【文档说明】《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题07 二次函数中相似三角形存在性（2）——非直角三角形 （解析版）.docx，共(13)页，190.537 KB，由管理员店铺上传

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1专题07二次函数中相似三角形存在性（2）——非直角三角形【专题导入】1.如图，已知点A,B在x轴上，C在y轴上.其中点A（3,0），B（-1,0），C（3,0）.（1）∠A=_____°；（2）tanB=_____；（3）求sin∠

ACB的值.【解析】（1）45°（△OAC是等腰直角三角形）；（2）3（Rt△BOC中，CO=3,BO=1）；（3）根据题中条件，可得AB=4，CA=√OA2+CO2=3√2，CB=√BO2+CO2=√10.过点B作BD⊥AC，垂足为

D.根据等面积法可得12AB·CO=12CA·BD，解得BD=2√2.sin∠ACB=BDBC=2√2√10=2√55.【方法技巧】2要找两个三角形相似，基本都需要用到“角相等”，遇到非直角三角形时，我们需要根据给出的三角形的角度特征进行解题.①60°，30°，45°等角度，可以通过观察点的

位置简单得出；（第1题（1）问）②遇到不能直接得出特殊角的度数，若一边在坐标轴上时，可以通过过这边外的一点作垂线，得到直角三角形，从而得出相应的三角函数值；（第1题（2）问）③遇到2个边不在坐标轴上，又明显不是特殊角，可尝试使用等面积法得出相应的高，从而得出三角函数值.（第一题（3）问）【例1】

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-4x-5，与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标.【解析】如图1，令x=0，则y=-5，∴C（0，-5），

∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5√2，AC=√26要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，3∵∠ACB≠∠BCD，则有ABCD＝BCBC或ABBC＝BCCD①当ABCD＝BCBC时，∴CD=

AB=6，∴D（0，1），②当ABCB＝BCCD时，∴65√2＝5√2CD.∴CD=253，∴D（0，103）即：D的坐标为（0，1）或（0，103）．【例2】如图，抛物线与x轴相交于点A（-3，0）、点B（1，0），与y轴交于

点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；（2）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标.4【解析】（1）设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，将点A（-3，0），B（1，0），C（0，

3）分别代入得：{9a−3b+c=0，a+b+c=0，c=3.解得：{a=−1，b=−2，c=3，故抛物线解析式为：y=-x2-2x+3．由于y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，所以该抛物线的顶点坐标是（-1，4）.（2）如图，过点D作DK⊥x轴于点K，设D（x，-x2-2x+3

），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．∴DK=-x2-2x+3，OK=-x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD=∠ABC．∴tan∠AOD=tan∠ABC=3．∴−x2−2x+3−x=3，解得x1=1−√132，

x2=1+√132（舍去），∴D（1−√132，3√13−32）．②∠AOD=∠ACB．过点A作AF⊥BC，垂足为F.在Rt△AFB中，根据tan∠ABC=3和AB=4，可得BF=2√105，AF=6√105.AB=√10，CF=AB-BF=3√105.∴tan∠AOD=tan∠

ACB=2．5∴−x2−2x+3−x==2，解得x1=-√3，x2=√3（舍去）∴D（-√3，2√3）．综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是（1−√132，3√13−32）或（-√3，2√3）．【专题过关】1.如图，已知抛物线y=-x

2-2x+3经过点A（-3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标.【解析】∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点D（-1，4）．∵A（-3，0），C（0，3），D（-1

，4），∴AC=3√2，OA=OC=3，CD=√2，∠OCD=∠CAE=135°，∴点E只能在A点左边．①若△CAE∽△DCO，则CAAE＝DCCO＝√23，∴AE=9，∴OE=12，∴E（-12，0）．6∵C（0，3），∴yCE＝14x+3．联

立{y＝−x2−2x+3，yCE=14x+3，解得{x1=−94，y1=3916，{x2=0，y2=3（舍去），∴P(−94，3916)；②若△CAE∽△OCD，则CAAE＝OCCD＝3√2，∴AE=2，∴OE

=5，∴E（-5，0）．∵C（0，3），∴yCE＝35x+3．联立{y＝−x2−2x+3，yCE=35x+3，解得{x1=−135，y1=3925，{x2=0，y2=3（舍去），∴P(−135，3625)．因此，P(−94，3916)或(−135，3625).2.如图，设抛物线y=ax2

+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C（0，-2），且∠ACB=90°．7（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，求

点D和点E的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使以点P，B，D为顶点的三角形与三角形AEB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在直角△ABC中，∵CO⊥AB∴OC2=OA．OB∴22=1×m即

m=4∴B（4，0）．把A（-1，0）B（4，0）分别代入y=ax2+bx-2，并解方程组得a=12，b=-32，∴y=12x2-32x-2；（2）把D（1，n）代入y=12x2-32x-2得n=-3，∴D（1，-3）

解方程组{y=x+1，12x2−32x−2得{x1=6，y1=7，{x2=−1，y2=0.，∴E（6，7）．8（3）作EH⊥x轴于点H，则EH=AH=7，∴∠EAB=45°由勾股定理得：BE=√53，AE=7√2，作DM⊥x轴于点M

，则DM=BM=3，∴∠DBM=45°由勾股定理得BD=3√2．假设在x轴上存在点P满足条件，∵∠EAB=∠DBP=45°，∴EADB＝ABPB或EAPB＝ABDB，即7√23√2=5PB或7√2PB=53√2，∴PB=157或PB=425，OP=4-15

7=137或OP=4-425=-225．∴在x轴上存在点P（137，0），（-225，0）满足条件．【专题提升】3.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C

．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k=AFAD，当k为何值时，CF=12AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，9请说明理由．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx

+3过点A（-3，0），B（1，0），∴{9a−3b+3=0，a+b+3=0解得：{a=−1，b=−2，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（-1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA=3，OC=3，∴AC2=OA2+OC2=1

8，∵D（-1，4），C（0，3），A（-3，0），∴CD2=12+12=2∴AD2=22+42=20∴AC2+CD2=AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°．∵CF＝12AD，∴F为AD的中点，∴AFAD＝12，∴k＝12．②在Rt△ACD中，tan∠CAD=DCAC＝√23√2＝

13，在Rt△OBC中，tan∠OCB＝OBOC＝13，∴∠CAD=∠OCB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°，∴∠FAO=∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF=∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥

BC，10设直线BC的解析式为y=kx+b，∴{k+b=0，b=3，，解得：{k=−3，b=3，∴直线BC的解析式为y=-3x+3，∴直线OF的解析式为y=-3x，设直线AD的解析式为y=mx+n，∴{−k

+b＝4，−3k+b＝0，解得：{k＝2，b=6∴直线AD的解析式为y=2x+6，∴{y＝2x+6，y＝−3x，解得：{x=−65，y=185，∴F（-65，185）．当∠AOF=∠CAB=45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB=45°，∴

OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y=-x，∴{y＝−x，y＝2x+6，解得：{x=−2，y=2∴F（-2，2）．综合以上可得F点的坐标为（-65，185）或（-2，2）．4.如图，抛物线y=3+√36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧

，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=√3CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．11【解析】（1）∵BO=3AO=3

，∴点B（3，0），点A（-1，0），∴抛物线解析式为：y=3+√36（x+1）（x-3）=3+√36x2-3+√33x-3+√32，∴b=-3+√33，c=-3+√32.（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴BCCD＝

BOOE，∵BC=√3CD，BO=3，∴√3=3OE，∴OE=√3，∴点D横坐标为-√3，∴点D坐标为（-√3，√3+1），设直线BD的函数解析式为：y=kx+b，由题意可得：{√3+1=−√3k+b，0=3k+b12解得：{k=−√33，b=√3，∴直线BD的函数解析式为y=-

√33x+√3.（3）∵点B（3，0），点A（-1，0），点D（-√3，√3+1），∴AB=4，AD=2√2，BD=2√3+2，对称轴为直线x=1，∵直线BD：y=-√33x+√3与y轴交于点C，∴点C（0，√

3），∴OC=√3，∵tan∠CBO=COBO=√33，∴∠CBO=30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK=12AB=2，∴DK=√AD2−AK2=√8−4=2，∴DK=AK，∴∠ADB=45°

，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO=∠PBO=30°，∴BN=√3PN=2，BP=2PN，13∴PN=2√33，BP=4√33，当△BAD∽△BPQ，∴BPBA＝BQBD，∴BQ

=4√33×（2√3+2）4=2+2√33，∴点Q（1-2√33，0）；当△BAD∽△BQP，∴BPBD＝BQAB，∴BQ=4√33×42√3+2=4-4√33，∴点Q（-1+4√33，0）.若∠PBO=∠ADB=45°，∴BN=PN=2，BP=√2BN=2√2，当△DAB∽△BPQ，∴BPAD

＝BQBD，∴2√22√2＝BQ2√3+2，∴BQ=2√3+2∴点Q（1-2√3，0）；当△BAD∽△PQB，∴BPBD＝BQAD，∴BQ=2√2×2√22√3+2=2√3-2，∴点Q（5-2√3，0）.综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1-2√33，0）或（-1+4√33，0）或（

1-2√3，0）或（5-2√3，0）．