADBAD=，即sin2sin2BADBDCADDC==，又BDDC

=，所以22=.选条件③：若6BAD=，3=CAD，则由正弦定理可得sinsinBDABBADADB=，sinsinDCACCADADC=,因为ABAC=,sinsinADCADB=,所以sinsinDCBDCADBAD=，即sinsin36sin3sin3π

BADBDπCADDC===，又BDDC=，所以33=.13．如图，直角ABC中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）.（1）若AM是角A的平分线，3AM=，且2CMMB=，求三角形ABC的面积；（

2）已知3AB=，AC33=，6MAN=，设BAM=.①若21sin7=，求MN的长；②求AMN面积的最小值.【答案】（1）818；（2）74MN=，()()min27234AMNS−=【分析】（1）过点M作MEAB⊥交AB于E，作MFAC⊥交AC于F，利用

三角形相似求出线段的长，从而求出三角形的面积；（2）依题意，表示出23AMB=−，2ANC=+，3NAC=−，再由正弦定理表示出AN，AM，CN，MB，①由同角三角函数的基本关系求出tan，即可求出CN，MB从而得解；②由面积公式即三角恒等变换求出面积最小值.【

解析】解：（1）如图，过点M作MEAB⊥交AB于E，作MFAC⊥交AC于F，则MEBCFM∽2CFMFCMMEBEMB===因为90CAB=，AM平分CAB且3AM=322MEMF==32CF=，324BE=323292244ABAE

BE=+=+=32923222ACAFCF=+=+=1192928122248ABCSACAB===（2）在RtABC中3AB=，AC33=，所以3ABC=，6ACB=，6BC=，又6MAN=，设BAM=，23AMB=−，

2ANC=+，3NAC=−，在ANC和AMB中由正弦定理可得sinsinsinANACCNCANCNAC==，sinsinsinAMABBMBAMBMAB==即33332cos2sin2AN==+，3322sin3AM

=−，33sin33sincoscossin3133333tancos22sin2CN−−===−+，3sin3sin3tan22231sincoscossinsintan33322MB===

−−+，①当21sin7=时，则227cos1sin7=−=，sin3tancos2==3139332224CN=−=，3322313222MB==+976244

MNBCNCBM=−−=−−=②111333327sin222442cos2sin16cossin33AMNSANAMMANANAM====−−令222cossincossincoscossin333t

=−=−231cossincos22=+3cos211sin2224+=+313cos2sin2444=++13sin2234=++2716AMNSt=因为0,3

，(sin20,13+，313,424t+所以当1324t=+时，()()min2723274131624AMNS−==+【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换的应用，属于难题.一

、单选题1．（2023·四川成都·成都七中校考二模）ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且20tan,sin43aBbA==，则a的值为（）A．6B．5C．4D．3【答案】B【分析】根据正弦定理可得sin4aB=，再结合同角商数关系，平方关系，

最后求得a.【解析】由,sin4sinsinabbAAB==得sin4aB=，又20tan3aB=，所以3cos5B=，从而4sin5B=，所以5a=.故选：B2．（2023·陕西·西安市西光中学校联

考一模）在ABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，且coscossinsinBCAbcC+=，则b的值为（）A．1B．3C．32D．2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【解析】解：因为coscossinsinBCAbcC+=，所以，由正弦定理与余

弦定理得22222222acbabcaabcabcc+−+−+=，化简得1b=.故选：A3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处

观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是（）A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里【答案】A【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.【解析】依题意，如图，在ABC中，5020304065105BACAB

C=−==+=，，则3045402060ACBAB===，，由正弦定理得sinsinBCABBACACB=，即20sin30sin45BC=，因此120210222BC==（海里），所以BC、两点间的距离是102海里．故选：A4．（2022·浙江杭州·模拟

预测）在ABC中96cos,cos,151515aBbAc===，则()sinsinBAC−的值为（）A．15B．15−C．1515D．1515−【答案】B【解析】先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角

为边，代入后即可得答案.【解答】解：因为9cos15aB=，6cos15bA=，15c=，则()sinsincoscossincoscossinsinBABABAbAaBCCc−−−==693111515.5151515−==−=−故选：B.5．（2023·河南·洛阳市第三中学校

联考一模）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知,43Aa==，若点D为BC边的中点，则AD的最大值为（）A．23B．3C．6D．26【答案】A【分析】方法一：作出图形，设,ADxADB==，则

ADC=−.利用余弦定理和基本不等式即可求解.方法二：根据平面向量的运算可得22||||16ACABACAB+=+，2224||||||||||ADABACABAC=++，两式联立，结合基本不等式即可求解.【解析】方法一：如图，设,ADxA

DB==，则ADC=−.在ABD△中，由余弦定理得2244coscxx=+−①.在ADC△中，由余弦定理得()22244cos44cosbxxxx=+−−=++②.由①+②可得：22282bcx+=+.在ABC中，由余弦定理得()222222222221162

cos4322bcbcbcbcbcbcbcx+=+−=+−+−=+=+，当且仅当4bc==时等号成立，解得23x，即AD的最大值为23.方法二：由题可得，2222()||BCACABACABACAB=−=+−，所以22||||16ACABACAB

+=+①.又因为1()2ADABAC=+，所以2224||||||||||ADABACABAC=++②，由①②得24||162ADABAC=+，由①得22||162ACABACABACAB+=+，则16ACAB，所以24||1621648AD+=，当且仅

当||||4ABAC==时，等号成立.所以23AD.故选：A.6．（2020·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知正实数,mn，设amn=+，2214bmmnn=++.若以,ab为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c，且c满足2ckmn

=，则实数k的取值范围为（）A．()1,6B．()2,36C．()4,20D．()4,36【答案】D【分析】先根据基本不等式得2amnmn=+，22144bmmnnmn=++，再根据余弦定理得222

2cos41616coscababCmnmnmnC=+−+−，由1cos1C−得2436mncmn，故436k.【解析】解：先根据基本不等式得：2amnmn=+，22144bmmnnmn=++，因为其第三条边长为c，且c满足2

ckmn=，所以由余弦定理得：2222cos41616coscababCmnmnmnC=+−+−，因为1cos1C−所以2436mncmn，即436kmmmnnn，所以436k.故选：D.【点睛】本题考查满足三角形的条件时求参数的取值范围，解题的关键是结合余弦定

理和基本不等式进行，是难题.二、多选题7．（2020·福建漳州·统考模拟预测）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为3r=，满足coscoscos3RaAbBcC++=，

ABC的面积6ABCS=，则（）A．4abc++=B．6R=C．1sinsinsin6ABC++=D．1sin2sin2sin23ABC++=【答案】ABD【分析】根据三角形面积公式，结合正弦定理和圆的性质进行判断求解即可.【解析】13()()6,422ABCSabcrabcabc=++=+

+=++=，A正确；已知coscoscos3RaAbBcC++=所以2sincos2sincos2sincos,3RRAARBBRCC++=即1sin2sin2sin23ABC++=，D正确；若ABC为锐角三角形，222211

111sin2sin2sin26,22223ABCSRARBRCR=++==所以6R=，若ABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；212sinsinsinabcRABC++==++，所以1sinsinsin3ABC++=，C错．故

选：ABD.8．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）在△ABC中，内角,,ABC所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．sinsinsinsinbabcBABC++=++B．若AB，则sin2sin2A

BC．coscosabCcB=+D．若()0ABACBCABAC+=，且12ABACABAC=uuuruuuruuuruuur，则△ABC为等边三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令,36AB==可

得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sincossincossinBCCBA+=，由正弦定理即可证；D若,ABACAEAFABAC==，AEAFAG+=，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△AB

C的形状.【解析】A：由sinsinsinabcABC==，根据等比的性质有sinsinsinsinbabcBABC++=++，正确；B：当,36AB==时，有sin2sin2AB=，错误；C：sincossincossin(

)BCCBBC+=+，而BCA+=−，即sincossincossinBCCBA+=，由正弦定理易得coscosabCcB=+，正确；D：如下图，,ABACAEAFABAC==是单位向量，则ABACABAC

+AEAFAG+==，即0AGBC=、12AEAF=uuuruuur，则AGBC⊥且AG平分BAC，,AEAF的夹角为3，易知△ABC为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几

何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题9．（2023·河南·统考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知60A=，6bc+=，且ABC的面积为23，则ABC内

切圆的半径为_________.【答案】31−##13−+【分析】根据余弦定理、三角形面积公式、三角形内切圆半径公式进行求解即可.【解析】因为ABC的面积为23，所以113sin23238222bcAb

cbc===，由余弦定理可知()2222cos2363823abcbcAbcbcbc=+−=+−−=−=，设ABC内切圆的半径为r，则有()()1123623233122abcrrr++=+==−，故答案为：31−10．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考

模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinsincoscos3sinBCACAac=+，且ABC的面积2223()4ABCSabc=+−△，则cab+的取值范围是___________.【答案】1,12【分析】由面积公式及余弦

定理求出C，再由正、余弦定理将角化边，即可求出c，再由正弦定理及三角恒等变换公式将cab+转化为关于A的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得；【解析】解：由2223()4ABCSabc=+−△，22213sin()24abCabc=+−，又2222co

scababC=+−，所以13sin2cos24abCabC=，tan3C=，0C，60C=，sinsincoscos3sinBCACAac=+，3sin1coscos23sinBACAac=+．2222222326222bbcaabcbbaabcabcabcac+−+−=

+==，23c=，由正弦定理得2324sinsin3cRC===，所以24sin4sin4sin4sin3abABAA+=+=+−224sin4sincos4cossin33AAA=+−316sin23cos43sincos43sin()226AAAAA

=+=+=+，因为203A，所以5666A+，所以1sin,162A+，(43sin23,436A+，231,1243sin6cabA=

++．故答案为：1,12．四、解答题11．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且1cos2bCca+=.(1)求B；(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的

最大值.【答案】(1)π3(2)23【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.【解析】（1）方法一：()11cos,sincossinsinsin22bCcaBCCABC+=+==+，所以1sincossins

incoscossin2BCCBCBC+=+，所以()11sinsincos,0,π,sin0,cos,22CCBCCB==()π0,π,3BB=.方法二：在ABC中，由正弦定理得：()1sincossinsin

sin2BCCABC+==+，所以1sincossinsincoscossin2BCCBCBC+=+，所以1sincossin2CBC=.因为()0,πC，所以sin0C，所以1cos2B=，因为()π0,π,3BB=.（2）方法

一:222222cos2bacacBacacacacac=+−=+−−=，16ac当且仅当4ac==时取“”=，1sin1132sin,232228acBacBBDbBDac===，max23BD=.

方法二:在ABC中，由余弦定理得：222222cos162(bacacBacacacac=+−=+−−当且仅当ac=取“=”）所以16ac,所以ABC的面积13sin4324ABCSacBac==.1243232ABCSbBDBDBD==

.12．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，4AC=，2BC=，()01ADAB=．(1)120ACB=，13=时，求CD的长度；(2)若CD为角C的平分线，且2CD=，求ABC的面积．【答案】(1)2133(2

)372ABCS=△【分析】（1）根据题意，可得1233CDCBCA=+，然后根据向量的模长计算公式，即可得到结果；（2）根据题意，可得ABCACDBCDSSS=+△△△，然后结合三角形的面积公式即可得到cos2C，从而得到ABC的面积.

【解析】（1）当13=时，13AADB=则()112333CDCAADCACBCACBCA=+=+−=+所以2221441441416429999992CDCBCACACB=++=++−529=，∴2133CD=

．（2）因为ABCACDBCDSSS=+△△△，即11142sin42sin22sin22222CCC=+，∴3cos24C=，又π022C，∴7sin24C=，则37sin8C=，∴372ABCS=△．13．（2022·辽

宁鞍山·鞍山一中校考二模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知()()sin=sinbcBbAC−−(1)求角A；(2)若ABC为锐角三角形，且ABC的面积为S，求222abcS++的取值范围．【答案】(1)3A=(2)4

3163,3【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到1cos2A=，再结合()0,A，即可得到A；（2）根据3A=和三角形面积公式将222abcS++整理为834333bccb+−，再根据锐角三角形和正弦定理得到bc的范围，

最后用换元法和函数单调性求范围即可.【解析】（1）()()sinsinbcBbAC−=−，所以()()sinsincoscossinbcBbACAC−=−，所以222222222coscos22abcbcabbcabCbc

Aac+−+−−=−=−=−，又2222cosabcbcA=+−，所以1cos2A=，因为()0,A，所以3A=．（2）由（1）可知13csin24SbAbc==，222abcbc=+−．则2222222243432283433333abcabcbcbcbcSb

cbccb+++++−===+−．因为ABC锐角三角形，所以022032CC−，整理得62C．因为()sinsinsincoscossin31sinsinsin2tan2ACbBACAC

cCCCC++====+，所以122bc．令btc=，则函数1ytt=+在12,1上单调递减，在()1,2上单调递增，所以52,2y，即52,2bccb+，故222abcS++的取值范围为43163,3.