【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 4.3 等比数列 Word版含解析.docx,共(16)页,897.381 KB,由管理员店铺上传
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4.3等比数列一、单选题1.已知nS是各项均为正数的等比数列na的前n项和,若2481aa=,313S=,则q=()A.2B.3C.6D.9【答案】B【分析】根据等比数列下标性质,结合等比数列前n项和公式进
行求解即可.【详解】因为等比数列na的各项均为正数,所以由2224331129818199aaaaaqaq=====,当1q=时,19a=,所以32713S=,不符合题意;当1q时,由232139(1)(1)(1)13131311
qqqaqqSqq−++−===−−,229(1)133qqqq++==或34q=−,因为等比数列na的各项均为正数,所以3q=,故选:B2.已知三角形的三边构成等比数列,且它们的公比为q,则q的取值范围是
()A.15(0,)2+B.15(,1]2−C.15[1,)2+D.1515(,)22−++【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式及构成三角形边的特点,结合一元二次不等式的解法即可求解.【详解】设三边a、qa、2qa()0,0aq,则由三边
关系两短边和大于第三边abc+,即当1q时,2aqaqa+,等价于解二次不等式210qq−−,由于方程210qq−−=两根为1152q−=和2152q+=,解得151522q−+且1q,即5112q+当1q时,a为最大边,2qaqaa+
即得210qq+−,解得512q−或152q+−且0q,即5112q−,综上所述,q的取值范围为1515(,)22−++故选:D.3.数列na满足14a=−,*11,0,N2,0nnnnnaaanaa++=则满足122
018naaa+++的n的最小值为()A.16B.15C.14D.13【答案】A【分析】分类讨论当0na时得到234563,2,1,0,1aaaaa=−=−=−==,当0na时得到62nna−=,从而利用等比数列的前n项和公式求得12naaa+++,进而得到522029n−,解之即可.
【详解】因为当0na时,11nnaa+=+,14a=−,所以234563,2,1,0,1aaaaa=−=−=−==,当0na时,12nnaa+=,所以当6n时,na是以61a=,2q=的等比数列,故6662nnnaaq−−==,所以016124321022
2nnaaa−+++=−−−−+++++()51121012n−−=−+−5211n−=−,故52112018n−−,即522029n−,因为101121024,22048==,*Nn,所以511n−,即16n,所以n的最
小值为16.故选:A.4.在等比数列na中,243aa+=,57192aa+=,则公比q的值为()A.4B.4C.2D.2【答案】A【分析】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.【详解】()212143qaaaqa=++=,()421157192qaaaqa++==,得357
2464aaqaa+==+,∴4q=.故选:A.5.已知各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS,若3314,8Sa==,则71159aaaa++的值为()A.4B.49C.2D.23【答案】A【分析
】设出公比根据题干条件列出方程,求出公比,从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案.【详解】设数列na的公比为(0)qq,则3123288814Saaaqq=++=++=,得23440qq−−=,解得2q=或23q=−(舍),所
以2227115959594aaaqaqqaaaa++===++.故选:A.6.已知等比数列{}na满足21q,24mnaaa=,(其中m,*nN),则91mn+的最小值为()A.6B.16C.32D.2【答案】D【分析】利用等比数列的性质,得出m和n的关系,利用基本不等式求出91mn+的最小
值【详解】由题意m,*nN在等比数列{}na中,21q,24mnaaa=,由等比数列的性质,可得8mn+=,()911911919101022888mnmnmnmnmnnmnm+=++=+++=
…,当且仅当6m=,2n=时,等号成立,因此,91mn+的最小值为2.故选:D.7.已知数列na是等比数列,且22a=,3516aa=,则22212naaa+++=()A.22
n−B.122n+−C.21n−D.121n+−【答案】B【分析】根据等比数列的性质,得到2na也为等比数列,并求出其基本量,进而可用等比数列求和公式求解即可.【详解】∵na为等比数列,故2na也为等比数列,由235416aaa==,又∵22a=,∴2na的公比满足24
4224aqa==,则22q=,而212aaq==,平方得2214aq=,212a=,∴2na是以212a=为首项,2为公比的等比数列,其前n项和()2221122122212nnnaaa+−+++==−−.故选:B.8.已知公差不为零的等差数列na中,3514aa+=,且1a,2a,5a
成等比数列,则数列na的前9项的和为()A.1B.2C.81D.80【答案】C【分析】由题知47a=,2215aaa=,进而根据等差数列通项公式解得2d=,再求和即可.【详解】因为3514aa+=,所以4214a=,解得47a=.又1a,2a,5a成等比数列,所以2215aaa=.设数列n
a的公差为d,则()()()244423adadad−=−+,即()()()272737ddd−=−+,整理得220dd−=.因为0d,所以2d=.所以()()199991178122aaS++===.故选:C.二、多选题9
.将数列na中的所有项排成如下数阵:1a2a3a4a5a6a7a8a9a……已知从第二行开始每一行比上一行多两项,第一列数125,,,aaa成等差数列,且2104,10aa==.从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列,则()A.11a=B
.2022a在第85列C.221nnaa+D.()2221322nnan−=−【答案】ACD【分析】由已知,根据条件,选项A,设第一列数所组成的等差数列公差为d,根据2104,10aa==求
解公差,然后再求解1a即可验证;根据数阵的规律,先计算第n行共有()21n−项,然后再总结前n行共有2n项,先计算前44行共有1936项,然后用2022193686−=,即可判断选项B;选项D,先计算第一列数所组成的等差数列第n行的第一项为:32n−,然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以
12为公比的等比数列,利用等比数列通项公式即可求解通项;选项C,先表示出2131nan+=+,2131nan+=+,然后可令()()()22132N2nfnnn−+=−、()()33Ngnnn+=+,分别判断数列的单调性,求解出对应的最大值与最小值,比较即可判断.【
详解】由已知,第一列数125,,,aaa成等差数列,且2104,10aa==,设第一列数所组成的等差数列公差为d,则102104322aad−−===,所以12431aad=−=−=,选项A正确;第一行共有1项,第二行共有3项,第三行共有5
项,L,第n行共有()21n−项,所以前一行共有21项,前二行共有22项,前三行共有23项,L,前n行共有2n项,所以前44行共有2441936=项,而2022193686−=,所以2022a位于第45行86列
,故选项B错误;第一列数所组成的等差数列第n行的第一项为:()1132ndn+−=−,且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列,所以第n行的数构成以()32n−为首项,公比为12的等比数列
,所以()2221322nnan−=−,故选项D正确;因为第一列数所组成的等差数列第n行的第一项为:()1132ndn+−=−,所以2131nan+=+,令()()()22132N2nfnnn−+=−
,所以()()()()()22221111313299222nnnfnfnnnn−+−=+−−=−,当1n且Nn+时,()()10fnfn+−,所以()()121ff==,所以()
max1fn=,而令()()33Ngnnn+=+,在Nn+上单调递增,所以()()min16gng==,所以221nnaa+成立,选项C正确.故选:ACD.10.对于数列na,设其前n项和nS,则下列命题正确的是()A.若数列na
为等比数列,且4128,,SSS成等差数列,则4128,,aaa也成等差数列B.若数列na为等比数列,则223nnnSSS=C.若数列na为等差数列,则数列nSn成等差数列D.若数列na为等差数列,且691,0SSa=
,则使得0nS的最小的n值为15【答案】AC【分析】利用等差等比数列的定义及等差数列的中项公式,结合等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解.【详解】对于A,因为数列na为等比,且4128,,SSS成等差数列,所以12482SSS=+,所以1q,()()()1
2481111121111aqaqaqqqq−−−=+−−−,即12481112aqaqaq=+,于是有11371112aqaqaq=+,所以12482aaa=+,所以4128,,aaa也成等差数列,故A正确;对于B,因为数列na为等
比数列,当1q=时,()222221124,nSnana==22311133nnSSnanana==,所以223nnnSSS,故B错误;对于C,因为数列na为等差数列,所以()111222n
nndnaSddnann−+==+−,所以nSn是关于n的一次函数,所以数列nSn成等差数列,故C正确;对于D,因为数列na为等差数列,且69SS=,所以()()116619916922ddaa−−+=+,即17a
d=−,又10a,所以0d,所以()211117222nnndnadnndnSd−=+=−+−2115022dndn=−,即2150nn−,解得15n,所以使得0nS的最小的n值为16,故D错误.故选:AC.11.已知数列na的前n项和nS满足()2*11,R,NnSannbabn
=++,则下列说法正确的是()A.0b=是na为等差数列的充要条件B.na可能为等比数列C.若0a,Rb,则na为递增数列D.若1a=−,则nS中,5S,6S最大【答案】ABD【分析】计算111aab=++,当2n时,211na
naa+=−,验证知A正确,当0ab==时是等比数列,B正确,举反例知C错误,计算60a=得到D正确,得到答案.【详解】211nSannb=++,1111aSab==++;当2n时,()()221111111211nnnannbannbanaaSS−++−
−−−=−+==−−,当0b=时,111aa=+,满足通项公式211nanaa+=−,数列为等差数列;当na为等差数列时,121111baaaa−=+=++,0b=,故A正确;当0ab==时,11na=,是等比数列,B正确;2311aa=+,取2ba=,则2
1aa=,C错误;当1a=−时,从第二项开始,数列递减,且212nan=−+,故60a=,故5S,6S最大,D正确.故选:ABD12.已知公比不为1的等比数列na的n项和为nS,则下列一定成立的是()A.若30a,则20210aB.若40a,则20220aC.若130aa+
,则20210SD.若240aa+,则20220S【答案】BC【分析】设等比数列na的公比为q,根据通项公式及求和公式即可判断出答案.【详解】设等比数列na的公比为q,当30a时,201820
2130aaq=,A不正确;当40a时,2018202240aaq=,B正确;当130aa+时,即()2211110aaqaq+=+,则10a,所以()20211202111aqqS−=−,由1q−与同号,所以20210S,C正确;
当240aa+时,取数列na为1,1−,1,1−,L,则20220S=,D不正确.故选:BC.三、填空题13.已知数列na为等差数列,数列nb为等比数列且公比2q=.数列na和数列nb的前n和分别为nS和nT,且满足222nnTS+=,则等差数列na的
通项公式为_____________.【答案】42nan=−【分析】分别令1,2,3n=,得到224468222TSTSTS+=+=+=,设na的公差为d,化简得到114275634740adad−=−=,解方程组可得答案.【详解】由已知得,令1,2,3n=得,2
22244446868222222TSTSTSTSTSTS+==−+==−+==−,根据等比数列求和公式,得到2141613,15,63TbTbTb===,故12141832152632bSbSbS=−=−=−428225(2)221(2)SSSS−=−−=−
,设na的公差为d,则1111462105108282422142adadadad+−=+−+−=+−,化简得111427562347404adaadd−==−==,42nan=−故答案为:42nan=−14.已知数列
na是首项为3,公比为q的等比数列,nS是其前n项的和,若3450aaa+=,则3S=___________.【答案】73##123【分析】根据题意求出公比q,利用等比数列前n项和公式即可求解.【详解】因为数列na是首项为3,公比为q的等比
数列,且3450aaa+=,所以2341110aqaqaq+=,因为0q,所以310q+=,则13q=−,由等比数列的前n项和公式可得:31313(1)(1)727=4133aqSq+−==−,故答案为:73.15.我国生物科技发展
日新月异,其中生物制药发展尤其迅速,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少___________年后每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年).(参考数据lg1.20.08,lg50.70)【答案】10【分析】
根据题意满足等比数列模型,运用等比数列通项公式解决即可.【详解】由题知,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%,满足等比数列模型,令150,1.2aq==,所以()1501.2n
na−=,()1501.2500nna−==所以()11.25n−=,所以1.2lg50.701log58.75lg1.20.08n−====,所以9.75n=,又因为n为正整数,所以10n=,故答案为:1016.已知数列na、nb满足(
)*2lognnban=N.其中nb是等差数列,若1020132aa=,则122022bbb+++=_____________.【答案】1011【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得120221bb+=,进而求解结论.【详解】数列na、nb满足()*2lo
gnnban=N.其中nb是等差数列,1020132aa=,nb为等差数列,设公差为d,则1212,loglognnnnbaba++==,112lognnnnabbda++−==,则12dnnaa+=,故na为等比数列,()()12022212
20222120222102013loglogloglog1bbaaaaaa+=+===,()12022122022202210112bbbbb++++==.故答案为:1011.四、解答题17.
已知数列na的各项均为正数的等比数列,532a=,()31223aaa−=.(1)求数列na的通项公式;(2)若()2211lognnnba−=−,求数列nb的前n项和nT.【分析】(1)由等比数列的通项公式求解即可;(2)由(1)可得()()1
21nnbn=−−,再分类讨论结合分组并项求和法求解即可【详解】(1)设公比为()0qq,由题意得()4121113223aqaqaaq=−=解得122aq==112nnnaaq−==(2)()()()()2122121log1log2121nnnnnnban−−=−=−
=−−当n为偶数时,()12113572122nnnnTbbbbnn−=++++=−+−+++−==,当n为奇数时,()1121nnnTTbnnn−=+=−−−=−;()1nnTn=−.18.给定数列na,若满足()101aaaa=,,对于任意的,Nmn,都有m
nmnaaa+=,则称na为“指数型数列”.若数列na满足:1111,2nnnnaaaaa++==+;(1)判断11na+是否为“指数型数列”,若是给出证明,若不是说明理由;(2)若1nnbna=+,求数列nb的前n项和nT.【分析】(1)首先将原式化简
整理成11112(1)nnaa++=+,根据等比数列的定义证明11na+为等比数列,再根据等比数列的首项和公比求解11na+的通项公式,最后通过通项公式证明11na+是“指数型数列”;(2)首先根据(1)求解出21nnnb=+−,然后根据分组求和求解nb的前
n项和nT即可.【详解】(1)将112nnnnaaaa++=+两边同除1nnaa+得:1121nnaa+=+,11112(1)nnaa++=+11na+是以2为首项,公比为2的等比数列,112nna+=111(1)(1)21mnnmnmaaa++++
==+11na+是“指数型数列”(2)因为112nna+=,则121nnnbnna=+=+−()()222212nnTnn=+++++++−LL()()2121122nnnn−+=+−−1(1)222nnn+−=+−.19.已知数列{}na,其中前n项和为nS,
且满足15a=,*123(N)nnaan+=+.(1)证明:数列{3}na+为等比数列;(2)求数列{}na的通项公式及其前n项和nS.【分析】(1)根据题意对123nnaa+=+两边同时加3,进一步推导即可发现数列
{3}na+是以8为首项,2为公比的等比数列;(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{3}na+的通项公式,进一步计算出数列{}na的通项公式,再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n项和nS.【详解】(1)证明:由题意,123nn
aa+=+两边同时加3,可得132332(3)nnnaaa++=++=+,13538a+=+=,数列{3}na+是以8为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)可得123822nnna−++==,则223nna+=−,*nN,故12nnS
aaa=+++342(23)(23)(23)n+=−+−++−342(222)3nn+=+++−3322312nn+−=−−3238nn+=−−.20.已知等差数列na和等比数列
nb满足111ab==,2410aa+=,245bba=.(1)求na的通项公式;(2)求和:13521nbbbb−++++.【分析】(1)设等差数列na的公差为d,利用11a=,2410aa+=求出d,再由等差数列的通项公式
计算可得答案;(2)设等比数列nb的公比为q,则奇数项构成公比为2q的等比数列,利用22439bbb==求出3b、2q,可得21nb−是公比为3,首项为1的等比数列,再由等比数列的前n项和公式计算可得答案.【详解】(1)设等差数列na的公差为d
,由11a=,2410aa+=,可得:11310dd+++=,解得2d=,所以na的通项公式12121nann=+−=−();(2)设等比数列nb的公比为q,则奇数项构成公比为2q的等比数列,由(1)可得59a=,等比数列nb满足11b=,22439bbb==,由于110b=
,可得33b=(舍去33b=−),(等比数列奇数项符号相同),所以2313bqb==,则21nb−是公比为3,首项为1的等比数列,()()2*135212113112nnnqbbbbnq−−−++++==−N.21
.已知数列na为等比数列,22a=,516a=,2lognnba=,nnncab=+.(1)求数列na、nb的通项公式;(2)求数列nc的前n项和nS.【分析】(1)由352aqa=,求得数列na的公比q,再由等比数列的通项公式得na,然后由对数的运算性质得
nb;(2)根据等差、等比数列的前n项和公式,采用分组求和法,即可得解.【详解】(1)设数列{}na的公比为q,则3521682aqa===,所以2q=,所以2212222nnnnaaq−−−===,所以22loglog2nnba
==11nn−=−;(2)121nnnncabn−=+=+−,所以0121012120212221(2222)(0121)nnnSnn−−=++++++++−=+++++++++−(12)(01)121(1)1222−+−=+=−+−−nnnnn
n.22.已知数列na中,11a=,22a=,()*11322,Nnnnaaann+−=−.设1nnnbaa+=−.(1)证明:数列nb是等比数列;(2)设数列na的前n项的和为nS,求nS.(3)设()()112nnnnacbS+=++,设数列
nc的前n项和nT,求证:1nT.【分析】(1)由()*11322,Nnnnaaann+−=−,变形为()112nnnnaaaa+−−=−,根据1nnnbaa+=−,代入即可证明结论.(2)由(1)可得1
12nnnnbaa−+=−=,利用2n时,()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+,可得na,利用求和公式即可得出数列na的前n项的和为nS.(3)()()()()1112112
12212112221nnnnnnnnnacbS+−−===−++++++−,利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论.【详解】(1)()*11322,Nnnnaaann+−=−,()112nnnnaaaa+−=
−−,1nnnbaa+=−12nnbb−=,1211baa=−=,数列nb是等比数列,首项为1,公比为2.(2)由(1)可得112nnnnbaa−+=−=,2n时,()()()1231112
21121222111221nnnnnnnnnaaaaaaaa−−−−−−−−=−+−++−+=+++++=+=−,1n=时也成立.12nna-\=,121222nnnnaa---==,数列na是等比数列
,首项为1,公比为2.数列na的前n项的和为212121nnnS−==−−.(3)()()()()111211212212112221nnnnnnnnnacbS+−−===−++++++−,数列nc的前n项和11111111112
221233521212212nnnnT−=−+−++−=−=+++,1nT.