【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册单元复习试题 单元复习10 三角恒等变换 基础题 Word版含解析.docx,共(32)页,1.249 MB,由管理员店铺上传
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单元复习10三角恒等变换01三角恒等变换的有关计算一、单选题1.化简sin347cos148sin77cos58+的值为()A.32B.32−C.12D.22【答案】D【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.【解
析】原式()()sin27077cos9058sin77cos58=+++()()2sin58cos77cos58sin77sin5877sin135sin18045sin452=+=+==−==.故选:D.2.已知,都是锐角,π1sin
67−=,()3cos5+=−,则πcos6+=()A.412335−−B.412335−C.124335−+D.124335−−【答案】B【分析】根据题意判断π,6−+
的范围,从而求出()πcos,sin6−+的值,将πcos6+写为()πcos6+−−,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.【解析】由于,都是锐角,则πππ663−−
,0+,因为π1sin067−=,()3cos05+=−,所以ππ063−,π2+,所以π43cos67−=,()4sin5+=,所以()ππcoscos66+=+−−
()()ππcoscossinsin66=+−++−343414123575735−=−+=.故选:B3.下列各式中,值为12的是()A.22cos151−B.2sin75cos75C.cos18cos42s
in18sin42+D.tan30tan151tan30tan15+−【答案】B【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式,结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【解析】232cos151cos302−==,故A错误;12sin75cos7
5sin150sin302===,故B正确;()()1cos18cos42sin18sin42cos1842cos242+=−=−,故C错误;()tan30tan15tan301511tan30tan15+=+=−,故D
错误,故选:B.4.已知终边上一点sin,cos66P−,则2cos23sin2+=()A.433B.433−C.833D.833−【答案】B【分析】由终边坐标求得正余弦值,结合倍角公式求值即可.【解
析】由题意可知点13,22P−,所以3sin2=,1cos2=−,3sin22sincos2==−,21cos22cos12=−=−,∴2cos2343sin23+=−.故选:B.5.已知πtan34+=,则11sin2cos
sincos=−+()A.59−B.12−C.12D.59【答案】A【分析】利用和角的正切公式求出tan,再利用齐次式法计算作答.【解析】πtantanπtan14tan3π41tan1tantan4++
+===−−,得1tan2=,所以222222111sincossin2cossincossinsincos2cossinsincos2cos+==−+−−−−2211tan15411tantan29242++===−−−−−.故选:A6.
设()1coscoscos...cos242nnxxxfxx−=,则44π3f=()A.-332B.-316C.-116D.316【答案】D【分析】根据二倍角公式可将()1coscoscos...cos242nnxxxfxx−=化简成()1sin22sin2nn
nxfxx−=,代入计算即可求得结果.【解析】由()1coscoscos...cos242nnxxxfxx−=可得()111111coscoscos...cossinsin2sin224222sinsin2sin222nnnnnnnnxxxxxxxfxxxx−−−−−===;所以44π2πsi
n2sin4π333π3816616sinf===.故选:D7.若1coscossinsin2xyxy+=,2sin2sin23xy+=,则()sin+=xy()A.23B.23−C.13D.13−【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式和和差化积公式可
得答案.【解析】因为1coscossinsin2xyxy+=,所以()1cos2−=xy,因为2sin2sin23xy+=,所以()()22sincos3+−=xyxy,所以()122sin23+=xy,所以()2sin3+=xy,故选
:A.8.已知()2sin3sin2−=+,则221sinsin2cos2−−=()A.513B.113−C.513−D.113【答案】B【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.
【解析】由2sin()3sin()2−=+,得2sin3cos=,所以3tan2=,从而222222221sinsincoscostantan11sinsin2cos2sincostan113
−−−−−−===−++故选:B二、多选题9.tan75°=()A.23+B.1cos1501cos150+−C.sin1501cos150+D.tan25tan35tan8
5【答案】ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A,由正切半角公式判断BC,由()()tan60tan60tantan3−+=,令25=即可判断出D.【解析】31tan45tan303
tan75tan(4530)231tan45tan30313++=+===+−−,故A正确;由正切的半角公式知1cos150tan751cos150−=+,故B错误;2sin752sin75cos75sin150tan75cos75
2cos751cos150===+,故C正确;∵()()tan60tan60tantan3−+=,令25=,得tan75=tan25tan35tan85,可得D正确.故选:ACD.
10.下列计算结果正确的是()A.44ππ2cossin882−=B.1tan1531tan15+=−C.2sin15sin751=D.()sin1403tan1901−=【答案】ABD【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.【解析】442222πππππππ2c
ossincossincossincos88888842−=+−==,A正确;()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15++
==+==−−,B正确;()12sin15sin752sin15sin90152sin15cos15sin302=−===,C错误;由()2sin60103cos10sin102sin503tan1903tan10cos10cos10cos10−
−−=−===,可得()()2sin50sin9050sin1403tan190cos10+−=()sin90102sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10+
=====,D正确;故选:ABD11.设的终边在第二象限,则1sincossin22−−的值可能为()A.1B.-1C.-2D.2【答案】AB【分析】先求得2的范围,由此进行分类讨论,结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式,化简求得所求表达式的值.【解析】∵的终
边在第二象限,∴π2π2ππ2kk++,Zk,∴ππππ24222kk++,Zk,222sincossincossincos2sincos221sin222222cossincossincossincossin22222222
−−+−−===−−−−,故当ππ2π2π422kk++,Zk时,sincos022−,sincos1sin221cossincossin2222−−==−−−当5π3π2π2π422kk++,Zk时,sincos022
−,cossin1sin221cossincossin2222−−==−−.故选:AB三、填空题12.已知π02,,,()6sin7+=,tan2tan=,则()sin−=______.【答案】27【分析】化切为弦,由正弦和角公式得到方程组,求出4s
incos72cossin7==,利用正弦差角公式求出答案.【解析】由tan2tan=得,sin2sincoscos=,则sincos2cossin=①,由()6sin7+=得,6sincoscossin7+=②,联立①②解得4sincos72
cossin7==,∴()2sinsincoscossin7−=−=.故答案为:2713.化简:()()ππcosπcosπcoscos22+−++−=______.【答案】cos2【分
析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式化简即可求解.【解析】()()()22ππcosπcosπcoscoscoscossinsincossincos222+−++−=−−−=−=.故答案为:cos214.已知sin2θ=35
,0<2θ<2,则22cossin122sin()4−−+=________.【答案】12##0.5【分析】利用二倍角公式变形求出tan,根据三角恒等变换化简待求式为1tantan1−+,即可代入求解.【解析】因为3sin2,0252
=,所以4cos25=,所以23sin2sincossin215tan4cos2cos1cos2315=====++,因为222cos1sin2cossin1222sin2sincoscossin444−
−−−=++sin1cossin1tancossinsincostan11cos−−−===+++所以111tan131tan1213−−==++,即22cossin11222sin()4−−
=+故答案为:12四、解答题15.化简并求值.(1)()23tan1234cos122sin12−−;(2)()cos40sin5013tan10sin701cos40+++;(3)334sin208sin202sin20sin
480−+.【答案】(1)43−;(2)2;(3)233.【分析】(1)根据给定条件,利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.(2)根据给定条件,利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简
计算作答.(3)根据给定条件,利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答.【解析】(1)2sin12333tan1233sin123cos12cos12(4cos122)sin122cos24sin12sin24cos
24−−−==−1323(sin12cos12)43sin4822431sin48sin482−−===−.(2)2sin10cos40cos40(13)cos40sin50(13tan10)cos10sin701cos40cos202cos20
++++=+22132(cos10sin10)cos103sin1022cos40cos40cos40cos40cos10cos102cos202cos20++++==222222sin40sin80
cos40cos40cos40cos4012cos20cos10cos1022cos202cos202cos202cos20+++=====.(3)3234sin208sin2034sin20(12sin20)2sin604sin20cos402s
in20sin4802sin20sin1203sin20−+−−−==2sin(4020)4sin20cos402sin40cos202sin20cos403sin203sin20+−−==()2sin40202333sin
20−==.16.证明:(1)sin2sin3sin5sin3sin32sin5sin7sin5AAAAAAAA++=++;(2)()()()()coscos120cos120tansinsin120sin1202ABBABBAA+
++−+=++−−.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)结合和差化积公式证得结论成立.(2)结合和差化积公式、同角三角函数的基本关系式证得结论成立.【解析】(1)左边(sinsin5)2
sin3(sin3sin7)2sin5AAAAAA++=++2sin3cos22sin32sin5cos22sin5AAAAAA+=+2sin3(cos21)2sin5(cos21)AAAA+=+sin3sin5AA==右边.(2)左边cos2cos120
cossin2cos120sinABBA++=coscossinsinABBA−=−2sinsin22tan22cossin22ABBAABABBA+−+===+−右边.17.求下列各式的值:(1)已知11cos(),cos()23−=−+=,求coscos,sinsin的
值;(2)求()2sin4012cos402cos40cos401++−的值;【答案】(1)112−;512−;(2)3.【分析】(1)利用1coscos[cos()cos()]2=++−,1sinsin[cos()co
s()]2=−+−−计算即可;(2)利用倍角公式及两角和与差的正余弦公式计算.【解析】(1)1coscos[cos()cos()]2=++−111123212=−=−,1sinsin[cos()cos()]2=−+−−111523212=−
+=−.(2)原式()2sin402sin40cos40cos402cos401+=+−()()()()2sin60sin60sin40sin80cos40cos80cos60cos600
202020++==−++−++2sin60cos20tan6032cos60cos20===.18.已知221sincossin222=−.(1)求2sin2cos2+的值;(2)已知()0,π,π,π2
,26tantan10−−=,求+的值.【答案】(1)1(2)5π4【分析】(1)利用正余弦函数的倍角公式与三角函数的商数关系,结合齐次式法即可得解;(2)先解二次方程,结合的取值范围求得tan,再结合(1
)中结论求得+的取值范围,从而利用正切函数的和差公式即可求得+的值.【解析】(1)因为221sincossincos222=−=,易知cos0,所以sintan2cos==,所以222sin2cos24sincoscossin
+=+−22224sincoscossinsincos+−=+22224tan1tan42121tan121+−+−===++.(2)因为26tantan10−−=,所以()()3tan12tan1
0+−=,解得1tan3=−或1tan2=,因为π,π2,所以1tan3=−,又因为tan20=,()0,π,所以π0,2,故π3π,22+
,因为()12tantan3tan111tantan123−++===−−−,所以5π4+=.02三角恒等变换的应用一、单选题1.函数2sincos3cos3yxxx=+−的图像的一个对称中心是()A.53,62−
B.23,32−C.23,32−D.,33−【答案】A【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,然后求对称中心即可.【解析】21333sinc
os3cos3sin2cos2sin222232yxxxxxx=+−=+−=+−,令23xk+=,Zk,解得126kx=−,Zk,当=2k时,56x=,32y=−,所以53,62−是一个对称中心.故选:A.2.函数ππ()sin2cos233
fxxx=−+的最小正周期是()A.π4B.π2C.πD.2π【答案】B【分析】将()fx解析式用正余弦的和差角公式展开化简,即可得到结果.【解析】因为()sin2cos233=−+fx
xx1313sin2cos2cos2sin22222xxxx=−−221333sin2cos2sin2cos2sin2cos24444xxxxxx=−−+13sin424x−=所以2ππ42T==,故选:B.3.函数()cos
sin6fxxx=+−在区间0,上的最小值为()A.1B.-1C.12D.12−【答案】D【分析】化简可得()sin6fxx=+,再结合正弦函数的图象分析求解即可【解析】()3131cossincossinc
ossin22226fxxxxxxx=+−=+=+,故当0,x时,7,666x+,故当766x+=时,()fx取最小值71sin62=−故选:D4.已知函数()()3cossin3cos0,22fxxxxx=
+−,则函数()fx的值域为()A.33,22−B.3,12−C.11,22−D.1,12−【答案】B【分析】首先化简函数()sin23fxx
=+,再代入定义域,求函数的值域.【解析】()23sincos3cos2xxfxx=+−()133sin21cos2222xx=++−sin23x=+,0,2x,42,333x+
,所以3sin2123x−+,所以函数()fx的值域为3,12−.故选:B5.函数()23sincoscos2fxxxx=+,下列结论正确的是()A.()fx在区间ππ,63−
上单调递增B.()fx的图像关于点π,06成中心对称C.将()fx的图像向左平移512个单位后与2sin2yx=的图像重合D.若12π3xx+=,则()()12fxfx=【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式
将函数化简,再根据正弦函数的性质一一判断即可;【解析】解:()23sincoscos2fxxxx=+3sin2cos2xx=+312sin2cos22sin2226xxx=+=+,对于A:若ππ,63x−,所以,2566ππ6x−+,
因为sinyx=在π5π,66−上不单调,故A错误;对于B:2sin22sin26662f=+==,故()fx关于直线6x=对称,故B错误;对于C:将()fx
的图像向左平移512个单位得到()65122sin22sin22sin2yxxx=++=+=−,故C错误;因为()fx关于直线6x=对称,又12π3xx+=,即1x、2x关于6x=对称,所以()()1
2fxfx=,故D正确;故选:D6.设13cos10sin1022a=−,22tan131tan13b=+,1cos502c−=,则a,b,c大小关系正确的是()A.abcB.cbaC.acbD.b<c<a【答案】C【分析】通过三角恒等变形得到sin20,sin26,si
n25abc===,结合sinyx=的单调性即可比较大小.【解析】()13cos10sin10cos6010cos70sin2022a=−=+==,2222sin132tan13cos132sin13cos13sin26sin131tan131cos13b
====++,21cos50sin25sin252c−===,因为函数sinyx=在0,2上是增函数,故sin20sin25sin26,即acb.故选:C.7.函数()21sin3sincos2fxxxx=++,则下列结论正确则下列结论正确的是
()A.()fx的最大值为1,最小正周期为B.()fx的图像向右平移6个单位后得到一个偶函数的图像C.()yfx=的图像关于直线712x=对称D.()yfx=的图像关于点7,012对称【答
案】B【分析】利用二倍角和辅助角公式化简可得()sin216fxx=−+,由正弦型函数最值可知A错误;由三角函数平移变换原则可得()fx的图像向右平移6个单位后所得函数,由奇偶性定义可知B正确;利用代入检验的方法来判断出712x=、7,012
是否是对称轴和对称中心,知CD错误.【解析】()2131sin3sincossin2cos21sin212226fxxxxxxx=++=−+=−+;对于A,当sin216x−=时,()max2fx=,A错误;对于B,sin21
cos2162fxxx−=−+=−+,又()cos21cos21xx−−+=−+,6fx−为偶函数,()fx的图像向右平移6个单位后得到一个偶函数的图像,B正确;对于CD,当712x=时,26x−=,又7112f=,()fx
\图像关于点7,112对称,712x=不是()fx的对称轴,CD错误.故选:B.8.方程3sin2cos220xxa+−=区间70,6上恰有三个根,其根分别为123,,xxx,则123xxx++的取值范围为()A.25,36B.5
,6C.4,3D.43,32【答案】D【分析】依题意可得sin26ax=+,即直线ya=在与sin(2)6yx=+有三个交点,【解析】解:因
为3sin2cos220xxa+−=,所以31sin2cos2sin2226axxx=+=+,令sin26yx=+,70,6x,因为70,6x,所以52,662x+,函数图象如
下所示:令262x+=,解得6x=,令1sin(2)62x+=,则22,66xkkZ+=+或522,66xkkZ+=+,解得,xkkZ=或,3xkkZ=+,依题意直线ya=在与sin(2)6yx
=+有三个交点,则112a,不妨设123xxx,根据三角函数的图象及性质,可得376x,而1x,2x关于直线6x=对称,那么12333xxxx++=+,123xxx++的取值范围43,32.故选:D.
二、多选题9.已知函数()tan26πfxx=−,则()A.323f=−B.()fx的最小正周期为2C.把()fx向左平移6可以得到函数()tan2gxx=D.()fx在,06
−上单调递增【答案】ABD【分析】根据正切函数的函数值,周期,平移对应的解析式变化,和函数的单调性即可求解.【解析】()tan26πfxx=−,所以3tantan2663f=−=−=−,故选项A正确;()fx的最小正周期为2T
==,故选项B正确;把()fx向左平移6可以得到函数tan2tan(2)666yxx=+−=+,故选项C错误;,06x−,2,626x−−−,tan26x−单调递增,所以()fx在,06−
上单调递增,故D选项正确;故选:ABD.10.设函数22()cossin2cossinfxxxxx=−+,下列说法中,正确的是()A.()fx的最小值为2−B.()fx在区间ππ,48−上单调递增C.函数()yfx=的图
象可由函数2sinyx=的图象先向左平移π4个单位,再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到D.将函数()yfx=的图象向左平移π4个单位,所得函数的图象关于y轴对称【答案】ABC【分析】先化简得到π()2sin24fxx=+,从而得到()fx的最小值为2−,A正确;B选项,
由ππ,48x−得到πππ2,442x+−,整体法得到()fx在区间ππ,48−上的单调性;C选项,根据平移变换和伸缩变换得到变换后的解析式,C正确;D选项,求出平移后的解
析式,判断其图象不关于y轴对称.【解析】22π()cossin2cossincos2sin22sin24fxxxxxxxx=−+=+=+,当ππ22π,Z42xkk+=−+,即3ππ,Z8xkk=−+时,()fx的最小值为2
−,A正确;ππ,48x−时,πππ2,442x+−,由于sinyz=在42ππ,z−上单调递增,故()fx在区间ππ,48−上单调递增,B正确;函数2sinyx=的图象先向左平移π4个单位,再将横坐
标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到π2sin24yx=+,C正确;将函数π()2sin24fxx=+的图象向左平移π4个单位,所得函数为3π2sin24yx=+,当0x=时,3π2sin24y=
,故3π2sin24yx=+不关于y轴对称,D错误.故选:ABC11.已知函数()2sincoscos2fxxxx=+,下列结论正确的是()A.()fx是周期函数B.()fx的图象关于原点对称C.()fx的值域为2,2−D
.()fx的单调递减区间为32,244kk++,Zk【答案】AC【分析】利用函数周期的定义可判断A选项;利用函数的奇偶性可判断B选项;考查函数()fx在,−上的值域,可判断C选项;求出函数()fx的单
调递减区间,可判断D选项.【解析】对于A选项,因为()()()()22sin2cos2cos22fxxxx+=++++()2sincoscos2xxxfx=+=,故函数()fx为周期函数,A对;对于B选项,()()()()()2sincoscos
22sincoscos2fxxxxxxxfx−=−−+−=+=,()fx为偶函数,B错;对于C选项,由A选项可知,函数()fx是周期函数,且周期为2,不妨考虑函数()fx在,−上的值域即可,当0x时,则92444x+,()2si
ncoscos2sin2cos22sin22,24fxxxxxxx=+=+=+−,因为函数()fx为偶函数,故函数()fx在,0−上的值域也为2,2−,因此,函数()fx的值域为2,2−,C对;
对于D选项,考虑函数()fx在,−上单调递减区间,当0x时,()2sin24fxx=+,且92444x+,由32242x+可得588x,由2442x+可得08x,由3922
44x+可得58x,所以,函数()fx在0,上的递减区间为5,88,递增区间为0,8、5,8,由于函数()fx为偶函数,故函数()fx在,−上的减区间为5,8−−、,08−、
5,88,因此,函数()fx的单调递减区间为52,28kk−+−+、2,28kk−、()52,2Z88kkk++,D错.故选:AC.12.已知函数()()3sin3sincos02222xxxfx
=+−,则下列有关()yfx=说法正确的是()A.若函数()yfx=在区间ππ,63上单调递增,则的最小值为52B.若函数()yfx=在区间ππ,63上单调递增,则的最大值为52C.若函数()yfx=的图象向右平移π3个单位长度得到偶函
数,则的最小值为12D.若函数()yfx=在区间0,π上有且只有1个零点,则的取值范围是14,33【答案】BC【分析】利用三角恒等变换化简函数()fx的解析式,利用正弦型函数的单调性求出的取值范围,可
判断AB选项;求出平移后的函数解析式,利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项;根据函数()fx在区间0,π上的零点个数求出的取值范围,可判断D选项.【解析】()2313πsincos12sinsincossin2222223xxxfxxxx=−
−=−=−.对于AB选项,当ππ63x时,πππππ63333x−−−,因为函数()fx在区间ππ,63上单调递增,则()ππππππ,2π,2πZ633322kkk
−−−+,所以,πππ2π632πππ2π332kk−−−+,解得()51216Z2kkk−+,因为512162kk−+,解得712k,0
,则0k=,所以,502,A错B对;对于C选项,将函数()yfx=的图象向右平移π3个单位长度得到函数ππππsinsin3333yxx=−−=−−,函数ππsin33yx
=−−为偶函数,则()ππππZ332kk+=+,解得()13Z2kk=+,当0k=时,取最小值12,C对;对于D选项,当0πx时,ππππ333x−−−,因为函数()yfx=在区间0,π上有且只有1个零点
,则π0ππ3−,解得1433,D错.故选:BC.三、填空题13.已知0a,函数()223sincos2cos1fxxxxa=+−−,()()2log32gxax=+−,若1π0,2x,21,5x,有()()12
fxgx=,则实数a的取值范围是______.【答案】1,13【分析】利用三角恒等变换化简()fx,由三角函数的性质求得()11,2fxaa−−−,由题意得()15,,gxx的值域是1,2aa−−−的子集,结合()gx的单调性分类讨论
求解即可.【解析】()223sincos2cos13sin2cos22sin26fxxxxaxxaxa=+−−=+−=+−,∵1π0,2x,∴1ππ7π2,666x+
,∴1π1sin2,162x+−,∴()11,2fxaa−−−.∵1π0,2x,21,5x,有()()12fxgx=,∴()15,,gxx的值域是1,2aa−−−的子集.①当0a
时,1,5x,则()22,32gxaa−−,此时1223220aaaaa−−−−−,解得113a;②当0a时,1,5x,则()32,22gxaa−−,此时1322220
aaaaa−−−−−,无解.综合①②,1,13a.故答案为:1,13.14.若函数()()πsinsin03fxxx=++,在0,π上恰有一个最大值点和两个零点,则实数的取值范围是________.【答案】1167,
3【分析】首先根据和差角公式将函数化简,再由x的取值范围求出π6x+的取值范围,再根据正弦函数的性质得到不等式组,解得即可.【解析】解:()πsinsin3fxxx=++ππsinsinc
oscossin33xxx=++33sincos22xx=+313sincos22xx=+π3sin6x=+,即()π3sin6fxx=+,由0,πx,所以,πππ66π6x++,又()fx在0,π上恰有
一个最大值点和两个零点,则π5π2ππ62+,解得11763,所以的取值范围是1167,3.故答案为:1167,3.15.已知函数11()sincos(sincos)22fxxxxx=+−−,则()
fx的值域是______.【答案】2,12−【分析】对自变量进行讨论取绝对值,化简函数,再求函数的值域【解析】当sincos0xx+,有()ππ2sin02π2ππZ44xkxkk+++,即()Zπ3π2π2π44kkkx−
+时,()1111sincos(sin)()ccossincos(sincos)222s2ofxxxxxxxxxx=+−−=+−−=,此时值域为2,12−;当sincos0xx+,即()Z
3ππ2π2π44xkkk−−,()1111()sincos(sincos)sincos(sincos)sin2222fxxxxxxxxxx=+−−=−+−−=−,此时值域为2,12−,故()fx的值域是2,12
−.故答案为:2,12−16.已知函数()π32cossin32fxxx=+−,______,求()fx在区间ππ(,)66−上的值域.从①若12()()2fxfx−=,12xx−的最小值为
π2;②()fx两条相邻对称轴之间的距离为π2;③若12()()0fxfx==,12xx−的最小值为π2.这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.【答案】条件选择见解析,值域为(0,1].【分析】从①②③任选一个作为条件,均可以得到()fx的最小正周期为πT=,故可求得1=,可得π()si
n(2)3fxx=+,结合ππ66x−,确定π2π0233x+,利用正弦函数的性质,即可求得答案.【解析】由于()π31332cossin2cossincos32222fxxxxxx=+−=+−13πsin2cos
2sin2223xxx=+=+,若选①:若12()()2fxfx−=,12xx−的最小值为π2,则()fx图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为π2,则函数的最小正周期为π;若选②()fx两条相邻对称轴之间的距离为π2,则函数的最小正周期为π;若选③若12(
)()0fxfx==,12xx−的最小值为π2,则函数的最小正周期为π;所以,①②③任选一个作为条件,均可以得到()fx的最小正周期为πT=,则1=,所以π()sin(2)3fxx=+,由于ππ66x−,π2
π0233x+,所以()(0,1]fx,即()fx的值域为(0,1],故答案为:(0,1]四、解答题17.已知函数()22cossin6πfxxx=−−,xR.(1)求()fx的单调递增区间;(2)求()fx在区间π,02
−内的最小值及此时对应的x值.【答案】(1)()5πππ,π1212kkk−+Z(2)5π12x=−时,()min32fx=−【分析】(1)先根据降幂公式和辅助角公式化简,然后由正弦函数的单调性可得;(2)根据x的范围求得π23x+的范围,然后由正
弦函数的性质可解.【解析】(1)()1cos21cos21333π3sin2cos2sin22222223xxfxxxx+−−=−=+=+由πππ2π22π,232kxkk−+
+Z,得5ππππ,1212kxkk−+Z,∴()fx的单调递增区间为()5πππ,π1212kkk−+Z(2)因为π,02x−,所以2πππ2333x−+故当ππ232x+=−,即5π12x=−时,()min5π3π3sin12222fxf=−
=−=−18.已知函数()22sincos23cos(0)fxxxx=+,且()fx的最小正周期为π.(1)求的值及函数()fx的单调递减区间;(2)将函数()fx的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()gx的图
象,求当π02x,时,函数()gx的最大值.【答案】(1)1,7[,],(z)1212ππkπkπk++(2)23+【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()fx,代入正弦函数的单调递减区间计算即可.(2)函数()fx的图象向右平移3个单位长度后得到函
数()gx,根据所给π02x,,求出ππ2π2,333x−−,结合正弦函数的性质即可求得最大值.【解析】(1)()22sincos23cossin23cos23fxxxxxx
=+=++,32sin(23π)x+=+,2ππ2T==,所以1=,()2sin(2)3π3xxf=++.π3π2π,π222π32kxk+++zk,解得π7πππ1212kxk++,zk,所以函数()fx的单调递减区间为π7π
π,π,1212kk++zk.(2)由()2sin(2)3π3xxf=++向右平移3个单位长度后得()2sin(2)3π3gxx=−+,因为02,x,则ππ2π2,333x−−,
则02sin(2)323π3x++−,则函数()gx的最大值为23+.19.已知函数()π4coscos13fxxx=−−,且函数()gx的图象与()fx的图象关于直线π3x=对称.(1)求()gx的解析式;(2)若函数()(
)(0)pxmfxnm=+,当ππ,63x−时,()px的值域为4,2−,求,mn的值:(3)若对任意的π2π,33x−,不等式11π11π1221222fxagxa+−−−恒成立,求a的取值范围.【答案
】(1)()2cos2gxx=−(2)2,2mn==−(3)22,35−【分析】(1)由三角恒等变换化简()fx,再由对称性可知()2π3gxfx=−即可得解;(2)根据所给自变量范围
,利用正弦型函数的性质求出值域,列出方程即可得解;(3)化简不等式后,分0,0,0aaa=三种情况讨论,利用函数的单调性求出函数最小值即可求解.【解析】(1)()2π4coscos12cos23sincos13fxxxxxx=−−=+−πcos23sin22sin26xxx
=+=+,因为()gx的图象与()fx的图象关于直线π3x=对称,则()2π3gxfx=−,所以()4ππ3π2sin22sin22cos2362gxxxx=−+=−=−.(2)依题意
可得()π2sin26pxmxn=++.因为ππ63x−,所以ππ5π2666x−+,所以1πsin2126x−+,所以()2mnpxmn−++.因为()px的值域为4,2−,所以4,22,mnmn−+=−+=解得2,
2mn==−.(3)由不等式11π1π112212232fxagxa+−−−,可得π2π1sin2cos1332xaxa++−−,即ππ1sin2sin1362xaxa++−−.当π2π,33x
−时,ππππ0π,3262xx+−−,若0a=,因为π0sin13x+,即πsin13x+−恒成立,所以0a=符合题意.若0a,因为πsin6yx=−在π2π,33−上单调递增,所以当π3x=−时,ππsin2
sin36xax++−取得最小值,原不等式恒成立可转化为ππππ1sin2sin133362aa−++−−−恒成立,即122aa−−1,因此205a.若a<0,当2π3x=时,ππsin2sin36xax++−取得
最小值,则原不等式恒成立可转化为2ππ2ππ1sin2sin133362aa++−−恒成立,即23a−,因此203a−.综上,a的取值范围是22,35−.20.已知函数()22sin23sincoscosfxxxxx=+
−()0(1)化简()yfx=的表达式.(2)若()yfx=的最小正周期为π,求π(),(0,)2yfxx=的单调区间(3)将(2)中的函数f(x)图像上所有的点向右平移π(0,)2个单位长度,得到函数()ygx=,且()ygx=图像关于0x=对称.若对于任意的实数a,函
数π(),,3ygxxaa=+与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个,求正实数的取值范围.【答案】(1)()π2sin26fxx=−(2)在π0,3上单调递增,在ππ,3
2上单调递减(3))9,15【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数;(2)根据最小正周期公式求,再采用代入的方法求函数的单调区间;(3)首先根据三角函数平移变换,以及函数性质求()2cos2gxx=−,并求得()1cos22x=−,根据实根个数,转化
为与周期有关的不等式,即可求的取值范围.【解析】(1)依题意,()()223sin2cossinfxxxx=−−π3sin2cos22sin26xxx=−=−(2)由(1)知,2ππ2T==,解得1=,则()π2sin26fxx=−,当π02x时,π
π5π2666x−−,而正弦函数sinyx=在ππ,22−上单调递增,在π3π,22上单调递减,由πππ2662x−−得:π03x,由ππ5π2266x−得:ππ32x,所以()fx在π0,3上单调递增,
ππ,32上单调递减;(3)由(2)及已知,()()π2sin226gxfxx=−=−−,因()ygx=图像关于0x=对称,则ππ2π,Z62kk−−=+,解得:ππ,Z32kk=−−,又2
π0,,即有1k=−,π6=,于是()2cos2gxx=−.由()1gx=得:()1cos22x=−,0,而函数()cos2yx=的周期2ππ2T==,依题意,对于1R,cos(2)2ax=−在π,3xaa+上均有不少于6个且不多于10个根,
则有π33π53TT,即3ππ35ππ3,解得:915,所以正实数λ的取值范围是)9,15.