【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册单元复习试题 单元复习09 平面向量 提高题Word版含解析.docx，共(46)页，2.781 MB，由小赞的店铺上传

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单元复习09平面向量一、单选题1．下列命题中正确的个数是（）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量ABCD∥，则,,,ABCD四点必在一直线上；③若,abbc∥∥，则ac∥；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】由平面

向量的概念对选项逐一判断，【解析】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量ABCD∥，则,,,ABCD四点共线或//ABCD，故B错误，对于C，若,abbc∥∥，当0b=时，,ac不一定平行，故C错误，对于D，若,

,ABC三点共线，则//ACBC，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A2．如图所示，已知在ABC中，D是边AB上的中点，则CD=（）A．12BCBA−B．12BCBA−+C．12BCBA−−D．12B

CBA+【答案】B【分析】由题意得12BDBA=，再由12CDCBBDBCBA=+=−+，即可得到答案.【解析】由于D是边AB上的中点，则12BDBA=.12CDCBBDBCBA=+=−+.故选：B.3．关于向量a，b，下列命题中，正确的是（）A．若ab=，则ab=B．若a

b=−，则ab∥C．若ab，则abD．若ab∥，bc∥，则ac∥【答案】B【分析】根据平面向量的相关定义，判断选项.【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确；C.向量不能比较大小，故C错误；D.当向量0b=时，

a与c不一定平行，故D错误；故选：B4．若平面上的三个力123,,FFF作用于一点，且处于平衡状态．已知311N,3NFF==，1F与3F的夹角为150，则力2F的大小为（）．A．7B．7C．102D．1【答案】D【分析】根据三力平衡得到1

32FFF+=−，然后通过平方将向量式数量化得到222113322cos150FFFFF++=，代入数据即可得到答案.【解析】根据三力平衡得1320FFF++=，即132FFF+=−，两边同平方得222113322FFFFF++=，即2221

13322cos150FFFFF++=即()22223121332F+−+=,解得21F=故选：D.5．设向量,ab均为单位向量，则“ab⊥”是“22abab−=+”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答

案】B【分析】将22abab−=+两边平方转化为0ab=，从而得到与ab⊥之间的关系.【解析】若ab⊥，则0ab=，所以2222445abaabb−=−+=，2222445abaabb+=++=，所以22abab−=+，满足充分性；若22abab

−=+，两边平方得0ab=，所以ab⊥，满足必要性．故选：B．6．在平行四边形ABCD中，2AB=，1AD=，60DAB=.对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.设ABa=，ADb=，则下列结论错误的是（）A．13EFAE=B．13AFab=+C．1

13AF=D．73AFAB=【答案】C【分析】由题意可证明DEFDGC，则13EFDEGCDG==，根据向量的分解、模长和数量积的运算，即可判断正误.【解析】解：对于A，取OB的中点G，连接CG，则//AECG且AECG=

，即//EFCGDEFDGC，则13EFDEGCDG==1133EFGCAE==，A选项正确；对于B，DEFDGC，则1133DFDEDFDCDCDG===131313abAFADDFADDCADAB=+=+=+=+，B选项正确；对于C

，13AFab=+，2222221121219221cos601393939AFabaabb=+=++=++=则193AF=，C选项错误；对于D，221117221cos603333AFABabaaab

=+=+=+=，D选项正确；故选：C.7．已知向量()4,2a=，(),1b=，若2ab+与ab−的夹角是锐角，则实数的取值范围为（）A．()()111,22,111−+B．()2,5−C．()111,111−+D．()(),111111,−−++【答案】A【分析】根据

向量的数量积为正数且两向量不同向即可根据坐标运算求解.【解析】由题意得()242,4ab+=+，()4,1ab−=−，若2ab+与ab−的夹角是锐角，则2ab+与ab−不共线，且它们数量积为正值，即()4244+−，且()()()()242,44,1abab

+−=+−220420=+−，解得111111−+，且2，所以实数的取值范围为()()111,22,111−+．故选:A8．设1234,,,AAAA是平面直角坐标系中两两不同的四点，若()131

2AAAA=R，()1412AAAA=R，且112+=，则称34,AA调和分割12,AA.已知点(),0Cc，()(),0,DdcdR调和分割点()0,0A，()1,0B，则下面说法正确的是（）A．C可能是线段

AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．,CD可能同时在线段AB上D．,CD不可能同时在线段AB上【答案】D【分析】先根据题目定义，向量的坐标运算，推出,cd之间的关系，然后四个选项每个代入验证，用排除法解决.【解析】根据题意可知，,ACABADAB==，即(

,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c−=−，(,0)(1,0)c=，得c=，(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d−=−，即(,0)(1,0)d=，得d=，根据112+=，得112cd+=.线段AB的

方程是0y=，[0,1]x.若C是线段AB的中点，则12c=，代入112cd+=，得10d=，此等式不可能成立，故选项A的说法不成立；同理选项B的说法也不成立；若,CD同时在线段AB上，则01c，01d，此时11c，11d，112cd+，与112cd+=矛盾

，故选项C错误；当,CD同时不在线段AB上时，若1c，1d，则112cd+，与112cd+=矛盾，若0c，0d，则11cd+是负值，与112cd+=矛盾，若0c，1d，则10c，11d，此时11

1cd+，与112cd+=矛盾，若1c，0d，则11c，10d，此时111cd+，与112cd+=矛盾，故选项D的说法成立.故选：D.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．零向量的长度为0D．方向相反的两

个非零向量必不相等【答案】ACD【分析】利用零向量的定义及性质判断选项A和选项C，利用共线向量的定义判断选项B，利用相等向量的定义判断选项D.【解析】解：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D

，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确．故选：ACD．10．已知平面向量()1,0a=，()1,23b=，则下列说法正确的是（）A．||16ab+=B．()2aba+=C．向量+ab

与a的夹角为30°D．向量+ab在a上的投影向量为2a【答案】BD【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D.【解析】()()11,0232,23ab

+=++=，所以()222234ab+=+=，故A错误；()120232aab+=+=，故B正确；()1cos,2aabaabaab++==+，(),0,πaab+，a，π3ab+=，故C错误；向量+ab在a上的投影向量为()2·2

1aabaaaaa+==，故D正确．故选：BD11．在△ABC中，下列结论错误的是（）A．ABACBC−=B．||||ABBCABBCC．若0ABACABAC+−=()()，则ABC是等腰三角形D．若>0ACAB，则ABC是锐角三角形【答案】ABD【分析】由向量减法法判断A项错误

；利用数量积公式判断B项错误；将已知化简利用三线合一得到ABC是等腰三角形判断C项正确；D项得到BAC是锐角，不能得到ABC是锐角三角形，判断D项正确.【解析】由向量减法法则可得ABACCB−=，故A项错误；||||cos||||ABBCABBCABBCABBC=

，，故B项错误；设BC中点为D，20ABACABACADCB+−==()()，则ADCB⊥，因为=BDCD,所以由三线合一得=ABAC，所以ABC是等腰三角形，故C项正确；>0ACAB，可

以得到BAC是锐角，不能得到ABC是锐角三角形，故D项错误；故选：ABD.12．已知向量()()2,1,1,abt=−=−，则下列说法正确的是（）A．若ab⊥，则t的值为2−B．若//abrr则t的值为12C．若02t，则

a与b的夹角为锐角D．若()()abab+⊥−，则1abab+=−【答案】AB【分析】根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；【解析】解：对于A：若ab⊥，则()2110ab

t=−−+=，解得2t=−，故A正确；对于B：若//abrr，则211t−=−，解得12t=，故B正确；对于C：当12t=时a与b同向，此时a与b的夹角为0，故C错误；对于D：若()()abab+⊥−，则()()0abab+−=

，即220ab−=，即()()2222211t−+=−+，解得2t=，当2t=时()()2,1,1,2ab=−=−，()3,3ab+=−，()1,1ab−=−−，显然abab+−，当2t=−时()()2,1,1,2ab=−=−−，()3,1ab+=−−，()1,3ab−=−，此时

abab+=−，故D错误；故选：AB三、填空题13．已知||3a=，||23b=，3=ab，则a与b的夹角是___________.【答案】π3【分析】根据平面向量的模和数量积计算，即可直接得出结果.【解析】31cos,2||||323abab

ab===，因为,[0,π]ab，所以π,3ab=，a与b的夹角是π3.故答案为：π3.14．若平面向量a､b满足条件：||3a=､12ab=−，则向量b在向量a的方向上的数量投影为___________.【答案】4−【分析】根据数量投影的知识求得正

确答案.【解析】向量b在向量a的方向上的数量投影为1243aba−==−.故答案为：4−15．一条东西方向的河流两岸平行，河宽2503m，河水的速度为向东2km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距

250m的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________km/h.【答案】213【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量

的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段AC，设小货船航行速度为v，水流的速度为1v，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为2v，作出示意图如下：因为一条东西方向的河流

两岸平行，河宽2503m，河水的速度为向正东2km/h，2503,250ABmBCm==，在RtABC△中，有2503tan3250ABBCABC===，所以12ππππ2π,,,+=36263BCABACvv===，所以2

1vvv=−，所以222222121122π||()||||262262cos2133vvvvvvv=−=+−=+−=，所以小货船航行速度的大小为213km/h．故答案为：21316．在ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且23

ANAC=，13AMAB=，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足340(0)OAOBOC++=，则=_________．【答案】8【分析】用OA、AN表示出OC、OB，从而得到6977AOANAM=+++，

再根据M，O，N三点共线，得到69177+=++，解得即可.【解析】解：因为23ANAC=，13AMAB=，所以()23ANOCOA=−，()13AMOBOA=−，即32OCANOA=+，3OBAMOA=+，因为340OAOBOC++=，所以()3

33402OAAMOAANOA++++=，即()769AOANAM+=+，即6977AOANAM=+++，因为M，O，N三点共线，故69177+=++，解得8=．故答案为：8四、解答题17．已知||1,||2,aba==与b的夹角为60．(1)求|3|ab

−+的值；(2)设4,3cabdab=+=−+，求,cd的夹角．【答案】(1)|3|7ab−+=(2)2π3【分析】（1）根据2=aa可以得到答案；（2）cos,cdcdcd=计算即可.【解析】（1）由已知，得：221,12cos

601,4aabb====，∴2222|3|(3)969647ababaabb−+=−+=−+=−+=，∴|3|7ab−+=；（2）∵22(4)(3)127cdababaabb=+−+=−++=−，22222|||4|(4)168168428cababaa

bb=+=+=++=++=，∴||27c=，由（1）得：||7d=，∴1cos,2||||cdcdcd==−，∵,[0,π]cd，∴2π,3cd=.18．已知D为等边ABC所在平面内的一点，2||2,3

ABABAD==，且线段BC上存在点E，使得4193AEADAC=+．(1)试确定点E的位置，并说明理由；(2)求AEDC的值．【答案】(1)E为靠近点B的一个三等分点，理由见解析(2)73−【分析】（1）用平面向量的线性关系找出点所在的位置；（2）用向量,ABAC分别表示出向量,AED

C利用向量数量积公式计算.【解析】（1）因为23ABAD=，所以32ADAB=，所以4312192333AEABACABAC=+=+，从而1111()3333BEAEABACABACABBC=−=−=−=，

故点E为靠近点B的一个三等分点．（2）因为32DCDAACABAC=+=−+，所以213332AEDCABACABAC=+−+，2211||63ABABACAC=−++，1474||||cos6333ABAC=−++=−．19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，

已知向量()2,1a=r，()1,0A，()cos,Bt．(1)若//aABruuur，且5ABOA=，求向量OB的坐标；(2)若//aABruuur，且2,23−，求22coscosyt=−+的最大值．【答案】(1)(

)1,1OB=−−(2)2116【分析】（1）由题意()cos1,ABt=−，根据共线的坐标表示可得cos12t−=，又根据5ABOA=得()22cos15t−+=，解方程组即可求出答案；（2）由（1）得cos12t−=，由此得2531cos455y=−−，再根据二

次函数的性质即可求出答案．(1)解：（1）∵()cos1,ABt=−，又aAB∥，∴2cos10t−+=，∴cos12t−=，①又∵5ABOA=，∴()22cos15t−+=，②由①②得255t=，解得1t=，当t＝1时，cos3=（舍去），当t＝－1时，cos1=−，∴()

1,1B−−，∴()1,1OB=−−．(2)解：（2）由（1）可知cos12t−=，()222cos1531coscoscoscos4424y−=−+=−+，22531531coscoscos424455=−+=−−，∵2,23−，

∴1cos,12−，∴当1cos2=−时，max2116y=．20．某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，2AB=千米，23AC=千米，4BC=千米，保安甲沿CB从警卫室

C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若ADxAByAC=+，求实数x､y的值；(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两

人不能通话？【答案】(1)31,44==xy(2)两人约有67小时不能通话【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点E的坐标之后可以把DE坐标表示，立出

不等式解不等式即可.【解析】（1）因为222ABACBC+=，所以ABAC⊥，因此建立如图所示的平面直角坐标系，(0,0),(2,0),(0,23)ABC，设保安甲从C出发t小时后达点D，所以有242ttCDCBCDCB==，设11(

,)Dxy，由1111(,23)(2,23),23322ttCDCBxyxtyt=−=−==−，即(,233)Dtt−，当1.5t=时，33(,)22D，由33(,)(2,0)(0,23)(2,23)22ADxAByACxyx

y=+=+=32312,443232xxyy====；（2）设保安乙从B出发t小时后达点E，所以点E的坐标为(2,0)t−，于是有(22,323)DEtt=−−，因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，所以有2DE，所以22(22)(323)2

tt−+−解之：2t或67t，又02t所以两人约有67小时不能通话.一、单选题1．若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式：①ab；②ab∥﹔③0a；④1b=.其中正确的是（）A．①④B．③C．①②③D．②③【答案】B【分析】根据向量的定义、向量的模、平行向量的定义判断．

【解析】对于①，a的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向量的模是一个非负实数，只有③正确．故选：B．2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且EBmDE=（mR），若ACAEAD=+（，R）且20+=，则m=（）A．13B．

3C．14D．4【答案】B【分析】方法1：由EBmDE=可得11AEABm=++1mADm+，由ABDCACAD==−代入可反解得()()11ACmAEmAD=++−，最后根据ACAEAD=+且20+=即可求得m的值.方法2：建立平面直角坐标系，表示

出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.【解析】方法1：在平行四边形ABCD中，因为EB=mDE，所以()ABAEmAEAD−=−，所以11AEABm=++1mADm+，又∵ABDCACAD==−，∴()111mAEACADADmm=−+++，∴()()11ACmAEmAD=++−，又∵ACA

EAD=+，∴1m=+，1m=−，（平面向量基本定理的应用）又∵20+=，∴()1210mm++−=，解得3m=，故选：B.方法2：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则()0,0A，设(),0Ba，(),D

bc，∵ABDC=则(),Cabc+，又∵EBmDE=，设(),Exy，则()()11mbaxaxmxbmymycmcym+=−=−+−=−=+即：,11mbamcEmm+

++∴,11mbamcAEmm+=++，(),ACabc=+，(),ADbc=，又∵ACAEAD=+，20+=∴2ACAEAD=−+∴()(),=2,,11mbamcabcbcmm++−+++∴2()121abma

bbmmcccm−++=++−=++①②由②得1=1mm+−，将其代入①得3m=，故选：B.3．已知三角形ABC外接圆O的半径为1(O为圆心)，且20OAABAC++=，2OAAB=，则C

ABC等于（）A．154−B．152−C．154D．152【答案】A【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边，利用数量积几何意义计算得答案．【解析】因为三角形ABC外接圆O的半径为1(O为圆心)，20OAABAC++=O为BC的中点，故ABC是直角

三角形，A为直角．又2OAAB=，12AB=uuur,2BC=22115222AC=−=uuur,215||4CABCCACBCA=−=−=−uuruuuruuruuruur故选:A.4．已知O为坐标原点，(cos,sin),|

|1OAOAOB=−=，则（）A．||OB的最小值为22B．||OB的最大值为2C．OAOB的最小值为1D．OAOB的最大值为2【答案】D【分析】首先根据向量的几何意义判断点,AB的轨迹，再利用数形结合，以及向量数量积的几何意义，判断选项.【解

析】由22sincos1+=，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由||1OAOB−=，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示．当点B在坐标原点位置时，||O

B取最小值0，A选项错误；当点B在直线OA与圆A的交点位置且不是原点时，||OB取最大值2，B选项错误；根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，OB在OA方向上的投影取最小值0，此时OAOB取最小值0，C选项错误，

当点B在直线OA与圆A的交点位置且不是原点时，OB在OA方向上的投影取最大值2，此时OAOB取最大值2，D选项正确．故选:D5．如图，在ABC中，O为线段BC上一点，且2BOOC=，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，()0ABmADm=，()0ACnAEn=，

则194mmn++的最小值为（）A．23B．34C．43D．2【答案】C【分析】根据向量的线性运算的几何表示及向量共线可得26mn+=，然后利用基本不等式即得.【解析】因为2BOOC=，所以()2AOABACAO−=−，即1233AOABAC=+，又因为G为线段AO的中

点，所以1121123363AGABACABAC=+=+，因为ABmAD=，ACnAE=，所以63mnAGADAE=+，因为D、G、E三点共线，所以163mn+=，即26mn+=，所以()41919149104412

124mmnmnmmmnmmnmmn++++=+=+++++()149141021029124123mnmmmn++=+=+，当且仅当494mnmmmn+=+，即2

3mn==时取等号．故选：C.6．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，给出下列结论：①OA与OH的夹角为π3；②ODOFOE+=；③22OAOCDH−=；④向量OA在向量ODuuur上的投影向量为22e

−（其中e是与ODuuur同向的单位向量）.其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用正八边形ABCDEFGH的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题即可求解.【解析】对于①，因为八边形ABCDEFGH为正八边形，所以284ππAOH=

=，所以OA与OH的夹角为π4，①错误；对于②，ODOFOEODFE+==，显然不成立，②错误；对于③，242AOC==，所以22CAOAOAOC==−=，22DHOA==，所以22OAOCDH−=，③正确；对于④，3

344AOD==，向量OA在向量ODuuur上的投影向量为22cos122OAAODeee=−=−，④正确，故选：B.7．已知e是单位向量，向量()1,2ibi=满足iiebeb−=，且12xbybe+=，其中x、Ry，且1xy+=，则下列结论中，①121xeb

yeb+=；②()1212yxxybb+−=；③存在x、y，使得122bb−=；④当12bb−取最小值时，120bb=.其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据数量积运算可判断①；由题可得221xbbeb−=，112ybbeb−=进而得()121yx

xybb+−=可判断②；结合基本不等式求得122bb−可判断③；结合条件可得到122bbe+=，同时平方即得120bb=可判断④.【解析】由12xbybe+=可得()121xbybeee+==，即121xebyeb+=，①正确；又12xbybe+=且1xy+=，则(

)121xbxbe+−=，即()122xbbeb−=−，所以122xbbeb−=−，又22ebeb−=，则1222xbbebeb−=−=，同理1121ybbebeb−=−=，则1211221yxbbxybbyebxeb−+−=+=，即()121yxxybb+−=，②错误；由1xy+=知,

xy至少一正，若,xy一正一负，则0yxxy+=，显然不满足()121yxxybb+−=，故,xy均为正，则212222xyyxxyxy++==，当且仅当12xy==时等号成立，则1212bbyx

xy−=+，当且仅当12xy==时等号成立，则存在x，y，使得122bb−=，③正确；当12bb−取最小值2时，12xy==，由12xbybe+=可得122bbe+=，则()2124bb+=，即()2121244bbbb−+=，则120bb=，④正确.所以正确结论的个数为3

.故选：C.【点睛】本题关键点在于由121xebyeb+=结合1xy+=得到221xbbeb−=，112ybbeb−=进而得()121yxxybb+−=，再结合基本不等式求得122bb−，最后由122bbe+=平方即可求解.8．点O是平面α上一定点，A，B，

C是平面α上ABC的三个顶点，B，C分别是边AC，AB的对角.有以下五个命题：①动点P满足OPOAPBPC=++，则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足(0)||||ABACOPOAABAC=++，则ABC的内心一定在满

足条件的P点集合中；③动点P满足(0)||sin||sinABACOPOAABBACC=++，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足(0)||cos||cosABACOPOAABBACC=++uuuruuuruuuruu

ruuuruuur，则，ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】根据ABC的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点

、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误．【解析】①当动点P满足OPOAPBPCAPPBPC=++=+时，则点P是ABC的重心，所以①不正确；②显然ABACABAC+在BAC的角平分线上，而AP与BAC的平分线所在向量共线，所以ABC的内心一定

在满足条件的点P集合中，因此②正确；③变形为()||sin||sinABACAPABBACC=+，而||sinABB，||sinACC表示点A到BC边的距离，设为AD，所以()APABACAD=+，而ABAC+

表示BC边的中线向量，所以AP表示BC边的中线向量，因此ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；④当90A=时，ABC的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；正确答案序号为②③．故选：C

二、多选题9．下列叙述中错误的是（）A．若ab=，则32abB．若//ab，则a与b的方向相同或相反C．若//ab，//bc，则//acD．对任一非零向量a，||aa是一个单位向量【答案】ABC【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定

义可判断B；当0b=时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.【解析】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若0b=，则对于非零向量

a，必有//0a，但a与0的方向不一定相同或相反，故B错误；对于C，若0b=，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量a与c，均有//ab，//bc，故此时a与c不一定平行，故C错误；对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量a，其单位向量为aa，故D正确.故选：ABC.10

．已知向量()2,1a=r，()3,1b=−，则（）A．a与ab−的夹角余弦值为255B．()//aba+C．向量a在向量b上的投影向量的模为102D．若525,55c=−，则ac⊥【答案】ACD【分析】对于A：由已知得()50ab−=，，根据向量夹角的计算公式

计算可判断；对于B：由已知得()+aba⊥，由此可判断；对于C：由已知得向量a在向量b上的投影，从而可判断；对于D：由5252+1055ac=−=，可判断.【解析】解：对于A：因为向量()2,1a=r，()3,1b=

−，所以()50ab−=，，所以a与ab−的夹角余弦值为2225+10255215=+，故A正确；对于B：因为()+12ab=−，，所以()+12+120aba=−=，所以()+aba⊥，故B不正确；对于C：向量a在向量b上的投影为()()2223+1151

021031abb−−===−−+，所以向量a在向量b上的投影向量的模为102，故C正确；对于D：因为525,55c=−，所以5252+1055ac=−=，所以ac⊥，故D正确，

故选：ACD.11．设12ee，均为单位向量，对任意的实数t有12121||||2eeete++恒成立，则（）A．1e与2e的夹角为60B．1213||22ee+=C．21||ete−的最小值为12D．212|()|etee+−的最小值为12【答案】B

D【分析】根据已知条件求得12ee，的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【解析】对A：设12ee，的夹角为，12121||||2eeete++，两边平方可得：25cos2cos14tt+++，即212co

scos04tt+−−对任意的t恒成立，故可得：24cos4cos10=++，即()22cos10+，则1cos2=−，又0,，故23=，故A错误；对B：121||2ee+2212121342eeee=++=，故B正确；对C：21||ete−222221122

1eteteett=+−=++2133242t=++，当且仅当12t=−时取得等号，故C错误；对D：212|()|etee+−()()22221211tetett=+−+−2331tt=−+，对2331ytt=

−+，当且仅当12t=时取得最小值14，故212|()|etee+−的最小值为12，故D正确.故选：BD.12．对于ABC，其外心为O，内心为P，垂心为H，则下列结论正确的是（）A．OAOBOAOCOBOC==uuruuuruuruuuruuuruuurB．212AOABAB=C．向

量AH与||cos||cosABACABBACC+共线D．2PAPBPCPO++=【答案】BC【分析】由O为外心，则OAOBOC==，仅当AOBAOCBOC==时，可判定A错误；根据向量的数量积的运算公式，可得判定B正确；由()0coscosABACABBACBCC

+=，得到coscosABACABBACC+与BC垂直，再由AHBC⊥，可判定C正确；连接,,,PAPBPCPM，设,DF分别是,ABPC的中点，连接,,PDDMFM，分别证得PCAB⊥和PBAC⊥，PABC⊥，得到P是ABC的垂心，可判定D错误.故选：BC.【解析】对于A中，因为O为

外心，则OAOBOC==，仅当AOBAOCBOC==时，才有OAOBOAOCOBOC==uuruuuruuruuuruuuruuur，所以A错误；对于B中，由||||cosAOABAOABOAB=，又由||||cos2ABAOOAB=，所以212AOAB

AB=，所以B正确；对于C中，由()coscoscoscosABACABACABBACCABBABCCBCBCC=++||||cos()||||cos||||0coscosABBCBACBCCBCBCABBACC−=+=−+=，即coscosABACABBACC+与

BC垂直，又由AHBC⊥，所以AH与coscosABACABBACC+共线，所以C正确；对于D中，如图所示，O为ABC的外接圆，连接,,,PAPBPCPO，设,DF分别是,ABPC的中点，连接,,PDDOFO，则2PAPBPD+=，又由2PAPBPCPO++=，所以2()2PCPOPDDO=−

=，即2PCDOPF==，所以DO与PF共线，因为O为ABC的外接圆的圆心，所以⊥DOAB，所以PCAB⊥，同理得PBACPABC⊥⊥,，所以P是ABC的垂心，所以D错误.故选：BC.13．如图，延长正方形ABCD的边CD至

点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若APABAE=+，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．满足λ+μ=3的点P

有且只有一个D．λ+μ=32的的点P有且只有一个【答案】C【分析】建立坐标系，讨论PAB，PBC，PCD，PAD四种情况，依次求出+的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.【解析】如图建系，取1A

B=，∵AEADDEADAB=+=−，∴()()()()()1,00,1,APABAEABAD=+=−+=−+=−，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，当

PAB时，有01−且0=，∴01≤≤，∴01+，当PBC时，有1−=且01，则1=+，∴12，∴13+，当PCD时，有01−且1=，则1+，∴12

，∴23+，当PAD时，有0−=且01，则=，∴01≤≤，∴02+，综上，03+，选项A，取1==，满足2+=，此时APABAEAD=+=，因此点P不一定是BC的中点，故A错误；

选项B，当点P取B点或AD的中点时，均满足1+=，此时点P有两个，故B错误；选项C，当点P取C点时，1−=且1=，解得2=，+为3，故C正确；选项D，当点P在,,BCCDAD上时，均可能满足32+=，此时点P有三个，故D错误；

故选：C.【点睛】关键点睛：求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论P的位置，根据APABAE=+，确定+的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）14．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是

（）A．若OAOBOC==，则O是△ABC的外心B．若PAPBPBPCPCPA==，则P是△ABC的垂心C．若0NANBNC++=，则N是△ABC的重心D．若0CBIAACIBBAIC===，则I是△ABC的垂心【答案】ABCD【分析】

根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.【解析】对A，根据外心的定义，易知A正确；对B，()0PBPAPCPBCAPBCA−==⊥uuruuruuuruuruur，同理可得：,PACBPCAB⊥⊥，所以P是垂心，

故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意2NANBNDNC+==−uuruuuruuuruuur，则||2||NCND=，同理可得：||2||,||2||NANENBNF==，则N是重心，故C正确；对D，由题意，,,CBIAACIBBAIC⊥⊥⊥，则I是垂心，故D正确故选：

ABCD.三、填空题15．在三角形ABC中，若3ABACAP+=，且CPxAByAC=+，则xy−=_______【答案】1【分析】根据3ABACAP+=，即可得出1233CPABAC=−uuruuuruuur，从而可求出x，y，进而得出xy−【解析】3

3()3333ABACAPCPCACPCACPAC+==−=−=+uuuruuuruuuruuruuruuruuruuruuurQ1233CPABAC=−uuruuuruuur，又CPxAByAC=+，

12,33xy==−，1xy−=故答案为：1．16．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若12MNAMBN=+，12,R，则12+的值为___________.【答案】25##0.4【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求

解.【解析】因为M，N分别为线段BC，CD的中点，所以()11112222MNBDADABADAB−===−,12AMABBMABAD=+=+,12ADABBCCNBN=+=−,所以12121122MNAMBNA

BADADAB=+=++−12121122AABD=++−,所以121211221122+=−=−，解得121535=

−=，所以12132555+=−+=，所以12+的值为25.故答案为：25.四、解答题17．设1e，2e是两个不共线的向量，如果1232ABee=−，124BCee=+，1289CDee=−.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)试确

定的值，使122ee+和12ee+共线；(3)若12ee+与12ee+不共线，试求的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析(2)22=(3)1【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证

明向量AB与BD共线；（2）两向量122ee+与12ee+（120ee+）共线，所以存在唯一实数实数，使()12122eeee=++.由此列方程组可解；（3）知两向量不共线，求参数.可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数值或范围.（1）证明：因为()1

21212124891284324BDBCCDeeeeeeeeAB=+=++−=−=−=，所以AB与BD共线.因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线.（2）因为122ee+与12ee+共线，所以存在实数

，使()12122eeee=++.因为1e，2e不共线，所以2,1,==所以22=.（3）假设12ee+与12ee+共线，则存在实数m，使()1212eemee+=+.因为1e，2e不共线，所以1,,mm==所以1

=.因为12ee+与12ee+不共线，所以1.18．已知向量13(3,1),,22ab=−=.(1)求与a平行的单位向量c；(2)设()23,xatbyktab=++=−+，若存在[0,2]t，使得xy⊥rur成立，求k的取

值范围.【答案】(1)3,221−或3,221−(2)3,2+【分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题（1）设(,)xy=c，根据题意得221,30,xyyx+=

+=解得3,21,2xy==−或3,21,2xy=−=31,22=−c或31,22=−c.（2）13(3,1),,,022abab=−==.(

)222,||3||0xyktatb⊥−++=.||2,||1ab==，2430tkt−+=.问题转化为关于t的二次方程2430tkt−+=在[0,2]内有解.令2()43fttkt=−+，①当20k„

，即0k„时，()ft在[0,2]内为增函数，(0)3f=方程2430tkt−+=在[0,2]内无解.②当022k„，即01k„时，由216120k=−…，解得32k−„或33,122kk厔?.③当22

k，即1k时，()ft在[0,2]内为减函数，由(2)0f„得4830k−+„.解得7,18kk….综上，实数k的取值范围为3,2+.19．如图，在OAB中，P为线段AB上的一个

动点（不含端点），且满足APPB=.(1)若13=，用向量,OAOB表示OP；(2)若6,2OAOB==，且120AOB=，求OPAB的取值范围.【答案】(1)3144OPOAOB=+(2)()42,10−【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解；（2）利用数量积的运算律求解即可.

【解析】（1）因为APPB=，所以1APAB=+，所以()1111OPOAAPOAOBOAOAOB=+=+−=++++，当13=时，3144OPOAOB=+.（2）由（1）可知111OPOAOB=+++，所以()111OPABOAOBO

BOA=+−++2211111OAOAOBOB−=−+++++因为6,2OAOB==，120AOB=，所以3611452621011211OPAB−=−+−+=−++++，因为0，所以525

201−−+，所以4210OPAB−，即OPAB的取值范围为()42,10−.20．在梯形ABCD中，//,2,1ABCDABBCCD===，120BCD=，P，Q分别为线段BC和CD上的动点．(1)求BC与AB的数量积；(2)若14BPBC=，求

AP；(3)若1,6DBPBCQDC==，求APBQuuuruuur的最大值．【答案】(1)2−(2)132(3)76【分析】（1）根据数量积的运算求得BC与AB的数量积.（2）利用平方的方法求得AP.（3）求得APBQuuuruu

ur的表达式，利用导数求得最大值.（1）1cos1202222BCABBCAB==−=−.（2）14APABBPABBC=+=+，22221114216APABBCABABBCBC=+=++()2211132222164=+?+?，所以132AP=

.（3）1,6DBPBCQDC==,()()APBQABBPBCCQ=++()2616161666ABBCBCCDABBCABCDBCBCCD−−−=++=+++61611125221421566236−−=−−++=+−.01

1116016，设()125536f=+−，()()()2'22215115111515333f+−−=−==，所以()()'115,0,615ff

递减；()()'151,0,15ff递增，()1172547,166636ff=−=−=，所以()f在1,16上的最大值为76.即APBQuuuruuur的最大值为76.21．已知平面直角坐标系中，点(,0)Aa，点(0,)B

b（其中a，b为常数，且0ab），点O为坐标原点.如图所示，设点1231,,,,nPPPP−是线段AB的n等分点，其中,2nnN，(1)当2022n=时，求121nOAOPOPOPOB−++++

+的值（用含a，b的式子表示）；(2)当1,10abn===时，求()()1,1,,iijOPOPOPijnijN+−的最小值.（说明：可能用到的计算公式：(1)123,2nnnnN+++++=.）【答案】(1)2220232ab+(2)2325【分析】（1）由题意可得12021OP

OPOAOB+=+uuuruuuuuruuruuur，进而推出mnOPOPOAOB+=+，代入题中的等式即可；（2）当a=b=1，n=10时，101010iiiOP−=，，101010jjjOP

−=，，进而得到555050ijijijOPOP−−+=，从而得()ijOPOPOP+=2(5)1510050ijii−+−+=，列出i的取值即可得到对应的函数值.(1)由题意得12021120222022OPOAOB=+uuuruuruuur，20191202

120222022OPOAOB=+uuuuuruuruuur，所以12021OPOPOAOB+=+uuuruuuuuruuruuur，事实上，对任意正整数m，n，且m+n=2022，有202220222022mmmOPOA

OB−=+uuuruuruuur，202220222022nnnOPOAOB−=+uuuruuruuur，所以mnOPOPOAOB+=+所以当2022n=时，()12120212nOAOPOPOPOBOAOAOBOB−+++++=+++uuruuuruuuuruuuruuruuru

uuuuurruuurL2220232023||22OAOBab=+=+uuruuur.(2)当a=b=1，n=10时，1010,10101010iiiiiOPOAOB−−=+=，同理1010,10101010jjjjjOPOAOB−−=+=10105

5501010101050ijijijijijOPOP−−−−+=+=2222101050101050iiiiiOP−−+=+=()2ijijOPOPOPOPOPOP+=+21050555050iiijij−++−−+=2(5)15100()50ijiiMj−+−+

==当i=6，7，8，9时，22(5)1151001495()(1)5050iiiiiMjM−+−+−+==，当i=7时，上式有最小值2325当i=5时，2575100()150Mj−+==当i=1，2，3，4时

，22(5)915100655()(9)5050iiiiiMjM−+−+−+==，当i=3时，上式有最小值2325综上，()iijOPOPOP+的最小值是2325.一、单选题1．（2021·全国·校联考模

拟预测）已知向量a，b为非零向量，则“向量a，b的夹角为180°”是“//ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断命题“若向量a，b的夹角为180°，则//ab”和命题“若//ab，则向量a，b的夹角为180°”的

真假即可得解.【解析】因向量a，b为非零向量，则当向量a，b的夹角为180°时，a与b方向相反，即//ab成立，当//ab时，a与b方向相同或者方向相反，即向量a，b的夹角为0°或者180°，可以不为180°，所以“向量

a，b的夹角为180°”是“//ab”的充分不必要条件.故选：A2．（2021·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（）A．若ADBC=，则四边形ABCD为平行四边形B．若13ADBC=，则四边形ABCD为梯形

C．若ABDC=，且||||ABAD=，则四边形ABCD为菱形D．若ABDC=，且ACBD⊥uuuruuur，则四边形ABCD为正方形【答案】D【分析】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.【解析】A选项，A

DBC=，则//,ADBCADBC=，所以四边形ABCD为平行四边形，A正确.B选项，13ADBC=，则1//,3ADBCADBC=，所以四边形ABCD为梯形，B正确.C选项，ABDC=，则//,ABDCABDC=，四边形ABCD

是平行四边形；由于||||ABAD=，所以四边形ABCD是菱形，C正确.D选项，ABDC=，则//,ABDCABDC=，所以四边形ABCD为平行四边形；由于ACBD⊥，所以四边形ABCD为菱形，D选项错误.故选：D3．（2022·上海普陀·统考一模）设0k，若向

量a、b、c满足::1::3abck=，且()2bacb−=−，则满足条件的k的取值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据题意可得222(3)44bcaca=++，利用平面向量的数量积的定义和三角函数的性质可

得293712cos,[25,49]kac=+，进而22549[,]99k，结合选项即可求解.【解析】由2()bacb−=−，得32bca=+，所以()()22223244bcacaca=+=++，又::1::3abck=，所以2229431431cos,kac=++

，即293712cos,[25,49]kac=+，得22549[,]99k，又0k，所以57[,]33k，所以k的取值可以是2.故选：B.4．（2022·陕西安康·统考一模）已知O是ABC内一点，230OAOBmOC++=，若AOB与ABC的面积之比为47，则实数m的值为（

）A．103−B．103C．203−D．203【答案】D【分析】由230OAOBmOC++=确定O点的位置，再利用AOB与ABC的面积之比列方程来求得m的值.【解析】由23OAOBmOC+=−得23555mOAOBOC+=−，设

5mOCOD−=，则2355ODOAOB=+.由于23155+=，所以A，B，D三点共线，如图所示，∵OC与OD反向共线，0m，∴5ODmOC=，∴5515mODmmmCD==++，∴420573AOBABCODSmmSmCD====+△△.故选：D5．（

2021·浙江金华·统考三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知·0mn，记||||MmOCOAnOCOB=−+−，则（）A．若m+n=3，则M的最小值为3B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值C．若m·n=3，则M的最小值为3D．若m·n

=3，则有唯一C点使M取最小值【答案】A【分析】设BOC=，以O为原点，以OB、与OB所在直线垂直的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，把MmOCOAnOCOB=−+−转化为关于的表达式，可解决此题．【解析】：设BOC=，如图：以O为原点，以OB、与OB

所在直线垂直的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则()10B,，13,22A−，()cos,sinC，20,3，13cos,sin22mOCOAmm−=+−，()cos1,sinnOCOBnn−=−，MmOCOAnOCO

B=−+−()()222213cossincos1sin22mmnn=++−+−+221cos3sin2cos1mmmnn=++−+−+．①若3mn+=，取0m=，3n=，则1106cosM=+−，20,3

，1cos,12−，1cos1,2−−，106cos4,13−，3,113M+,min3M=，此时0=，C、B两点重合，所以A正确；取3m=，

0n=，则1106sin6M=++−，当23=时取最小值，此时C、A两点重合，所以C点不唯一，故B错误；②若3mn=，取1,3mn==，则2sin3cos106cosM=+−+−22sin106cos6

=+−+−，当0=时，min4M=，故C错误；取1m=，3n=时，则22sin106cos6M=+−+−，当23=时，取最小值，C点不唯一，故D错误.故选：A．【点睛】本题考查

平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.二、多选题6．（2022·浙

江嘉兴·校考模拟预测）设ab，是两个非零向量，若()bab⊥−，则下列结论正确的是（）A．2abb=B．2aab=−C．a在b方向上的投影向量为bD．cosaabb=，【答案】ABC【分析】利用平面向量的垂直关系，然后对选项一一验证即可.【解析】因为

()bab⊥−，所以()20babbab−=−=，所以22abbb==，所以选项A正确；因为()bab⊥−，所以2abb=，即有22244aaabb=−+，所以2aab=−，所以选项B正确；因为()bab⊥−，所以a在b方向上的投影向量为cosaab

bbb=，，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，2cosabababb==，，所以cosbaba=，，所以选项D错误.故选：ABC.7．（2021·全国·统考模拟预测）下列说法正确的是（）A．若,,abc为平面向量，//,//abbc，则//acB．若,,ab

c为平面向量，,abbc⊥⊥，则//acC．若1,2ab==rr，()aba+⊥rrr，则a在b方向上的投影为12−D．在ABC中，M是AB的中点，AC＝3AN，BN与CM交于点P，AP＝AB+AC，则λ＝2μ【答案】CD【分析】利

用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可判断D.【解析】A，若0b=，则0与任意向量共线，所以a与c不一定平行，故A错误；B，若,abbc⊥⊥，则0ab=，0bc=，当,,abc共面时，//ac，若,,abc不共面时，a与c不平行，故B错误；

C，若()aba+⊥rrr，则()0aba+=rrr，所以21aba=−=−，a在b方向上的投影为12abb=−rrr，故C正确；D，APANNP=+，设NPaNB=,则()1133APACaNBACaNCCB=+=++()112333ACaNCaCBACaACaCAAB=

++=+++1233ACaACaCAaAB=+++1133aACaAB=−+，设a=，则1133=−，即31=−，①12APAMMPABMP=+=+，设MPbMC=，1111122222APABbMCABbABBAACbABbAC

=+=+++=−+，1122=−，即21=−，②由①②可得2=5，15=，即2=，故D正确.故选：CD三、填空题8．（2022·全国·模拟预测）已知向量a与b不共线，且()2aab+=，1a=，若

()()22abab−⊥+，则()bab−=___________.【答案】3−【分析】由()2aab+=得1ab=，由()()22abab−⊥+得2b=，即可求解结果．【解析】由()212aabaabab+=+=+=得1ab=由()()22abab−⊥+得()

()222240ababab−+=−=，所以2b=则()2143babbab−=−=−=−故答案为：3−9．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）半径为4的圆O上有三点A、B、C，满足0OAABAC++=，点P是

圆O内一点，则PAPOPBPC+的取值范围为______．【答案】)16,56−【分析】根据平面向量加法的几何意义结合圆的几何性质可以确定四边形OBAC是菱形，结合菱形的性质、圆的几何性质、平面向量运算法则进行求解即可.【解析】如图，OA与BC交

于点D，由0OAABAC++=得：OBCA=，四边形OBAC是平行四边形，又4OAOB==，所以四边形OBAC是菱形，则2ADOD==，23BDDC==，由图知PBPDDB=+，PCPDDC=+，而DBDC=−，∴22222||||||12PBPCPDDBPDDBPD=−=−

=−，同理PAPDDA=+，POPDDO=+，而DADO=−，∴22222||||||4PAPOPDDOPDDOPD=−=−=−，∴22||16PAPOPBPCPD+=−，∵点P是圆内一点，则0||6PD，∴1656PAPOPBPC−+.故答案为：)16,56−四、解答

题10．（2021·甘肃平凉·静宁县第一中学校考二模）已知向量a与b的夹角为π6，且3a=，2b=．(1)若向量ab+与ab+共线，求实数的值；(2)若向量ab+与ab+的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)1=(2)()7,11,6−+【分析】（1）由ab+与a

b+共线，得到()()//abab++，然后由()abab+=+，即()()10ab−+−=，根据a，b不共线求解；（2）法一：根据ab+与ab+的夹角为锐角，由()()0abab++且ab+与ab+的夹角不为0求解；法二：设ab+与a

b+的夹角为，然后由0cos1即()()01abababab++++求解．【解析】（1）解：因为ab+与ab+共线，所以()()//abab++，即存在实数，使得()abab+=+，即()()10ab−+−=

，因为a，b不共线，所以0,1,−==解得1,1,==，故1=．（2）法一：因为ab+与ab+的夹角为锐角，所以()()0abab++且ab+与ab+的夹角不为0．首先()2210aabb+++

，因为32cos36πab==，所以670+，解得76−；其次当1=时，由（1）得ab+与ab+的夹角为0，所以1，所以的取值范围为()7,11,6−+．法二：设ab+与ab+的夹角为，

由已知得0cos1．因为32cos36πab==，223223413abaabb+=+=++=+，22223264abaabb=+++=++．()()()22167ababaabb

++=+++=+．所以2670113364+++，解得76−，1，所以的取值范围为()7,11,6−+．11．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知向量11

3,sincos222axx=+和向量()()1,bfx=，且//ab.（1）求函数()fx的最小正周期和最大值；（2）已知ABC的三个内角分别为,,ABC，若有33fA−=，7BC=，21sin7B=，求AC

的长度.【答案】（1）最小正周期为2，最大值为2；（2）2.【分析】由//ab整理可得：()sin3cos2sin3fxxxx=+=+；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用33f

A−=求得sinA，利用正弦定理求得结果.【解析】由//ab得：()113sincos222fxxx=+则：()sin3cos2sin3fxxxx=+=+（1）()fx最小正周期为：221T=

=当sin13x+=时，()max2fx=（2）由33fA−=得：2sin3A=，则3sin2A=由正弦定理可知：sinsinBCACAB=，即217sin72sin32BCBACA===【点睛】

本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.12．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交

于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求QMQN的取值范围；(2)若P是平面上一点，且满足2(1)OPOBOC=+−，求PMPN的最小值．【答案】(1)[1,0]−；(2)74−．【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将QMQN转化为22QOOM−，再由||

QO的值和||OM的范围可求得结果.（2）令2(1)OTOPOBOC==+−可得点T在BC上，再将PMPN转化为22POOM−，由||OP、||OM的范围可求得结果.【解析】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分

别交于点M、N．所以O为MN的中点，所以OMON=−，所以()()QMQNQOOMQOON=++22QOOM=−．因为Q是BC的中点，所以||1QO=，1||2OM，所以2210QOOM−−，即的QMQN取值范围为[1,0]−；（2）令2OTOP=，则2(1)OTOPOB

OC==+−，∴OTOBOCOC=+−，即：OTOCOBOC−=−∴CTCB=∴点T在BC上，又因为O为MN的中点，所以||1OT，从而1||2OP，()()PMPNPOOMPOON=++22POOM=−，因为1||2OM，所以2217244PMPNP

OOM=−−=−，即PMPN的最小值为74−．