【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册单元复习试题 单元复习10 三角恒等变换 提高题Word版含解析.docx，共(38)页，1.502 MB，由小赞的店铺上传

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单元复习10三角恒等变换一、单选题1．sin141cos21cos39sin21+=（）A．32−B．12−C．12D．32【答案】D【分析】直接利用诱导公式及两角和的正弦公式求解.【详解】因为sin1

41cos21cos39sin21+sin(18039)cos21cos39sin21=−+3sin39cos21cos39sin21sin602=+==,故选：D2．已知cos20m=，则sin190的值是()A．12m−B．12m−−C．12m+D．

12m+−【答案】B【分析】首先根据已知条件，利用余弦的二倍角公式用m表示sin10，然后再结合诱导公式即可求解.【详解】因为cos20m=，所以212sin10m−=，即1sin102m−=，因为sin190sin(18010)sin10=

+=−，所以1sin1902m−=−.故选：B．3．若tan2=，则()sin1sin2sincos−=−（）A．25B．25−C．65D．65−【答案】A【分析】由二倍角正弦公式和同角关系将()sin1sin2sin

cos−−转化为含tan的表达式，由此可得其值.【详解】()()()222sinsincossin2sin1sin2sinsincossincossincossincos+−−−==−−−22222sinsincostantan2sincostan15

−−===++．故选：A.4．若3sin5=−，是第三象限角，则1tan21tan2−=+（）A．2−B．2C．83−D．83【答案】A【解析】由同角三角函数的基本关系可求得cos的值，再利用弦化切以及二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代数式

的值.【详解】3sin5=−，是第三象限角，24cos1sin5=−−=−，因此，2sin21cossin1tancoscossin2222221tansincossincossincossin222222221cos2−−−−=

==+++−+223112sincos1sin52224coscossin225+−−====−−−，故选：A.【点睛】方法点睛：三角函数的化简求值的规律总结：（1）给角求值：一

般给出的角是非特殊角，需观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为特殊角的三角函数问题；（2）给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；（

3）给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的取值范围）.5．已知函数()22sin23sincoscosfxxxxx=+−，xR，则（）A．()fx的最大值为1B．()fx在区间()0,上只有1个零点C

．()fx的最小正周期为2D．3x=为()fx图象的一条对称轴【答案】D【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数()22sin23sincoscos3sin2cos2fxxxxxxx=+−=−312(si

n2cos2)2sin(2)226xxx=−=−，可得()fx的最大值为2，最小正周期为22T==，故A、C错误；由()0fx=可得2,6xkk−=Z，即,212kxkZ=+，可知()fx在区间()0,上的零点为7,1212，故B错误；由

2()2sin()2336f=−=，可知3x=为()fx图象的一条对称轴，故D正确．故选：D6．已知α，β均为锐角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β的值为（）A．3B．2C

．23D．π【答案】D【分析】解方程组求出,的正余弦，求出tanα＝427，tan2β＝－427，再求出tan(α＋2β)＝0，即得解.【详解】由题意得()()2sinsin,1π3,,0,22cos1cos,23

==−(1)2＋(2)2得cosβ＝13，cosα＝79，由α，β均为锐角知，sinβ＝223，sinα＝429，∴tanβ＝22，tanα＝427，∴tan2β＝－427，∴tan(α＋2β)＝

0．因为(0,),(0,),22所以α＋2β∈3(0,)2，∴α＋2β＝π.故选：D．二、多选题7．下列式子正确的是（）A．6sin15cos152+=B．62cos754+=C．223tan15tan151+=D．tan12ta

n33tan12tan331++=【答案】ACD【分析】对于A，利用两角差的正弦余弦公式求出sin15,cos15的值即可，对于B，利用两角和的余弦公式求解，对于C，求出tan15的值代入化简即可，对

于D，利用两角和的正切公式求解【详解】对于A，因为62sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin304−=−=−=，62cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin3

04+=−=+=，所以6sin15cos152+=，所以A正确，对于B，因为62cos75cos(4530)cos45cos30sin45sin304−=+=−=，所以B错误，对于C，因为311tan303tan15tan(4530)231tan303

13−−=−===−++，所以()()2223tan15tan152323231+=−+−=，所以C正确，对于D，因为()tan33tan12tan45tan331211tan33tan12+=+==−，所以tan33tan121tan33tan12

+=−，所以tan12tan33tan12tan331++=，所以D正确，故选：ACD8．已知5cos()5+=−，5cos213=−，其中，为锐角，以下判断正确的是（）A．sin21312=B．19cos()565−

=C．8coscos565=D．11tantan8=【答案】AC【分析】利用同角三角函数的基本关系可得212sin21cos213=−=，再由两角差的余弦公式以及积化和差公式逐一判断即可.【详

解】解：因为5cos()5+=−，5cos213=−，其中，为锐角，所以：212sin21cos213=−=，故A正确；因为25sin()5+=，所以cos()cos[2()]cos2cos()sin2sin()

−=−+=+++55122529()()513513565=−−+=，故B错误；可得1152958coscos[cos()cos()]()52256565=++−=−+=，故C正确；可得11295521sinsin[cos()cos()][()

]52265565=−−+=−−=，所以21tantan8=，故D错误．故选：AC．9．关于函数2()2coscos212fxxx=−+−的描述正确的是（）A．其图象可由2sin2yx=的图象向右平移8个单位得到B．

()fx在0,2单调递增C．()fx在[0,]有2个零点D．()fx在,02−的最小值为2−【答案】CD【分析】利用诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据正弦函数性质判断．

【详解】2()2coscos21cos2sin22sin224fxxxxxx=−+−=+=+，由2sin2yx=的图象向右平移8个单位，得到2sin22sin284yxx=−=−，所以选项A错误；令222242k

xk−++，kZ，得其增区间为3,88kk−+，kZ，()fx在0,8单调递增，在,82单调遒减，所以选项B错误；令()0fx=，24xk+=，kZ得：28k

x=−，kZ，又[0,]x，所以x取38，78，所以选项C正确；当,02x−，即432,44x+−时，2sin21,42x+−，()[2,1]fx−，所以选项D正确.故选：CD.【点

睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()fxAx

m=++形式，然后结合正弦函数性质求解．三、填空题10．若()1cos2−=，()3cos5+=−，则tantan=___________.【答案】11−【分析】由余弦的和差角公式得1coscos20=−，11sinsin20=，进而得tan

tan11=−【详解】解：因为()1cos2−=，所以1coscossinsin2+=.因为()3cos5+=−，所以3coscossinsin5−=−，所以1131coscos

22520=−=−，11311sinsin22520=+=，所以1120tantan11120==−−.故答案为：11−11．已知4k−，则函数()cos2cos1yxkx=+−的最小值是______.【答案】1【分析】令cosxt=，则()

221ytktk=+−+，结合二次函数的性质求解即可【详解】()()22cos2cos12cos1cos2coscos1yxkxxkxkxkxk=+−=−+−=+−+,令cosxt=，则11t−，()221ytktk=+−+，对称轴为4kt=−，开口向上，因为11t−，4k

−，14kt=−，所以函数()221ytktk=+−+在1,1−上单调递减，所以当1t=，即cos1x=时，函数y的最小值为()211ykk=+−+=，即函数()cos2cos1yxkx=+−的最小值是1，故答案为：1四、解答题12．已知tan2

4+=，1tan2=，（1）求tan的值；（2）求sin()2sincos2sinsincos()aa+−++的值．【答案】（1）13；（2）17.【分析】（1）根据两角差的正切公式可求得tan

的值；（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得到()tan−，再用两角差的正切公式展开代值进去计算即可.【详解】（1）tan24+=，tantan421tantan4+=−，1tan21tan+=−

，解得1tan3=.（2）sin()2sincossincoscossin2sincos2sinsincos()2sinsincoscossinsincossinsincoscoscossinsinsin()cos()tan()tantan1tantan11231112317aa

+−+−=+++−−=+−=−=−−=+−=+=.13．已知函数()3cos22sincos3fxxxx=−−．（1）求()fx的最小正周期；（2）求当,

44x−时，()fx的值域．【答案】（1）；（2）1,12−.【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域．【详解】(1())3cos2

2sincos3fxxxx=−−133cos2sin2sin222xxx=+−31cos2sin2sin2223xxx=+=+，22T==，()fx\的最小正周期为；(2),44x−

，52,366x+−，1sin2123x−+，()fx\的值域是1,12−．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍

角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.一、单选题1．对于任意()0,x，下列等式不能恒成立的（）A．sin22sincosxxx=B．21cos2sin2xx−=C．2tancotsin22xxx=+D．2tan2sin1tan

2xxx=+【答案】D【分析】根据二倍角的正余弦公式可判断AB，由切化弦的方法可判断C，取特殊值可判断D.【详解】由二倍角的正弦公式可知A正确；由21cos2sin2xx−=可得2cos212sinxx=−，由二倍角的余弦公式可知B正确；当()0,x时

，由sincos1222tancot22sincossinsincos2222xxxxxxxxx+=+==可知C正确；当取2x=时，左边1=，右边=12，故D不正确.故选：D2．已知2+=，1tan2

=，则cos(sin2cos)cos(2sincos)+=+（）A．13B．136−C．56D．43【答案】A【分析】结合所求式子的结构特征将分子､分母同时除以coscos，得到tan22tan1++，然后结合已知条件和二倍角

公式､诱导公式进行求解.【详解】因为1tan2=，所以22tan4tan21tan3==−，所以4tantan(2)tan23=−=−=−，所以42cos(sin2cos)tan2131cos(2sincos)2tan13212

−+++===+++，故选：A.3．已知函数()cos2sin26=−+fxxx，将()fx的图象向右平移6个单位长度，得到函数()gx的图象，则下列说法正确的是（）A．()gx

在5,6−−上单调递增B．()gx的最小正周期是2C．()gx的图象关于原点对称D．()gx的图象关于直线76x=对称【答案】A【分析】化简()3sin26fxx=+，根据三角函数图像变换的性质得到函数()gx的解析式，再

根据三角函数的性质分析各选项得出答案.【详解】33()cos2sin2cos2sin23sin26226=−+=+=+fxxxxxx，则()6=−=gxfx3sin266x−+

3sin26x=−，其最小正周期为，故B错误；()3sin2()6−=−−−gxxgx，所以C错误；令22226−−kxk()2+Zk，解得(3)6kxkk−+Z，当1k=−时，7263x−

−，因为5,6−−72,63−−，所以()gx在5,6−−上单调递增，则A正确；令2()62xkk−=+Z．解得()23kxk=+Z．因为kZ，所以7236kx=+，则D错误．故选：A.4．已知()

2sincoscos44fxxxx=+−+，将()yfx=的图象向右平移6个单位，再向上平移1个单位，得到()ygx=的图象.若对Rx，都有422aagxgx−++=

成立，则3ga+=（）A．32B．52C．222+D．222−【答案】B【分析】根据三角恒等变换化简()fx2sin2124x=++，在求出变换后的函数()2sin22212gxx=−+，()2sin2212hxx=−

，根据对Rx，都有422aagxgx−++=成立，可得函数()2sin2212hxx=−关于点,02a对称，再根据正弦函数的性质求出a，从而可计算出答案.【详解】解：()2sincoscos44fxxxx=+−

+22221cos2sincossincos22222xxxxx+=+++()11112sincoscos2222xxx=+++11sin2cos2122xx=++2sin2124x=++

，将()yfx=的图象向右平移6个单位，再向上平移1个单位，得()2sin22212gxx=−+，令()2sin2212hxx=−，因为对Rx，都有422aagxgx−++=成立，所

以对Rx，都有22aahxhx−=−+成立，所以函数()2sin2212hxx=−关于点,02a对称，所以,Z12akk−=，则,Z12akk=+

，所以2sin2232312gaa+=+−+25sin2221212k=+−+23sin2224k=++23sin224=+52=.故选：B.5．已知函数()sin(sin3cos)(0)fxx

xx=+，若函数()fx的图象与直线1y=在(0,)上有3个不同的交点，则的取值范围是（）A．73,62B．74,63C．63,52D．64,53【答案】A【分析】应用二倍角正

余弦公式及辅助角公式可得1()sin262fxx=−+，由已知有1sin262x−=在(0,)上有3个实根，求出26x−对应范围，根据正弦函数的性质求参数范围.【详解】由1c

os231()sin(sin3cos)sin2sin22262xfxxxxxx−=+=+=−+，()fx与直线1y=在(0,)上有3个不同交点，即1sin262x−=

在(0,)上有3个实根，由(0,)x得：2,2666x−−−，所以13172666−，解得7362．故选：A．6．已知把函数()π3sincos34fxxx=+−的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，

纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若()()1214gxgx=，若1x，2π,πx−，则12xx−的最大值为（）A．πB．3π4C．3π2D．2π【答案】C【分析】先化简函数()fx，然后根据图像的变换得函数

()gx的解析式，通过判断得1x，2x同时令()gx取得最大值或最小值时，()()1214gxgx=，再结合函数()gx的图像，即可求得12xx−的最大值.【详解】()π3ππ3sincossincoscossincos34334fxxxxxx=+−=

+−1sincos2xx=233cos24x+−131cos231πsin2sin2422423xxx+=+−=+．将图象向右平移至π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得

到函数()gx，可得()1πsin423gxx=−，所以()max12gx=，()min12gx=−，∴1x，2x同时令()gx取得最大值或最小值时，()()1214gxgx=．当1x，2π,πx−时，ππ4

π433x−−−π4π3−，根据函数的图象可知12xx−的最大值为3个周期的长度，即3π2故选：C.【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用

辅助角公式代入化简，最终将解析式化为sin()yAx=+的形式.二、多选题7．关于函数()7sin432sin23xfxx+=+，下列判断正确的是（）A．()fx的图象的对称中心为(),0212kkZ

−B．函数()fx的最小正周期为C．()fx在,38−上存在单调递减区间D．()fx有最大值2和最小值-2【答案】AB【分析】运用诱导公式和正弦的二倍角公式化简()2sin(2)6fxx=+，+32kxk

Z−，，利用正弦函数的性质逐一判断可得选项.【详解】解：函数7sin(4)sin(4+2)sin(4)333()222sin(2)sin(2)sin(2)333xxxfxxxx+++===+++2sin(2)cos(2)2sin(

2)cos(2)66662sin(2)sin(2+)362xxxxxx++++==++2sin(2)cos(2)66cos(2)6xxx++=+2sin(2)6x=+且2sin(2)03x+

，由2sin(2)03x+得223xkkZ+，，即+32kxkZ−，，所以()2sin(2)6fxx=+，+32kxkZ−，，对于A，令26xk+=，得1212=−xk，所以()fx的图象的对称中心为(

),0212kkZ−，故A正确；对于B，因为()2sin(2)6fxx=+，+32kxkZ−，，所以最小正周期22T==，故B正确；对于C，令32262x+，得263

x，所以()fx在,38−上不存在单调递减区间，故C不正确；对于D，因为()2sin(2)6fxx=+，+32kxkZ−，，所以2++62xkkZ−，，所以

sin2+16x，所以函数()fx不存在最大值，不存在最小值，故D不正确；故选：AB.8．已知函数()3sin|||cos|fxxx=+，下列说法正确的有（）A．函数()fx在27[,]36上单调递减B．函数()fx是最小正周期为2的周期函数

C．若12m，则方程()=fxm在区间[0,]内，最多有4个不同的根D．函数()fx在区间[10,10]−内，共有6个零点【答案】ACD【分析】可判断函数为偶函数，讨论x的范围，化简可得函数单调性，画出函数的图象即可判断.【详解】()()()3sin|||cos|

3sin|||cos|fxxxxxfx−=−+−=+=，()fx为偶函数，当27,36x时，cos0x，所以()3sincos2sin6fxxxx=−=−，又,62x−，

由sinyx=在,2为减函数可得()fx在27[,]36上单调递减，故A正确；当0x时，由cos0x可得()3sincos2sin6fxxxx=+=+，所以函数在2,223kk−+且0x上为增函数，在2,232k

k++且0x上为减函数，当0x时，由cos0x可得()3sincos2sin6fxxxx=−=−，所以函数在22,223kk++且0x上为增函数，在232,232kk+

+且0x上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故()fx不是周期函数，故B错误；方程()=fxm在区间[0,]内根的个数，等价于()yfx=与ym=的图象的交点个数，由图象可知最多有4个交点，故C正确；由函数图象可得()fx在区间10,10−有6个零点，故D正确

.故选：ACD.9．已知函数()3sin24cos2fxxx=+，()()|()|gxfxfx=+.若存在0xR，使得对任意xR，()0()fxfx，则（）A．任意()()00,xRfxxfxx+=−B．任意0,()2xRfxfx+C．存在0，使得()gx在

()00,xx+上有且仅有2个零点D．存在512−，使得()gx在005,12xx−+上单调递减【答案】BD【分析】化简函数()5sin(2)fxx=+，根据任意xR，()0()fxfx，得到0x是函数()fx的最小值点，可判定A不

正确；由函数()fx的最小正周期为T=，得到02x+为函数()fx的最大值点，可判定B正确；由区间00),4(xx+上()0fx，此时()0gx=，可判定C错误；取4=−，可判定D正确.【详解】由题意，函数()3sin24cos25s

in(2)fxxxx=+=+，其中3cos5=，因为对任意xR，()0()fxfx，即0x是函数()fx的最小值点，所以函数()fx关于0xx=对称，所以000()()()fxxfxxfxx+=−+−，所以A不正确；由

函数()5sin(2)fxx=+的最小正周期为22T==，所以02x+为函数()fx的最大值点，所以0()2)(fxfx+，所以B正确；因为()00fx，且0x是函数()fx的最小值点，可得0()40fx=+，所以在区间00),

4(xx+上()0fx，此时()0gx=，故不存在0，使得()gx在00),(xx+上有且仅有2个零点，所以C错误；取4=−，则在005,124()xx−−内，()fx单调递减且()0fx，

所以()()2gxfx=单调递减，所以D正确.故选：BD.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()yAwx=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等

），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.三、填空题10．已知函数()1()2sinsin0432fxxx=+++在0,3上的值域为45,33

，则cos3的取值范围为______.【答案】74,255【分析】化简得()()5sin3fxx=+，其中4sin5=，3cos5=，02，再结合三角函数的性质可求解.【详

解】由题意得()12sinsin432fxxx=+++2212sincoscos223xxx=++4sincos3xx=+534sincos355xx=+()5sin3x=+，其中4sin5=，3cos5=，0

2，令tx=+，()5sin3gtt=.因为0，03x，故2t+，因为()43g=，且02，所以()43g−=，523g=，故23+−，则223−−.又当022x

−−时，cosyx=单调递减，且4cossin25−==，()227cos2cos2sincos25−=−=−=，故74cos,3255.【点睛】本题考查利用

三角恒等变换解决三角函数性质问题，属于较难题.11．已知函数()sin2sin3fxaxxb=+++的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2，且xR恒有()6fxf，若存在()()()123123,,0,,2xxxfxfxfx+成立，则

b的取值范围为________．【答案】(,43]−【分析】利用三角恒等变换可得2()(1)3sin()fxaxb=++++，结合其性质求得2=，2a=，即可得()23sin26fxxb=++，根据正弦函数的性质确定()fx的最值，最后由不等式恒成立求参数范

围即可.【详解】由题设，2()(1)sin3cos(1)3sin()fxaxxbaxb=+++=++++，由()fx相邻两个对称轴之间的距离为2，故2,2TT===，又()fx关于6x=对称，即32+=，故33tan31a==+，解得

2a=，∴()23sin26fxxb=++，当0,2x时，72,666x+，此时()fx的最大值为23b+，最小值为3b−+，若存在123,,0,2xxx，

使()()()123fxfxfx+成立，则只需23223bb−++，∴43b．故答案为：(,43]−四、解答题12．化简或计算下列各式.(1)11sin(2)cos()29cos()sin()2−−−+;(2)2212sin20cos

202cos101cos1601−−−−【答案】(1)2tan−(2)1【分析】（1）根据诱导公式化简整理即可得答案；（2）根据二倍角公式和同角三角函数关系化简即可得答案.(1)解：()113si

n(2)cossincos4sincos2229cos()sincossin4cossin222−−−+−−+−==−+−++−+222sincos2sintanco

scoscos−−==−=−(2)解：22222212sin20cos20sin20cos202sin20cos202cos101cos16012cos10sin1601−+−=−−−−−()222sin20cos20sin20cos

20cos20sin2012cos10sin16012cos101sin20cos20sin20−−−====−−−−−13．若函数()2233cos22coscossinsin2222xxxxfxx=−++−，xR

.(1)当2=时，求函数()fx的最小值；(2)若函数()fx在区间[0,]2上的最小值是32−，求实数的值.【答案】(1)7−(2)12【分析】（1）当2=时，()fx()22cos29x=−−，当cos1x=时，函数()fx的值

最小，求解即可；（2）由于()fx()222cos21x=−−−，分0，01，1三种情况讨论，再结合题意，可得实数的值．(1)解：依题意得()fxcos2222cos2cos222cosx

xxx=−+=−cos24cosxx=−()()2222cos4cos12cos21xxx=−−=−−−若2=，则()fx()22cos29x=−−又xR，所以cosyx=的值域为[0,1]所以当cos1x=时，()fx取得最小值为()221297−−=−(2)解

：∵[0,]2x∴cos[0,1]x所以()fx()222cos21x=−−−当0时，()()22min3202112fx=−−−=−−，所以0，不符合题意当01时，()2min3212fx=−−=−，解得12=当

1时，()()22min32121412fx=−−−=−+=−，得58=，不符合题意综上所述，实数的值为12.14．已知函数(),()fxgx满足关系式()()(),gxfxfx=+其中

是常数.（1）设()sin,2fxx==，求()12g的值;（2）若2()23cossin2gxxx=−，请你写出满足要求的一个函数()fx及一个的值并说明理由；（3）设()sincos,2fxxx=+=,令(

)()()()cos()12()hxfxxgxgx=−+−，当(,)64x时，试判断函数()hx是否存在零点并说明理由.【答案】（1）14；（2）()2cos,6fxx==；（3）存在，详见解析.【解析】（1）根据

()sin,2fxx==，得到()gx解析式，再求解()12g.（2）根据2()23cossin2gxxx=−，利用二倍角公式和辅助角法得到()4coscos6gxxx=+，再根据()()(),gxfxfx=+得到结

果.（3）先根据()sincos,2fxxx=+=,得到()gx，进而得到()hx的解析式，然后用零点存在定理判断.【详解】（1）因为()sin,2fxx==，所以1()sinsin()sincossin222

gxxxxxx=+==，所以11()sin12264g==；（2）因为2()23cossin2gxxx=−，223cos2sincosxxx=−，()2cos3cossinxxx=−，4coscos6xx=+

，所以()2cos,6fxx==；（3）因为()sincos,2fxxx=+=,所以()()sincossincos22gxxxxx=++++，()()22sincosco

ssincossincos2xxxxxxx=+−=−=，所以()()()()cos()12()hxfxxgxgx=−+−，()sincos212cos2xxx=+−，因为()111122()120,()0120062224422hh

=+−=−=+−=所以当(,)64x时，函数()hx存在零点.【点睛】本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于难题.15．已知数2()3sin2sin1(0)6212xfxx

=+++−的相邻两对称轴间的距离为2.（1）求()fx的解析式；（2）将函数()fx的图像向右平移6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图像，当,126x−时，求函数()gx的值域.（3）对于第（2）问中的

函数()gx，记方程4()3gx=在4,63x，上的根从小到依次为12,,nxxx，试确定n的值，并求1231222nnxxxxx−+++++的值.【答案】（1）()2sin2fxx=；（2）[2,3]−；（3）5n=，203.【分析】（1）利

用降幂公式与辅助角公式化简()fx，再根据相邻两对称轴间的距离为2，所以T=求解w即可；（2）根据三角函数的图象变换得到()2sin43gxx=−，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可；（3）结合三角函数

图象，画图分析12,,nxxx的位置，再根据对称性的性质结论求解即可【详解】（1）由题意，函数21()3sin()2sin1626fxxx=+++−3sin()cos()2sin2sin6666xxxx

=+−+=+−=因为函数()fx图像的相邻两对称轴间的距离为2，所以T=，可得2w=.故()2sin2fxx=（2）将函数()fx的图像向右平移6个单位长度，可得2sin

23yx=−的图像.再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin43ygxx==−的图像.当,126x−时，24,333x−−，当432x−=−时，函数()gx取得最小值，最小值为2−，当433x−=时

，函数()gx取得最大值，最大值为3，故函数()gx的值域[2,3]−.（3）由方程4()3gx=，即42sin433x−=，即2sin433x−=，因为4,63x，可得4,533x−，设43

x=−，其中,53，即2sin3=，结合正弦函数siny=的图像，可得方程2sin3=在区间,53有5个解，即5n=，其中122334453,5,7,9

+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333xxxxxxxx−+−=−+−=−+−=−+−=解得1223344511172329,,,12121212xxxxxxxx+=+=+=+=所以()()()(

)1212345233445223220xxxxxxxxxxxxx=++++++++++++=.一、单选题1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知()1,2P为角终边上一点，则2cos21sin=+（

）A．13−B．13C．3−D．19【答案】A【分析】根据角终边上的点的坐标，求得角的正弦值，继而求得cos2，代入求值，即得答案.【详解】由题意知()1,2P为角终边上一点，则25||5,sin5OP==，故22253cos212sin12()

55=−=−=−，故2233cos211sin1525()5==−++−，故选：A2．（2023·甘肃兰州·校考一模）cos85sin25cos30cos25+等于（）A．32−B．22C．12D．1【答案】C【分析】由

cos85sin5=oo，观察可得53025=−ooo，代入根据两角差的正弦定理展开整理即可得出答案.【详解】因为cos85sin5=oo，所以3sin5sin25cos85sin25cos302cos25co

s25++=()31sin3025sin25cos25122cos25cos252−+===.故选：C.3．（2023·湖南长沙·统考一模）若π1tan14π21tan4−−=+−，则cos

2的值为（）A．35-B．35C．45−D．45【答案】A【分析】由已知可得π1tan43−=，进而求出tan2=.将cos2化为二次齐次式，即可求出结果.【详解】由π1tan14π21tan4−−=+−

可得，π1tan43−=，所以ππtantan44=+−ππtantan44ππ1tantan44+−=−−1132113+==−，所以22cos2cossin=−222222cossi

n1tan3cossin1tan5−−===−++.故选：A.4．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知cos0,,tan222sin=−，则cos=（）A．154B．306C．31414D．64【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系式切化弦

，求出1sin4=，根据0,2即可求出cos的值.【详解】22sin22sincoscostan2cos2cossin2sin===−−，得222sin1cossin2sin=−−，所以224sin

2sin12sin−=−，所以1sin4=，又150,,cos24=，故选：A.5．（2022·全国·校联考模拟预测）已知函数()222sincossin(0)24xfxxx=−−在区间2π5π

,36−上是增函数，且在区间0,π上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）A．30,5B．13,25C．15,22D．50,2【答案】B【分析】先化简函数()fx的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范

围.【详解】222ππ()2sincossinsin2cossin2424xxfxxxxx=−−=−−πsincos1sinsin(sin1sin)sin2xxxxxxx=−+

−=+−=由π2π2xk=+，可得π2π,Z2kxk=+由()fx在区间0,π上恰好取得一次最大值，可得π0π2π2ππ2+，解之得1522又()fx在区间2π5π,36−上是增函数，则5ππ622ππ

32−−，解之得35综上，的取值范围是1325故选：B二、多选题6．（2022·河北邯郸·统考二模）下列各式的值为12的是（）.A．sin17π6B．sinπ12cosπ1

2C．22cossin121π2−D．2πtan8π1tan8−【答案】AD【分析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可.【详解】A：17ππππ1sinsin(2ππ)sin(π)sin66

662=+−=−==，符合题意；B：ππ1π1π1sincossin(2)sin1212212264===，不符合题意；C：223cossincos(2)cos12121262π−===，不符合题意

；D：2πtan1π1π18tan(2)tanπ282421tan8===−，符合题意，故选：AD7．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数()3sin2cos233ππfxxx=+++，将函数()fx的

图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象，则（）A．()fx的周期为πB．()fx为奇函数C．()gx的图象关于点17π,024对称D．当π0,3x时，()gx的

取值范围为31,2−【答案】AC【分析】根据三角恒等变换得到()2cos2fxx=，再由函数图象的变换得到()π2cos43gxx=−，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.【详解】函数()ππ

3sin2cos22sin22cos236π3π3fxxxxx=+++=++=，对于A选项：函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，所以A选项正确；对于B选项：函数()fx的定义域为R，()()()2

cos22cos2fxxxfx−=−==，则函数()fx是R上的偶函数，所以B选项错误；由题意，将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度得到：ππ2cos22cos263yxx=−=−，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变）得到：π2cos43yx

=−，即函数()π2cos43gxx=−，对于C选项：令ππ4π32xk−=+（kZ），解得：5ππ244=+kx（kZ），当2k=时，5π2π17π24424=+=x，此时17π024g=，即函数()gx的图象关于点17π,024

对称，所以C选项正确；对于D选项：当π0,3x时，ππ4π33x−−，由余弦函数的图象和性质得：π1cos413x−−，即()2,2gx−，所以D选项错误；故选：AC.三、填空题8．

（2023·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点()1,2，则2cossin2+=__________．【答案】1【分析】法一：利用三角函数的定义求出sin、cos的值，再利用二倍角的正弦公式计算可

得结果；法二：利用三角函数的定义求出tan的值，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】法一：由三角函数的定义可知22225sin512==+，2215cos512==+，所以222

5255cossin2cos2sincos21555+=+=+=；法二：因为角的终边经过点()1,2，所以2tan21==，所以222222cos2sincos12tan122cossin21sincostan121++++====+++．

故答案为：1.9．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知多项式23401234()fxaaxaxaxax=++++满足对任意R,(cos)2cos4cos3f=+，则1234aaaa−+−=_________

（用数字作答）．【答案】1【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.【详解】解：由题意得：(cos)2cos4cos3f=+()222cos21coscos2sinsin2=−+−22224(2cos1)2cos(2cos1)2sinco

s=−−+−−42324(4cos4cos1)22coscos2(1cos)cos=−+−+−−−423316cos16cos22coscos2cos2cos=−++−−+23423cos1

6cos4cos16cos=−−++，由23401234()fxaaxaxaxax=++++可知：012342316416aaaaa==−=−==12343(16)4161aaaa−+−=−−−+−=.故答案为：1四、解答题10．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知

函数()5ππ3πsin22sincos644fxxxx=−−−+.(1)求()fx的最小正周期及对称轴方程；(2)ππ,46x−时，()()gxafxb=+的最大值为7，最小值为1，求a，b的值.【答案】(1)最小正周期为πT

=，对称轴方程为ππ23kx=+，kZ(2)4a=，5b=或4a=−，3b=【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求得最小正周期和对称轴方程；（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对0a和a<0两种情况进行讨论即可.【详解

】（1）()5ππ3πsin22sincos644fxxxx=−−−+132222cos2sin22sincoscossin222222xxxxxx=−−−−−−

()()13cos2sin2sincoscossin22xxxxxx=+−−−−()2213cos2sin2cossin22xxxx=+−−13cos2sin2cos222xxx=+−31sin2c

os222xx=−πsin26x=−∴()πsin26fxx=−，则()fx的最小正周期为2ππ2T==，∵sinyx=的对称轴为直线ππ+2=xk，kZ，∴由ππ2π62xk−=+，k

Z，解得ππ23kx=+，kZ，∴()fx的对称轴方程为ππ23kx=+，kZ.（2）πsi2()(n6)xbgxafxba=+=−+，∵ππ,46x−，∴ππ2[,]23x−，∴π2ππ2[,]636x−−，∴π1sin(2)[1,]62x−−，当0a时

，()()gxafxb=+的最大值为12ab+，最小值为ab−+，∴由1721abab+=−+=，解得45ab==，当a<0时，()()gxafxb=+的最大值为ab−+，最小值为12ab+，∴由7112abab−+=+

=，解得43ab=−=，综上所述，4a=，5b=或4a=−，3b=.11．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数()()fxbac=+，其中向量(sin,3cos),(sin,cos)axxbxx=−=−，(cos,sin),cxxx=−

R．(1)求()fx的解析式及对称中心和单调减区间；(2)不等式|()|3fxm−在ππ,82x上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)()3π22sin24fxx=++，对称中心

为π3π,2,28kk−Z，单调减区间是π3ππ,π,88kkk−++Z(2)(1,52)−−【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得()fx，再利用正弦函数的性质即可求解；(2)由题意

可得：()3()3fxmfx−+在ππ,82x上恒成立，求出()fx的最值，转化为2322+3mm−−，解之即可.【详解】（1）()()(sin,cos)(sincos,sin3cos)fxbacxxxxxx=

+=−−−222sin2sincos3cos1sin22cosxxxxxx=−+=−+3π2cos2sin222sin24xxx=+−=++令3ππ3π2π428kxkx+==−，对称中心π3π,2,28kk−Z又令π3π3ππ3π

2π22πππ24288kxkkxk+++−++，所以单调减区间是π3ππ,π,88kkk−++Z（2）不等式|()|3fxm−在ππ,82x上恒成立，3()3fxm−−，即()3()3fxmfx−+在ππ,82x上恒成立

，maxmin()3()3fxmfx−+，因为ππ,82x，所以372[,]44x+，当3π3π242x+=，即3π8x=时，()fx取得最小值，最小值为min3π()22sin222fx=+=−，当3π24x+=，即8x=时，()fx取

得最大值，最大值为max()2fx=，即2322+3mm−−，得152m−−，即实数m的取值范围是(1,52)−−12．（2022·全国·校联考模拟预测）已知函数()()π2sin0

,2fxx=+，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()fx的解析式唯一确定.(1)求()fx的解析式；(2)设函数()()π6gxfxfx=++，若π0,2

，且6325g=，求π224f−的值.条件①：()00f=；条件②：()fx图象的一条对称轴为π4x=−；条件③：若()()122,2fxfx==−，且12xx−的最小值为π2.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【

答案】(1)()2sin2fxx=(2)25−【分析】(1)根据条件结合三角函数图象性质即可求解;(2)利用三角恒等变换和配凑角即可求解.【详解】（1）选择条件①②：由条件①(0)0f=，所以2sin0=，解得()πkk=Z，又π2，所以0

=.由条件②得πππ42k−=+，解得()42kk=−−Z，所以()fx的解析式不唯一，不合题意；选择条件①③：由条件①(0)0f=，所以2sin0=，解得()πkk=Z，又π2，所以0=.由条件③得π22T=，得πT=，所以2π2T

==，所以()2sin2fxx=.选择条件②③：由条件③得π22T=，得πT=，所以2π2T==，所以()2sin(2)fxx=+，又()fx图象的一条对称轴为π4x=−，所以ππ2π42k−+=+

，解得()1πk=+，又π2，所以0=，所以()2sin2fxx=.（2）由题意得()πππ2sin22sin22sin22sin2cos2cos2sin333gxxxxxx=++=++π3sin23cos223sin26xxx=+=+，因为63

25g=，所以π6323sin65+=，即π3sin65+=，又π0,2，所以ππ2π,663+，若ππ2π,623+，则π3sin,162

+，又π33sin652+=，所以πππ,662+.因为22ππsincos166+++=，所以π4cos65+=，又πππ,662+

，所以π4cos65+=，所以πππππ2sin22sin2sin2242241264f−=−=−=+−ππππ22sinco

s2cossin64645=+−+=−.