【文档说明】《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题06 二次函数中相似三角形存在性（1）——直角三角形 （解析版）.docx，共(13)页，148.416 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题06二次函数中相似三角形存在性（1）——直角三角形【专题导入】1.如图，在平面直角坐标系中，点A（-4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB=5．过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC

与△BOD相似？【解析】∵点A（-4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB=5，∴点B（1，2）.过点B作BD⊥CO，则点D（1，0），∴OD=1，BD=2，∵AC⊥x轴，点A（-4，2），∴AC=2，CO=4，∴ACC

O＝12＝ODBD，且∠ACO=∠ODB=90°，∴△ACO∽△ODB，∴当点D为（1，0）时，△AOC与△BOD相似；∵△ACO∽△ODB，∴∠AOC=∠OBD，∠CAO=∠BOD，∵∠AOC+∠CAO=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴AO⊥BO，∵AC=2，CO=4，∴AO=√AC2+

CO2=√16+4=2√5，∵OD=1，BD=2，∴OB=√OD2+BD2=√1+4=√5，过点B作BD'⊥OB，交x轴于D'，∵∠ACO=∠OBD'，∠BOD=∠CAO，∴△ACO∽△OBD'，2∴ACAO＝BOOD′，∴OD'=2√5×√52=5.∴

D'（5，0）综上所述：当点D为（1，0）或（5，0）时，△AOC与△BOD相似【方法技巧】两个三角形相似，最容易得出的特征是“角”的相等.对于是否存在一个三角形与另外一个直角三角形相似，最直观的做法就是

“做垂线”.示例：已知∠B=∠E，∠C=90°，动点F在直线EG上运动，要找出D,E,F三点为顶点的三角形与△ABC相似，①过点D作DF′⊥EG，与EG交于点F′，F′即为所求；②过点D作DF″⊥ED，与EG交于点F″

，F″即为所求.【例1】如图，抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴交点分别为A,B,C.点D（0,1）.连接CD，若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐

标.3【解析】可得A（1，0），B（0，3），C（-3，0），抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），∵△COD为直角三角形，∴当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，若∠FEC=90°，

则PE⊥CE.∵对称轴与x轴垂直，∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；若∠EFC=90°，则PE⊥CD，如图，过P作PG⊥x轴于点G，则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，∴∠GPE=∠OCD，且

∠PGE=∠COD=90°，∴△PGE∽△COD，∴PGOC=GEOD，∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，∴−t2−2t+33=−1−t1，解得t=-2或t=3，∵P点在第二象限，

∴t＜0，即t=-2，4此时P点坐标为（-2，3），综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）.同步练习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x-2与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线y=x2-5x-2经过点B，且与直线l的另一个交点为C（6，4）.在y轴上是否存在

点M，使△BMC与△BAO相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】存在，理由：由点A、B的坐标知，△ABO为等腰直角三角形，当△BMC与△BAO相似时，则△BMC为等腰直角三角形，①当∠BM′C为直角时，则点M′的纵坐标与点C的纵坐标相同，故点M′（0，4）；②当

∠BCM为直角时，则点M′是BM的中点，故点M（0，10）；故点M的坐标为（0，4）或（0，10）．5【专题过关】1.如图，抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3，

点D为抛物线的顶点.在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3），B（3，0），∴

CD＝√2，BC＝3√2，DB＝2√5．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．如图所示：连接AC．①∵A（-1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴AOCO＝CDBC＝13，又∵∠AO

C=∠DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．②过点C作CQ′⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ′，∴△ACQ′∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ′∽△DCB．∴CDBD＝ACAQ′，即√22√5=√10AQ′，6解得

：AQ′=10．∴Q′（9，0）．③过点A作AQ⊥AC，交y轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CA⊥AQ，∴△QAC∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△QAC∽△DCB．∴QCBD＝ACCB，即QC2√5=√103√2，解得：QC＝103.∴Q(0，

−13)，综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）或(0，−13)时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x-5（a＜0）与x轴交于E，F两点（点E在点F的右侧）

，顶点为M．过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

．【解析】存在，理由如下：当a=-5时，y=x2-4x-5=（x-2）2-9，此时M（2，-9），令y=0，即（x-2）2-9=0，解得x1=-1，x2=5，∴点F（-1，0）E（5，0），∴EN=FN=3MN=9，设点Q（m，m2-4m-5），则G（m，0），7∴EG=|m-5

|QG=|m2-4m-5|，又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE=∠QGE=90°，如图所示，需分两种情况进行讨论：i）当QGEG＝MNEN=93=3时，即|m2−4m−5m−5|=3，即|m-1|=3，当m=2时点Q与点M重合

，不符合题意，舍去，当m=-4时，此时Q坐标为点Q1（-4，27）；ii）当QGEG=ENMN=39=13时，即|m2−4m−5m−5|=13，即|m-1|=13.解得m=−23或m=−43.当m=−23时，Q坐标为点Q2（−23，−179），当m=−43，Q坐标为点Q3（−43，199），综

上所述，点Q的坐标为（-4，27）或（−23，−179）或（−43，199）．3.如图，抛物线M：y=-x2-3x+4与x轴的交点分别为A、B，与y轴交点为C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）将抛物线M向右平移m（m＞32）

个单位得到抛物线M'，设抛物线M'的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为E，要使△ODE与△OAC相似，求m的值．【解析】（1）∵y=-x2-3x+4与x轴的交点分别为A、B，8∴0=-x2-3x+4，∴x1=-4，x2=1，∴点A（1，0），点B（-4，0），∵y=-x2-3x

+4与y轴交点为C，∴点C（0，4）；（2）∵y=-x2-3x+4=-（x+32）2+254，∴顶点坐标为（-32，254），∵将抛物线M向右平移m（m＞32）个单位得到抛物线M'，∴点D（-32+m，254），∴OE=-32+m，DE=254，∵点

A（1，0），点C（0，4），∴OA=1，OC=4，∵△ODE与△OAC相似，∠AOC=∠DEO=90°，∴OAOE＝OCDE或OADE＝OCOE，∴1−32+m=4254或1254=4−32+m，∴m=4916或532．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+2与x轴交于点B，与

y轴交于点C，抛物线y=-12x2+bx+c的对称轴是直线x=32与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标

；若不存在，请说明理由．9【解析】（1）针对于y=-12x+2，令x=0，则y=2，∴C（0，2），令y=0，则0=-12x+2，∴x=4，∴B（4，0），∵点C在抛物线y=-12x2+bx+c上，∴c=2，∴抛物线的解析式为y=-12x2+bx+2，∵点B（4，0）在抛物线上，∴-8+4

b+2=0，∴b=32，∴抛物线的解析式为y=-12x2+32x+2.（2）由（1）知，令y=0，则0=-12x2+32x+2，∴x=4或x=-1，∴A（-1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2=20，AC2=5，AB2=25，∴CB2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠A

CB=90°，∵NH⊥x轴，∴∠BHN=90°=∠ACB，设N（n，-12n2+32n+2），∴HN=|-12n2+32n+2|，BH=|n-4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴BHAC＝HNBC，∴|n−4|

√5＝|−12n2+32n+2|2√5，∴n=-5或n=3或n=4（舍），∴N（-5，-18）或（3，2），②△BHN∽△BCA，∴BHBC＝HNAC，∴|n−4|2√5＝|−12n2+32n+2|√5，∴n=0或n=4（舍）或n=-2，∴N（0

，2）或（-2，-3），即满足条件的点N的坐标为（-5，-18）或（-2，-3）或（0，2）或（3，2）．10【专题提高】5.如图，抛物线y=-43x2+103x+2与x交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，

连接BC，在线段BC上有一动点P，过P作y轴的平行线l1，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与△BPM相似时，求P点的横坐标.【解析】∵以C、P、N为顶点的三角形与△BPM相似，∠BPM=∠CPN

，∴∠CNP=∠PMB=90°或∠NCP=∠PMB=90°，若∠CNP=∠PMB=90°，∴CN∥BM，∴点N的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴点N的纵坐标为2，∴2=-43x2+103x+2，∴x1=0（舍去），x2=52，∴点N的横坐标为52.若∠NCP=∠PMB=90°，∵点B（3，0

），点C（0，2），∴直线BC解析式为：y=-23x+2，设点M（c，0），则点N（c，-43c2+103c+2），点P（c，-23c+2），∴NP2=（-43c2+103c+2+23c-2）2=（-43c2+4c）2，NC2=c2+（-43c2+103c）2

，CP2=c2+（-23c+2-2）2=139c2，∵NP2=NC2+CP2，∴（-43c2+4c）2=c2+（-43c2+103c）2+139c2，∴c1=0（舍去），c2=118.11∴点N的横坐标为118，综上所述：点N的横坐标为52或118.6.

已知二次函数y=mx2+2mx-3m（a≠0，m＞0）的图象与x轴的交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．如图，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．【解析】∵y=mx2+2mx-

3m=m（x+1）2-4m，∴顶点D坐标为（-1，-4m）.令y=0，可得x1=-3，x2=1.即A（-3,0），B（1,0）.如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA-OE=2，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=

OF-OC=4m-3m=m，12由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9，CD2=CF2+DF2=m2+1，AD2=DE2+AE2=16m2+4，∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，∴△ACD必为直角三角形，i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，即：（9m

2+9）+（16m2+4）=m2+1，整理得：m2=-12，∴此种情形不存在；ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得：m2=12，∵m＞0，∴m=√22，此时，可求得

△ACD的三边长为：AD=2√3，CD=√62，AC=3√62；△BOC的三边长为：OB=1，OC=3√22，BC=√222，两个三角形对应边不成比例，不可能相似，∴此种情形不存在；iii）若点C为直角顶点，则AC2

+CD2=AD2，即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，整理得：m2=1，∵m＞0，∴m=1，此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2√5，CD=√2，AC=3√2.△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=√10，∵ADBC＝ACOC＝CD

OB=√2，13∴满足两个三角形相似的条件，∴m=1．综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．