【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册单元复习试题 单元复习09 平面向量 基础题 Word版含解析.docx，共(25)页，1.432 MB，由小赞的店铺上传

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单元复习09平面向量01平面向量的基础概念与运算一、单选题1．下列说法正确的是（）A．若ab=rr，则ab=B．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】B【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】A：ab=rr仅表示a与b的大小相等，但

是方向不确定，故ab=未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.2．在ABC中

，D为AC的中点，E为BC上靠近B点的三等分点，则DE=uuur（）A．2736ABAC+B．2136ABAC−C．1766ABAC−+D．1166ABAC−−【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为AB和AC即可．【详解】()121221232336DEDCC

EACCBACCAABABAC=+=+=++=−.故选：B3．已知平面向量a，b满足2a=，2b=，a与b的夹角为45°，()baa−⊥，则实数的值为（）A．2B．2−C．12D．12−【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.【详解】()0baa−=⊥，20ab

a−=，222240−=，∴2=.故选：A4．已知平面向量a，b不共线，46ABab=+，3BCab=−+，3CDab=+，则（）A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线【

答案】D【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量a，b不共线，46ABab=+，3BCab=−+，3CDab=+，对于A，3(3)6BDBCCDababb=+=−+++=，与

AB不共线，A不正确；对于B，因46ABab=+，3BCab=−+，则AB与BC不共线，B不正确；对于C，因3BCab=−+，3CDab=+，则BC与CD不共线，C不正确；对于D，46(3)393ACABBCababa

bCD=+=++−+=+=，即//ACCD，又线段AC与CD有公共点C，则A，C，D三点共线，D正确.故选：D5．给出下列四个命题：①若||||ab=，则ab=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ABDC=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条

件；③若ab=,bc=，则ac=；④ab=的充要条件是||||ab=且//ab.其中正确命题的序号是（）A．②③B．①②C．③④D．②④【答案】A【分析】对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分

析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且ABDC=等价于//ABDC且ABDC=，即等价于四

边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若ab=,bc=，则ac=；显然正确，故③正确；对于④，由ab=可以推出||||ab=且//ab，但是由||||ab=且//ab可能推出ab=−，故“||||ab=且//ab”是“ab=”的必要不充分条件，故④不正确

,故选：A【点睛】关键点点睛：掌握向量相等的概念和充要条件的概念是解题关键.6．已知ABC中，3AB=，4AC=，6ABAC=，O为ABC所在平面内一点，且230OAOBOC++=，则AOBC的值为（）A．4−B．1−C

．1D．4【答案】D【分析】取AB、AC为基底，把AO，BC都用AB、AC表示，再计算AOBC.【详解】因为230OAOBOC++=，则2()3()0OAOAABOAAC++++=，所以，6230OAABAC++=，所以，1132OAABAC=−−，即1132AOABAC=+

，因此()2211111432236AOBCABACACABACABABAC=+−=−−=.故选：D.【点睛】方法点睛：向量运算的技巧：（1）构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；（2）树立“基底”意识，利用基向量进行运算.二、多选题7．如果a，b，

c都是非零向量.下列判断正确的有（）A．若ab∥，bc∥，则ac∥B．若abbc=rrrr，则ac=C．若abab+=−，则ab⊥D．若aabb=，则ab∥【答案】ACD【分析】利用平行向量的定义可判断AD，利用数量积的概念及性质可判断BC.【

详解】∵a，b，c都是非零向量，∴若ab∥，bc∥，则ac∥，故A正确；若ab⊥，bc⊥，则0bbac==，但a不一定等于c，故B错误；由abab+=−，可得()()22abab+=−，整理可得0ab=，所以

ab⊥，故C正确；若aabb=，则ab∥，故D正确.故选：ACD.8．已知向量()2,1a=，()()cos,sin0b=，则下列命题正确的是（）A．若ab⊥，则tan2=B．若b在a上的

投影为36a−，则向量a与b夹角为23C．与a共线的单位向量只有一个为63,33D．存在，使得abab+=+【答案】BD【分析】对A：由向量垂直的坐标表示即可求解判断；对B：根据投影的定义即可求解判断；对C：

与a共线的单位向量为aa即可判断；对D：根据向量a与b共线同向时，满足abab+=+即可判断.【详解】解：向量()2,1a=，()()cos,sin0b=，对A：因为ab⊥，所以2cossin0+=，所以tan2

=−，故选项A错误；对B：因为b在a上的投影向量为36a−，即3cos,6baba=−，所以3cos,6abab=−，又()2221cossin1,213ba=+==+=，所以31cos,3612ab=−=−，因为,0,a

brr，所以向量a与b夹角为23，故选项B正确；对C：与a共线的单位向量有两个，分别为63,33和63,33−−，故选项C错误；对D：当63cos,sin33==时，3ab=，此时向量a与b共线同向，满足abab+=+，所以存在

，使得abab+=+，故选项D正确；故选：BD.三、填空题9．在ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，则DBECFA++=__________.【答案】0【分析】根据平面向量的加法法则运算可得0ABBCCA++=，由题意得111222DBABECB

CFACA===，，，进而求得0DBECFA++=.【详解】如图所示，在ABC中，0ABBCCA++=，又点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，所以111222DBABECBCFACA===，，，所以1()02DBE

CFAABBCCA++=++=.故答案为：010．已知平面向量a，b满足219ab−=，3a=，若1cos,4ab=，则b=_____．【答案】2【分析】利用模长公式，数量积的定义及运算法则即求.【详解】由题知，2

19ab−=，3a=，1cos,4ab=，则()22222224444cos,19ababababababab−=−=+−=+−=，代值运算得：243100bb−−=，解得2b=或54−（舍去），故2b=

．故答案为：2．四、解答题11．若平面向量,ab→→满足(3,3)a→=，2b→=.（1）若//ab→→，求b→的坐标.（2）若258ab→→=+，求a→与b→的夹角.【答案】（1）(2,2)或(2,2)−−；（2

）4.【分析】（1）设(,)bxy→=，由向量共线得xy=，再根据模的关系即可得2xy==或2xy==−，进而得答案；（2）根据已知条件得6ab=，再根据向量夹角的公式计算即可得答案.【详解】解：（1）设(,)bxy→=，因为//ab→→，所以xy=

.①又因为2b→=，所以224xy+=.②由①､②，解得2xy==或2xy==−，所以b→的坐标为(2,2)或(2,2)−−.（2）由(3,3)a→=可知32a→=，由258ab→→=+可得224458a

abb→→→→++=，即1841658ab→→++=，解得6ab=，设a→与b→的夹角为，则2cos2abab→→→→==，又因为[0,]，所以4=.12．已知向量()()1,0,,1abm==，且a与b的夹角为4

（1）求2ab−;（2）若aλb+与b垂直，求实数的值.【答案】（1）5；（2）λ=-12.【分析】（1）根据向量()()1,0,,1abm==，且a与b的夹角为4，由cos,ababab=，求得m，再得到2ab−rr的坐标求解.(2)由（1)得到aλb+，

与b的坐标，根据aλb+与b垂直求解.【详解】（1）因为向量()()1,0,,1abm==，且a与b的夹角为4，所以22cos,21abmababm===+，解得1m=，所以()()()21,021,11,2ab−=−=−−，则25ab−=.(2)由

（1)知m=1，故()()()1,01,11,ab+=+=+，()1,1b=r，因为aλb+与b垂直，所以()10abb+=++=，解得12=−.02平面向量的基本定理及应用一、单选题1．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，设mAE=u

uurur，nAF=uuurr，则AC=（）A．3142mn＋B．1324mn＋C．3455mn＋D．4355mn＋【答案】D【分析】根据平面向量基本定理结合向量加减法法则求解即可.【详解】由题意，11,23AE

ADDEABADAFABAD=+=+=+，设23xyxAEyAFyABxADADABAC+=+++=+=，由对应系数相等得4,1,4353355,1,52yxxACmnxyy=+==+=+=.故选：D.2．已知AB是O的直径，C，

D是半圆弧AB上的两个三等分点，设,BAaBDb==uurruuurr，则BC=（）A．12ab+B．12ab−rrC．12ab+D．12ab−rr【答案】A【分析】由平面向量的线性运算法则求解．【详解】AB是O的直

径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，//CDAB且111,222CDABDCBAa===uuuruurr，12BCBDDCba=+=+uuuruuuruuurrr．故选：A．3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=

1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（）A．62km/hB．8km/hC．234km/hD．10km/h【答案】A【分析】设静水中的速度为1vkm/h，水流速度为2vkm/h，合速度12vvv=+，将1v正交分解为,x

yvv，由已知条件知||10v=km/h，||6yv=km/h，进而求22||||||xxvvvv+=+，即得||xv，则可求1||v.【详解】设客船在静水中的速度大小为1vkm/h，水流速度为2vkm/h，则2||2v=

km/h，则船实际航行的速度12vvv=+，60.160t==h，由题意得||||100.1ABv==km/h.把船在静水中的速度正交分解为1xyvvv=+，即0.6||60.10.1ydv===km/h，∵22

2||||||8xyvvvv+=−=km/h，而xv与2v同向，即22||||||xxvvvv+=+，∴||826xv=−=km/h∴221||||||62xyvvv=+=km/h.故选：A.4．如图所示的矩形ABCD中，,EF满足BEEC=，2,CFFDG=为EF

的中点，若AGABAD=+，则的值为（）A．12B．23C．34D．2【答案】A【分析】将,ABAD作为基底，根据平面向量基本定理结合已知条件把AG用,ABAD表示，从而可求出的值.【详解】连接,AEAF，由题可知1111,2233

AEABBEABBCABADAFADDFADDCABAD=+=+=+=+=+=+，又因为G为EF的中点，所以()12AGAEAF=+，所以1432323234AGABADABAD=+=+，所以23,34==，所以12=.故选：A.5．在ABC中，90A=，点D在线段

AB上，点E在线段AC上，且满足2ADDB==，22AEEC==，CD交BE于点F，则AFCB=（）A．325B．295C．235D．175【答案】C【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，设CFCD=，根据平面向量的线性运算，推出13(1)2AFAEAB=−+，由B，E，

F三点共线求得λ，再将,AFBC表示成以,ABAC为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得答案．【详解】如图：由2ADDB==，22AEEC==得AB＝4，AC＝3，设CFCD=，则1()2AFACCFACCDACCACB=

+=+=++111222ACCAABAC=++−11(1)3(1).22ACABAEAB=−+=−+,,BEF三点共线，13312−+=，即4=51255AFACAB=+，则22211()()5255515AFCBABACABACABABAC

AC=+−=−−1430555532923=−−=故选：C.6．已知在ABC中，D为AC的中点，2BC=，cos,1BABABC=−，点P为BC边上的动点，则()2PCPBPD+最小值为（）A．2B．

34−C．2512−D．－2【答案】C【分析】由cos,cos1BABABCBAB==−，结合投影几何意义，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解.【详解】由cos,cos1BABABCBAB==−,结合投影几何意义有：过点A作BC的垂线，垂足E落在CB的延长线

上，且1BE=2BC=,以BC所在直线为x轴，以BC中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()112,,1,0,1,0,,22AyBCDy−−−设(),0Px，其中11x−则()()()21,023,PCPBPDxxy+=−−−()()2

31xx=−−−232xx=−−解析式是关于x的二次函数，开口向上，对称轴时取得最小值，当16x=时取得最小值2512−故选：C【点睛】本题考查向量方法解决几何最值问题，属于中等题型.二、多选题7．给出下列命题，其中正确的选项有（）A．非零向量

a、b满足abab==−，则a与ab+的夹角为30B．若()0ABACBC+=，则△ABC为等腰三角形．C．等边△ABC的边长为2，则2ABBC=D．已知向量(1,2)a=−，(,)bk=1且()aab⊥+，则0k=【答案】AB【分析】A应用向量数

量积的运算律得222abab==、||6abab+=，进而求a与ab+的夹角；B利用向量加法、数量积的几何意义判断即可；C应用向量数量积的定义计算；D应用向量垂直的坐标表示求参数k.【详解】A：由222abab==−可得222abab==，则2aab=，22||26

abaabbab+=++=，()33cos,2||||23aababaabaabab++===+，易知a与ab+的夹角为30，正确；B：若AD为BC边上的中线，则2ABACAD+=，结合已知有0ADBC=，即ADBC⊥，所以△ABC中ABB

C=，正确；C：由题意，||||cos1202ABBCABBC==−，错误；D：(1,1)abk+=+−，由题意有()120aabk+=++=，即3k=−，错误.故选：AB8．ABC中，D为AB上一点

且满足3ADDB=，若P为线段CD上一点，且APABAC=+（，为正实数），则下列结论正确的是（）A．1344CDCACB=+B．432+=C．的最大值为112D．113+的最小值为3【答案】AD【分析】由题设43APADAC

=+结合三点共线可得433+=，再应用基本不等式求、113+的最值，利用向量加减、数乘的几何意义求,,CDCACB的线性关系.【详解】由题设，可得43APADAC=+，又,,DPC三点共线，∴413+=，即433+=，B错误；由，为正实数，43343+

=，则316，当且仅当31,82==时等号成立，故C错误；1111111()(43)(5)(52)333333343334+=++=+++=，当且仅当32=时等号成立，故D正确；14CDCBBDCBBA=+=+，

又BABCCA=+，∴131()444CDCBBCCACBCA=++=+，故A正确.故选：AD.9．设1234AAAA、、、是平面直角坐标系中相异的四点，若1312()AAAA=R，1412()AAAA=R，且112+=，则称34,AA调和分割12,AA，已知平面上的点C，D调

和分割点A，B，则下面说法正确的是（）A．A、B、C、D四点共线B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】AD【分析】根据题设条件可先判断出1A、2A、3A、4A四点共线，

从而判断出选项A，然后可设()0,0A、()10B,、(),0Cc、(),0Dd，结合题设条件可得112cd+=，然后对各选项一一判断即可.【详解】∵1312()AAAA=R，1412()AAAA=R∴1312//AAAA，141

2//AAAA∴1A、2A、3A、4A四点共线∵平面上的点C，D调和分割点A，B∴A、B、C、D四点共线，故A正确；由题意可设()0,0A、()10B,、(),0Cc、(),0Dd，则()(),01,0c=，()(),01,0d=.∴c=，d=∵1

12+=∴112cd+=对于B，若D是线段AB的中点，则12d=，代入到112cd+=，c不存在，故B错误；对于C，若C、D同时在线段AB上，则01c，01d，代入到112cd+=，可得1cd==，此时C、D重合，与题意不符，故C错误；对

于D，若C、D同时在线段AB的延长线上，则1c，1d，所以112cd+，与112cd+=矛盾，故C、D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确.故选：AD.10．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，BMBEBD=+，则下列结论正确的

是（）A．当M为线段AD上的中点时，32+=B．的最大值为12C．的取值范围为0,1D．+的取值范围为1,22【答案】ABC【分析】以B为原点，,BCBA为,xy轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项.【详解

】以B为原点，,BCBA为,xy轴正方向建立平面直角坐标系，设2BC=，则()()()0,0,0,1,2,2BED，设(),2Mt，则02t，因为BMBEBD=+，所以()()()(),20,12,22,2t+=+=，

所以2,22t=+=，即2,2tt=−=，对于选项A，因为M为线段AD上的中点，所以1t=，故13222+=−=，A正确；对于选项B，()21222tttt=−=−，02t，当1t=时，取最大值为12，B正确；对于选项C，因为2t=，02t，所以01

，的取值范围为0,1，C正确；对于选项D，22t+=−，02t，所以12+，所以+的取值范围为1,2，D错误.故选：ABC.三、解答题11．如图，在菱形ABCD中，12BEBC=，2CFFD=.（1）若EFx

AByAD=+，求32xy+的值；（2）若6AB=，60BAD=，求ACEF.【答案】（1）1−；（2）9−.【分析】（1）结合平面图形以及平面向量的线性运算即可求出x，y的值，进而求出结果；（2）根据平面向量的加法运算得到ACABAD=+，在结合（1）中1223

EFADAB=−，利用平面向量数量积的运算律以及定义即可求解.【详解】（1）因为12BEBC=，2CFFD=，所以12122323EFECCFBCDCADAB=+=−=−，所以23x=−，12y=，故213232132xy+=−+=−.（2）∵ACABAD=+

，∴2212121()23236ACEFABADADABADABABAD=+−=−−，∵ABCD为菱形，∴6ADAB==，∴2211cos66ACEFABABBAD=−−11136369662=−−=−，即9ACEF=−.12．在△ABC中，已知2AB=，11AC=

，511cos22BAC=，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设AExAB=.(1)若14x=，求COOE的值；(2)求AOCE的最小值.【答案】(1)4COOE=(2)4−【分析】（1）首先根据向量的线性运算得到(1)4AOACAB

=−+ll和()2yAOyADABAC==+，从而得到4=5，25y=，即可得到4COOE=.（2）首先根据题意得到2111145(12)AOCExx=−++−，根据12y−=l，2yx=l，得到11x=+l，从而得到29161xxAOCEx−=+，再求解最小值即可.【详解】

（1）因为C，O，E三点共线，所以有COCE=，即()CAAOCAAE+=+l，得(1)(1)4AOACxABACAB=−+=−+llll，同理可设()2yAOyADABAC==+，所以得12y−=l，42y=l，解得42,55y==l.所以45COCE=，即4COO

E=.（2）解：()1AOCEACxABACxAB=−+−+2111145(12)xx=−++−lll，由（1）可知12y−=l，2yx=l，所以11x=+l，所以29161xxAOCEx−=+，令

1[1,2]xt+=，则259342925344AOCEtt=+−−=−，等号当且仅当53t=，即23x=时，AOCE的最小值为4−.13．在如图所示的平面图形中，已知1OM=，2ON=，2BMMA=uuuruuur，2CNNA=，求：(1)

设BCxOMyON=+，求xy+的值；(2)若OMCN∥，且,,63OMON，求ABACuuuruuur的最小值及此时的夹角,OMON.【答案】(1)0(2)ABACuuuruuur的最小值为93182−，,OMO

N为6.【分析】（1）由向量的减法公式BCACAB=−，结合题意和平面向量共线定理，即可求得3+3BCOMON=−，进而求出结果；（2）记,63,OMON=，因为OMCN∥，所以CNOMON==，设CAOM=，根据平面向量加法理和平面向量共线

定可得()33ABOMON=−−，进而求得()()33ABACOMONOM=−−−，化简整理可得()26cos3ABAC==+−，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果.【详解】（1）解：因为2B

MMA=uuuruuur，2CNNA=，所以3333+3BCACABANAMMNOMON=−=−==−，所以3,3xy=−=，即0xy+=.（2）解：记,63,OMON=，因为OMCN∥，所以CNOMON==，设CAOM=，则()()333ABACCBO

MOMONOMON=+=−+−=−−，所以()()()233=3+3ABACOMONOMOMOMON=−−−−−()22=3+3cosOMOMON−()2236cos6

cos3=−+=+−当6cos32−=−时，()26cos3+−取最小值，即最小值为()26cos34−−，又,63，所以6cos30,333−−，所以()()223336cos3,044

−−−−，即()26cos39318,042−−−，所以ABACuuuruuur的最小值为93182−，此时,OMON为6.14．如图所示，AD是ABC的一条中线，点O满足2AOOD=，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M

，N两点.(1)求证：1133AOABAC=+；(2)设AMmAB=，ANnAC=，0m，0n，求11mn+的值；(3)如果ABC是边长为()0aa的等边三角形，求22OMON+的取值范围.【答案】(1)见详解(2)3(

3)22,9a+【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用AM和AN表示AO，结合M，O，N三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用AB和AC分别表示出OM和ON，进而可以表示出22OMON+，再结合均值不等式与二次函数的最值，即

可求解.（1）证明：因2AOOD=，所以23AOAD=，又因D为BC的中点，所以()12ADABAC=+，所以211333AOADABAC==+.（2）因AMmAB=，ANnAC=，0m，0n，所以1ABAMm=，1ACANn=，又因1133AOABAC=+，所以1133AOAMANm

n=+，又因M，O，N三点共线，所以11313mn+=，即113mn+=.（3）设AMmAB=，ANnAC=，0m，0n，由（1）（2）可知1133AOABAC=+，113mn+=，即3mnmn+=.因31133mOM

AMAOABAC−=−=−，31133nONANAOACAB−=−=−，所以22223113113333mnOMONABACACAB−−+=−+−()()()2222196296223329mmABnnACmnABAC=−++−+−+−，又因ABC是边

长为()0aa的等边三角形，所以2222223OMONamnmn+=+−−+，令tmn=，因32mnmnmn=+，即49mn，当且仅当mn=时，等号成立，所以49t.因此()()222222222595953333mnmnm

nmnmnmntt+−−+=+−+=−+=−+，又因49t，所以2229539tt−+，所以2222222239aOMONamnmn+=+−−+.