【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第02讲 一元二次函数、方程和不等式（原卷版）.docx，共(13)页，718.352 KB，由envi的店铺上传

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第02讲一元二次函数、方程和不等式【学习目标】1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．【考点目录】考点一：等式性质与不等式性质考点二：利用基本不等式求最值考点三：二次函数与一元二次方程、不

等式考点四：恒成立问题考点五：二次函数根的分布问题考点六：不等式在实际问题中的应用【基础知识】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意xR，则0x（x为正数）、0x=或0x（x为负数）三种情况有且

只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00abab+；0,00abab+②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00abab

；0,00abab③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00abab④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20xRx，200xx==．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a、b①0baba−；②0baba−；③0baba−==．对于

任意实数a、b，ab，ab=，ab三种关系有且只有一种成立．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：abba（2）传递性：,abbcac（3）可加性：abacbc++（c∈R）（4）可乘性：a>b，00

0cacbccacbccacbc==运算性质有：（1）可加法则：,.abcdacbd++（2）可乘法则：0,00abcdacbd（3）可乘方性：*0,0nnabnNab

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a、b，可以作差ab−后比较ab−与0的关系，进一步比较a与b的大小．①0baba−；②0baba−；③0a

bab−==．作商法：任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab后比较ab与1的关系，进一步比较a与b的大小．①1aabb；②1aabb；③1aabb==．中间量法：若ab且bc，则ac（实质是不等式的传递性）．一般

选择0或1为中间量．知识点四、基本不等式1、对公式222abab+及2abab+的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求,ab都是实数，而后者要求,ab都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当ab=时取等号”．2、由公式222ab

ab+和2abab+可以引申出常用的常用结论①2baab+（,ab同号）；②2baab+−（,ab异号）；③222(0,0)1122ababababab+++或222()(0,0)22abababab++知识点诠释：222abab+

可以变形为：222abab+，2abab+可以变形为：2()2abab+．知识点五、用基本不等式2abab+求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数

的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：222abab+与2abab+成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：222abab+与2

abab+都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”

为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，

设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)axbxca++=的两根为12xx、且12

xx，设acb42−=，它的解按照0，0=，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc=++(0)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbx

c++(0)a或20axbxc++(0)a的解集．24bac=−00=0二次函数cbxaxy++=2（0a）的图象20(0)axbxca++=的根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221−

==无实根的解集)0(02++acbxax21xxxxx或−abxx2R的解集)0(02++acbxax21xxxx知识点七、一元二次不等式恒成立问题（1）转化

为一元二次不等式解集为R的情况，即20(0)axbxca++恒成立00a恒成立20(0)axbxca++00.a（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．【考点剖析】考点一：等式性质与不等式性

质例1．（2022·山东省桓台第二中学高一期中）已知实数x，y满足41xy−−−，145xy−−，则（）A．7926xy−−B．1920xy−−C．4915xy−D．1915xy−例2．（多选题）（2022·湖南衡阳·高一期末）已知1ab，给出下列不

等式正确的是（）A．11bbaa++B．11abab++C．3322abab+D．11abba++例3．（多选题）（2022·重庆·高一期末）下列说法正确的是（）A．若0ab，则11abB．若0ab，0m，则bmbama++C．0ab，则3322ababab−−D．若

0ab，则22acbc考点二：利用基本不等式求最值例4．（2022·四川凉山·高一期末（文））若1x，则111xx+−−的最小值为______．例5．（2022·四川·成都七中高一期末）已知点(,)ab在直线1xy+=上，当0,0ab时，12ab+

的最小值为______．例6．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知1ab+=，若0a且0b，则ab的最大值为___________.例7．（2022·湖南·长郡中学高一期末）已知x，*yR，若8xyxy++=，则xy的最大

值为_________例8．（2022·四川广安·高一期末（理））已知正实数m，n满足21mn+=，则42nmn++的最小值为__________．例9．（2022·广东珠海·高一期末）已知,uvR+，且34uv+=，则11143uv+++的最小值为_

_________.例10．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）若0x，0y，且4xy+=，则1yxy+的最小值为__________．考点三：二次函数与一元二次方程、不等式例11．（2022·安徽合肥·高一期末）已知关于x的不等式220a

xbx++的解集为(1,2)，则下列结论中正确的是（）A．3,1ab==B．1,3ab=−=−C．1,3ab==−D．3,1ab=−=−例12．（2022·广东广州·高一期末）不等式2320xx−−的解集是（）A．213xx

−B．213xx−C．213xxx−或D．213xxx−或例13．（2022·河南开封·高一期末）关于x的不等式()2210axaxa−++的解集为12|

xxxx，且211xx−=，则22aa−+=（）A．3B．32C．2D．23例14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数()()()21fxaxaxaR=++.(1)若()1fx≤，求a的取值范围；(2)解关于x的

不等式()1fx−.例18．（2022·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式2320axx−+的解集为{1xx∣或}xb.(1)求,ab的值；(2)解不等式()20axacbxbc−++.考点四：恒成立问题例19．（20

22·四川自贡·高一期末（文））已知函数()228fxxx=−−，(1)求不等式()0fx的解集；(2)()()215fxmxm+−−恒成立，求实数m的取值范围.例20．（2022·重庆·高一期末）从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.条件一、xR，()2(2)fxf

x+=−；条件二、方程()0fx=有两个实数根12,xx，124xx+=；条件三、xR，()()2fxf.已知函数()fx为二次函数，(1)6f−=−，(0)1f=−，.(1)求函数()fx的解析式；(2)若不等式()+0fx

kx对(0,)+x恒成立，求实数k的取值范围.例21．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数2()21fxmxmx=−−．(1)若1m=，解不等式()0fx；(2)若不等式()10fxm−在[0,2]上恒成立，求实数m

的取值范围．考点五：二次函数根的分布问题例22．（2022·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程()22210xmxm+−+−=恰有一根在区间()0,1内，则实数m的取值范围是（）A．13,22B．12,23

C．1,22D．12,62723−例23．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）若关于x的方程2210xaxa++−=有一正根和一负根，则a的取值范围为__________

．例24．（2022·河南·高一期中）已知关于x的方程()22140xmxm−++=的两根分别在区间()01，，()12，内，则实数m的取值范围为__________．考点六：不等式在实际问题中的应用例25．（2022·重庆南开中学高一阶段练习）

长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知

封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要()Cx万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，()20.1130Cxxx=+；当x超过120万片时，()256001511350Cxxx=+−

，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.(1)求公司获得的利润()Lx的函数解析式；(2)当封装多少万片时，公司可获得最大利润？最大的利润是多少？例26．（2022·北京市第五十七中学高一阶段练习）设计一幅宣传画，要求画面

面积为2400cm，面的上下各8cm空白，左右各留5cm空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？例27．（2022·北京广渠门中学教育集团高一期中）某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析，由于公司在共享单车成本、维修、搬运等

方面的花销，每辆单车的营运累计收入()fx（单位：元）与营运天数()xxN+满足21()588002fxxx=−+−.(1)为保证营运累计收入不为负，求每辆单车最多营运的天数；(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？【真题演练】1．（2007·全国·高考真题（文））不等式

203xx−+的解集是（）A．(3,2)−B．(2,)+C．(,3)(2,)−−+D．(,2)(3,)−−+2．（2007·陕西·高考真题（理））已知不等式()19axyxy++≥对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（

）A．2B．4C．6D．83．（2012·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A．245B．285C．5D．64．（2021·天津·高考真题）若0,0ab，则21abab++的最小值为____________．5．（2019·天津

·高考真题（理））设0,0,25xyxy+=，则(1)(21)xyxy++的最小值为______.6．（2007·江西·高考真题（文））已知函数2()xfxaxb=+（,ab为常数），且方程()120fxx−+=有两个实根

为123,4xx==．(1)求函数()fx的解析式：(2)设1k，解关于x的不等式：(1)()2kxkfxx+−−．7．（2007·上海·高考真题（文））解不等式：2131432xx−−−．8．（2007·北京·高考真题（理））若关于x的不等式20xaxa−−的解集为(,)−+，则

实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式23xaxa−−−的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．【过关检测】一、单选题1．（2022·青海玉树·高一期末）不等式()()210xx+−的解集为（）．A．

()(),21,−−+B．()2,1−C．()(),12,−+D．()1,22．（2022·湖北武汉·高一期末）关于x的不等式22630(0)xaxaa−+的解集为12,xx，则121226axxxx−−的最大

值是（）A．46−B．26C．42−D．223．（2022·青海西宁·高一期末）如果,,,Rabcd，则正确的是（）A．若a>b，则11abB．若a>b，则22acbcC．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd4．（20

22·云南红河·高一期末）函数()()210xxfxxx++=的最小值是（）A．2B．3C．4D．55．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））若0,0ab，且24ab+=，则下列不等式中成立的是（）A．2abB．2244ba

+C．22loglog1ab+D．9318ab+6．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,ab满足41ab+=，则11ab+的（）A．最大值为9B．最小值为9C．最大值为8D．最小值为87．（2022·四川资阳·高一期末）若xR，2

10axax+-<，则实数a的取值范围是（）A．()4,0−B．(4,0−C．)4,0−D．4,0−8．（2022·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足11mab+=，若11abba++的最

小值为4，则实数m的取值范围是（）A．2B．)2,+C．(0,2D．()0,+二、多选题9．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）下列结论中正确的结论是（）A．xR时，1xx+最小值是2B．222sinsin2xx++的最小值为222−C．正数a，b满足22ab+=，则ab的最大

值为12D．0a，1b−，1aab+=，则1ab++的最小值为210．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）不等式20axbxc++的解集是12xx−，则下列结论正确的是（）A．0ab+=B

．0abc++C．0cD．0b11．（2022·全国·高一期末）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（）A．xy的最大值是14B．21xy+的最小值为9C．4x2＋y2最小值为12D．2xy+最大值为212．（2022·福建·福州第十五中学高一期末）设0ab，

且2ab+=，则()A．12bB．21ab−C．1abD．123ab+…三、填空题13．（2022·上海外国语大学附属大境中学高一期末）若关于x的方程20xxm−+=的两根为,，且||3−=，则实数m=__．14．（2022·天津南

开·高一期末）不等式265xx−的解集是________.15．（2022·上海市崇明中学高一期末）若1x，则11xx+−的最小值为______．16．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）0x，0y，且3xy+=，若对于任意的x，y不等式2

11331kkxy+−++恒成立，则实数k的取值范围为______.四、解答题17．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：(1)求函数()2216fxxx=+的最小值；(2)已知关于x的不等式20xbx

c++的解集为()2,3−，求关于x的不等式2xbxc−+0的解集.18．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知3x，求43xx+−的最小值；（2）已知,xy是正实数，且1xy+=，求13xy+的最小值．19．（2022·湖北黄冈·高一期末）已知

函数()22fxaxbxa=+−+(1)若14ab==−，，解关于x的不等式()0fx；(2)若关于x的不等式()0fx的解集为()13−，，求实数ab，的值．20．（2022·湖北黄冈·高一期末）已知关于x

的一元二次函数()21fxaxbx=−+(1)若()0fx的解集为1{|2xx−或1}x，求实数a、b的值．(2)若实数a、b满足1ba=+，求关于x的不等式()0fx的解集．21．（2022·四川巴中·高一期末（理））

已知函数()22fxxax=+−，()0fx的解集为1xx−或xb．(1)求实数a、b的值；(2)若()0,x+时，求函数()()4fxgxx+=的最小值．22．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11fxxxa=−

−−，aR．(1)若0a=，解不等式()1fx；(2)若函数()fx恰有三个零点1x，2x，3x，求123111xxx++的取值范围．