【文档说明】《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题08 动点问题利用相似构建函数 （解析版）.docx，共(18)页，185.114 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题08动点问题利用相似建构函数【专题导入】1.如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED=60°.（1）求证：△AEC～△EDB；（2）若EC=x，求BD的长度（用x的代数式表示）.【解析】（1）∵△ABC是等边三角

形，∴∠B=∠C=60°，∴∠EDB+∠BED=120°，∠CAE+∠AEC=120°∵∠AED=60°，∴∠BED+∠AEC=180°-60°=120°，∴∠BED=∠CAE，∴△AEC～△EDB．（2）由（1）可知△AEC～△EDB.其中BE=BC-EC=2-x，ACBE=ECDB,即22

−x=xBD，∴BD=12x（2-x）=-12x2+x.【方法点睛】利用三角形的相似把所需要的边表示出来，最后利用得出的方程或函数进行解答.【例1】如图所示，AB=BC=4，∠B=90°，点E为线段BC上一动点（不与点

B，C重合），分别过点E、C作AE，BC的垂线，两条垂线相交于点D．（1）证明：∠AEB=∠CDE；（2）设BE=x，CD=y，试求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．2【解析】（1）证明：∵CD⊥BC，∴∠C=90°，∴∠CED+∠CDE=90°．∵AE⊥DE，∴∠AE

D=90°，∴∠BEA+∠CED=180°-∠AED=90°，∴∠BEA=∠CDE．（2）解：∵∠BEA=∠CDE，∠B=∠C=90°，∴△BEA∽△CDE，∴CDBE=CEBA，即yx=4−x4，∴y=-14x2+x

．∵点E为线段BC上一动点（不与点B、C重合），∴y=-14x2+x（0＜x＜4）．同步练习1.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连结AE、EF．（1）若点E是BC的中点，CF：FD=1：3，求证：△ABE∽△ECF；（2）若AE⊥EF

，设正方形的边长为6，BE=x，CF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值．3【解析】（1）证明：∵点E是BC的中点，∴EC=EB=12BC．∵CF∶FD=1∶3，∴CF∶CD=1∶4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=

90°，AB=BC=CD，∴ECAB=CFBE=12，∴△ABE∽△ECF．（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°．∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠

BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴CFBE=CEBA，即yx=6−x6，∴y=-16x2+x=-16（x-3）2+32，∴当x=3时，y取得最大值，最大值为32．4【例2】如图，矩形CDEF两边

EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．【解析】延长MP，交EF于点Q．如图所示：设A

P的长x，矩形PMDN的面积为y．∵四边形CDEF为矩形，∴∠C=∠E=∠F=90°．∵四边形PMDN为矩形，∴∠PMD=∠MPN=∠PND=90°．∴∠PMC=∠QPN=∠PNE=90°．∴四边形CMQF、PNEQ为矩形

．∴MQ=CF，PN=QE，且PQ∥BF．∵EF、FC的中点分别为A、B，且EF=8，CF=6，∴AF=4，BF=3，∴AB=√42+32=5，∵PQ∥BF，∴△APQ∽△ABF．∴AQAF==PQBF=APAB．即AQ4=PQ3=x5．解得：AQ=45x，PQ=35x．∴PN

=QE=AQ+AE=45x+4，PM=MQ-PQ=6-35x．∴y=PN•PM=（45x+4）（6-35x）=-1225x2+125x+24．5当x=-1252×（−1225）=52时，y取得最大值．即

当AP=52时，矩形PMDN的面积取得最大值．同步练习2.如图在锐角△ABC中，BC=6，高AD=4，两动点M、N分别在AB、AC上滑动（不包含端点），且MN∥BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设

MN=x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y．（1）如图（1），当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值；（2）如图（2），当PQ落△ABC外部时，求出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）并求出x为何值时y最大，最大是

多少？【解析】（1）当PQ恰好落在边BC上时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴MNBC=AGAD，即x6=4−x4，∴x=125．（2）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．设ME=NF=h，AD交MN于G（如图2）GD=NF=h

，AG=4-h．6∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴MNBC=AGAD，即x6=4−h4，∴h=-23x+4．∴y=MN•NF=x（-23x+4）=-23x2+4x（2.4＜x＜6），配方得：y=-23（x-3）2+6．

∴当x=3时，y有最大值，最大值是6．【专题过关】1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B=∠ADE=∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△AD

E是等腰三角形，求此时BD的长．【解析】（1）证明：∵∠B=∠ADE=∠C，∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ADE，∵∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE，∴∠BAD=∠CDE，∴△BDA∽△CED；

（2）当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，7∴∠DAE=90°，∴点D与B重合，不合题意舍去；当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD=1；当DA=DE时，如图2，∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴

DA：AC=DE：DC，∴DC=CA=√2，∴BD=BC-DC=2-√2，∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2-√2.2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线

段CA向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的

值；若不存在，说明理由．8【解析】（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=√AC2+BC2=10，∵12AC•BC=12AB•CD，∴12×8×6=12×10CD，解得：CD=4.8；（2）AD=√AC2−CD2=√82−4.82=6.4，过点Q作QH⊥CD于H，如图所示：∵

CD⊥AB，∴QH∥AD，∴△CHQ∽△CDA，∴QHAD=CQAC，即QH6.4=t8，∴QH=0.8t，∴S=12QH•CP=12×0.8t×（4.8-t）=-0.4t2+1.92t；∵S△ABC=12AC•BC=12×8×6=24，S△CPQ：S△ABC=

9：100，即：−0.4t2+1.92t2=9100，整理得：5t2-24t+27=0，解得：t1=3，t2=1.8，∴在运动过程中存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100，t的值为：3或1.8．3.如图，在矩形ABCD中，A

B＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？（2）当t为何值时，以Q、A、

P为顶点的三角形与△ABC相似？9（3）设△QCP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△QCP的面积有最小值？最小值是多少？【解析】（1）由运动知，AP＝2t（cm），DQ＝t（cm）

，QA＝（6﹣t）（cm）．∵四边形ABCD是矩形，∴∠PAQ＝90°，∵△QAP为等腰三角形，∴QA＝AP，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，所以，当t＝2时，△QAP为等腰三角形．（2）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当△QAP∽△ABC时，QAAB=APBC，∴6−t12=2

t6，∴t＝65＝1.2，即当t＝1.2时，△QAP∽△ABC；②当△PAQ∽△ABC时，QABC=APAB，∴6−t6=2t12，10∴t＝3，即当t＝3时，△PAQ∽△ABC；所以，当t＝1.2或3时，以点

Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．（3）S△PCQ＝S四边形QAPC﹣S△QAP＝S四边形ABCD﹣S△CDQ﹣S△PBC﹣S△QAP＝12×6﹣12×12×t﹣12×6×（12﹣2t）﹣12×2t×（6﹣t）＝36﹣6t+t2＝（t﹣3）2+27，∵0≤t≤6，∴当t＝3时，△QCP

的面积最小，最小值为27cm2．【专题提高】4.如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE

∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．11【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FE

G，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴ABEG＝BEFG，∴102+FG=8FG，∴FG＝8，∴S△ECF

＝12CE•FG＝12×2×8＝8；（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，12∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴ABEG＝BEFG，∴10x+FG=10−xFG，∴FG＝10﹣x，∴S△ECF＝12×CE×FG＝12×x•（10﹣x）＝﹣12（x2﹣10x

）＝﹣12（x﹣5）2+252，当x＝5时，S△ECF最大＝252．5.如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF

交CD于点G（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝

90°，∴∠A＝∠DCF＝90°，∵DF⊥DE，∴∠A＝∠EDF＝90°，13∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF；（2）解：∵BC＝1，∠CBD＝60°，∠DCB＝90°，∴CD＝√3．∵△ADE∽△CDF，∴DFDE＝CDAD＝CDBC＝√31＝√3，即DF＝

√3DE．在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝1+x2．则S△DEF＝12DF•DE＝√32DE2＝√32（1+x2）＝√32x2+√32.（3）解：当△BEF的面积S取得最大值时，四边形BGDE是菱形，理由如下：由（2）知，CD＝

√3．则在矩形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝√3．∵AE＝x，∴BE＝√3﹣x．∵△ADE∽△CDF，∴AECF＝ADCD＝√33．∴CF＝√3x．∴S＝12BE·BF＝12（√3﹣x）（1+√3x）＝﹣√32（x﹣√33）2+2√33．∴当x＝√33时，

S有最大值．此时BE＝2√33，CF＝1，BF＝2．14∵CG∥BE，∴△CFG∽△BFE，∴CGBE＝CFBF．∴CG＝√33．∴DG＝2√33．∴BE＝DG，且BE∥DG．∴四边形BGDE是平行四边形．又∵BE＝BG．∴平行四边形BGDE是菱形．

6.如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分

别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；（3）求S2S1的最大值．15【解析】（1）∵AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠BAG＝∠A

DB，∴△BAG∽△BDA，∴BABG＝BDBA，即4BG＝64，∴BG＝83，∴DG＝BD﹣BG＝6﹣83＝103；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠B

EA，∠ADG＝∠BEG∴△ADG∽△EBG，∴S1S＝（ADBE）2＝k2，DGBG＝ADBE＝k，∴S1＝k2S，∵S1S△ABG＝DGBG＝k，16∴S△ABG＝S1k，∵△ABD的面积＝△BDC的面积，∴S2＝S1+

S1k﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）∵S2S1＝k2+k−1k2＝1+1k﹣1k2＝﹣（1k﹣12）2+54，∴S2S1的最大值为54．7.一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲

，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝cm2；当x＝4cm时，S＝

cm2；当x＝12cm时，S＝cm2．（2）当4＜x＜8（如图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．【解析】（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8m2；当x＝4cm时，S＝8×

8÷2﹣4×4÷2＝24cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；24cm2；8cm2．17（2）如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝12（GD+CM）×DM＝12（x+8

）（8﹣x）＝﹣12x2+32，梯形CMEF的面积＝12（EF+CM）×ME＝12[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]12＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣12x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣12x2+32）+（﹣12x2+12

x﹣40）＝﹣x2+12x﹣8．（3）当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，所以当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．18