【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 2.1 圆的方程（八大题型） Word版含解析.docx，共(39)页，3.845 MB，由小赞的店铺上传

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2.1圆的方程课程标准学习目标本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形

成用代数方法解决几何问题的能力．1、理解并掌握确定圆的几何要素．2、理解并探求圆的标准方程和一般方程．3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法．4、理解并掌握点与圆的位置关系.知识点01圆的标准方程222()()xaybr−+−

=，其中(),Cab为圆心，r为半径．知识点诠释：（1）如果圆心在坐标原点，这时00，==ab，圆的方程就是222xyr+=．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：||=ar；圆与x轴相切时：||=br；与坐标轴相切时：||||==abr；过原点：22

2+=abr（2）圆的标准方程222()()xaybr−+−=圆心为()，ab，半径为r，它显现了圆的几何特点．（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要

a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）已知点()()1,2,1,4AB−−，求(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(2)过点A，B且圆心在直线240xy−−=上的圆的标准方程.【解析】（1）当AB为直径时，

过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB的中点()0,1为圆心，半径1||102rAB==，则圆的标准方程为()22110xy+−=．（2）解法一：AB的斜率为3k=−，则AB的垂直平分线的方程是113yx−=，即330xy−+=，由圆心在直线240xy−−=上，得两直线交点为圆心，

即圆心坐标是()3,2C．22(13)(22)25rAC==−+−−=．故所求圆的标准方程是()()223220xy−+−=．解法二：待定系数法设圆的标准方程为()()222xaybr−+−=，则222222(1)(2),(1)(4),240,abrab

rab−+−−=−−+−=−−=23,2,20,abr===故所求圆的标准方程为()()223220xy−+−=．知识点02点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()−+−=xaybr，圆心为(),Cab，半径为r，则有（1）若点()00,Mxy在圆上()()22

200||=−+−=CMrxaybr（2）若点()00,Mxy在圆外()()22200||−+−CMrxaybr（3）若点()00,Mxy在圆内()()22200||−+−CMrxaybr【即学即练2】（2023·高二课时练习）点(,10)Pa与圆22(1)(1

)2xy−+−=的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．与a的值有关【答案】A【解析】圆22(1)(1)2xy−+−=的圆心(1,1)C，半径2r=，因为222(1)(101)(1)812PCaa=−+−=−+，所以点(,10)Pa

在圆外，故选：A知识点03圆的一般方程当2240+−DEF时，方程220++++=xyDxEyF叫做圆的一般方程．,22−−DE为圆心，22142+−DEF为半径．知识点诠释：由方程220++++=xyDxEyF得22224224+−+++=

DEDEFxy（1）当2240+−=DEF时，方程只有实数解,22=−=−DExy．它表示一个点．（2）当2240+−DEF时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240+−DEF时，

可以看出方程表示以,22−−DE为圆心，22142+−DEF为半径的圆．【即学即练3】（2023·河南周口·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()()()2,0,3,23,

1,23,ABC−+()4,Da，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】设圆的方程为220xyDxEyF++++=，由题意得()()()()22222220203233230123230DFDEFDEF+++=+−++−+=

++++++=，解得444DEF=−=−=，所以224440xyxy+−−+=，又因为点()4,Da在圆上，所以22444440aa+−−+=，即2a=.故选：C.(,)22DE−−知识

点04轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,xy之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当

动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系

，用(,)xy表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于,xy的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【即学即练4】已知()2,0A−，()2,0B，动点M满足2MAMB=，则点M的轨迹方程是．【答案】2220403xyx+−+=【解析】设(

),Mxy，则()222MAxy=++，()222MBxy=−+.因为2MAMB=，所以，()()2222222xyxy++=−+，整理可得，223320120xyx+−+=，即2220403xyx+−+=.所以，点M的轨迹是圆，方程为2220403xyx+−+=.

故答案为：2220403xyx+−+=.题型一：圆的标准方程例1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆221:4Cxy+=与圆2C关于直线250xy++=对称，则圆2C的标准方程为（）A．()()22424xy+++=B．()()22424xy−+−=C．()()22244xy++

+=D．()()22244xy−+−=【答案】A【解析】由题意可得，圆1C的圆心坐标为()0,0，半径为2，设圆心()10,0C关于直线250xy++=的对称点为()2,Cab，则()2125022baab−=−++=，解得42ab=−

=−，所以圆2C的标准方程为()()22424xy+++=.故选：A例2．（2023·甘肃临夏·高二校考阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，且经过(4,4)A，(4,0)B−两点，求圆C的标准方程.【解析】点(4,4)A，(4,0)B−，则线段AB的中点坐标为(0,2)，显然线段AB的中垂线过点

(0,2)，而点(0,2)在y轴上，因此圆C的圆心坐标为(0,2)，半径22||4225rBC==+=，所以圆C的标准方程为22(2)20xy+−=.例3．（2023·高二课时练习）求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点()5,1P，圆心为点()8,3C−；(2)经过点()

()4,2,6,2PQ−−，且圆心在y轴上.【解析】（1）圆的半径长为22||(58)(13)5rCP==−++=，圆心为点()8,3C−，所以圆的方程为()()228325xy−++=．（2）设所求圆的方程是()222xybr+−=，因为点P，Q在

所求圆上，依题意得222216(2),36(2),brbr+−=+−−=解得2145,45,2rb==−所以所求圆的方程是22514524xy++=.变式1．（2023·全国·高

二专题练习）求经过点()1,1P和坐标原点，并且圆心在直线2310xy++=上的圆的方程．【解析】法一（待定系数法）：设圆的标准方程为()()222xaybr−+−=，则有()()222222112310abrabrab+=−+−=++=，

解得435abr==−=，∴圆的标准方程是()()224325xy−++=．法二（几何法）：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为10xy+−=．∵弦的垂直平分线过圆心，∴由231010xyxy++=+−=

，得43xy==−，即圆心坐标为()4,3−，半径r＝()2243+−＝5．∴圆的标准方程是()()224325xy−++=．变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C的半径为17，圆心在直线20xy−−=上，且过

点()2,1−，求圆C的标准方程.【解析】因为圆心在直线20xy−−=上，17r=，所以设圆心为(),2tt−.所以圆C的标准方程为()()22217xtyt−+−+=.因为圆C过点()2,1−，所以()()2221217tt−−+−+=.解得2t=或-1.所以圆心C的坐标是()2,0或()

1,3−−.所以所求圆C的标准方程是()22217xy−+=或()()221317xy+++=.变式3．（2023·高二单元测试）已知直线l过点()3,2且与直线712yx=−+垂直，圆C的圆心在直线l上，且过()6,0A，()1,5B两点．(1)求直线l的方程；(2)求圆C的标准方程．【

解析】（1）由题设:270lxym−+=，代入(3,2)得8m=，于是l的方程为2780xy−+=.（2）设圆心28,7tCt+，则ACBCr==，即()()()22222828615497tttt++−+=−+−，解得：3t=，13r=，又圆心()3,2C，

圆C的标准方程为()()223213xy−+−=.变式4．（2023·河北保定·高二校考期中）求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点()2,3A−；(2)圆心在直线2yx=−上，且与直线1yx=−

相切于点()2,1-；【解析】（1）设圆的标准方程为()2225xay−+=．因为点()2,3A−在圆上，所以()()222325a−+−=，解得2a=−或6a=，所以所求圆的标准方程为()22225xy+

+=或()22625xy−+=．（2）设圆心坐标为(),2bb−，因为圆与直线1yx=−相切于点()2,1-，所以()()22222122111bbbb−−=−+−++，解得1b=，所以所求圆的圆心为()1,2-，半径()()2212212r=−+−+=，所以所求圆的方程为()()2

2122xy−+=+.【方法技巧与总结】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心,（）ab和半径r，一

般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为222()()−+−=xaybr；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．题型二：圆的一般方程例4．（2023·全国·高

二专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A．22230xyxy+−−=B．22230xyxy++−=C．22230xyxy+−+=D．22230xyxy+++=【答案】A【解析】设圆的方程为22220

,(40)xyDxEyFDEF++++=+−，由题意知,圆过点()0,0，()2,0和()0,3，所以0420930FDFEF=++=++=，解得230DEF=−=−=，所以所求圆的方程为22230xyxy+−−=.

故选：A例5．（2023·天津和平·高二统考期末）ABC三个顶点的坐标分别是()1,5A−−，()2,4B，()5,5C−，则ABC外接圆的方程是（）A．2242200xyxy+−−−=B．2242200xyxy++−−=C．224220

0xyxy+−+−=D．2242200xyxy+++−=【答案】C【解析】设所求圆方程为220xyDxEyF++++=,因为()1,5A−−，()2,4B，()5,5C−三点都在圆上，所以26502024050550DEFD

EFDEF−−+=+++=+−+=，解得4220DEF=−==−，即所求圆方程为：2242200xyxy+−+−=.故选：C.例6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C经过两点()0,2A，()4,6B，且圆心C在直线:230lxy−−=上，则圆C

的方程为（）A．2266160xyxy+−−−=B．222280xyxy+−+−=C．226680xyxy+−−+=D．2222560xyxy+−+−=【答案】C【解析】设圆的一般方程为220xyDxEyF++++=，圆心坐标为,22DE−−，因为圆C经过两点()0,2A，(

)4,6B，且圆心C在直线:230lxy−−=上，所以22223022022046460DEEFDEF−−−−=+++=++++=，解得668DEF=−=−=

，所以圆C的方程为226680xyxy+−−+=.故选：C.变式5．（2023·全国·高二专题练习）与圆224630xyxy+−++=同圆心，且过点()1,1-的圆的方程是（）A．224680xyxy+−+−

=B．224680xyxy+−++=C．224680xyxy++−−=D．224640xyxy+−−−=【答案】B【解析】依题意，设所求圆的方程为22460xyxym+−++=，由于所求圆过点()1,1-，所以11460m+−−+=，解得8m=，所以所求圆

的方程为224680xyxy+−++=．故选：B【方法技巧与总结】一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何

角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．题型三：点与圆的位置关系例7．（2023·全国·高二专题练习）若点()1,1aa+−在圆22240xyay+−−=的内部，则a的取值范围是（）.A．1aB．01aC．115a−D．1a【答案】D【

解析】由题可知，半径24ra=+，所以aR，把点()1,1aa+−代入方程，则()()()22112140aaaa++−−−−，解得1a，所以故a的取值范围是1a.故选：D例8．（2023·四川巴中·高二统考期末）点()sin30,cos30与圆22

12xy+=的位置关系是（）．A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定【答案】C【解析】因为2222131sin30cos301222+=+=，所以点在圆外．故选：C例9．（2023·全国·高二专题练习）点(13)P，与圆2224xy+

=的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定【答案】B【解析】圆2224xy+=的圆心为()0,0O，半径26r=，1910POr=+=，故点P在圆内.故选：B【方法技巧与总结】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内||PQr

；点P在圆上||=PQr；点P在圆外||PQr．从数的角度来看，设圆的标准方程为222()()−+−=xaybr，圆心为(,)Aab，半径为r，则点()00,Mxy在圆上()()22200−+−=xaybr；点()00,Mxy在圆外22200()()

−+−xaybr；点()00,Mxy在圆内()()22200−+−xaybr．题型四：轨迹问题例10．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知点()1,1B和圆22:4,CxyPQ+=､为圆上的动点.(1)求BP的中点E的轨迹方程；(2)若90PBQ=，求线段PQ中点的轨迹方程

.【解析】（1）设点()()()00,,,.1,1ExyPxyB，001212xxyy+=+=，整理得002121xxyy=−=−，点P在圆224xy+=上，22(21)(21)4xy−+−=，整理得点E的轨迹方程为22102

xyxy+−−−=.（2）设PQ的中点为(),Nxy，在RtPBQ△中，PNBN=，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ⊥，22222OPONPNONBN=+=+，2222(1)(1)4xyxy++−+−=.故线段PQ中点的轨迹方程

为2210xyxy+−−−=.例11．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C的圆心在x轴上，并且过()1,3A，()3,3B两点.(1)求圆C的方程；(2)若P为圆C上任意一点，定点()8,0M，点Q满足3PMQM=，求点Q的轨迹方程.【解析】（1）由题意可知，A

B的中点为()2,3，0ABk=，所以AB的中垂线方程为2x=，它与x轴的交点为圆心()2,0C，又半径10rAC==，所以圆C的方程为()22210xy−+=；（2）设()00,Pxy，(),Qxy，由3PMQ

M=，得()()008,38,xyxy−−=−−，所以003163xxyy=−=，又点P在圆C上，故()2200210xy−+=，所以()()22318310xy−+=，化简得Q的轨迹方程为()()221069xy−+=例12．（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1

，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令动点C(

x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，由重心坐标公式得001121323xxyy−++−==，则()000312302xxyyy+==代入221xy+=，整理得()2214039xyy++=故所求轨迹方程为()

2214039xyy++=.变式6．（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系xOy中，线段4MN=，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．求线段MN的中点C的轨迹方程；【解析】设()(),0,0,MaNb，线段MN的中

点(),Cxy，因为C为线段MN的中点，00,2222aabbxy++====，()()22004MNab=−+−=，2216ab+=，即()()222216xy+=，得224xy+=.所以点C的轨迹方程是224xy+=

．变式7．（2023·高二课时练习）已知圆的方程是2222(2)20xyaxay+−+−+=，则圆心的轨迹方程为.【答案】20(1)xyx+−=【解析】因为方程2222(2)20xyaxay+−+−+=表示圆，即2222()(2)(

2)2xayaaa−++−=+−−表示圆,所以22(2)20aa+−−>，解得1a,易知圆心坐标为(),2aa−，且1a，设圆心坐标为(,)xy，则有2xaya==−，消去a，得20(1)xyx+−=即为所求圆心的轨迹方程.故答案为：20(1)xyx+−=变式8．（

2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是.【答案】222xya+=（不唯一）【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐

标系，则(),0Aa−，(),0Ba，设(),Pxy，因为PAPB⊥，所以()=−+−yyaxaxaxa，化简，得()222=+axaxy，当xa=时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式，故杆的交点P的轨迹方程是222xya+=.因为

取原点的位置不一样，所以答案不一样.故答案为：222xya+=（答案不唯一）.变式9．（2023·全国·高二专题练习）过点()8,0A的直线与圆224xy+=交于点B，则线段AB中点P的轨迹方程为.【答案】()2241xy−+=【解析】设点P的坐标为(

)xy,，点B为()11,xy，由题意，结合中点坐标公式可得1128,2xxyy=−=，故()()222824xy−+=，化简得()2241xy−+=.即线段AB中点P的轨迹方程为()2241xy−+=.故答案为：()2241xy−+=变式10．（2023

·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A，点P在圆22:9Oxy+=上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是．【答案】()22924xy−+=【解析】如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为APO△的一条中位线，()2,0D，即有

DQ∥OP，且1322PODQ==，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为()22924xy−+=.故答案为：()22924xy−+=.变式11．（2023·全国·高二专题练习）点M与两个定点()0,0O，()2,0P的距离的比为3:1，则点M的

轨迹方程为．【答案】2299()416xy−+=【解析】设点(,)Mxy，由题知22223(2)xyxy+=−+，两边平方化简得2222990xyx+−+=，即2299()416xy−+=，所以点M的轨迹方程为2299()416xy−+=.故答案为：2299

()416xy−+=.变式12．（2023·全国·高二专题练习）为参数，圆2224cos4sin30xyaxaya+−−+=的圆心的轨迹方程为．【答案】()22240xyaa+=【解析】圆的方程化为标准方程为(

)()()2222cos2sin0xayaaa−+−=，圆心坐标为()2cos,2sinaa，即2cos2sinxaya==，消去参数，可得2224xya+=.故圆2224cos4sin30xyaxaya+−

−+=的圆心的轨迹方程为()22240xyaa+=.故答案为:()22240xyaa+=.变式13．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线1:(2)lymx=−+，2:20lxmym−−−=，当任意的实数m变化时，直线1l与

2l的交点的轨迹方程是．【答案】2211724xy++=【解析】联立两直线得(2)(1)2ymxmyx=−++=−，将这两式相乘，消去参数m，得(1)(2)(2)yyxx+=−+−，即2240xyy++−=，可得轨迹方程为2211724xy++=

．故答案为：2211724xy++=变式14．（2023·山东临沂·高二统考期中）点()2,2A−为圆C：()()22216xya−+−=上一点，点B在圆C上运动，点M满足12AMAB=．则点M的轨迹方程为．【答案】()2224xy+−=【解

析】因为点()22A−，在圆上，则()()2222216a−−+−=，解得2a=.设点(),Mxy=，()00Bxy，，则由题意12AMAB=可得，()()00122222xyxy+−=+−，，，解得022xx=+，0

22yy=−，又因为()00Bxy，点满足圆的方程，代入可得()()2222222216xy+−+−−=，化简得()2224xy+−=.故答案为：()2224xy+−=【方法技巧与总结】用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建立适当的直角坐标系，用

(,)xy表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于,xy的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．题型五：二元二次曲线与圆的关系例13．（2023·高二课时练习）方程220xyDxEyF++++=表示的圆过原点且圆心在直线yx=上

的条件是（）A．0,0DEF==B．0,0DFE==C．0,0DEF=D．0,0DEF==【答案】D【解析】方程220xyDxEyF++++=表示的圆，所以2240DEF+−，圆过原点，所以0F=；圆心,22DE−−

在直线yx=上，所以,22DEDE−=−=，由于222240DEFDE+−=+，所以0DE=，所以D选项正确.故选：D例14．（2023·全国·高二专题练习）“1a”是“方程22222650xyaxya++++=表示圆”的（）A．充分不必

要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为方程22222650xyaxya++++=，即225302axyaxy++++=表示圆，等价于2910aa+−0，解得9a或1a.故“1a”是“方程22222650xyaxya++++=表示圆”的

充分不必要条件.故选：A例15．（2023·全国·高二专题练习）方程222210xyaxaya+−+++=表示圆，则实数a的可能取值为（）A．1B．2C．0D．2−【答案】D【解析】由222210xyax

aya+−+++=，可得()22252124aaxyaa−++=−−，所以252104aa−−，解得25a−或2a，选项中只有2−符合题意.故选：D.变式15．（2023·陕西·高二校考阶

段练习）若方程22450xymxy++−+=表示圆，则实数m的取值范围是（）A．()(),22,−−+B．()(),33,−−+C．()(),11,−−+D．()(),22,−−+【答案】D【解析】方程配方得222()(2

)124mmxy++−=−，方程表示圆，则2104m−，解得2m−或m>2，故选：D．变式16．（2023·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习）下列方程表示圆的是（）A．220xy+=B．22210xyx+−+=C．22122xy+=D．22210xyx−−+=【答案

】C【解析】圆的标准方程为()()222xaybr−+−=，其中圆心为(),ab，半径为0r.对A，不符合0r，A错；对B，22210xyx+−+=化为()2210xy−+=，不符合0r，B错；对C，22122xy+=化为222xy+=，

符合，C对；对D，22210xyx−−+=化为()2210xy−−=，不符合0r，也不满足平方项中间是+号，D错.故选：C变式17．（2023·全国·高二专题练习）已知2222420xykxykk++−++−=表示的曲线是圆，则k的值为（）A．()6+，

B．)6,−+C．(),6−D．(,6−【答案】C【解析】由方程2222420xykxykk++−++−=可得()()2226xkyk++−=−，所以当60rk=−时表示圆，解得k6.故选：C.【方法技巧与总结】方程220++++=xyDxEyF表示圆

的充要条件是2240+−DEF，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为,22−−DE，半径22142=+−rDEF题型六：圆过定点例16．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数m，圆2236920xymxmym+−−+−

=恒过定点，则定点坐标为．【答案】()1,1或17,55【解析】2236920xymxmym+−−+−=，即222(369)0xyxym+−−+−=，令22203690xyxy+−=+−=，解得1x=，1y=，或

15x=，75y=，所以定点的坐标是()1,1或17,55．故答案为：()1,1或17,55.例17．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线2yxaxb=++与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C，则ABC的外接圆恒过的定点坐标为

【答案】()0,1【解析】设抛物线2yxaxb=++交y轴于点()0,Bb，交x轴于点()1,0Ax、()2,0Cx，由题意可知240ab=−，由韦达定理可得12xxa+=−，12xxb=，所以，线段AC

的中点为,02a−，设圆心为,2aPt−，由22PAPB=可得()2222124aaxttb++=+−，解得22112xaxbtb+−=−，2110xaxb++=，则2122bbbtb−−+==−，则12btb−−=，所以，圆P的方程为()222211

224ababxy+−+++−=，整理可得()()2210xyyaxby+−++−=，方程组220010xyyxy+−==−=的解为01xy==.因此，ABC的外接圆恒过的定点坐标为

()0,1.故答案为：()0,1.例18．（2023·江苏·高二校考阶段练习）已知圆C经过()0,1A，()()4,0Baa两点.(1)当3a=，并且AB是圆C的直径，求此时圆C的标准方程；(2)如果AB是圆C的直径，证明：无论

a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标.【解析】（1）当3a=，()4,3B，故()2,2C，()()2220215CA=−+−=，所以此时圆C的标准方程为()()22225xy−+−=.（2）设点(),Pxy是圆C上任

意一点，因为AB是圆C的直径，所以0APBP=，即()()()()(),14,410xyxyaxxyya−−−=−+−−=，所以圆C的方程为：()()()410xxyya−+−−=，则4x=，1y=，等式恒成立，定点为()4,1，所以无论a取何正实数，圆C恒经

过除A外的另一个定点，定点坐标为()4,1.变式18．（2023·高二课时练习）求证：对任意实数2a−，动圆22(2)(2)420axayxa+++−−=恒过两定点.【解析】证明：圆系方程可化为()222222240xyaxyx+−++−=.设(

)2222()2224faxyaxyx=+−++−.∵()0fa=对aR（2a−）恒成立，∴2222202240xyxyx+−=+−=，解得11xy==或11xy==−.因此，圆系过定点(1,1)和(1,1)−.变式19．（2023·高二课时练习）已知

点()2,3P−−和以Q为圆心的圆()()22134xmym−++−=.（1）求证：圆心Q在过点P的定直线上，（2）当m为何值时，以PQ、为直径的圆过原点．【解析】（1）由题可知圆心Q的坐标为()1,3mm−，令13xmym=−=消去m，得33yx

=+.∵直线33yx=+过点()2,3P−−.∴圆心Q在过点P的定直线33yx=+上.（2）∵以PQ、为直径的圆过原点，∴OPOQ⊥.∴33121mm=−−，∴211m=.即当211m=时，以PQ、为直径的

圆过原点．变式20．（2023·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数，曲线22(1)(1)(64)1660xyx++++−−−=恒过定点【解析】22(1)(1)(64)1660xyx++++−−−=变形为(

)()2222466160xyxxyx+−−+++−=，令2222460616xyxxyx+−−=++−得13xy==，所以定点为()1,3故答案为：(1,3)【方法技巧与总结】合并参数题

型七：与圆有关的对称问题例19．（2023·全国·高三专题练习）已知直线():10lmxym+−=R是圆22:4210Cxyxy+−++=的对称轴，则m的值为（）A．1B．1−C．2D．3【答案】A【解析】由圆C方程得：圆

心()2,1C−，直线l是圆C的对称轴，圆心C在直线l上，即2110m−−=，解得：1m=.故选：A.例20．（2023·全国·高二专题练习）点M、N在圆22:2240Cxykxmy+++−=上，且

M、N两点关于直线10xy−+=对称，则圆C的半径（）A．最大值为22B．最小值为22C．最小值为322D．最大值为322【答案】C【解析】由222240xykxmy+++−=，得()()22224xkymkm+++=++，所以圆心C为(

),km−−，半径为224rkm=++，由题意可得直线10xy−+=经过圆心C(),km−−，故有10km−++=，即1km=+，所以半径为()2222219324142222rkmmmm++=+++=++=

，当12m=−时，圆C的半径的最小值为322.故选：C.例21．（2023·全国·高二专题练习）已知圆2220xxy++=关于直线10(axybab++−=､为大于0的常数)对称，则ab的最大值为（）A．14B．12C．1D．2【答案】A【解析】因为圆2220xxy++=

的圆心为()1,0−，且圆2220xxy++=关于直线10(axybab++−=､为大于0的常数)对称，所以直线10axyb++−=过圆心()1,0−，所以1ab+=，又0,0ab，所以2124abab+=，即当

12abab==时，取最大值为14，故选：A.变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22:220Exaxyy−+−−=关于直线:0lxy−=对称，则=a（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解

析】由题得圆心的坐标为(,1)2a，因为已知圆22:220Exaxyy−+−−=关于直线:0lxy−=对称，所以10,22aa−==.故选：C变式22．（2023·江苏·高二专题练习）如果圆220xyDxEyF++++=（2240DEF+−）关

于直线yx=对称，则有（）．A．0DEF++=B．DE=C．DF=D．EF=【答案】B【解析】由220xyDxEyF++++=可得圆心坐标为,22DE−−，因为圆关于直线yx=对称，所以圆心在直线yx=上，

即22ED−=−，可得DE=，故选：B.变式23．（2023·江苏泰州·高二泰州市第二中学校考阶段练习）若圆22:(3)(3)4Cxy−++=关于直线:460laxy+−=对称，则直线l的斜率是（）A．6B．23C．32−D．

23−【答案】C【解析】由题可得直线:460laxy+−=经过圆心()3,3−，则()34360a+−−=，解得6a=，则直线l的斜率是32−.故选：C.变式24．（2023·湖北荆门·高二荆门市东宝中学校考期中）已知圆1C：22xya+=关于直线l对称的圆为圆2C：222230xyx

ay++−+=，则直线l的方程为A．2450xy−+=B．2450xy++=C．2450xy−−=D．2450xy+−=【答案】A【解析】由题意，圆的方程222230xyxay++−+=，可化为222(1)()2xyaa++−=−，根据对称性，可得：22aa=−，解得：

2a=或1a=−（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：1220210CCk−==−−−，由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，所以121CClkk=−，解得12lk=，直线l又经过线段C

1C2的中点(12−，1)，所以直线l的方程为：111()22yx−=+，化简得：2450xy−+=，故选A变式25．（2023·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知A、B为圆22(1)4xy+−=上关于点(1,2)P对称的两点，则直线AB的方程为（）．A．30xy+−=

B．30xy−+=C．370xy+−=D．310xy−−=【答案】A【解析】记圆心为(0,1)C，由题意CPAB⊥，21110CPk−==−，∴1ABk=−，又∵AB过(1,2)P，∴AB方程为2(1)yx−=−−即30xy+−=，故选A.【方法技巧与总结】（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在

的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称

，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题型八：圆的实际应用例22．（2023·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中）如图是一条过江行车隧道，横截面是一圆拱形（圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状），路面宽

度46AB=米，拱高4OP=米．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车（可视为长方体）能否驶入这个隧道？请说明理由（参考数据：31.732）．【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，设圆心(0,)Mm，()26,0A−，()0,4P，由||||MAMP=，即

()22264mm−+=−解得1m=−，则圆的标准方程为()22125xy++=，所以当2.5x=时，5313.333.52y=−，即一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车不能驶入这个隧道．例23．（2023·全国·高二专题练习）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆

弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m.(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；(2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.（结果精确到0.1m）【解析】（1）设圆

拱所在圆的圆心为G，以H为原点，AB方向为x轴正方向，AB中垂线向上为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.设CD与y轴交于E点，AB与y轴交于F点，连接GA设圆的半径为r，则250AF=，100GFr=−，AGr=，在直角AFG中，222AFGFA

G+=，所以()222250100rr+−=，解得7252r=，所以7250,2G−，所以圆拱方程为2272552562524xy++=，()100y−.（2）由题意得，50HE=，令50y=−，得22

27257255022x+−+=，所以222725625725625725625135050337502222222x=−=+−==，所以756x=，所以1506367.4C

D=.所以桥面在圆拱内部分CD的长度约为367.4m例24．（2023·浙江湖州·高二统考期中）如图，某海面有,,OAB三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正西方向距O岛30千米处，B岛在O岛北偏西45方向距O岛602千米处．以O为坐标原

点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O,,AB三点．(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30方向距O岛60千米处，正沿着北偏西45方向行驶，若不改变方

向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．【解析】（1）由已知()()(00,30,0,60,60OAB−−，）．设圆C方程为222()()(0)xaybrr−+−=，将,,OAB三点代入得()()()()

2222222223006060abrabrabr+=−−+−=−−+−=解得215452250abr=−==，圆C的方程为()()2215452250xy++−=（2）由已知该船初始位置为点()30,303D−，且该船航线所在直线

l的斜率为1−．海船行驶路线():30330lyx+=−−即303300xy++−=圆心C到l的距离1545303301562d−++−==15622501510dr===，有触礁危险．变式26．（2023·全国·高二专题练习）如图是某圆拱形

桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到米．【答案】8【解析】画出圆拱图示意图，设圆半径为R,雨季时水位方程()22213RR−−=，解得5R=

；旱季时水位方程()2222RDER−+=，解得4DE=，所以此时水面跨度为28DE=.所以答案为8.变式27．（2023·高二课时练习）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个图的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每

间隔4m需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2＝（参考数据：30=5.478，33=5.744，精确到0.01m）.【答案】3.86m【解析】以O为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，则圆心在y轴，设圆心坐标（0，a），P

（0，4），A（﹣10，0），则圆拱所在圆的方程为x2+（y﹣a）2＝r2，∴22222(4)(10)arar−=−+=，即（a﹣4）2＝a2+100，解得a＝﹣10.5，∴圆方程为x2+（y+10.5）2＝

14.52.将x＝﹣2代入圆方程，得：y＝A2P2≈3.86（m）.故答案为：3.86m.变式28．（2023·浙江宁波·高二期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度30mAB=，拱高5mOP=，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱11AP的高度等于m（精确到0.0

1m）．若建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则圆拱所在圆的标准方程是．（可用参考数据：61624.82,60024.49,59924.47,54423.32,52522.91=====．）【答案】3.32222(20)25xy++=【解析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意

圆心H在y轴上，如图，则222222(5)1525,20HAHOAOrrrHO===++−=，则圆的标准方程为：222(20)25xy++=．由题意设1(9,),0yPy−，代入圆的方程得222(9)(20)25y−++=，解得2023.32203.

32544y=−=−=，即1(9,3.32)P−，则113.32AP=.故答案为：3.32；222(20)25xy++=.【方法技巧与总结】解应用题的步骤(1)建模．(2)转化为数学问题求解．(3)回归实际问题，给出结论．一、单选题1．（20

23·辽宁大连·高二大连八中校考期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知()1,3A，()3,1B−，则以AB为直径的圆的方程为（）A．()()22215xy−+−=B．()()222120xy−+−=C．()()22125xy++−=D．()()221220xy

++−=【答案】A【解析】因为以()1,3A、()3,1B−为直径两端点的圆的圆心坐标为()2,1，半径为2211(31)(13)522AB=−+−−=，所以所求圆的标准方程为()()22215xy−+−=，即以AB为直径的圆的方程为()()22

215xy−+−=.故选：A2．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）圆22410xyx++−=关于点(0,0)对称的圆的标准方程为（）A．22410xyx+−−=B．22(2)5xy+−=C．22815

0xyx+++=D．22(2)5xy−+=【答案】D【解析】由题意可得圆的标准方程为()2225xy++=，所以圆心为()2,0−，半径为5，因为点()2,0−关于点(0,0)的对称点为()2,0，所以所求对称圆的标准方程为()2225xy

−+=，故选：D3．（2023·高二课时练习）若当方程22220xykxyk++++=所表示的圆取得最大面积时，则直线()12ykx=−+的倾斜角=（）A．π2B．π4C．3π4D．π5【答案】C【解

析】22220xykxyk++++=化为标准式为()22231124kxyk+++=−，所以0k=时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，所以倾斜角为3π4.故选：C4．（2023·全国·高二专题练习）已知半径为3的圆C的圆心与点()2

,1P−关于直线10xy−+=对称，则圆C的标准方程为（）A．22(1)(1)9xy++−=B．22(1)(1)81xy−+−=C．22(1)9xy++=D．229xy+=【答案】C【解析】设圆心坐标(),Cab，由圆心C与点P关于直线1yx=+对称，得到直线

CP与1yx=+垂直，结合1yx=+的斜率为1，得直线CP的斜率为1−，所以112ba−=−−−，化简得10ab++=①再由CP的中点在直线1yx=+上，12122ba+−=+，化简得10ab−−=②联立①②，可得0,1ab==−，所以圆心C的坐标为()

0,1−，所以半径为3的圆C的标准方程为22(1)9xy++=.故选：C5．（2023·安徽马鞍山·高二校联考期中）若直线：()100,0axbyab−+=平分圆：222410xyxy++−+=的面积，则21ab+的最小值为（）．A．

8B．426+C．4D．6【答案】A【解析】由题意可知：圆：222410xyxy++−+=的圆心为()1,2-，若直线：()100,0axbyab−+=平分圆：222410xyxy++−+=的面积，则直线：()100,0axbyab−+=

过圆心()1,2-，可得()2100,0abab−−+=，即()210,0abab+=，则()21214424248babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即122ab==

时，等号成立，所以21ab+的最小值为8.故选：A.6．（2023·浙江温州·高二校联考期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军

在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为224xy+，若将军从点()3,1A处出发，河岸线所在直线方程为=5yx−−，并假定将军只要到达军营所在区域

即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（）A．10B．9C．8D．7【答案】C【解析】设点A关于直线=5yx−−的对称点坐标为(,)Bab故315022113abba++++=−=−，解得

68ab=−=−，即对称点(6,8)B−−，故原点到点B的距离22(60)(80)10d=−−+−−=，所以最短距离为1028BQ=−=．故选：C7．（2023·甘肃·高二校联考期中）点()4,2P−

与圆224xy+=上任一点连线的中点的轨迹方程是（）.A．22(2)(1)1xy−++=B．22(2)(1)4xy−++=C．22(2)(1)1xy++−=D．22(4)(2)4xy++−=【答案】A【解析】设圆上任意一点为()11,xy，中点为(),xy，则11422

2xxyy+=−=，可得112422xxyy=−=+，代入224xy+=得22(24)(22)4xy−++=，化简得22(2)(1)1xy−++=．故选：A．8．（2023·河南许昌·高二统考期末）在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：2yx=上

在第一象限内的点，(5,0)B，以AB为径的圆C与直线交于另一点D.若0ABCD=，则A点的横坐标为（）A．1−B．3C．3或1−D．2【答案】B【解析】如图，由已知得BDl⊥，则12BDk=−，所以BD的方程为1(5)2yx=−

−．由2,1(5),2yxyx==−−解得(1,2)D．设(,2),0Aaaa，则5,2aCa+，从而3(5,2),,22aABaaCDa−−=−−=−．所以3(5)2(2)02aABCDaaa−−=−−−=，解得3a=或1a=−．又0a，所

以3a=，即点A的横坐标为3．故选：B．二、多选题9．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知动直线m：0xy−+=和n：320xy+−−=，P是两直线的交点，A、B是两直线m和n分别过的定点，下列说法正确的是（）A．B点的坐标为

()3,2−B．mn⊥C．PAPB的最大值为10D．P的轨迹方程为222230xyxy+−−−=【答案】BC【解析】直线m的方程0xy−+=可化为()1yx=+，所以直线m过定点()1,0−，直线n的方程320x

y+−−=可化为()320xy−+−=，所以直线n过定点()3,2，所以点A的坐标为()1,0−，点B的坐标为()3,2，所以A错误，由已知()110+−=，所以直线m与直线n垂直，即mn⊥，B

正确，因为PAPB⊥，所以222PAPBAB+=，故()()2222312020PAPB+=++−=，所以22102PAPBPAPB+=，当且仅当10PAPB==时等号成立，C正确；因为PAPB⊥，故222PAPBAB+=，设点P的坐标为(),xy，则()

()()222213220xyxy+++−+−=，化简可得222230xyxy+−−−=，又点()12−，不是直线,mn的交点，点()12−，在圆上，故点P的轨迹为圆222230xyxy+−−−=除去点()12−，，D错误；故选：BC.10．（2023·高二单元测试）设有一组圆kC：22(

)()4xkyk−+−=(R)k，下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆kC均不经过点(30)，C．经过点(22)，的圆kC有且只有一个D．所有圆的面积均为4π【答案】ABD【解析】A选项，圆心为(),kk

，一定在直线yx=上，A正确；B选项，将(3,0)代入得：22650kk−+=，其中40=−，方程无解，即所有圆kC均不经过点(3,0)，B正确；C选项，将(2,2)代入得：2420kk−+=，其中16880=−=

，故经过点(22)，的圆kC有两个，故C错误；D选项，所有圆的半径为2，面积为4π，故D正确.故选：ABD.11．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线22:0CAxByDxEyF++++=（）A．若1AB==，则C是圆B．若0AB=，22

40DEAF+−，则C是圆C．若0AB==，220DE+，则C是直线D．若0A，0B=，则C是直线【答案】BC【解析】对于A，当1AB==时，22:0CxyDxEyF++++=，若2240DEF+−，则C是圆；若2240DEF+−=，则C是点,22DE

−−；若2240DEF+−，则C不存在.故A错误.对于B，当0AB=时，22:0CAxAyDxEyF++++=，且2240DEAF+−，则C是圆，故B正确.对于C，当0AB==时，:0CDxEyF++=，且

220DE+，则C是直线，故C正确.对于D，当0A，0B=时，2:0CAxDxEyF+++=，若0E=，则2:0CAxDxF++=表示一元二次方程，若0E，则2:0CAxDxEyF+++=表示抛物线，故D错误.故选：BC12．（2023·

全国·高二专题练习）已知圆222410xyxy++−+=关于直线220axby−+=(),abR对称，则下列结论正确的是（）A．圆222410xyxy++−+=的圆心是(1,2)−B．圆222410xyxy++−+=的半径是2C．1ab+=D．

ab的取值范围是1,4−【答案】ABCD【解析】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得()()22124xy++−=，所以，圆心为(1,2)−，半径为2，故A、B正确；对于C项，由已知可得，直线220axby−+=经过圆心，所以()21220ab−−+=，整理可得1ab+

=，故C项正确；对于D项，由C知1ba=−，所以()21111244abaaa=−=−−+，所以ab的取值范围是1,4−，故D项正确.故选：ABCD.三、填空题13．（2023·全国·高二专题练习）已知复数z满足条件1z=，则13iz++的最大值为.【答案】3【解

析】因为1z=，所以z的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，()13i13izz++=−−−，表示z对应点与点()1,3−−之间的距离，所以距离的最大值为()()221313−+−+=.故答案为：314．（2023·全国·高二专题练习）若复数12343i,3i,26i,3izzzza=−=−−=+=

−在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a的值为．【答案】7【解析】因为12343i,3i,26i,3izzzza=−=−−=+=−在复平面上对应点分别为1234(3,1),(3,1),(2,6),(,3)ZZZZa−−−−，设圆方程为22200()()(0)xxyyrr−+−=，则有2

2200(3)(1)xyr−+−−=,22200(3)(1)xyr−−+−−=，22200(2)(6)xyr−+−=，联立方程解得000,0,10xyr===，所以圆方程为2210xy+=，又4(,3)Za−在圆上，所以2310a+=，又0a

，解得7a=.故答案为：7.15．（2023·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知()()3,0,3,0,ABP−为圆22:1090Cxyx+−+=上的动点，则PAPB的最大值为.【答案】72【

解析】由221090xyx+−+=，得22(5)16xy−+=，则圆心(5,0)C，半径4r=，所以1,9x，设(),Pxy，由P在圆22:1090Cxyx+−+=上，可得22109,1,9xyxx+=−，又()()3,,3,PAxyPBxy=−−−=−−

，则()()()22233()910991018PAPBxxyxyxx=−−−+−=+−=−−=−，1,9x，∴当9x=时，PAPB取到最大值1091872−=.故答案为：72.16．（2023·上海浦东新·高二校考期末）古希腊著名数学

家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（0且1）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，()2,0A−、()2,0B

，点P满足3PAPB=，则PAPB的最小值为.【答案】3−【解析】设点(),Pxy，由3PAPB=可得()()2222232xyxy++=−+，整理可得22540xyx+−+=，化为标准方程可得225924x

y−+=，因为O为AB的中点，所以，()()()()22PAPBPOOAPOOBPOOAPOOAPOOA=++=+−=−24PO=−，记圆心为5,02M，当点P为线段OM与圆22

5924xy−+=的交点时，PO取最小值，此时，53122PO=−=，所以，24143PAPBPO=−−=−.故答案为：3−.四、解答题17．（2023·高二单元测试）若动点(),xy在圆2240xyx+−=上，求2234xy+的最大值.【解析】由2240xyx+−=得

224,0,4yxxx=−+，所以()()2222223434416864xyxxxxxx+=+−+=−+=−−+，所以当4x=时，2234xy+取得最大值48.18．（2023·江苏·高二假期作业）如图，RtABC△的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆

心作半径为n的圆，直线BC交圆于,PQ两点，求证：222APAQPQ++为定值．【解析】如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有(),0Bm−，()()(),0,,0,,0CmPnQn−．设()000,,0

Axyy，由已知，点A在圆222=xym+上，则22200=xym+，故()()22222222222200000=4=226=26APAQPQxnyxnnxynmn+++++−++++，为定值.19．（2023·湖南郴州·高二校考阶段练习）已知圆C过点(4,0),(0,4)AB

，且圆心C在直线:60lxy+−=上．(1)求圆C的方程；(2)若从点(4,1)M发出的光线经过直线yx=−反射，反射光线1l恰好平分圆C的圆周，求反射光线1l的一般方程．【解析】（1）由(4,0),(0,4)AB，

得直线AB的斜率为04140ABk−==−−，线段中点(2,2)D所以1CDk=，直线CD的方程为22yx−=−，即yx=，联立60xyyx+−==，解得33xy==，即(3,3)C，所以半径22||

(43)(03)10rAC==−+−=，所以圆C的方程为22(3)(3)10xy−+−=；（2）由1l恰好平分圆C的圆周，得1l经过圆心(3,3)C，设点M关于直线yx=−的对称点(,)Nxy，则直线MN与直线yx=−垂直，且线段MN的中点41,22xy++在yx=−上，则有1(1

)141422yxyx−−=−−++=−，解得14xy=−=−，所以(1,4)N−−，所以直线CN即为直线1l，且()()1347314lCNkk−−===−−，直线1l方程为73(3)4yx−=−，即7490xy−−=.20．（

2023·高二课时练习）已知直线1:30lxy+−=与x轴交于点A，直线2:2lyx=与1l交于点B，点C在y轴的正半轴上，且23AC=，求ABC外接圆的方程．【解析】根据直线1:30lxy+−=，令0y=，得3x=，所以A的坐标为()3,0．由1l与2l的方程联立方程组，得302xyy

x+−==，解得12xy==，所以B的坐标为()1,2．设点C的坐标为()()0,0yy，因为23AC=，所以22323y+=．解得()30yy=，所以C的坐标为()0,3．设ABC外接圆

的方程为220xyDxEyF++++=2240DEF+−（），则9301420330DFDEFEF++=++++=++=，解得203DEF=−==−，所以ABC外接圆的方程为22230xyx+−−=．21．（2023·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）

已知圆E经过点()0,0A，()1,1B，且圆E与y轴相切．(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，点C的坐标为()4,0，求线段CP的中点M的轨迹方程．【解析】（1）设圆的方程为220xyDxEyF++++=，因为

圆E过点()0,0A，()1,1B，又跟y轴相切，圆E必在y轴右侧，且跟y轴的切点为()0,0A，圆心的纵坐标为0．=01+1+++=0=02FDEFE−，解得=2=0=0DEF−，圆E的方程为2220xyx+−=.（2）设(,)Mxy，则(24,2)Pxy

−，将(24,2)Pxy−代入2220xyx+−=得22(24)(2)2(24)0xyx−+−−=，整理得2251()24xy−+=.即线段CP的中点M的轨迹方程2251()24xy−+=.22．（2023·全国·

高二课堂例题）已知P是圆222:(5)(5)(0)Cxyrr−+−=上的一个动点，它关于点(9,0)A的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90后，所得线段为OR，求QR的最小值与最大值．【解析】如图所示，设点P的坐标是(),xy，则点Q的坐标

是()18,xy−−，线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到，则点R的坐标为(),yx−，则()()()()222218299QRxyyxxy=−++−−=−++．因为(,)Pxy为圆222:(5)(5)Cxyr−+−=

上的点，则22(9)(9)xy−++的几何意义为点(9,9)M−到圆C上的点(,)Pxy的距离，连接PM，当PM最小时，QR也最小；当PM最大时，QR也最大；连接MC，如图所示，则22(95)(95)253MC=−+−−=，当点P为1P时，则PM取到最小值253MCrr−=

−；当点P为2P时，则PM取到最大值253MCrr+=+；所以QR的最小值为2253r−，最大值为()2253r+.