【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）》专题04 三次函数的图象和性质 （原卷版）.docx，共(13)页，1.130 MB，由envi的店铺上传

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专题04三次函数的图象和性质【考点预测】知识点一.基本性质设三次函数为：32()fxaxbxcxd=+++(a、b、c、Rd且0a)，其基本性质有：性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：0a0a

图像0000性质2：三次方程()0fx=的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数32()(0)

fxaxbxcxda=+++其导函数为二次函数:2()32(0)fxaxbxca=++，判别式为：△=224124(3)bacbac−=−，设()0fx=的两根为1x、2x，结合函数草图易得：(1)若230bac−，则()0fx=恰有一个实根；(2)若230

bac−,且12()()0fxfx，则()0fx=恰有一个实根；(3)若230bac−,且12()()0fxfx=，则()0fx=有两个不相等的实根；(4)若230bac−,且12()()0fxfx，则()0fx=

有三个不相等的实根.说明:(1)(2)()0fx=含有一个实根的充要条件是曲线()yfx=与x轴只相交一次，即()fx在R上为单调函数（或两极值同号），所以230bac−（或230bac−，且12()()0fxfx）;(3)()0fx=有两个相异实根的充要条件是曲线()

yfx=与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以230bac−，且12()()0fxfx=;(4)()0fx=有三个不相等的实根的充要条件是曲线()yfx=与x轴有三个公共点，即()fx有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以230bac−且12()

()0fxfx.性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(())33bbfaa−−，；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．【方法技巧与总结】1.其导函数为2()320fxaxbxc=++=对称轴为3bxa

=−，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，()yfx=图象的对称中心在导函数()yfx=的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；2.()yfx=是可导函数，若()yfx=的图象关于点(,)mn对称，则()yfx=图象关于直线xm=对称.3.若()y

fx=图象关于直线xm=对称，则()yfx=图象关于点(,0)m对称.4.已知三次函数()32fxaxbxcxd=+++的对称中心横坐标为0x，若()fx存在两个极值点1x，2x，则有()()()()21212012223fxfxaxxfxxx−=−−=−.【题型归纳目录】题型一：三次函数的

零点问题题型二：三次函数的最值、极值问题题型三：三次函数的单调性问题题型四：三次函数的切线问题题型五：三次函数的对称问题题型六：三次函数的综合问题题型七：三次函数恒成立问题【典例例题】题型一：三次函数的零点问题例1．若2a，则函数321()13

fxxax=−+在区间(0,2)上恰好有()A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点例2．设a为实数，函数3()3fxxxa=−++．（1）求()fx的极值；（2）若()yfx=恰好有两个零点，求a的值．例3．已知函数321()1

()3fxxaxaR=−+．（Ⅰ）若0a，函数()yfx=在区间2(,3)aa−上存在极值，求a的取值范围；（Ⅱ）若2a，求证：函数()yfx=在(0,2)上恰有一个零点．例4．已知函数31()3fxxax=+，2()()gxxaaR=−−．（Ⅰ）若函数()()

()Fxfxgx=−在[1x，)+上单调递增，求a的最小值；（Ⅱ）若函数()()()Gxfxgx=+的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．例5．已知函数321()3fxxaxb=−+在2x=−处有极值．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若函数()fx在区间[3−，3]上有且仅有一个

零点，求b的取值范围．题型二：三次函数的最值、极值问题例6．已知函数32()3fxxbxcxd=+++在(,0)−上是增函数，在(0,2)上是减函数，且()0fx=的一个根为b−（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求证：()0fx=还有不同于b−的

实根1x、2x，且1x、b−、2x成等差数列；（Ⅲ）若函数()fx的极大值小于16，求f（1）的取值范围．例7．已知函数322()2(2)13fxxxax=−+−+，其中0a．（Ⅰ）若2a=，求曲线()yfx=在点(1，f（1）)处的切线方程；（Ⅱ）求()fx在区间[2，3]上的最小值．例

8．已知函数32()fxxaxbxc=+++在23x=−与1x=时都取得极值．（1）求a、b的值与函数()fx的单调区间；（2）若[1x−，2]，求()fx的最大值．例9．已知函数321()()3fxxxaxaaR=−+−．（1）

当3a=−时，求函数()fx的极值；（2）设2()()()gxfxfxax=++，若函数()gx在区间(1,1)−有极值，求a的取值范围；（3）若函数()fx的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．题型三：三次函数的单调性问题例10．已知三次函数3221()(41)(15

27)23fxxmxmmx=−−+−−+在(,)x−+上是增函数，则m的取值范围为．例11．三次函数3()fxmxx=−在(,)−+上是减函数，则m的取值范围是()A．0mB．1mC．0m„D．1m„例12．已知函数3211()4332

fxxmxx=−+−在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为()A．45m剟B．24m剟C．2m„D．4m„例13．已知函数32()fxxxaxa=+−+在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(−，1]3−B．2(,]3−C．1(,)3−D．2(,)3

−题型四：三次函数的切线问题例14．已知函数3()fxxx=−．()I求曲线()yfx=在点(Mt，())ft处的切线方程；()II设常数0a，如果过点(,)Pam可作曲线()yfx=的三条切线，求m的取值范围．例15．已知函数323()31(0)fxaxxaa=−+−．（Ⅰ

）若()fx的图象在1x=−处的切线与直线113yx=−+垂直，求实数a的取值；（Ⅱ）求函数()yfx=的单调区间；（Ⅲ）若1a=时，过点(2M，)(6)mm−，可作曲线()yfx=的三条切线，求实

数m的取值范围．例16．已知定义在R上的函数3()3fxaxx=−，a为常数，且1x=是函数()fx的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数()()()6gxfxfx=+−，xR，求()gx的单调区间

；（Ⅲ）过点(1A，)(2)mm−可作曲线()yfx=的三条切线，求m的取值范围．例17．设函数321()32afxxxbxc=−++，其中0a．曲线()yfx=在点(0P，(0))f处的切线方程为1

y=．（1）确定b，c的值；（2）若过点(0,2)可作曲线()yfx=的三条不同切线，求实数a的取值范围．例18．已知函数32()3fxaxbxx=+−在1x=处取得极值（1）求函数()fx的解析式；（2）求证：对于区间[1−，1]上任意两个自变量的值1x，2x，都有12

|()()|4fxfx−„；（3）若过点(1A，)(2)mm−可作曲线()yfx=的三条切线，求实数m的范围．例19．已知函数3()fxxx=−（1）求曲线()yfx=在点(Mt，())ft处的切线方程（2）设0a，如果过点(,)ab可作曲线()yfx=的三条切线，证明：abf−（a

）题型五：三次函数的对称问题例20．已知函数3213yxxx=++的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点1(Mx，1)y、2(Nx，2)y，且恒有12yy+为定值0y，则0y的值为．例21．已知函数323yxxx=++的图象

C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，就恒有12yy+的定值为0y，则0y的值为．例22．已知函数32()92930fxxxx=−+−，实数m，n满足()12fm=−，()18fn=，则(mn+=)A．6B．8C．10D．12例23．已

知实数a，b分别满足32351aaa−+=，32355bbb−+=，则ab+的值为．例24．对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda=+++，给出定义：设()fx是函数()yfx=的导数，()fx是函数()fx的导数，若方程()0fx=有

实数解0x，则称0(x，0())fx为函数()yfx=的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数32115()33212fxxxx=−+−，

请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数32115()33212fxxxx=−+−的对称中心为；（2）计算1232012()()()()2013201320132013ffff++++=．例25．对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda=+++，给出定

义：设()fx是函数()fx的导数，()fx是函数()fx的导数，()fx是函数()fx的导数，此时，称()fx为原函数()fx的二阶导数．若二阶导数所对应的方程()0fx=有实数解0x，则称点0(x，0())fx为函数()fx的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数

都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设三次函数32()232412fxxxx=−−+请你根据上面探究结果，解答以下问题：①函数32()232412fxxxx=−−+的对称中心坐标为；②计算12320

122013()()()()()20132013201320132013fffff+++++=．题型六：三次函数的综合问题例26．已知函数32()fxxbxcxd=+++在(−，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程()0fx=有3个实数根，它们分别是

，，2，则22+的最小值是()A．5B．6C．1D．8例27．已知32()69fxxxxabc=−+−，abc，且f（a）f=（b）f=（c）0=，现给出如下结论；①()1fx„；②()3fx…；③(0)ff（1）0；④(0)ff（3）0；⑤4abc其中

正确结论的序号是．例28．已知32()69fxxxxabc=−+−，abc，且f（a）f=（b）f=（c）0=．现给出如下结论：①(0)ff（1）0；②(0)ff（1）0；③(0)ff（3）0；④(0)

ff（3）0；⑤4abc；⑥4abc．其中正确结论的序号是()A．①③⑤B．①④⑥C．②③⑤D．②④⑥例29．已知32()69fxxxxabc=−+−，abc，且f（a）f=（b）=（c）0=，现给出如下结论：①(0)

ff=（3）；②(0)ff（1）0；③f（1）f（3）0；④22218abc++=．其中正确结论个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个题型七：三次函数恒成立问题例30．已知三次函数()fx的导函数2()33fxx=−+且(0)1f=−，()(1)agxxlnxax=

+…．（1）求()fx的极值；（2）求证：对任意1x，2(0,)x+，都有12()()fxgx„．例31．已知函数3221()(1)3fxxaxaxb=−+−+，其图象在点(1，())fx处的切线方程为30xy+−=．（1）求a，b的值与函

数()fx的单调区间；（2）若对[2x−，4]，不等式2()fxcc−恒成立，求c的取值范围．例32．已知函数32()()fxxaxbxcxR=+++在23x=−处取得极值，其图象在点(1，f（1）)处的切线与直线20y+

=平行．（1）求a，b的值；（2）若对[1x−，2]都有1()fxc恒成立，求c的取值范围．例33．已知函数32()fxxaxbxc=+++在23x=−与1x=时都取得极值．（1）求a，b的值与函数()fx的单调区间；（2）若对[xc

，1]，不等式()2cfx恒成立，求c的取值范围．例34．已知函数3()(0)fxaxcxda=++是R上的奇函数，当1x=时()fx取得极值2−．（1）求()fx的单调区间和极大值；（2）证明对任意1x，2(1,1)x−，不等式12|()()|4fxfx−恒成立．例35．已知函数2

()2fxxxk=+−，32()(0)gxaxbxcxda=+++是R上的奇函数，当1x=时，()gx取得极值2−．（1）求函数()gx的单调区间和极大值；（2）若对任意[1x−，3]，都有()()fxgx„成立，求实数k的取值范

围；（3）若对任意1[1x−，3]，2[1x−，3]，都有12()()fxgx„成立，求实数k的取值范围．例36．设函数323()(1)132afxxxax=−+++，其中a为实数．（Ⅰ）已知函数()fx在1x=处取得极值，

求a的值；（Ⅱ）已知不等式2()21fxxxa−−+对[0x，1]都成立，求实数a的取值范围．例37．设函数323()(1)132afxxxax=−+++，其中a为实数．（1）已知函数()fx在1x=处取得极值，求a的值；（2）已知不等

式2()1fxxxa−−+对任意(0,)a+都成立，求实数x的取值范围．例38．设函数321()(0)3fxxaxbxca=+++在0x=处取得极值1−．（1）设点(Aa−，())fa−，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．（2）若过点(0,0)可作曲线()yf

x=的三条切线，求a的取值范围；（3）设曲线()yfx=在点1(x，1())fx，2(x，212())()fxxx处的切线都过点(0,0)，证明：12()()fxfx．例39．已知32()fxxbxcxd=+++在(,0)−上是增函数，在[0，2]上是

减函数，且方程()0fx=有三个根，它们分别为，2，．（1）求c的值；（2）求证f（1）2…；（3）求||−的取值范围．例40．已知函数32()fxxbxcxd=+++在(−，0]上为增函数，在[0，6]上

为减函数，且方程()0fx=的三个根分别为1，1x，2x．（1）求实数b的取值范围；（2）求2211224xxxx−+的取值范围．例41．已知函数32()(,)fxxaxbabR=−++．（Ⅰ）若1a=，函

数()fx的图象能否总在直线yb=的下方？说明理由；（Ⅱ）若函数()fx在(0,2)上是增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设1x，2x，3x为方程()0fx=的三个根，且1(1,0)x−，2(0,1)x，3(x−，1)(1−，)+，求证：1a或1a

−．例42．已知函数321()3fxxaxbx=++，且(1)0f−=．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求()fx的单调区间；（3）令1a=−，设函数()fx在1x、212()xxx处取得极值，记点1(Mx，1())fx，2(Nx，2())fx．证明：线段MN与

曲线()fx存在异于M，N的公共点．【过关测试】一、单选题1．（2022·山东泰安·高三期中）过曲线()3:Cfxxaxb=−+外一点()1,0A作C的切线恰有两条，则（）A．ab=B．1ab−=C．1

ba=+D．2ab=2．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,Pt可作出曲线3yx=的三条切线，则实数t的取值范围是（）A．(),1−B．()0,+C．()0,1D．0,13．（2022·全国·高

三专题练习）已知函数()()321032afxxxxa=−−在区间()0,1上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．()02,B．)0,1C．()0,+D．()2,+4．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数321()2132afxxaxx=−+++在

R上单週递增，则=a（）A．12B．0C．12−D．1−5．（2022·吉林·模拟预测（理））若函数()321fxxxax=++−是R上的单调函数，则实数a的取值范围（）A．13aB．13aC．13aD．13a6．（2022·广东·广州市

玉岩中学高三期中）函数3()fxxax=−在区间(1,)+是增函数，则实数a的取值范围是（）A．(,0]−B．[0,)+C．(,3]−D．[3,)+7．（2022·四川省峨眉第二中学校高三阶段练习（文））已知函数()3fxxaxa=−−为单调递增函数，求a的范围（）A．(-3

，2)B．()-2，C．(,0−D．)2,+8．（2022·全国·高三课时练习）若函数()326fxxaxx=−−+在()0,1内单调递减，则实数a的取值范围是()A．)1,+B．()1,+C．(,1−−D．()

0,1二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）定义()fx是()yfx=的导函数()yfx=的导函数，若方程()0fx=有实数解0x，则称点()()00,xfx为函数()yfx=的“拐点”

.可以证明，任意三次函数()()320axbxdafxcx=+++都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（）A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B．函数()32335fxxxx=−−+的对称中心也是函数tan2yx=的一

个对称中心C．存在三次函数()hx，方程()0hx=有实数解0x，且点()()00,xhx为函数()yhx=的对称中心D．若函数()321153212gxxx=−−，则12320201010202120212021

2021gggg++++=−三、填空题10．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()3sin2xfxxaxbx=−++，()13f=，则()1f−=___

_______，当6a=，1b=时，函数()()2xgxfx=−的极值点的个数为__________．11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数()()3221fxxaxa=−−R在(),0−内有且只有一个零点，则()fx在1,1−上的最大值与最小值的和为____

___．12．（2022·辽宁·辽师大附中高三阶段练习）已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________.13．（2022·陕西·长安一中高三期末（理））已知函数3()2

3fxxx=−，若过点()1,1Mm−存在三条直线与曲线()yfx=相切，则m的取值范围为___________．14．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设1x=是函数32()()fxxaxbxcxR=+++的一个极值点，

则a与b的关系为________．15．（2022·四川达州·一模（理））对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda=+++，给出定义：设()fx是函数()yfx=的导数，()fx是()fx的导数，若方程()fx=0有实数解0x，则称点(0x，0()fx)为函数2

22()23()3gxxaxxaa=−+=−+−的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数32()231gxxx=−+，则1299()()()100100100ggg++=______

______.四、解答题16．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数()32fxxaxbxc=+++在1x=−与13x=处都取得极值.(1)求实数a，b的值；(2)若函数()fx有三个不同的零点，求c的范围.17．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数32()

fxxaxbxc=+++．(1)求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；(2)设4ab==，若函数()fx有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：230ab−是()fx有三个不同零点的必要而不充分条件．18．（2022·广东·惠来县第一中学高三阶段练习）设3211()(1),

32fxxbxbxxR=+−−(1)当b=1时，求()fx的单调区间；(2)当()fx在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围.19．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知函数()33fxxxa=−++，Ra．(1)求函数(

)fx的单调区间；(2)求函数()fx的极值．20．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高三期末）已知函数()322(0)fxxaxaxma=+−+．(1)若1a=时函数fx（）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；(2)若

对任意的3,6a，不等式()1fx≤在22−,上恒成立，求实数m的取值范围．21．（2022·安徽师范大学附属中学高三期中）设函数321()33fxxxx=+−．(1)求函数()fx的单调区间和极值；

(2)求函数()fx在1,3−上的最值．22．（2022·北京八十中高三期中）已知函数32211()23()32fxxaxaxaR=−+++，()fx为函数()fx的导函数(1)若1x=−为函数()fx的极值点，求实数a的值；(2)()fx的单调增区

间内有且只有两个整数时，求实数a的取值范围；(3)对任意102a时，任意实数12,1,2xx−，都有1220()()373fxfxMa+−+−恒成立，求实数M的最大值.