【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 4.3 等比数列 Word版含解析.docx，共(16)页，897.381 KB，由小赞的店铺上传

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4.3等比数列一、单选题1．已知nS是各项均为正数的等比数列na的前n项和，若2481aa=，313S=，则q=（）A．2B．3C．6D．9【答案】B【分析】根据等比数列下标性质，结合等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】因为等

比数列na的各项均为正数，所以由2224331129818199aaaaaqaq=====，当1q=时，19a=，所以32713S=，不符合题意；当1q时，由232139(1)(1)(1)13131311qqqaqqSqq−++−==

=−−，229(1)133qqqq++==或34q=−，因为等比数列na的各项均为正数，所以3q=，故选：B2．已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为q，则q的取值范围是（）A．15(0,)2+B．15(,1]2−C．15[1,)2+D．1515(,)22

−++【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式及构成三角形边的特点，结合一元二次不等式的解法即可求解.【详解】设三边a､qa､2qa()0,0aq，则由三边关系两短边和大于第三边abc+，即当1q时，2aqaqa+，等价于

解二次不等式210qq−−，由于方程210qq−−=两根为1152q−=和2152q+=，解得151522q−+且1q，即5112q+当1q时，a为最大边，2qaqaa+即得210qq+−，解得512q−或152q+

−且0q，即5112q−，综上所述，q的取值范围为1515(,)22−++故选：D.3．数列na满足14a=−，*11,0,N2,0nnnnnaaanaa++=则满足122018naaa+++的n

的最小值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】A【分析】分类讨论当0na时得到234563,2,1,0,1aaaaa=−=−=−==，当0na时得到62nna−=，从而利用等比数列的前n项和公式求得12naaa+++，进而得到522029n−，

解之即可.【详解】因为当0na时，11nnaa+=+，14a=−，所以234563,2,1,0,1aaaaa=−=−=−==，当0na时，12nnaa+=，所以当6n时，na是以61a=，2q=的等比数列，故6662nnnaaq−−==

，所以0161243210222nnaaa−+++=−−−−+++++()51121012n−−=−+−5211n−=−，故52112018n−−，即522029n−，因为101121024,22048==，*Nn，所以511n−，即16n

，所以n的最小值为16.故选：A.4．在等比数列na中，243aa+=，57192aa+=，则公比q的值为（）A．4B．4C．2D．2【答案】A【分析】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.【详解】()212143qaaaqa=++=，

()421157192qaaaqa++==，得3572464aaqaa+==+，∴4q=．故选：A．5．已知各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，若3314,8Sa==，则71159aaaa+

+的值为（）A．4B．49C．2D．23【答案】A【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案.【详解】设数列na的公比为(0)qq，则3123288814Saaaqq=++=++=，得23440qq−−=，解得2q=或23q=

−（舍），所以2227115959594aaaqaqqaaaa++===++.故选：A.6．已知等比数列{}na满足21q，24mnaaa=，（其中m，*nN），则91mn+的最小值为（）A．6B．16C．32

D．2【答案】D【分析】利用等比数列的性质，得出m和n的关系，利用基本不等式求出91mn+的最小值【详解】由题意m，*nN在等比数列{}na中，21q，24mnaaa=，由等比数列的性质，可得8mn+=，()911911919101022888mn

mnmnmnmnnmnm+=++=+++=…，当且仅当6m=，2n=时，等号成立，因此，91mn+的最小值为2.故选：D.7．已知数列na是等比数列，且22a=，3516aa=，则22212naaa+++=（）A．22n−B．122n+−C．21

n−D．121n+−【答案】B【分析】根据等比数列的性质，得到2na也为等比数列，并求出其基本量，进而可用等比数列求和公式求解即可.【详解】∵na为等比数列，故2na也为等比数列，由235416aaa==，又∵22a=，∴2na的公比满足244224aq

a==，则22q=，而212aaq==，平方得2214aq=，212a=，∴2na是以212a=为首项，2为公比的等比数列，其前n项和()2221122122212nnnaaa+−+++==−−．故选：B．8

．已知公差不为零的等差数列na中，3514aa+=，且1a，2a，5a成等比数列，则数列na的前9项的和为（）A．1B．2C．81D．80【答案】C【分析】由题知47a=，2215aaa=，进而根据等差数列通项公式解得2d=，再求和即可.【

详解】因为3514aa+=，所以4214a=，解得47a=.又1a，2a，5a成等比数列，所以2215aaa=.设数列na的公差为d，则()()()244423adadad−=−+，即()()()272737dd

d−=−+，整理得220dd−=.因为0d，所以2d=.所以()()199991178122aaS++===.故选:C.二、多选题9．将数列na中的所有项排成如下数阵：1a2a3a4a5a6a7a8a9a……已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数125,,,aaa成等差数列，且2

104,10aa==．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，则（）A．11a=B．2022a在第85列C．221nnaa+D．()2221322nnan−=−【答案】ACD【分析】由已知，根据条件，选项A，设第一列数所组成的等差

数列公差为d，根据2104,10aa==求解公差，然后再求解1a即可验证；根据数阵的规律，先计算第n行共有()21n−项，然后再总结前n行共有2n项，先计算前44行共有1936项，然后用2022193686−=，即可判断选项B；选项D，先计算第一列数所组

成的等差数列第n行的第一项为：32n−，然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解通项；选项C，先表示出2131nan+=+，2131nan+=+，然后可令()()()22132N2nfnnn−+

=−、()()33Ngnnn+=+，分别判断数列的单调性，求解出对应的最大值与最小值，比较即可判断.【详解】由已知，第一列数125,,,aaa成等差数列，且2104,10aa==，设第一列数所组成的等差数列公差为d，则102104322aad−−===，所以12431aad=

−=−=，选项A正确；第一行共有1项，第二行共有3项，第三行共有5项，L，第n行共有()21n−项，所以前一行共有21项，前二行共有22项，前三行共有23项，L，前n行共有2n项，所以前44行共有2441936

=项，而2022193686−=，所以2022a位于第45行86列，故选项B错误；第一列数所组成的等差数列第n行的第一项为：()1132ndn+−=−，且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，所以第n行的数构成以()32n−为首项，公比为12

的等比数列，所以()2221322nnan−=−，故选项D正确；因为第一列数所组成的等差数列第n行的第一项为：()1132ndn+−=−，所以2131nan+=+，令()()()22132N2nfnnn−+=−，所以()()()()()222211113132

99222nnnfnfnnnn−+−=+−−=−，当1n且Nn+时，()()10fnfn+−，所以()()121ff==，所以()max1fn=，而令()()33Ngnnn+=+，在Nn+上单调递增，所以()()min16gng==

，所以221nnaa+成立，选项C正确.故选：ACD.10．对于数列na，设其前n项和nS，则下列命题正确的是（）A．若数列na为等比数列，且4128,,SSS成等差数列，则4128,,aaa也成等差数列B．若数列na为等比数列，则223nnnSSS=C．若数列

na为等差数列，则数列nSn成等差数列D．若数列na为等差数列，且691,0SSa=，则使得0nS的最小的n值为15【答案】AC【分析】利用等差等比数列的定义及等差数列的中项公式，结合等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解.【详解】对于A，因为数列na为等比，

且4128,,SSS成等差数列，所以12482SSS=+，所以1q，()()()12481111121111aqaqaqqqq−−−=+−−−，即12481112aqaqaq=+，于是有11371112aqaqaq=+，所以12482aaa=+，所以4128,,aaa也成等差

数列，故A正确；对于B，因为数列na为等比数列，当1q=时，()222221124,nSnana==22311133nnSSnanana==，所以223nnnSSS，故B错误；对于C，因为数列na为等差数列，所以

()111222nnndnaSddnann−+==+−，所以nSn是关于n的一次函数，所以数列nSn成等差数列，故C正确；对于D，因为数列na为等差数列，且69SS=，所以()()116619916922ddaa−−+=+，即17ad=−，又10a，所以0d，所以()2111

17222nnndnadnndnSd−=+=−+−2115022dndn=−，即2150nn−,解得15n，所以使得0nS的最小的n值为16，故D错误.故选：AC.11．已知数列na的前n项和nS满足()2*11,R,NnSannbabn

=++，则下列说法正确的是（）A．0b=是na为等差数列的充要条件B．na可能为等比数列C．若0a，Rb，则na为递增数列D．若1a=−，则nS中，5S，6S最大【答案】ABD【分析】计算111aab=++，当2

n时，211nanaa+=−，验证知A正确，当0ab==时是等比数列，B正确，举反例知C错误，计算60a=得到D正确，得到答案.【详解】211nSannb=++，1111aSab==++；当2n时，()()221111111

211nnnannbannbanaaSS−++−−−−=−+==−−，当0b=时，111aa=+，满足通项公式211nanaa+=−，数列为等差数列；当na为等差数列时，121111baaaa−=+=++，0b=，故A正确；当0ab==时，11na=，是等比

数列，B正确；2311aa=+，取2ba=，则21aa=，C错误；当1a=−时，从第二项开始，数列递减，且212nan=−+，故60a=，故5S，6S最大，D正确.故选：ABD12．已知公比不为1的等比数列na的n项和为nS，则下列一定成立的是（）A．若30a，则20210aB．

若40a，则20220aC．若130aa+，则20210SD．若240aa+，则20220S【答案】BC【分析】设等比数列na的公比为q，根据通项公式及求和公式即可判断出答案.【详解】设等比数列na的公比为q，当30a时，2018202130aaq=，A不正确；当4

0a时，2018202240aaq=，B正确；当130aa+时，即()2211110aaqaq+=+，则10a，所以()20211202111aqqS−=−，由1q−与同号，所以20210S，C正确；当240aa+时，取数列na为1，1−，1，1−，L，则20220S=，D不

正确.故选：BC.三、填空题13．已知数列na为等差数列，数列nb为等比数列且公比2q=.数列na和数列nb的前n和分别为nS和nT，且满足222nnTS+=，则等差数列na的通项公式为_____________.【答案】42nan

=−【分析】分别令1,2,3n=，得到224468222TSTSTS+=+=+=，设na的公差为d，化简得到114275634740adad−=−=，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令1,2,3n=得，222244446868222222TST

STSTSTSTS+==−+==−+==−，根据等比数列求和公式，得到2141613,15,63TbTbTb===，故12141832152632bSbSbS=−=−=−42822

5(2)221(2)SSSS−=−−=−，设na的公差为d，则1111462105108282422142adadadad+−=+−+−=+−，化简得111427562347404adaadd−==−==，42nan=−故答案为：42nan=−14

．已知数列na是首项为3，公比为q的等比数列，nS是其前n项的和，若3450aaa+=，则3S=___________.【答案】73##123【分析】根据题意求出公比q，利用等比数列前n项和公式即可求解.【详解】因为数列n

a是首项为3，公比为q的等比数列，且3450aaa+=，所以2341110aqaqaq+=，因为0q，所以310q+=，则13q=−，由等比数列的前n项和公式可得：31313(1)(1)727=4133aqSq+−==−，故答案为：73.15．我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展

尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少___________年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据lg1.20.08,lg50.70）【答案】10【分析】根据题意满足等比数列模型，运用等比数列

通项公式解决即可.【详解】由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%，满足等比数列模型，令150,1.2aq==，所以()1501.2nna−=，()1501.2500nna−==所以()11.25n−=，所以1.2lg50

.701log58.75lg1.20.08n−====，所以9.75n=，又因为n为正整数，所以10n=，故答案为：1016．已知数列na、nb满足()*2lognnban=N.其中nb是等差数列，若1020132aa=，则122022

bbb+++=_____________.【答案】1011【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得120221bb+=，进而求解结论.【详解】数列na、nb满足()*2lognnban=N.其中nb是等差数列，10

20132aa=，nb为等差数列，设公差为d，则1212,loglognnnnbaba++==，112lognnnnabbda++−==，则12dnnaa+=，故na为等比数列，()()120222

1220222120222102013loglogloglog1bbaaaaaa+=+===，()12022122022202210112bbbbb++++==.故答案为：1011.四、解答题17．已知数列na的各项均为正数的等比数列，532a=，()31223aaa−=．(1)求数列

na的通项公式；(2)若()2211lognnnba−=−，求数列nb的前n项和nT．【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得()()121nnbn=−−，再分类讨论结合分组并项求和法求解即可【详解】（1）设公比为

()0qq，由题意得()4121113223aqaqaaq=−=解得122aq==112nnnaaq−==（2）()()()()2122121log1log2121nnnnnnban−−=−=−=−−当n为偶数时，()12113

572122nnnnTbbbbnn−=++++=−+−+++−==，当n为奇数时，()1121nnnTTbnnn−=+=−−−=−；()1nnTn=−．18．给定数列na，若满足()

101aaaa=，，对于任意的,Nmn，都有mnmnaaa+=，则称na为“指数型数列”.若数列na满足：1111,2nnnnaaaaa++==+；(1)判断11na+是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(2)若1nnbna=+，求数列nb

的前n项和nT.【分析】（1）首先将原式化简整理成11112(1)nnaa++=+，根据等比数列的定义证明11na+为等比数列，再根据等比数列的首项和公比求解11na+的通项公式，最后通过通项公式证明11na

+是“指数型数列”；（2）首先根据（1）求解出21nnnb=+−，然后根据分组求和求解nb的前n项和nT即可.【详解】（1）将112nnnnaaaa++=+两边同除1nnaa+得：1121nnaa+=+，11112(1)nnaa++=+11na+

是以2为首项，公比为2的等比数列，112nna+=111(1)(1)21mnnmnmaaa++++==+11na+是“指数型数列”（2）因为112nna+=，则121nnnbnna=+=+−()()222212nnTnn=+++++++−LL()()212112

2nnnn−+=+−−1(1)222nnn+−=+−.19．已知数列{}na，其中前n项和为nS，且满足15a=，*123(N)nnaan+=+．(1)证明：数列{3}na+为等比数列；(2)求数列{}na的通项公式及其前n项和n

S．【分析】（1）根据题意对123nnaa+=+两边同时加3，进一步推导即可发现数列{3}na+是以8为首项，2为公比的等比数列；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{3}na+的通项公式，进一步计算出数列{}na的通项公式，再运用分组求和法及等比

数列的求和公式即可计算出前n项和nS．【详解】（1）证明：由题意，123nnaa+=+两边同时加3，可得132332(3)nnnaaa++=++=+，13538a+=+=，数列{3}na+是以8为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得123822nnna−++==，则2

23nna+=−，*nN，故12nnSaaa=+++342(23)(23)(23)n+=−+−++−342(222)3nn+=+++−3322312nn+−=−−3238nn+=−−．20．已知等差数列na和等比数列nb满

足111ab==，2410aa+=，245bba=.(1)求na的通项公式；(2)求和：13521nbbbb−++++.【分析】（1）设等差数列na的公差为d，利用11a=，2410aa+=求出d，再由等差数列的通项公式计算可得答案；（2）设等比数列nb的公

比为q，则奇数项构成公比为2q的等比数列，利用22439bbb==求出3b、2q，可得21nb−是公比为3，首项为1的等比数列，再由等比数列的前n项和公式计算可得答案.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由11a=，2410aa+=，可得：11310dd+++=，解得2d

=，所以na的通项公式12121nann=+−=−（）；（2）设等比数列nb的公比为q，则奇数项构成公比为2q的等比数列，由（1）可得59a=，等比数列nb满足11b=，22439bbb==，由于110b=，可得33b=（舍去33b=−），

（等比数列奇数项符号相同），所以2313bqb==，则21nb−是公比为3，首项为1的等比数列，()()2*135212113112nnnqbbbbnq−−−++++==−N.21．已知数列na为等比数列，22a=，516a=，2lognnba=，

nnncab=+.(1)求数列na､nb的通项公式；(2)求数列nc的前n项和nS.【分析】（1）由352aqa=，求得数列na的公比q，再由等比数列的通项公式得na，然后由对数的运算性质得nb；（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，采用分组求和法，即可得解.【详解】（1）设数列

{}na的公比为q，则3521682aqa===，所以2q=，所以2212222nnnnaaq−−−===，所以22loglog2nnba==11nn−=−；（2）121nnnncabn−=+=+−，所

以0121012120212221(2222)(0121)nnnSnn−−=++++++++−=+++++++++−(12)(01)121(1)1222−+−=+=−+−−nnnnnn.22．已

知数列na中，11a=，22a=，()*11322,Nnnnaaann+−=−.设1nnnbaa+=−.(1)证明：数列nb是等比数列；(2)设数列na的前n项的和为nS，求nS.(3)设()()112nnnnacbS+=++，设数列nc的前n项和nT，求证：1n

T.【分析】（1）由()*11322,Nnnnaaann+−=−，变形为()112nnnnaaaa+−−=−，根据1nnnbaa+=−，代入即可证明结论.（2）由（1）可得112nnnnbaa−+=−=，利用2n时，()()()

112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+，可得na，利用求和公式即可得出数列na的前n项的和为nS.（3）()()()()111211212212112221nnnnnnnnnacbS+

−−===−++++++−，利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论.【详解】（1）()*11322,Nnnnaaann+−=−，()112nnnnaaaa+−=−−，1nnnbaa+=−12nnbb−=，1211baa=−

=，数列nb是等比数列，首项为1，公比为2.（2）由（1）可得112nnnnbaa−+=−=，2n时，()()()123111221121222111221nnnnnnnnnaaaaaaaa−−−−−−−−=−+−++−+=+++++=+=−，1n=时也成立.12nna-\=，121

222nnnnaa---==，数列na是等比数列，首项为1，公比为2.数列na的前n项的和为212121nnnS−==−−.（3）()()()()111211212212112221nnnnnnnnnacbS+−−==

=−++++++−，数列nc的前n项和11111111112221233521212212nnnnT−=−+−++−=−=+++，1nT.