【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第03讲 函数概念与性质以及函数应用（解析版）.docx，共(44)页，3.966 MB，由envi的店铺上传

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第03讲函数的概念与性质以及函数应用【学习目标】1、学习用集合语言和对应关系刻画函数概念．2、通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识．3、学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法．【考点目录】考

点一：函数的概念考点二：定义域考点三：值域考点四：函数的表示考点五：单调性考点六：奇偶性考点七：函数的零点与方程的根考点八：二分法考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题【基础知识】知识点一、函数的概念1、

函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么就称:fAB→为从集合A到集合B的一个函数．记作：()yfx=，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数

的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(){|}fxxA叫做函数的值域．2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即

称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．3、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．区间表

示：{|}(,);xaxbab={|}[],xaxbab=；({|},xaxbab=；){|},xaxbab=；({|},xxbb=−；){|},xaxa=+．知识点二、函数

的表示法1、函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．2、分段函数：分段函数的解析式

不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三、函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的

集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义

，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()fx表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一

致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．知识点四、函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域

就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方

法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没

有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．知识点五、函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数()fx的定义域为A，区间DA：如果对于D内的任意两个

自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()fx在区间D上是增函数．如果对于D内的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()fx在区间

D上是减函数．2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数()fx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数()fx在区间D上具有单调性，D称为函数()fx的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．3、证明函数单调性的

步骤（1）取值．设12xx，是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据

增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用

的结论①若是增函数，则()fx−为减函数；若是减函数，则()fx−为增函数；②若和()gx均为增（或减）函数，则在()fx和()gx的公共定义域上()()fxgx+为增（或减）函数；③若()0fx且为增函数，则函数()fx为

增函数，1()fx为减函数；若()0fx且()fx为减函数，则函数()fx为减函数，1()fx为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数()fx在区间,ab上是增函数：任取12,,xxab，且12xx，()()120fxfx−；任取12,,xxab，且12xx，(

)()12120fxfxxx−−；任取12,,xxab，且12xx，()()()12120xxfxfx−−；任取12,,xxab，且12xx，()()12120xxfxfx−−．（2）函数(

)fx在区间,ab上是减函数：任取12,,xxab，且12xx，()()120fxfx−；任取12,,xxab，且12xx，()()12120fxfxxx−−；任取12,,xxab，且12xx，()()()12120xxfxfx−−

；任取12,,xxab，且12xx，()()12120xxfxfx−−．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数()yfgx=的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的

初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若(),()ugxyfu==在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则()yfgx=为增函数；（2）若(),()ugxyfu==在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则()y

fgx=为减函数．()fx()fx()fx()fx列表如下：()ugx=()yfu=()yfgx=增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按

下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：()yfu=，()ugx=；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则()yfgx=为增函数；若为一增一减或一

减一增，则()yfgx=为减函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数()yfx=在区间(,ab上是增函数，在区间),bc上是减函数，则函数()(,)yfxxac=在xb=处有最大值()fb．（2）如果函数()yfx=在区间(,

ab上是减函数，在区间),bc上是增函数，则函数()(,)yfxxac=在xb=处有最小值()fb．若函数()yfx=在,ab上是严格单调函数，则函数()yfx=在,ab上一定有最大、最小值．（3）若函数()yfx=在区间,ab上是单调递增函数，则()

yfx=的最大值是()fb，最小值是()fa．（4）若函数()yfx=在区间,ab上是单调递减函数，则()yfx=的最大值是()fa，最小值是()fb．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数

a的不等式，利用下面的结论求解．（1）()afx在,mn上恒成立()afx在,mn上的最大值．（2）()afx在,mn上恒成立()afx在,mn上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问

题．知识点六、基本初等函数的单调性1、正比例函数(0)ykxk=当0k时，函数ykx=在定义域R是增函数；当k<0时，函数ykx=在定义域R是减函数．2、一次函数(0)ykxbk=+当0k时，函数ykxb=+在

定义域R是增函数；当k<0时，函数ykxb=+在定义域R是减函数．3、反比例函数(0)kykx=当0k时，函数kyx=的单调递减区间是()(),0,0,−+，不存在单调增区间；当0k时，函数kyx=的单调递增区间是()(),0,0,−+，不存在单调减

区间．4、二次函数2(0)yaxbxca=++若0a，在区间(]2ba−−，，函数是减函数；在区间[)2ba−，+，函数是增函数；若0a，在区间(]2ba−−，，函数是增函数；在区间[)2ba−，+，函数是减函数．知识

点七、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数()yfx=，其定义域为D，如果存在0xD，()fxM=，使得对于任意的xD，都有()fxM，那么，我们称M是函数()yfx=的最大值，即当0xx=时，()0fx是函数()yfx=的最大值，记作()max0yf

x=．2、最小值：对于函数()yfx=，其定义域为D，如果存在0xD，()fxM=，使得对于任意的xD，都有()fxM，那么，我们称M是函数()yfx=的最小值，即当0xx=时，()0fx是函数()yfx=的最小值，记作()min0yfx=．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中

的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．知识点八、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有()()fxfx−=，那么()fx称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的

任意一个x，都有()()fxfx−=−，那么()fx称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么x−在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）()()fxfx−=的等价形式为：()()()0,1(()0

)()fxfxfxfxfx−−−==，()()fxfx−=−的等价形式为：()()()01(()0)()fxfxfxfxfx−+−==−，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有(0)0f=；（5）若()fx既是奇函数又是偶函数，则必有()0fx=．2、

奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如

果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()fx的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f

x的定义域，化简函数()fx的解析式；（3）求()fx−，可根据()fx−与()fx之间的关系，判断函数()fx的奇偶性．若()()fxfx−=−，则()fx是奇函数；若()fx−=()fx，则()fx是偶函数；若()()fxfx−，则()fx既不是奇函数，也不是偶函数；若()(

)fxfx−=且()()fxfx−=−，则()fx既是奇函数，又是偶函数知识点九、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx−

与()fx之一是否相等．（2）验证法：在判断()fx−与()fx的关系时，只需验证()()0fxfx−=及()1()fxfx−=是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶

函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样

的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()fx−与()fx的关系．首先要特别注意x与x−的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()fx与()fx−对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数

的定义进行比较．知识点十、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()fx是偶函数函数()fx的图象关于y轴对称；函数()fx是奇函数函数

()fx的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()yfx=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()yfx=必满足()(||)fxfx=．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）

若函数()fx的定义域关于原点对称，则函数()fx能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2gxfxfx=+−，1()[()()]2hxfxfx=−−，则()()()fxgxhx=+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个

）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()fxgxfxgxfxgxfxgx+−．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶．（7）复合函数[()]yfgx=的奇偶

性原来：内偶则偶，两奇为奇．知识点十一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数()yfx=在实数处的值等于零，即()0f=，则a叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数(

)yfx=的图象与x轴交点的横坐标；③函数()yfx=的零点就是方程()0fx=的实数根．归纳：方程()0fx=有实数根函数()yfx=的图象与x轴有交点函数()yfx=有零点．（2）二次函数的零点二次函数2yaxbxc=++的零点个数，方程20axbxc++=的实根个

数见下表.判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0=两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，

上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()yfx=在一个区间ab，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0fafb，则这个函数在这个区间上，至少有一个零

点，即存在一点()0xab，，使()00fx=，这个0x也就是方程()0fx=的根.知识点十二：二分法1、二分法对于区间,ab上图象连续不断且()()0fafb的函数()fx，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数

零点的一般步骤：已知函数()yfx=定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间00,abD，使()0fa与()0fb异号，即()()000fafb，零点位于区间00,ab中．第二步：取区间00,ab的

中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122xabaab=+−=+．计算()0fx和()0fa，并判断：①如果()00fx=，则0x就是()fx的零点，计算终止；②如果()()000fafx

，则零点位于区间00,ax中，令1010,aabx==；③如果()()000fafx，则零点位于区间00,xb中，令1010,axbb==第三步：取区间11,ab的中点，则此中点对应的坐标为()()1

111111122xabaab=+−=+．计算()1fx和()1fa，并判断：①如果()10fx=，则1x就是()fx的零点，计算终止；②如果()()110fafx，则零点位于区间11,ax中，令2121,aabx==；③如果()()110fafx

，则零点位于区间11,xb中，令2121,axbb==；……继续实施上述步骤，直到区间,nnab，函数的零点总位于区间,nnab上，当na和nb按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()yfx=的近似零点，计算终

止．这时函数()yfx=的近似零点满足给定的精确度．知识点十三：解决实际应用问题1、解决实际应用问题的过程2、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括

出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立

函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．【考点剖析】考点一：函数的概念1．（2022·河南省浚县第一中学

高一阶段练习）下列图象中不能表示函数的图象的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的概念：一个自变量x，不能对应两个函数值y，对于选项D，0x时，对于一个自变量x有两个函数值y与之对应，这与函数的概念矛盾，故选：D.2．（2022·安徽省舒城晓天中学高一期中）

下列四个式子中，y是x函数的是（）A．2y=xB．y=121xx−+−C．22,0,0xxyxx=−D．0,1xyx=为有理数，为实数【答案】C【解析】对于A选项，2yx=，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不

是函数，A项错误；对于B选项，121yxx=−+−，定义域为202101xxxx−−无解，所以不是函数，B项错误；对于C选项，22,0,0xxyxx=−定义域为R，对于定义域内每一个值都

有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；对于D选项，0,1xyx=为有理数，为实数当1x=时，y有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误．故选：C.3．（2022·北京广渠门中学教育集团高一

期中）下列四组中的给出的两个函数，为同一个函数的是（）A．()2fxxx=−，()2gxxx=−B．()1fxx=−，2()1tgtt=−C．2()fxx=，4()()gxx=D．2()fxx=，()gtt=【答案】D【解析】A：()fx定义域为R，()gx定义域为R，显然两个函数解析

式不一致，故A错误；B：()fx定义域为R，()gt定义域为|0tt，两个函数解析式一致，故B错误；C：()fx定义域为R，()gx定义域为|0xx，两个函数解析式一致，故C错误；D：()

fx定义域为R，()gx定义域为R，并且2()fxxx==，两个函数解析式也一致，故D正确.故选：D.考点二：定义域4．（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）函数21xyxx=+−+的定义域为（）A．()1,2-B．()0,2C．)1,2−D．(1,2

−【答案】D【解析】由题意可知：10x+且20x−，解得12x−所以定义为(1,2−，故选：D5．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数(1)fx+的定义域为[1,5]，则(2)fx的定义域为（）A．[1,3]

B．[1,4]C．[2,5]D．[2,6]【答案】A【解析】∵函数(1)fx+的定义域为[1,5]，∴15x，则216x+，即()fx的定义域为[2,6]，由226x，得13x，∴(2)fx的定义域是[1,3]，故选：A6．（2022·黑龙江·勃利县高级

中学高一期末）已知函数()yfx=的定义域为[2,3]−，则函数(21)1fxyx+=+的定义域为()A．3[,1]2−B．3[,1)(1,1]2−−−C．[3,7]−D．[3,1)(1,7]−−−【答案】B【解析】由题意得：2213x−+

，解得：312x−，由10x+，解得：1x−，故函数的定义域是(3,11,12−−−，故选：B．考点三：值域7．（2022·上海徐汇·高一期末）函数224yxx=−−+的值域是____________

____．【答案】0,2．【解析】224(2)44xxx−+=−−+，且240xx−+，2044xx−+，2042xx−+，2240xx−−−+，20242xx−−+，故函数224yxx=−−+的值域是0,2．故答案为：0,28．（2022·上

海市第三女子中学高一期末）函数211yx=+的值域是______.【答案】(0,1【解析】20xQ，211x+，21011x+故答案为(0,19．（2022·全国·高一专题练习）已知,abR，且221abab++=，则b的取值范围是___________.

【答案】2323,32−【解析】因为221abab++=，所以2210aabb++−=.又因为,abR，所以()22410bb=−−，解得232332b−.故答案为：2323,32

−.10．（2022·辽宁营口·高一期末）x为不超过x的最大整数，若函数()[]fxx=，(,)xab，()fx的值域为{1,0,1,2}−，则ba−的最大值为______．【答案】4【解析】因为函数()[]fxx=，(,)x

ab，()fx的值域为{1,0,1,2}−，所以b最大取到3，a最小取到1−，所以ba−的最大值为3(1)4−−=，故答案为：4考点四：函数的表示4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）已知

()fx是一次函数，2(2)3(1)5ff−=，()()2011ff−−=−，则()fx=（）A．32x+B．32x−C．23x+D．23x−【答案】D【解析】依题意，设(),0fxkxbk=+，则有2(2)3()52()1kbk

bbkb+−+=−−+=−，解得2,3kb==−，所以()23fxx=−.故选：D5．（2022·北京十五中高一期中）若()132fxx−=+，则（）A．()35fxx=−B．()31fxx=−C．()31

fxx=+D．()35fxx=+【答案】D【解析】令1xt−=，则1xt=+，所以()()31235fttt=++=+，所以()35fxx=+，故选:D.6．（2022·山东菏泽·高一期中）已知函数()()2,01,0xxfxfxx=+，则32f−=

（）A．1−B．1C．12D．3【答案】B【解析】3111212222fff−=−===.故选：B.考点五：单调性12．（2022·福建·泉州七中高一期中）已知定义在R的函数()fx满足：①对x，yR，()()()

1fxyfxfy+=+−；②当0x时，()1fx；③()12f=-.(1)求()0f，判断并证明()fx的单调性；(2)若1,1x−，使得()225fxmam−−，对11a−，成立，求实数m的取值范围；(3)解关于x的不等式()()()22

6faxfax++.【解析】（1）令0xy==，得()()()0001fff=+−，解得：()01f=；令12xx，即210xx−，则()()()()()()()()21211121112111fxfxfxxxfxfxx

fxfxfxx−=−+−=−+−−=−−，因为0x时，()1fx，所以12xx时，()()()212110fxfxfxx−=−−，所以()fx在R上的单调递减；故()fx单调递减区间为R，无单调递增区间.

（2）由（1）知，1,1x−时，()fx单调递减，又()12f=-，则1,1x−时，()()min12fxf==−；因为1,1x−，使得()225fxmam−−，对1,1a−成立，所以()2min25fxmam

−−，则2252mam−−−，即对1,1a−，2230mam−−成立；设()223gaamm=−+−（1,1a−），则对1,1a−，()0ga恒成立，即()()221230,1230,gmmgmm−=+−

=−−解得：3m或3m−；故实数m的取值范围为(),33,−−+.（3）令yx=−，得()()()01ffxfx=+−−，又知()01f=，即()()2fxfx+−=，所以()()2fxfx=−−；因

为()12f=-，所以()()1214ff−=−=，()()()21117fff−=−+−−=；不等式()()()226faxfax++等价于()()()226faxfax−+，即()()()2226faxfax−−−+()()()228faxfax+−+；又因为(

)()()1fxyfxfy+=+−，所以()()()1fxfyfxy+=++，故()()2218faxax−++，则()()()2272faxaxf−+=−；因为()fx在R上单调递减，所以()222axax−+−，即()2220ax

ax−++()()210axx−−，①2a时，201a，解得1x或2xa；②02a时，21a，解得2xa或1x；③0a=时，解得1x；④a<0时，201a，解得21xa；综上所述

：不等式()()()226faxfax++的解集为：2a时，解集为()2,1,a−+；02a时，解集为()2,1,a−+；0a=时，解集为(),1−；a<0时，解集

为2,1a.13．（2022·山东·济宁市兖州区教学研究室高一期中）已知函数()fx满足1()23fxfxx+=．(1)求函数()fx的解析式；(2)用定义证明函数()fx在()0,+上的单调性．【解析】（1）由1()23.fxfxx+=用1x代

替x可得，132()ffxxx+=，.1()23132()fxfxxffxxx+=+=，联立方程，解得：2()(0)fxxxx=−.（2）证明：任取12,(0,)xx+，且12xx，()()12121222fxfxxxxx

−=−−−.()211222xxxx=−+−()()2121122xxxxxx−=+−()211221xxxx=−+因为12,(0,)xx+，且12xx，所以210xx−，12210xx+，故()()120fxfx−，即()(

)12fxfx，所以()fx在(0,)+上单调递减.14．（2022·浙江省春晖中学高一期中）已知函数()211xfxx−=+．(1)判断函数()fx在()1,−+的单调性；(2)求函数()fx在(),20,−−+上的值域；(3)作出函数()yfx=，)0,x+的图象．【

解析】（1）证明．设121xx−，则()()()()12121212122121331111xxxxfxfxxxxx−−−−=−=++++，∵121xx−∴()()120fxfx−，即()()12fxfx，故函数()fx在()1,−+上单调

递增（2）函数()()2132132111xxfxxxx+−−===−+++，所以函数在(),1−−，()1,−+上单调递增，故当(,2x−−时，()(2,5fx；当)0,x+时，()

)1,2fx−；故()fx在(),20,x−−+的值域为)(1,22,5−（3）由（1）（2）可得，图象如图所示考点六：奇偶性20．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数()32fxxbxx=++为定义

在21,3aa−−上的奇函数，则ab+的值为________．【答案】2−【解析】因为函数()fx为定义在21,3aa−−上的奇函数，则有2130aa−+−=，解得2a=−，又由函数()fx为奇函数，则有()()0fxfx-+=，则()(

)()32320xbxxxbxx−−+++−++=，所以20bx=恒成立，即0b=，所以2ab+=−；故答案为：2−15．（2022·山东枣庄·高一期中）已知()yfx=是定义在R上的偶函数，当0x时，2()23fxxx=−−．(1)

写出函数()yfx=的解析式；(2)写出()yfx=的单调递增区间和值域（无需过程）．【解析】（1）因为()yfx=是定义在R上的偶函数，所以当0x时，则0x−，22()()()2()323fxfxxxxx=−=−−−−=+−

，即0x时，2()23fxxx=+−．故()2223,023,0xxxfxxxx−−=+−（2）当0x时，()222314yxxx=−−=−−，函数在区间0,1单调递减，在区间)1,+单调递增，4y−当0x时，()222314yxxx=+−=+−，函数在区间(,

1−−单调递减，在区间)1,0−单调递增，4y−，综上可知函数的增区间是[1,0]−，[1,)+，函数()fx的值域为[4,)−+．16．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知()fx的定义域为R，且满足下列三个条件：①()fx在0,1上

为严格增函数；②()12f=；③对任何实数,xy，都有()()()()11fxyfxyfxfy++=−+−.(1)求()()0,1ff−的值；(2)从对称中心和对称轴两方面讨论()fx的对称性，如果具有对称性，请写出一个对称中心､一条对称轴，并给出证

明；如果没有对称性，请说明理由.(3)解不等式：()1fx.【解析】（1）由()()()()11fxyfxyfxfy++=−+−，令0xy==，得()()()2110fff=−，所以()00f=，令1

,1xy=−=，得()()()()1111ffff=−−−，由()12f=，得()12f−=−；（2）令=1x−，得()()()2fyfyfy=−+，即()()fyfy−=−，所以()fx是奇函数，关于原点（0，0）对称，令0x=，得()()11fyfy+=−，则()fx的图象关于1x=对称；

（3）由()()2fxfx=−，得1533ff=，令51311xyxy++=−+=，得1313xy==，代入()()()()11fxyfxyfxfy++=−+−，得21120

33ff+−=，因为()fx在0,1上为严格增函数，所以()()121003fff==，则113f=，设xR，由()()fxfx−=−和()()2fxfx=−，得()()2fxfx−=

−−，即()()2fxfx+=−，所以()()4fxfx+=，所以()fx是以4为周期的周期函数，而()1fx在一个周期内的解为1533x，所以()1fx的解集为15|44,33xkxkkZ++.17．（2022·福建三明

·高一期中）已知函数()249xabfxax+−=+定义在()3,3−上的奇函数，且()8213f=.(1)求,ab；(2)判断函数()fx在()3,3−上的单调性并加以证明；(3)解不等式()2105fx++.【解析】（1）由题意可知，()(

)008213ff==，00884913ababa−=+−=+解得1ab==；经检验成立（2）由（1）可知()249xfxx=+，设1233xx−，则()()121222124499xxfxfxxx−=−++()()(

)()()()()()2212212112222212124949499999xxxxxxxxxxxx+−+−−==++++，1233xx−，210xx−，1290xx−，221290,90xx++，()()120fxfx−，即()()12fxfx，()fx在()3,3−

上单调递增；（3）由()215f−=−，则()215fx+−，即()()11fxf+−，由（2）可知()fx在()3,3−上单调递增，31311xx−++−，解得22x−，不等式()2105fx++的解集为

22xx−.考点七：函数的零点与方程的根7．（2022·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）函数()212xfxx−=−的零点所在的区间是（）A．()0,1B．()1,2C．()2,3D．

()3,4【答案】B【解析】因为()212xfxx−=−，则(0)40f=−，(1)10f=−，(2)10f=，()321533022f−=−=，()4211544024f−=−=.所以，()(

)120ff，根据零点存在性定理，可知存在𝑥0∈(1,2)，有()00fx=.故选：B.8．（2022·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()()()222log4log4fxxkxk=+−+−在区间1,4上有零点，则实数k的取值范围是（）A．132,3

B．132,3C．164,3D．164,3【答案】C【解析】由题知，()()()222log4log4fxxkxk=+−+−在区间1,4上有零点，令2log,0,2txt=，所以()()2440f

ttktk=+−+−=在0,2t上有解，所以()()22121114412111tttktttt+−++=+=+=++++++，在0,2t上有解，因为0,2t，根据1121ktt=++++满足对勾函数特点，可作下图由图知1121ktt=++++在0,2t上单调递增，所以

k的最小值为1012401k=+++=+；k的最大值为116212213k=+++=+；所以实数k的取值范围是164,3故选：C18．（2022·江西·高一阶段练习）已知函数()()2log1(0xafxakx

a=++，且1)a是偶函数.(1)求k的值；(2)若2a=，函数()()()246gxfxmfxmm=+−+，讨论()gx零点的个数.【解析】（1）由题意得()fx的定义域为R，所以()()()()221log11lo

g1aafakfak−=++=−=+−，得()()222221log1log1loglog221aaaaaaaaka−−++−+====−+，得1k=−，经检验，1k=−时()()2log1xafxax=+−，()()()22()log1log

1xxaafxfxaxax−−−=+−−+−2221log2log201xxaaxaxaxa−+=−=−=+，即()()fxfx=−符合题意.（2）由题意得()()()22222222211log21log21log2lo

glog222xxxxxxxfxx+=+−=+−==+，令函数()122xxx=+，任取120xx，则()()()121212121211122221222xxxxxxxxxx+−=−+−=−−，因为120xx，所

以121222,0xxxx+，得12121220,12xxxx+−，则()1212122102xxxx+−−，所以()()120xx−，即()()12xx，所以()x在)0,+上单调递增，又2logyx=是增函数，所以()fx在)0

,+上单调递增，又()fx为偶函数，则()fx在(),0−上单调递减，()min()01fxf==.令()tfx=，则1t，设函数()()()()()22246322httmtmmtmtmtmtm=+

−+=−+=−−，令()0ht=，则tm=或2m.当21m，即12m时，()ht没有零点，即()gx没有零点.当21m=，即12m=时，()ht有1个零点，即()gx有1个零点.当21,1,mm即112m时，()ht有1个零点，即()

gx有2个零点.当1m=，即22m=时，()ht有2个零点，即()gx有3个零点.当1m，即22m时，()ht有2个零点，即()gx有4个零点.19．（2022·上海师大附中高一阶段练习）函数()()4log41xfx=+，()()1gxkx=−，记()()()Fxfxgx=

−，且()Fx为偶函数.(1)求常数k的值；(2)若对一切aR，不等式()12Fam−恒成立，求实数m的取值范围；(3)设()44log23xMxaa=−，若函数()Fx与()Mx的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题意可知，()()()4log411x

Fxkx=+−−，xR，()FxQ为偶函数，()()FxFx−=，即()()()()44log411log411xxkxkx−++−=+−−，()()()()44log411log411xxxkxkx+−+−=+−−，()230kx−=，xR，3

2k=.（2）由（1）得()()4log412xxFx=+−，条件()12Fam−，即：()41log4122aam+−−，()()24424log41log41aaama−+=+，设()4ata=R，0t令444211logloglo

g112142tUtttt===−++++，当且仅当1tt=，即1t=时等式成立，max1U=−，即1m−；（3）依题意：()()MxFx=，即()444log41log223xxxaa+−=−

仅有一解，则44414loglog223xxxaa+=−即4142234203xxxxaaaa+=−−，故()()24122103xxaa−−−=设20xt=，依题意()()241103htatat=−−−=只有一个正实根.1当1a=时，()4103htt=

−−=，34t=−（舍）2当1a时，方程()()241103htatat=−−−=有一正根，一负根，由10(0)10ah−=−，得1a.3当1a时，方程()()241103htatat=−−−=有两个相等的正根.由21016Δ4(1)09aaa−=+−=，得214

990aaa+−=，即()()4330aa−+=，其中，当3a=−时，12t=符合题意；当34a=时，2t=−不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是()31,−+考点八：二分法9．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）用二分法求方程383xx=−

在()1,2内的近似解时，记()338xfxx=+−，若(1)0f，(1.25)0f，(1.5)0f，(1.75)0f，据此判断，方程的根应落在区间（）A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,1.75)D．(1

.75,2)【答案】B【解析】因为3xy=与38yx=−在R上单调递增，所以()338xfxx=+−在R上单调递增，因为(1.25)0f，(1.5)0f，所以()fx在(1.25,1.5)上有唯一零点0x，即0033

80xx+−=，故00383xx=−，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)上，且为0xx=，对于ACD，易知选项中的区间与(1.25,1.5)没有交集，故0x不在ACD选项中的区间上，故ACD错误；对于B，显然

满足题意，故B正确.故选：B.10．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，对于A，

函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.故选：C．11．（2022·

全国·高一课时练习）用二分法求函数()3222fxxxx=+−−的一个零点的近似值（误差不超过0.1）时，依次计算得到如下数据：()12f=-，()1.50.625f=，()1.250.984f=−，()1.3750.260f=−，关于下一步的说法正确的是（

）A．已经达到对误差的要求，可以取1.4作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取1.375作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.4375fD．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.3125f【答案】C【解析】()()1.51.3750ff，()fx\在()1.375

,1.5内有零点；1.51.3750.1250.1−=，没有达到对误差的要求，应该继续计算()1.51.3751.43752ff+=.故选：C.考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题20．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）2020年初，一场突

如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品x万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为()hx万元，且()

()12020,03,20056030,32xxhxxxxx−=−+−(1)求月利润P（万元）关于月产量x（万件）的函数关系式（利润=销售收入一成本）；(2)当月产量x为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.【解析】（1）由题

意得()4030Pxhxx=−−，()12020,03,20056030,3(2)xxhxxxxx−=−+−„，当03x时，2208030Pxx=−+−，当3x时，2005601603040301017022xPxxxx

x−−=−−+=−++−−故2208030,0316010170,32xxxPxxx−+−=−−++−（2）当03x时，P在2x=时最大，最大值801603050P=−+−=，当3x时，由基本不等式得160

[10(2)]21600802xx−−+−=−−，当且仅当16010(2)2xx−=−即6x=时等号成立，故P在6x=时最大，最大值60401707050P=−−+=，综上，当月产量6万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为70万元，

21．（2022·山东枣庄·高一期中）设矩形ABCD的周长为20，其中ABAD．如图所示，把ABC它沿对角线AC向ADC△折叠，AB折过去后交DC边于点P．设ADx=，DPy=．(1)将y表示成x的函数，并求定义域；(2)当AD长

为多少时，ADP△的面积最大，并求出最大值．【解析】（1）根据题意，由ADx=，得10ABx=−，易知ADPCBP△△，故BPDPy==，故10APABBPxy=−=−−，又在RtADP中，则222APA

DDP=+，即222(10)xyxy−−=+，整理得501010xyx−=−，又ABAD且0AD，即10xx−且0x，故05x，所以501010xyx−=−，定义域为(0,5)．（2）由（1）得AD

P△的面积12Sxy=15010210xxx−=−5(5)10xxx−=−，令10xt−=，则10xt=−(510)t，10xt−=−故5(5)10xxSx−=−5(10)(510)ttt−+−=5

0515tt=−+−50521575502tt−−=−，当且仅当50tt=，即52t=，即1052x=−时，等号成立，故75502S−≤，故当AD长为1052−时，A

DP△面积最大，最大值为75502−．【真题演练】1．（2022·天津·高考真题）函数()21xfxx−=的图像为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数()21xfxx−=的定义域为0xx，且()()()

2211xxfxfxxx−−−−==−=−−，函数()fx为奇函数，A选项错误；又当0x时，()210xfxx−=，C选项错误；当1x时，()22111xxfxxxxx−−===−函数单调递增，故B选项错误；故选：D.2．（2021·

全国·高考真题（文））设()fx是定义域为R的奇函数，且()()1fxfx+=−.若1133f−=，则53f=（）A．53−B．13−C．13D．53【答案】C【解析】由题意可得：522213333ffff=+=−=−，而21

111133333ffff=−==−−=−，故5133f=.故选：C.3．（2021·全国·高考真题（理））设函数1()1xfxx−=+，则下列函数中为奇函数的是（）A．()11fx−−B．()11fx−+C．()11fx+−D

．()11fx++【答案】B【解析】由题意可得12()111xfxxx−==−+++，对于A，()2112fxx−−=−不是奇函数；对于B，()211fxx−=+是奇函数；对于C，()21122fxx+−=−+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对

于D，()2112fxx++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B4．（2022·北京·高考真题）函数1()1fxxx=+−的定义域是_________．【答案】()(,00,1−【解析】因为()11fxx

x=+−，所以100xx−，解得1x且0x，故函数的定义域为()(,00,1−；故答案为：()(,00,1−5．（2021·浙江·高考真题）已知Ra，函数24,2()3,2,xxfxxa

x−=−+若()63ff=，则=a___________.【答案】2【解析】()()()6642233ffffa=−==−+=，故2a=，故答案为：2.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()322xxx

afx−=−是偶函数，则=a______.【答案】1【解析】因为()()322xxxafx−=−，故()()322xxfxxa−−=−−，因为()fx为偶函数，故()()fxfx−=，时()()332222xxxxxaxa

−−−=−−，整理得到()()12+2=0xxa−−，故1a=，故答案为：17．（2022·浙江·高考真题）已知函数()22,1,11,1,xxfxxxx−+=+−则12ff=___

_____；若当[,]xab时，1()3fx，则ba−的最大值是_________．【答案】372833+【解析】由已知2117()2224f=−+=，77437()144728f=+−=，所以137()228ff=，当1x时，由

1()3fx可得2123x−+，所以11x−，当1x时，由1()3fx可得1113xx+−，所以123x+，1()3fx等价于123x−+，所以[,][1,23]ab−+，所以ba−的最大值为33+.故答案为：3728，33+.8．（2022·北京·高

考真题）设函数()()21,,2,.axxafxxxa−+=−若()fx存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【答案】0（答案不唯一）1【解析】若0a=时，21,0(){(2),0

xfxxx=−，∴min()0fx=；若a<0时，当xa时，()1fxax=−+单调递增，当x→−时，()fx→−，故()fx没有最小值，不符合题目要求；若0a时，当xa时，()1fxax=−+单调递减，2()()1fxfaa=−+，当xa时，min20(

02)(){(2)(2)afxaa=−∴210a−+或2212aa−+−（），解得01a，综上可得01a；故答案为：0（答案不唯一），1【过关检测】一、单选题1．（2022·山东枣庄·高一期中）我们知道：()yf

x=的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是()yfx=为奇函数，有同学发现可以将其推广为：()yfx=的图像关于(,)ab成中心对称图形的充要条件是()yfxab=+−为奇函数，若32()3fxxx=−，则(1)(2)(2022)afff=+++，(0)(1)(2020)bfff=+−++

−，则ab+=（）A．8086−B．8084−C．8084D．8086【答案】A【解析】令()()12gxfx=++，则()()()32313123gxxxxx=+−++=−则()()33gxxxgx−=−+=−，所以()()12gxfx=++为奇函数，所以()yfx=的

图像关于()1,2-对称，所以()()24fxfx+−+=−，故()()()()()()2022202020212019204ffffff+−=+−==+=−，且()12f=-，所以()()()()()()202220212020101ffffff++++++−()

()()()2018201920202021428086ff++−+−+−=−−=−.故选：A2．（2022·山东枣庄·高一期中）函数2()1fxxax=−+，对12,(,2)xx−且12xx，1212()[()()]0xxfxfx−−，则实数a的范围为（）A．(

,4]−B．[4,)+C．(,2]−D．[2,)+【答案】B【解析】因为对12,(,2)xx−且12xx，1212()[()()]0xxfxfx−−，所以函数在区间(),2−单调递减，函数2()1fxxax=−+的对称轴是2ax=，所以22a，得4a.故选：B3．（202

2·上海市嘉定区安亭高级中学高一阶段练习）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用h表示游泳池的水深，t表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是

（）A．B．C．D．【答案】D【解析】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC；再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B.故选：D4．（2022·湖南·溆浦县第一中学高一期中）定义在R上的偶函数()fx

满足：在[0,)x+上单调递减，则满足()()211fxf−的x的取值范围是（）A．()1,0−B．(1,)(,0)+−C．(,0)−D．()0,1【答案】B【解析】因为()fx为R上的偶函数，且在)0,+上单调递减，所以()fx在(,0−上单调递增，所

以不等式()()211fxf−可整理为211x−，解得0x或1x.故选：B.5．（2022·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知定义在R上的函数()fx是奇函数，且()()2=fxfx−，()12f=，则()()20222023ff+=（）A．2−B．0

C．2D．4【答案】A【解析】因为函数()fx是奇函数，所以()()fxfx=−−，因此由()()()()()()()()2=242fxfxfxfxfxfxfxfx−=−−+=−+=−+=，所以函数()fx是以4为周期的函数，()()()()()()20222023505425

054323ffffff+=+++=+，因为函数()fx是奇函数，所以()00f=，因此()()200ff==，()()()()341112ffff=−=−=−=−，于是()()()()20222023232ffff+=+=−，故选：A6．（2022·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）

已知函数3212axyaxax−=++的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．()0,8B．0,6C．(0,6D．)0,8【答案】D【解析】因为函数3212axyaxax−=++的定义域为R，所以220axax

++，对xR恒成立，当0a=时，20，成立；当0a时，280aa=−，解得08a，综上：实数a的取值范围是)0,8故选：D7．（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）函数()2ln4xfxx=+−的零点所在的一个区间为（）A．()

0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,4【答案】B【解析】因为()2ln4xfxx=+−在(0,)+上单调递增，所以函数至多有一个零点，因为(1)2420f=−=−，()24ln24ln20f=+−=，所以()(1)20

ff，所以()2ln4xfxx=+−的零点所在的一个区间为(1,2)，故选：B8．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知函数()()21,01,0xxfxfxx−−+=−，则下列命题中正确的个数是（）①函数()fx在)1,−

+是周期函数②函数()fx在()(),1mmm+N上严格增③函数()fx在()xmm=N取得最大值0，且无最小值④若方程()()log2(01)afxxa=+有且仅有两个实根，则11,32aA．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】()fx的图像如图所示:对

于①,因为(1)1f−=−,(0)0f=,可得(1)(0)ff−所以函数()fx在[1,)−+上不是周期函数,故①不正确;对于②,当(),1mm+,()mN+结合函数图像可知,函数()fx在区间(),1mm+,()mN+上单调递增,故②正确;对于③,通过图像可知，当Nm时，()

fx取得最大值0，且无最小值，故③正确;对于④,如图所示,图中两条曲线对应的a分别为13和12,故方程为()log(2)(01)afxxa=+,有且只有两个实根,则11,32a,故④正确.故选:C.二、多选题9．（2022·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知函数()1

xfxx=+，则（）A．()fx是奇函数B．()fx在)0,+上单调递增C．方程()0fxx−=有两个实数根D．函数()fx的定义域是()(),11,−−−+【答案】BCD【解析】对于选项A．函数

()1xfxx=+的定义域为1xx−∣，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；对于选项B．0x时，()1111xfxxx==−++，函数1yx=+在)0,+上单调递增，则函数11yx

=+在)0,+上单调递减，故()fx在)0,+上单调递增，B正确；对于选项C．由题可得0x=是方程()0fxx−=的一个根，0x时，()101001fxxxx−=−==+（舍去），0x时，()101021fxxxx−=+==−+，故C正确；对于选项D．由10x+，

得1x−所以函数()fx的定义域是()(),11,−−−+，故D正确．故选：BCD．10．（2022·陕西西安·高一阶段练习）已知函数()21,23,21xxfxxx−=−若方程()0fxa−=有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是（）A．0B．12C．13D．1

【答案】BC【解析】由题知，函数()21,23,21xxfxxx−=−的图象如下，方程()0fxa−=可以看成()yfx=与ya=的交点，所以由图知方程()0fxa−=有三个不同的实数根时，01a

，故选：BC11．（2022·安徽省怀宁县新安中学高一期中）对于定义在R上的函数()fx，下列说法正确的是（）A．若()fx是奇函数，则()1fx−的图象关于点(1,0)对称B．若对xR，有()()11fxfx=+−

，则()fx的图象关于直线1x=对称C．若函数()1fx+的图象关于直线=1x−对称，则()fx为偶函数D．若()()112fxfx++−=，则()fx的图象关于点(1,1)对称【答案】AC【解析】对A，()fx是奇函数，故图象关于原点对称，将()fx的

图象向右平移1个单位得()1fx−的图象，故()1fx−的图象关于点(1,0)对称，故A正确；对B，若对xR，有()()11fxfx=+−，得()()2fxfx+=，所以()fx是一个周期为2的周期函数，不能

说明其图象关于直线1x=对称，故B错误.；对C，若函数()1fx+的图象关于直线=1x−对称，则()fx的图象关于y轴对称，故为偶函数，故C正确；对D，由()()112fxfx++−=得()()()()112,202ffff+−=+

=，()()()()312,422......ffff+=+=，()fx的图象不关于(1,1)对称，故D错误.故选：AC.12．（2022·广东·惠州一中高一期中）一般地，若函数()fx的定义域为,ab，值域为,kakb，则称,kakb为()fx的“k倍跟随区间”；若

函数()fx的定义域为,ab，值域也为,ab，则称,ab为()fx的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A．若1,b为()222fxxx=−+的跟随区间，则2b=B．函数()11fxx=+存在

跟随区间C．若函数()1fxmx=−+存在跟随区间，则1,04m−D．二次函数()212fxxx=−+存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【解析】选项A：由已知可得函数()fx在区间[1,]b上单调递增，则有2()22,1fbbbb

b=−+=，解得2b=或1（舍)，所以2b=，A正确；选项B：若()11fxx=+存在跟随区间,()abab，又因为函数在单调区间(,0),(0,)−+上递减，图象如图示，则区间,()aba

b一定是函数的单调区间，即0ab或0ab,则有()()fabfba==，解得152152ab−=+=，此时,ab异号，故函数()11fxx=+不存在跟随区间，B不正确；选项C：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间,(1)a

bab−，则有()()fabfba==，即11bmaamb=−+=−+，两式作差得：11abab−=+−+，即()(11)1(1)abababab−+++=+−+=−，又1ab−，所以111ab+++=，得0111ab

++，所以111mabaa=++=+−+，设10,1at+=，则2mtt=−，即20ttm−−=在区间0,1上有两个不相等的实数根，只需：Δ1400mm=+−，解得104m−，C正确；选项D：若函数存在3倍跟随区间，设

定义域为,ab，值域为3,3ab，当1ab时，函数在定义域上单调递增，则a，b是方程2132xxx−+=的两个不相等的实数根，解得0x=或4−，故存在定义域为4,0−使得值域为12,0−，D正确，

故选：ACD.三、填空题13．（2022·广东·珠海市第一中学高一期中）若()fx是定义在()1,1−上的奇函数，且在()1,1−上是增函数，则不等式()()1120fxfx−+−的解集为___________.【答案】2,13【解析】依题意，()fx是

定义在()1,1−上的奇函数，且在()1,1−上是增函数，由()()1120fxfx−+−，得()()()11221fxfxfx−−−=−，所以1211111211xxxx−−−−−−，解得213x，所以不等式()()1120fxfx−+−的解集为2,13

.故答案为：2,1314．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高一阶段练习）已知函数()21,,2xcfxxxxcx−=−，若()fx值域为1,24−，则实数c的范围是______.【答案】11,2−−【解析】

当x＝2时，()2422f=−=，()22111244fxxxx=−=−−−，∵()fx值域为1,24−，∴当xc时，由()12fxx=−=，得12x=−，此时12x−，由()22fxxx=−=，得220xx−−=，解得x

＝2或x＝－1，作出图像：有图像可得：要满足题意则：112c−−综上，112c−−，即实数c的取值范围是11,2−−.故答案为：11,2−−15．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知函数()()2fxaxbxc

abc=++的零点为0x和1，则0x的取值范围为______________.【答案】12,2−−【解析】易得0a，由题意得()10fabc=++=，又abc，所以0<a，0c，1ba

.因为02abcabbab++=++=+，所以12ba−，所以112ba−.由题意得0x，1是关于x的方程20axbxc++=的两个根，所以01112bxa−+=−，得0122x−−.故答案为：12,2−−.16．（20

22·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知()fx的定义域为R,且()1fx+是奇函数,当1x时,()22,1244,2xxfxxxx−=−+,.函数()()1,0gxkxk=−,则方程()()fxgx=的所有的根之和为___________.【

答案】5【解析】解:由题知()1fx+是奇函数,则有:()()110fxfx++−+=,()fx\关于()1,0对称,且()10f=,当1x时,()22,1244,2xxfxxxx−=−+,()()1,0gxkxk=−,()gx恒过()1,0,且()gx关于(

)1,0对称,方程()()fxgx=的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和,根据(),gx()fx对称性及解析式画出图象如下:由图像可知()fx,(),gx有5个交点,其中一个交点横坐标为1,另外四个,两两分别关于()1,0对称,故五个交点横坐标和为2

215+=,即所有根之和5.故答案为:5四、解答题17．（2022·广东·广州思源学校高一期中）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为()221541208yxkx

k=+−++，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量1x=时，总成本142y=.(1)求k的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【解析】（1）由题意得除尘

后的总成本()()222154120821531208yxkxkkxxkxk=+−+++=+−++，因为除尘后当日产量1x=时，142y=，所以14221531208kk=+−++，解得1k=.（2）设除尘后每吨的利润为W，所以22121281281284836236224xxWxxxxx++

=−=−+−=，当且仅当1282xx=，即8x=时等号成立，所以除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.18．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高一阶段练习）已知函数222(02)()2(20)xxxfxxxx−+=+−.(1)求23f−

，12f的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；【解析】（1）由222(02)()2(20)xxxfxxxx−+=+−，∴2222823339f−=−+−=−

，2111322224f=−+=.（2）简图如图所示：（3）简图可知函数的值域为1,1−19．（2022·上海师大附中高一阶段练习）函数()()()21222111fxaaxxx=−−−−−

的最小值为()()gaaR.(1)求()ga；(2)若()12ga=，求a及此时()fx的最大值.【解析】（1）()()212221fxaaxx=−−−−，()2222122aafxxa=−−−−，且11x−

，若112a−，即22a−时，()fx在12ax−上单调递减，在12ax上单调递增，故当2ax=时，()fx取得最小值，即()2min()212afxgaa==−−−；若12a，即2a时，()fx在11x−上单调递减，故当1x=时，()()min()1

14fxfgaa===−；若12a−，即2a−时，()fx在11x−上单调递增，故当=1x−时，()()min(11)ffxga=−==.综上所述，()21,221,22214,2aagaaaaa−=−−−−−；（2）显然当

2a−时，()112ga=，舍去，若2a，则有1142a−=，得18a=，与2a矛盾；若22a−，则有212122aa−−−=，即2430aa++=，解得1a=−或3a=−（舍），()12

ga=时，1a=−，即()211222fxx=++，11x−，()519122f=+=，()111221f=+−=，当1x=时，()fx取得最大值5.20．（2022·江西·进贤县第二中学高一阶段练习）根据下列条件，求()fx的解析式.(1)已知()2285fx

xx+=++(2)已知()()2232fxfxxx+−=−(3)已知()fx是二次函数，且满足()()()01,12ffxfxx=+−=【解析】（1）令2(2)txt=+，则2xt=−，()22xt=−，所以由()2285fxxx+=++，得()22

2(2)8(2)523ftttt=−+−+=−，所以()223(2)fxxx=−；（2）由()()2232fxfxxx+−=−，得()()2223()2()32fxfxxxxx−+=−−−=+，所以()()2322fxxxfx−=+−，所以()()2223

2232fxxxfxxx++−=−，解得()22fxxx=+；（3）由题意设()2(0)fxaxbxca=++，因为()01f=，所以1c=，因为()()12fxfxx+−=，所以()22(

1)(1)2axbxcaxbxcx++++−++=，所以22axabx++=，所以220aab=+=，得1,1ab==−，所以()21fxxx=−+.21．（2022·广东湛江·高一阶段练习）已知函数()fx的定义域为R，对任意的,Rab，都有()()()fafbfab

=+.当0x时，()1fx，且()00f.(1)求()0f的值，并证明：当0x时，()01fx；(2)判断()fx的单调性，并证明；(3)若()122f=，求不等式()215616ftt−的解集.【解析】（1）令0ab==，则()()200ff=，又()0

0f，所以()01f=.证明：当0x时，0x−，所以()1fx−，又()()()(0)1fxfxfxxf−=−==，所以1()()fxfx=−，即()01fx.（2）()fx在R上单调递减.证明如下：设12xx，则()()()()()()()()()1

2122212222121fxfxfxxxfxfxxfxfxfxfxx−=−+−=−−=−−，又12xx，所以120xx−，所以()121fxx−，又当0x时，()1fx，当0x时，()01fx，()01f=，所

以()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以()fx在R上单调递减.（3）因为()122f=，所以41(8)(2)(6)(2)(2)(4)(2)16fffffff====，所以()215616ftt−，即()256(8)fttf−，又()fx在

R上单调递减，所以2568tt−，解得425t−，所以不等式()215616ftt−的解集为4,25−.22．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）设()fx是(,)−+上的奇函数，(2)()fxfx+=−，当01x

时，()fxx=.(1)求()fπ的值；(2)求13x−时，()fx的解析式；(3)当44x−时，求方程()(0)fxmm=的所有实根之和.（写出正确答案即可）【解析】（1）由(2)()fxfx+=−，得(4)[(2)2]fxfx+=++(2

)()fxfx=−+=，所以()f=(4)f−(4)(4)4f=−−=−−=−.（2）若10x−≤≤，则01x，则()fxx−=−，()fx是奇函数，()()fxxfx−=−=−，即()f

xx=，10x−≤≤，即当11x−时，()fxx=，若13x，则121x−−，()()2fxfx+=−()()()222fxfxxx=−−=−−=−+，即当13x−时，()fx的解析式为(),112,13xxfxxx−=−.（3）作出函数()fx在44x

−时的图像，如下图，则函数的最小值为1−，若1m−，则方程()fxm=无解，若1m=−，则函数在44x−上的零点为=1x−，3x=，则132−+=，若10m−，则函数在44x−上共有4个

零点，则它们分别关于=1x−和3x=对称，设它们分别为abcd,,,，则2ab+=−，6cd+=，即264abcd+++=−+=.