【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册单元复习试题 单元复习10 三角恒等变换 基础题 Word版含解析.docx，共(32)页，1.249 MB，由管理员店铺上传

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单元复习10三角恒等变换01三角恒等变换的有关计算一、单选题1．化简sin347cos148sin77cos58+的值为（）A．32B．32−C．12D．22【答案】D【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数

式的值.【解析】原式()()sin27077cos9058sin77cos58=+++()()2sin58cos77cos58sin77sin5877sin135sin18045sin452=+=+==−==.故选：D.2．已知,都是锐

角,π1sin67−=,()3cos5+=−,则πcos6+=（）A．412335−−B．412335−C．124335−+D．124335−−【答案】B【分析】根据题意判断π,6−+的范围,从而求出()πcos,sin6−

+的值,将πcos6+写为()πcos6+−−,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.【解析】由于,都是锐角,则πππ663−−,0+,因为π1sin067−=,()3cos05+=−,所

以ππ063−,π2+,所以π43cos67−=,()4sin5+=,所以()ππcoscos66+=+−−()()ππcoscossinsin66=+−++−

343414123575735−=−+=.故选:B3．下列各式中，值为12的是（）A．22cos151−B．2sin75cos75C．cos18cos42sin18sin42+D．tan30tan151tan30tan15+−

【答案】B【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【解析】232cos151cos302−==，故A错误；12sin75cos75sin150sin302===，故B正确；(

)()1cos18cos42sin18sin42cos1842cos242+=−=−，故C错误；()tan30tan15tan301511tan30tan15+=+=−，故D错误，故选:B.4．已知终

边上一点sin,cos66P−，则2cos23sin2+=（）A．433B．433−C．833D．833−【答案】B【分析】由终边坐标求得正余弦值，结合倍角公式求值即可.【解析】由题意可知点13,22P−，所以3sin2=，1cos2=

−，3sin22sincos2==−，21cos22cos12=−=−，∴2cos2343sin23+=−．故选：B．5．已知πtan34+=，则11sin2cossincos=−+（）A．59−B．12−C．12

D．59【答案】A【分析】利用和角的正切公式求出tan，再利用齐次式法计算作答.【解析】πtantanπtan14tan3π41tan1tantan4+++===−−，得1tan2=，所以222222111sincossin2cossin

cossinsincos2cossinsincos2cos+==−+−−−−2211tan15411tantan29242++===−−−−−.故选：A6．设()1coscoscos...cos242nnxxxf

xx−=，则44π3f=（）A．-332B．-316C．-116D．316【答案】D【分析】根据二倍角公式可将()1coscoscos...cos242nnxxxfxx−=化简成()1sin22sin2nnnxfx

x−=，代入计算即可求得结果.【解析】由()1coscoscos...cos242nnxxxfxx−=可得()111111coscoscos...cossinsin2sin224222sinsin2sin222nnnnnnnnxxxxxxxfxxxx−−−−−===；所以44π2πsin2

sin4π333π3816616sinf===.故选：D7．若1coscossinsin2xyxy+=，2sin2sin23xy+=，则()sin+=xy（）A．23B．23−C．13D．13−【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式和和差化积公式可得答案.【解析】因

为1coscossinsin2xyxy+=，所以()1cos2−=xy，因为2sin2sin23xy+=，所以()()22sincos3+−=xyxy，所以()122sin23+=xy，所以()2sin3+=xy，故选：A．8．已知()2sin3sin2

−=+，则221sinsin2cos2−−=（）A．513B．113−C．513−D．113【答案】B【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.【解析】由2sin()3sin()2−=+，得2sin3cos=，所以3tan2=，从而222222221si

nsincoscostantan11sinsin2cos2sincostan113−−−−−−===−++故选：B二、多选题9．tan75°＝（）A．23+B．1cos1501cos150+−C．sin150

1cos150+D．tan25tan35tan85【答案】ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A，由正切半角公式判断BC，由()()tan60tan60tantan3−+=，令25=即可判断出D.【解析】31ta

n45tan303tan75tan(4530)231tan45tan30313++=+===+−−，故A正确；由正切的半角公式知1cos150tan751cos150−=+，故B错误；2sin752sin75cos75sin15

0tan75cos752cos751cos150===+，故C正确；∵()()tan60tan60tantan3−+=，令25=，得tan75=tan25tan35tan85，可得D正确.故选：ACD.10．下列计算结果正确的是（）A．44ππ

2cossin882−=B．1tan1531tan15+=−C．2sin15sin751=D．()sin1403tan1901−=【答案】ABD【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.【解析】442222πππππππ2cossincossinc

ossincos88888842−=+−==，A正确；()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15++==+==−−，B正确；()12sin15sin7

52sin15sin90152sin15cos15sin302=−===，C错误；由()2sin60103cos10sin102sin503tan1903tan10cos10cos10cos10−−−=−===

，可得()()2sin50sin9050sin1403tan190cos10+−=()sin90102sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10+===

==，D正确；故选：ABD11．设的终边在第二象限，则1sincossin22−−的值可能为（）A．1B．-1C．-2D．2【答案】AB【分析】先求得2的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.【解析】∵的终边在第

二象限，∴π2π2ππ2kk++，Zk，∴ππππ24222kk++，Zk，222sincossincossincos2sincos221sin222222cossincossincossincossin2

2222222−−+−−===−−−−，故当ππ2π2π422kk++，Zk时，sincos022−，sincos1sin221cossincos

sin2222−−==−−−当5π3π2π2π422kk++，Zk时，sincos022−，cossin1sin221cossincossin2222−−==−−.故选：AB三、填空题12．已知π02，，，()6si

n7＋＝，tan2tan=，则()sin−＝______．【答案】27【分析】化切为弦，由正弦和角公式得到方程组，求出4sincos72cossin7==，利用正弦差角公式求出答案.【解析】由tan2tan=得，sin2si

ncoscos=，则sincos2cossin=①，由()6sin7+=得，6sincoscossin7+=②，联立①②解得4sincos72cossin7==，∴()2sinsincoscossin7−=−=

．故答案为：2713．化简：()()ππcosπcosπcoscos22+−++−=______.【答案】cos2【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式化简即可求解.【解析】()()()22ππcosπcosπcoscoscoscossi

nsincossincos222+−++−=−−−=−=.故答案为：cos214．已知sin2θ＝35，0＜2θ＜2，则22cossin122sin()

4−−+＝________．【答案】12##0.5【分析】利用二倍角公式变形求出tan，根据三角恒等变换化简待求式为1tantan1−+，即可代入求解.【解析】因为3sin2,0252=

，所以4cos25=，所以23sin2sincossin215tan4cos2cos1cos2315=====++，因为222cos1sin2cossin1222sin2sincoscossin444−−−−=++

sin1cossin1tancossinsincostan11cos−−−===+++所以111tan131tan1213−−==++，即22cossin11222sin()4−−=+故答案为：12四、解答题15．化简并求值．(1)()23ta

n1234cos122sin12−−；(2)()cos40sin5013tan10sin701cos40+++；(3)334sin208sin202sin20sin480−+．【答案】(1)43−；(2)2；(3)23

3.【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.（2）根据给定条件，利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.（3）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答.【解析】（1）2sin12

333tan1233sin123cos12cos12(4cos122)sin122cos24sin12sin24cos24−−−==−1323(sin12cos12)43sin4822431sin48sin482−−==

=−.（2）2sin10cos40cos40(13)cos40sin50(13tan10)cos10sin701cos40cos202cos20++++=+22132(cos10sin10)cos103sin1022cos40cos40cos40

cos40cos10cos102cos202cos20++++==222222sin40sin80cos40cos40cos40cos4012cos20cos10cos1022cos202

cos202cos202cos20+++=====.（3）3234sin208sin2034sin20(12sin20)2sin604sin20cos402sin20sin4802sin20sin1203sin2

0−+−−−==2sin(4020)4sin20cos402sin40cos202sin20cos403sin203sin20+−−==()2sin40202333sin20−==.16．证明：

（1）sin2sin3sin5sin3sin32sin5sin7sin5AAAAAAAA++=++；（2）()()()()coscos120cos120tansinsin120sin1202ABBABBAA+++−+=++−−．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）结合和差化积公式证得结论成立.（2）结合和差化积公式、同角三角函数的基本关系式证得结论成立.【解析】（1）左边(sinsin5)2sin3(sin3sin7)2sin5AAAAAA++=++2sin3cos22sin32sin5cos

22sin5AAAAAA+=+2sin3(cos21)2sin5(cos21)AAAA+=+sin3sin5AA==右边．（2）左边cos2cos120cossin2cos120sinABBA++=coscossinsinABBA−=−2sinsin22

tan22cossin22ABBAABABBA+−+===+−右边．17．求下列各式的值：（1）已知11cos(),cos()23−=−+=，求coscos,sinsin的值；（2）求()2sin4012cos402cos40cos401++−的值；【答案】（1）11

2−；512−；（2）3．【分析】（1）利用1coscos[cos()cos()]2=++−，1sinsin[cos()cos()]2=−+−−计算即可；（2）利用倍角公式及两角和与差的正余弦公式

计算.【解析】（1）1coscos[cos()cos()]2=++−111123212=−=−，1sinsin[cos()cos()]2=−+−−111523212=−+=−．（2）原式()2sin402sin40cos40cos402cos4

01+=+−()()()()2sin60sin60sin40sin80cos40cos80cos60cos600202020++==−++−++2sin60cos20tan6032cos60cos20

===．18．已知221sincossin222=−．(1)求2sin2cos2+的值；(2)已知()0,π，π,π2，26tantan10−−=，求+的值．【答案】(

1)1(2)5π4【分析】（1）利用正余弦函数的倍角公式与三角函数的商数关系，结合齐次式法即可得解；（2）先解二次方程，结合的取值范围求得tan，再结合（1）中结论求得+的取值范围，从而利用正切函数的和差公式即可求得+的值．【解析

】（1）因为221sincossincos222=−=，易知cos0，所以sintan2cos==，所以222sin2cos24sincoscossin+=+−22224sincos

cossinsincos+−=+22224tan1tan42121tan121+−+−===++.（2）因为26tantan10−−=，所以()()3tan12tan10+−=，解得1tan3=−或1tan2=，因为π,π2，

所以1tan3=−，又因为tan20=，()0,π，所以π0,2，故π3π,22+，因为()12tantan3tan111tantan123−++===−

−−，所以5π4+=.02三角恒等变换的应用一、单选题1．函数2sincos3cos3yxxx=+−的图像的一个对称中心是（）A．53,62−B．23,32−C．23,32−D．,33

−【答案】A【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，然后求对称中心即可.【解析】21333sincos3cos3sin2cos2sin222232yxxxxxx=+−=+−=+−，令23xk+=，Zk，解得1

26kx=−，Zk，当=2k时，56x=，32y=−，所以53,62−是一个对称中心.故选：A.2．函数ππ()sin2cos233fxxx=−+的最小正周期是（）A．π4B．π2C．πD．2π【答案】B【分析】

将()fx解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.【解析】因为()sin2cos233=−+fxxx1313sin2cos2cos2sin22222xxxx=−−221333sin2cos2sin2co

s2sin2cos24444xxxxxx=−−+13sin424x−=所以2ππ42T==，故选:B.3．函数()cossin6fxxx=+−在区间0,上的最小值为（）A．1B．－1C．12D．12−【答案】D【分析】化简可

得()sin6fxx=+，再结合正弦函数的图象分析求解即可【解析】()3131cossincossincossin22226fxxxxxxx=+−=+=+，故当0,x时，7,666

x+，故当766x+=时，()fx取最小值71sin62=−故选：D4．已知函数()()3cossin3cos0,22fxxxxx=+−，则函数()fx的值域为（）A．33,22−B．3,12−C．11,22−

D．1,12−【答案】B【分析】首先化简函数()sin23fxx=+，再代入定义域，求函数的值域.【解析】()23sincos3cos2xxfxx=+−()133sin2

1cos2222xx=++−sin23x=+,0,2x,42,333x+，所以3sin2123x−+，所以函数()fx的值域为3,12−.故选：B5．函数()23sincoscos2fxxxx=+，

下列结论正确的是（）A．()fx在区间ππ,63−上单调递增B．()fx的图像关于点π,06成中心对称C．将()fx的图像向左平移512个单位后与2sin2yx=的图像重合D．若12π3xx+=，则()()12fxfx=【答案】D【分析】利用三

角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【解析】解：()23sincoscos2fxxxx=+3sin2cos2xx=+312sin2cos22sin2226xxx=+=+，对于A：若ππ

,63x−，所以,2566ππ6x−+，因为sinyx=在π5π,66−上不单调，故A错误；对于B：2sin22sin26662f=+==，故()fx

关于直线6x=对称，故B错误；对于C：将()fx的图像向左平移512个单位得到()65122sin22sin22sin2yxxx=++=+=−，故C错误；因为()fx关于直线6x=对称，又12π3xx+=，即1x、2x关于6

x=对称，所以()()12fxfx=，故D正确；故选：D6．设13cos10sin1022a=−，22tan131tan13b=+，1cos502c−=，则a，b，c大小关系正确的是（）A．abcB．cba

C．acbD．b<c<a【答案】C【分析】通过三角恒等变形得到sin20,sin26,sin25abc===，结合sinyx=的单调性即可比较大小.【解析】()13cos10sin10cos6010cos70sin2022a=−

=+==，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin26sin131tan131cos13b====++，21cos50sin25sin252c−===，因为函数sinyx=在0,2上是增函数，故sin20sin25sin

26，即acb.故选：C.7．函数()21sin3sincos2fxxxx=++，则下列结论正确则下列结论正确的是（）A．()fx的最大值为1，最小正周期为B．()fx的图像向右平移6个单位后得到一个偶函数的图像C．()yfx=的图像关于直线712x=对称D．()yfx=的图像

关于点7,012对称【答案】B【分析】利用二倍角和辅助角公式化简可得()sin216fxx=−+，由正弦型函数最值可知A错误；由三角函数平移变换原则可得()fx的图像向右平移6个单位后所得函数，由奇偶性定义可知B

正确；利用代入检验的方法来判断出712x=、7,012是否是对称轴和对称中心，知CD错误.【解析】()2131sin3sincossin2cos21sin212226fxxxxxxx=++=−+=−+；对于A，当sin21

6x−=时，()max2fx=，A错误；对于B，sin21cos2162fxxx−=−+=−+，又()cos21cos21xx−−+=−+，6fx−为偶函数，()fx的图像向右平移6个单位后得到一个偶函数的图像，B正

确；对于CD，当712x=时，26x−=，又7112f=，()fx\图像关于点7,112对称，712x=不是()fx的对称轴，CD错误.故选：B.8．方程3sin2cos220xxa+−=区间70,6上恰有三个根，其根分别为123,,xxx

，则123xxx++的取值范围为（）A．25,36B．5,6C．4,3D．43,32【答案】D【分析】依题意可得sin26ax=+，即直线ya

=在与sin(2)6yx=+有三个交点，【解析】解：因为3sin2cos220xxa+−=，所以31sin2cos2sin2226axxx=+=+，令sin26yx=+，70,6x，因为70,6x

，所以52,662x+，函数图象如下所示：令262x+=，解得6x=，令1sin(2)62x+=，则22,66xkkZ+=+或522,66xkkZ+=+，解得,xkkZ=或,3xkkZ=+，依题意直线ya=在与si

n(2)6yx=+有三个交点，则112a，不妨设123xxx，根据三角函数的图象及性质，可得376x，而1x，2x关于直线6x=对称，那么12333xxxx++=+，123xxx++的取值范围43,32．故选：D．二、多选题9．已知函数()tan2

6πfxx=−，则（）A．323f=−B．()fx的最小正周期为2C．把()fx向左平移6可以得到函数()tan2gxx=D．()fx在,06−上单调递增【答案】ABD【分析】根据正切函数的函数值，周期，平移对应的解析式变化，和函数的单调性即可

求解.【解析】()tan26πfxx=−,所以3tantan2663f=−=−=−，故选项A正确；()fx的最小正周期为2T==，故选项B正确；把()fx向左平移6可以得

到函数tan2tan(2)666yxx=+−=+，故选项C错误；,06x−，2,626x−−−，tan26x−单调递增，所以()fx在,06−

上单调递增，故D选项正确；故选：ABD.10．设函数22()cossin2cossinfxxxxx=−+，下列说法中，正确的是（）A．()fx的最小值为2−B．()fx在区间ππ,48−上单调递增C．函数()yfx=的图象可由

函数2sinyx=的图象先向左平移π4个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到D．将函数()yfx=的图象向左平移π4个单位，所得函数的图象关于y轴对称【答案】ABC【分析】先化简得到π()2si

n24fxx=+，从而得到()fx的最小值为2−，A正确；B选项，由ππ,48x−得到πππ2,442x+−，整体法得到()fx在区间ππ,48−上

的单调性；C选项，根据平移变换和伸缩变换得到变换后的解析式，C正确；D选项，求出平移后的解析式，判断其图象不关于y轴对称.【解析】22π()cossin2cossincos2sin22sin24fxxxxxxxx=−+=+=+，当ππ22π,Z42xkk

+=−+，即3ππ,Z8xkk=−+时，()fx的最小值为2−，A正确；ππ,48x−时，πππ2,442x+−，由于sinyz=在42ππ,z−上单调递增，故()fx在区间ππ,48−上单调递增，B正确；函

数2sinyx=的图象先向左平移π4个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到π2sin24yx=+，C正确；将函数π()2sin24fxx=+的图象向左平移π4个单位，所得函数为3π2sin24yx=+，当0x=时，3π2s

in24y=，故3π2sin24yx=+不关于y轴对称，D错误.故选：ABC11．已知函数()2sincoscos2fxxxx=+，下列结论正确的是（）A．()fx是周期函数B．()fx的图象关于原点对称C．()fx的值域为

2,2−D．()fx的单调递减区间为32,244kk++，Zk【答案】AC【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性可判断B选项；考查函数()fx在,−上的值域，可判断C选项；求出函数()fx的单调递减区

间，可判断D选项.【解析】对于A选项，因为()()()()22sin2cos2cos22fxxxx+=++++()2sincoscos2xxxfx=+=，故函数()fx为周期函数，A对；对于B选项，()()()()()2sincoscos

22sincoscos2fxxxxxxxfx−=−−+−=+=，()fx为偶函数，B错；对于C选项，由A选项可知，函数()fx是周期函数，且周期为2，不妨考虑函数()fx在,−上的值域即可，当0x时，则92444x+，()2sincoscos2sin2cos

22sin22,24fxxxxxxx=+=+=+−，因为函数()fx为偶函数，故函数()fx在,0−上的值域也为2,2−，因此，函数()fx的值域为2,2−，C对；对于D选项，考虑函数()fx在,−上单调递减区间，当0x时，()2s

in24fxx=+，且92444x+，由32242x+可得588x，由2442x+可得08x，由392244x+可得58x，所以，函数()fx在0,上的递减区间为5,88，递增

区间为0,8、5,8，由于函数()fx为偶函数，故函数()fx在,−上的减区间为5,8−−、,08−、5,88，因此，函数()fx的单调递减区间为5

2,28kk−+−+、2,28kk−、()52,2Z88kkk++，D错.故选：AC.12．已知函数()()3sin3sincos02222xxxfx=+−，则下列有关(

)yfx=说法正确的是（）A．若函数()yfx=在区间ππ,63上单调递增，则的最小值为52B．若函数()yfx=在区间ππ,63上单调递增，则的最大值为52C．若函数()yfx=的图象向右平移π3个单位长度得到偶函数，则的最小值为12D．若函数()yfx=

在区间0,π上有且只有1个零点，则的取值范围是14,33【答案】BC【分析】利用三角恒等变换化简函数()fx的解析式，利用正弦型函数的单调性求出的取值范围，可判断AB选项；求出平移后的函数解析式，利用正弦型函数

的奇偶性可判断C选项；根据函数()fx在区间0,π上的零点个数求出的取值范围，可判断D选项.【解析】()2313πsincos12sinsincossin2222223xxxfxxxx=

−−=−=−.对于AB选项，当ππ63x时，πππππ63333x−−−，因为函数()fx在区间ππ,63上单调递增，则()ππππππ,2π,2πZ633322kkk−−−+

，所以，πππ2π632πππ2π332kk−−−+，解得()51216Z2kkk−+，因为512162kk−+，解得712k，0，则0k=，所以，502，A错B对；对于C选项，

将函数()yfx=的图象向右平移π3个单位长度得到函数ππππsinsin3333yxx=−−=−−，函数ππsin33yx=−−为偶函数，则()ππππZ332kk+=+，解得()13Z2kk=

+，当0k=时，取最小值12，C对；对于D选项，当0πx时，ππππ333x−−−，因为函数()yfx=在区间0,π上有且只有1个零点，则π0ππ3−，解得1433，D错.故选：BC.三、填空题13．已知0a，函数()2

23sincos2cos1fxxxxa=+−−，()()2log32gxax=+−，若1π0,2x，21,5x，有()()12fxgx=，则实数a的取值范围是______．【答案】1,1

3【分析】利用三角恒等变换化简()fx，由三角函数的性质求得()11,2fxaa−−−，由题意得()15,,gxx的值域是1,2aa−−−的子集，结合()gx的单调性分类讨论求解即可．【解析】()223sincos2cos13sin

2cos22sin26fxxxxaxxaxa=+−−=+−=+−，∵1π0,2x，∴1ππ7π2,666x+，∴1π1sin2,162x+−，∴()11,2fxaa

−−−．∵1π0,2x，21,5x，有()()12fxgx=，∴()15,,gxx的值域是1,2aa−−−的子集．①当0a时，1,5x，则()22,32gxaa−−，此时1223220aaaaa−−−−

−，解得113a；②当0a时，1,5x，则()32,22gxaa−−，此时1322220aaaaa−−−−−，无解．综合①②，1,13a．故答案为：1,13

．14．若函数()()πsinsin03fxxx=++，在0,π上恰有一个最大值点和两个零点，则实数的取值范围是________.【答案】1167,3【分析】首先根据和差角公式将函数化简，再由x的取值范围求出π6x

+的取值范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【解析】解：()πsinsin3fxxx=++ππsinsincoscossin33xxx=++33sincos22xx=+313sincos22x

x=+π3sin6x=+，即()π3sin6fxx=+，由0,πx，所以,πππ66π6x++，又()fx在0,π上恰有一个最大值点和两

个零点，则π5π2ππ62+，解得11763，所以的取值范围是1167,3．故答案为：1167,3．15．已知函数11()sincos(sincos)22fxxxxx=+−−，则()fx的值

域是______.【答案】2,12−【分析】对自变量进行讨论取绝对值，化简函数，再求函数的值域【解析】当sincos0xx+，有()ππ2sin02π2ππZ44xkxkk+++，即()Zπ3π2π2π44kkkx−+时，()1111

sincos(sin)()ccossincos(sincos)222s2ofxxxxxxxxxx=+−−=+−−=，此时值域为2,12−；当sincos0xx+，即()Z3ππ2π2π44xkkk−−，()1111()sincos(sincos)sincos(sincos)s

in2222fxxxxxxxxxx=+−−=−+−−=−，此时值域为2,12−，故()fx的值域是2,12−.故答案为：2,12−16．已知函数()π32cossi

n32fxxx=+−，______，求()fx在区间ππ(,)66−上的值域.从①若12()()2fxfx−=，12xx−的最小值为π2；②()fx两条相邻对称轴之间的距离为π2；③若12()()0fxfx==，12xx−的最小值为π2．这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作

答．【答案】条件选择见解析，值域为(0,1].【分析】从①②③任选一个作为条件，均可以得到()fx的最小正周期为πT=，故可求得1=，可得π()sin(2)3fxx=+，结合ππ66x−，确定π2π0233x+，利用正弦函数的性质，即可求得答

案.【解析】由于()π31332cossin2cossincos32222fxxxxxx=+−=+−13πsin2cos2sin2223xxx=+=+

,若选①:若12()()2fxfx−=，12xx−的最小值为π2,则()fx图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为π2，则函数的最小正周期为π；若选②()fx两条相邻对称轴之间的距离为π2，则函数的最小正周期为π；若选③若12

()()0fxfx==，12xx−的最小值为π2，则函数的最小正周期为π；所以，①②③任选一个作为条件，均可以得到()fx的最小正周期为πT=，则1=,所以π()sin(2)3fxx=+,由于ππ66x−，π2π0233x+，所以()(0,1]fx，即()fx的值

域为(0,1]，故答案为：(0,1]四、解答题17．已知函数()22cossin6πfxxx=−−，xR．(1)求()fx的单调递增区间；(2)求()fx在区间π,02−内的最小值及此时对应的x值．【答案】(1)()5πππ,π1212kkk−+Z(2)

5π12x=−时，()min32fx=−【分析】（1）先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的单调性可得；（2）根据x的范围求得π23x+的范围，然后由正弦函数的性质可解.【解析】（1）()1cos21cos21333π3sin2cos2sin

22222223xxfxxxx+−−=−=+=+由πππ2π22π,232kxkk−++Z，得5ππππ,1212kxkk−+Z，∴()fx的单调递增区间为()5πππ,π1212kkk−+Z（2）因为π,

02x−，所以2πππ2333x−+故当ππ232x+=−，即5π12x=−时，()min5π3π3sin12222fxf=−=−=−18．已知函数()22sincos23cos(0)fxxxx

=+，且()fx的最小正周期为π．(1)求的值及函数()fx的单调递减区间；(2)将函数()fx的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()gx的图象，求当π02x，时，函数()gx的最大值．【答案】(1)1，7[,],(z)1212π

πkπkπk++(2)23+【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()fx，代入正弦函数的单调递减区间计算即可.(2)函数()fx的图象向右平移3个单位长度后得到函数()gx，根据所给π02x，，求出ππ2π2,333x−−，结合正弦函数的性质

即可求得最大值.【解析】（1）()22sincos23cossin23cos23fxxxxxx=+=++，32sin(23π)x+=+，2ππ2T==，所以1=，()2sin(2)3π3xxf=++.π3π2π,π222

π32kxk+++zk,解得π7πππ1212kxk++，zk，所以函数()fx的单调递减区间为π7ππ,π,1212kk++zk.（2）由()2sin(2)3π3xxf=++向右平移3个单位长度后得()2

sin(2)3π3gxx=−+，因为02，x，则ππ2π2,333x−−，则02sin(2)323π3x++−，则函数()gx的最大值为23+.19．已知函数()π4coscos13fxxx=−−，且函数()gx的图象与(

)fx的图象关于直线π3x=对称.(1)求()gx的解析式；(2)若函数()()(0)pxmfxnm=+，当ππ,63x−时，()px的值域为4,2−，求,mn的值：(3)若对任意的π2π,33x−，

不等式11π11π1221222fxagxa+−−−恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)()2cos2gxx=−(2)2,2mn==−(3)22,35−【分析】（1）由三角恒等变换化简()fx，再由对称性可知()2

π3gxfx=−即可得解；（2）根据所给自变量范围，利用正弦型函数的性质求出值域，列出方程即可得解；（3）化简不等式后，分0,0,0aaa=三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数最小值即可

求解.【解析】（1）()2π4coscos12cos23sincos13fxxxxxx=−−=+−πcos23sin22sin26xxx=+=+，因为()gx的图象与()fx的图象关于直线π3x=对称，则(

)2π3gxfx=−，所以()4ππ3π2sin22sin22cos2362gxxxx=−+=−=−.（2）依题意可得()π2sin26pxmxn=++.因为ππ63x−，所以ππ5π2666x−+，所以1πsin2126x−+

，所以()2mnpxmn−++.因为()px的值域为4,2−，所以4,22,mnmn−+=−+=解得2,2mn==−.（3）由不等式11π1π112212232fxagxa+−−−，可得π2π1sin2cos1332xa

xa++−−，即ππ1sin2sin1362xaxa++−−.当π2π,33x−时，ππππ0π,3262xx+−−，若0a=，因为π0sin13

x+，即πsin13x+−恒成立，所以0a=符合题意.若0a，因为πsin6yx=−在π2π,33−上单调递增，所以当π3x=−时，ππsin2sin36

xax++−取得最小值，原不等式恒成立可转化为ππππ1sin2sin133362aa−++−−−恒成立，即122aa−−1，因此205a.若a<0，当2π3x=时，ππsin2sin36xax++−

取得最小值，则原不等式恒成立可转化为2ππ2ππ1sin2sin133362aa++−−恒成立，即23a−，因此203a−.综上，a的取值范围是22,35−.20．已知函数()

22sin23sincoscosfxxxxx=+−()0(1)化简()yfx=的表达式.(2)若()yfx=的最小正周期为π，求π(),(0,)2yfxx=的单调区间(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平

移π(0,)2个单位长度，得到函数()ygx=，且()ygx=图像关于0x=对称.若对于任意的实数a，函数π(),,3ygxxaa=+与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.【答案】(1)()π2sin26fxx=−(

2)在π0,3上单调递增，在ππ,32上单调递减(3))9,15【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；（2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间；（3）首先根据三

角函数平移变换，以及函数性质求()2cos2gxx=−，并求得()1cos22x=−，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围.【解析】（1）依题意，()()223sin2cossinfxxxx=−−π3si

n2cos22sin26xxx=−=−（2）由（1）知，2ππ2T==，解得1=，则()π2sin26fxx=−，当π02x时，ππ5π2666x−−，而正弦函数sinyx=在ππ,22−上单调递增，在π3π,22上单调递减

，由πππ2662x−−得：π03x，由ππ5π2266x−得：ππ32x，所以()fx在π0,3上单调递增，ππ,32上单调递减;（3）由（2）及已知，()()π2sin226gxfxx=−=−−，因()ygx=图像关于0x=对称，则ππ2

π,Z62kk−−=+，解得:ππ,Z32kk=−−,又2π0,，即有1k=−，π6=，于是()2cos2gxx=−.由()1gx=得：()1cos22x=−，0，而函数()cos2yx=的周期2ππ2T

==，依题意，对于1R,cos(2)2ax=−在π,3xaa+上均有不少于6个且不多于10个根，则有π33π53TT,即3ππ35ππ3，解得：915，所以正实数λ的取值范围是)9,15.