【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第05讲 三角函数（原卷版）.docx，共(17)页，1.399 MB，由envi的店铺上传

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第05讲三角函数【学习目标】1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。3、掌握三角函数的图像与性质4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单

的应用．5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．【考点目录】考点一：任意角和弧度制考点二：三角函数的概念考点三：诱导公式考点四：三角函数的图像与性质考点五：伸缩变换考点六：三角函数的应用【基础知识】知识点一：任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线

绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按逆时针方向旋转所形成的角．负角：按顺时针方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．2、终边相同的角、象限角终边相同的角为|2kkZ=+，角的顶点与原点重合，角的始边

与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．知识点二：弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换

公式：180rad=1rad=0180≈57．30°=57°18′，1°=180≈0．01745（rad）3、弧长公式：||lr=（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：211||22

Slrr==．知识点三：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是r的圆交于点(,)Pxy，则22rxy=+，那么：（1）yr做的正弦，记做sin，即sinyr=；（2）xr叫做的余弦，记做cos，即cosxr=；（3）yx叫做的正切，记做tan，即tan

(0)yxx=．知识点四：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点五：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sincos

1+=（2）商数关系：sintancos=知识点六：诱导公式诱导公式一：sin(2)sink+=，cos(2)cosk+=，tan(2)tank+=，其中kZ诱导公式二：sin()sin−=−

，cos()cos−=，tan()tan−=−，其中kZ诱导公式三：sin[((21)]sink++=−，cos[(21)]cosk++=−，tan[(21)]tank++=，其中kZ诱导公式四：s

incos2+=，cossin2+=−．sincos2−=，cossin2−=，其中kZ知识点七：正弦函数性质函数正弦函数sinyx=定义域R值域1,1−奇偶性奇函数周期性最小正周期2单调区间()kZ增

区间[22]22kk−+，减区间3[22]22kk++，最值点()kZ最大值点(2,1)2k+；最小值点(2,1)2k−−对称中心()kZ()0k，对称轴()kZ2xk=+知识点八：余弦函数的性质函数余弦函数cosyx=定义域R值域1,

1−奇偶性偶函数周期性最小正周期2单调区间()kZ增区间22kk−，减区间22kk+，最值点()kZ最大值点最小值点对称中心()kZ对称轴()kZxk=知识点九：正切函数的性质1、定义域：|,2xxkkZ+2、值域：R由正切函数的图象可知，

当()2xkkZ+且无限接近于2k+时，tanx无限增大，记作tanx→+（tanx趋向于正无穷大）；当()2xkkZ−+，tanx无限减小，记作tanx→−（tanx趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tanx可以取任何实数值，但没有

最大值和最小值．称直线2xk=+，kZ为正切函数的渐进线．3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即()tantanxx−=−．5、单调性：在开区间,22kk−++，kZ内，函数单调递增知识点十：由sinyx=得图象通过变换得到sin()yAx

=+的图象1、振幅变换：sinyAx=，xR（0A且1A）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（1A）或缩短（01A）到原来的A倍得到的（横坐标不变），它的值域,AA−，最大值是A，最小值是A−．若0A可先作siny

Ax=−的图象，再以x轴为对称轴翻折，A称为振幅．2、周期变换：函数sinyx=，xR（0且1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1或伸长()01到原来的1倍（纵坐标不变）．若0则可用诱导公式将符号“提出

”再作图．决定了函数的周期．3、相位变换：函数()sinyx=+，xR（其中0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．4、函数si

nyx=的图象经变换得到sin()yAx=+的图象的两种途径()21k，()2,1k+−(,0)2k+【考点剖析】考点一：任意角和弧度制例1．（2022·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角

的弧度数为（）A．4B．3C．2D．1例2．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列与94的终边相同的角的集合中正确的是（）A．()245Zkk=+B．()9360Z4kk=+

C．()360315Zkk=−D．()5Z4kk=+例3．（2022·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“2是第二或第四象限角”的（）A．充分不必要条件B

．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点二：三角函数的概念例4．（2022·上海市香山中学高一期末）已知tan3=，则22sinsincos2cos−−的值为（）A．25−B．25C．35-D．35例5．（2022·陕西渭南·

高一期末）已知角的终边经过点(,3)Mmm−，且1tan2=，则m=（）A．12B．1C．2D．52例6．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）若1sincos3xx+=，(0,)x，则sincosxx

−的值为（）A．173B．－173C．13D．173考点三：诱导公式例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：203sinπ13373cosπtanπ1144tanπ3−−−；（2）已知4tan3=，求2

22sin2sincos2cossin+−的值.例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且sincos()tan()2()cos()f−−+=−．(1)化简()f

；(2)若25()5f=，求cos的值．例9．（2022·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，π4sin25−=−．(1)求sin的值；(2)若costan()cos(2)2()tan(19)sin(5

)sin()f−−+−=−−−−+，求()f的值．考点四：三角函数的图像与性质例10．（多选题）（2022·贵州六盘水·高一期末）关于函数1()sin2sin2fxxx=+，下列说法正确的是（）A．()fx的最小值为2B．π()2fx+是奇函数C．

()fx的图象关于直线π4x=对称D．()fx在π(0,)4上单调递减例11．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数()()sinfxAx=+（0A，0，2）在某一个周期内的图象时，列

表并填入了部分数据，见下表：x+02322x12712()sinAx+002−(1)根据上表数据，直接写出函数()fx的解析式，并求函数的最小正周期和()fx在0,2上的单调递减区间.(2)求()fx在区间2,03−上的

最大值和最小值.例12．（2022·江苏盐城·高一期末）设()sin(0)4fxxb=++.(1)若函数()fx的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)当12b=时，函数()fx正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若1231312xxx++=，求ω的值.考点五

：伸缩变换例13．（2022·上海市香山中学高一期末）将函数π3sin(2)6yx=−的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间π7π[,]1212上单调递减B．在区间π7π[,]1212上单

调递增C．在区间ππ[,]63−上单调递减D．在区间ππ[,]63−上单调递增例14．（2022·上海·曹杨二中高一期末）为了得到函数πsin(2)3yx=+的图象，可以将函数2πcos23yx=−的图象（）A．向左平移π2个单位B．向左平移π4个单位C．向右平移π2个单位D

．向右平移π4个单位例15．（2022·上海市行知中学高一期末）函数()sin()fxAx=+（其中0A，π||2）的图像如图所示，为了得到()cos2gxx=的图象，则只要将()fx的图象（）A．向右平移

π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度考点六：三角函数的应用例16．（2022·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．

已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系()()sin20,0,02πyAxA=++，则有（）A．2π15=，4π3=B．15π2=，4π3=C．2π15=，π67

=D．15π2=，π67=例17．（2022·北京·高一期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表

现如下表所示：高潮期低潮期体力体力充沛疲倦乏力情绪心情愉快心情烦躁智力思维敏捷反应迟钝如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（）A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏

捷D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝例18．（2022·广东肇庆·高一期末）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华

民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方

便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（0=t），则我们可以建立函数关系式()()sinhtAtk=++（其中0A，0，π02−）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（）A．函数()ht的最小正周期

为40B．()ππ2sin1303htt=−+C．当40t=时，水车P点离水面最高D．当150t=时，水车P点距水面2m【真题演练】1．（2022·天津·高考真题）已知1()sin22fxx=，关于该函数有下列四个说法：①()fx的最小正周期为2π；②()f

x在ππ[,]44−上单调递增；③当ππ,63x−时，()fx的取值范围为33,44−；④()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（2

022·浙江·高考真题）设xR，则“sin1x=”是“cos0x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2s

in3yx=的图象，只要把函数π2sin35yx=+图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度4．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin(0)3fxx

=+的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A．16B．14C．13D．125．（2022·全国·高考真题）记函数()sin(0)4fxxb=++

的最小正周期为T．若23T，且()yfx=的图象关于点3,22中心对称，则2f=（）A．1B．32C．52D．36．（2021·全国·高考真题（理））把函数()yfx=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变

，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx=−的图像，则()fx=（）A．7sin212x−B．sin212x+C．7sin212x−D．sin212x+7．（2021·全国·高考真题）下列区间中，

函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,228．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos(0,0π)fxx=+的最小正

周期为T，若3()2fT=，9x=为()fx的零点，则的最小值为____________．9．（2021·全国·高考真题（文））已知函数()()2cosfxx=+的部分图像如图所示，则2f=

_______________.【过关检测】一、单选题1．（2022·江苏连云港·高一期末）已知角的终边经过点(,6)Px−−，且5cos13=−，则x的值是（）A．52−B．52C．513−D．5132．（2022·陕西·长安

一中高一阶段练习）若角5π−的终边与单位圆的交点坐标是3,5x，则()cos2023π−等于（）A．45B．35C．45D．35-3．（2022·北京市陈经纶中学高一阶段练习）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，

三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为π，则该勒洛三角

形的面积为（）A．π3−B．π32−C．3π2−D．π324−4．（2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为（）A．2B．4C．2或4D．1或45．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一阶

段练习）下列命题：①第四象限的角可表示为3{|2ππ2πZ}2kkk+，；②第二象限角大于第一象限角；③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为3；④若是第二象限角，则2的终边在第一象限．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（2022·上海市金山中学高一期

末）已知函数π()sin()0,0,||2fxAxA=+的图象如图所示．则=（）A．π6B．π3C．π-6D．π3−7．（2022·上海市香山中学高一期末）设Ra，[0,2π)b，若对任意

实数x都有πsin(3)sin()3xaxb−=+，则满足条件的有序实数对(,)ab的对数为（）A．1B．2C．3D．48．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2sin3fxx=+，63ff

=，且在区间,63内()fx有最小值无最大值，则=（）A．43B．2C．143D．8二、多选题9．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）已知()0,，17sincos13−

=，则下列结论正确的是（）A．,2B．12cos13=−C．5tanθ12=-D．2tan601tan169=−+10．（2022·山东·济南九中高一阶段练习）下列选项正确的是（）A．3sincos2−=B．5rad7512=C．若

终边上有一点()43P,−，则4sin5=−D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为611．（2022·浙江省杭州第二中学高一期末）设π()sin23fxx=−，则（）A．()fx的最小正周期为πB．π6x=是()fx的一条对称

轴C．()fx在ππ,43上单调递增D．()fx向左平移5π12个单位后为偶函数12．（2022·全国·高一单元测试）函数()()()2sin0,fxx=+的部分图像如图所示，则下列结论正

确的是（）A．()12sin33fxx=−B．若把()fx图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图像，则函数()gx在,−上是增函数C．若把函数()fx的图像向左平移2个单位长度，得到函数()hx的图

像，则函数()hx是奇函数D．,33x−，若()332fxaf+恒成立，则a的取值范围为)32,++三、填空题13．（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）若1cos,3=是第三象限角且1cos2sin2−=，则cos2=__

____．14．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知π1cos62−=，则4πsin3+=___________.15．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数()sin()fxAx=+（0A，0，0）的

部分图像如图所示，将()fx的图像向右平移3个单位长度得到函数()gx的图像，则()gx=__________．16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()π2cos23fxx=−在()πR4aaa−

，上的最大值为1y，最小值为2y，则12yy−的取值范围是_______.四、解答题17．（2022·陕西·永寿县中学高一阶段练习）已知角以x轴的非负半轴为始边，()2,1P−为终边上一点.(1

)求sin2cos−的值；(2)求3sin()cos(2)costan()25coscos(3)sin()2−−−−−−−的值.18．（2022·全国

·高一课时练习）已知函数()12sinfxx=−．(1)用“五点法”作法函数()fx在0,2πx上的简图；(2)根据图象求()1fx在0,2π上的解集．19．（2022·上海市陆行中学高一期末）已知函数()sin()(R)fxAxx=+，其中π(0,0,0

)2A的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为2π(,2)3M−.(1)求()fx的周期；(2)当ππ[,]122x时，求()fx的值域.20．（2022·甘肃·庄浪县第二中学高一期末）已知函

数()π2sin214fxx=++，xR，求：(1)函数()fx的最小值及取得最小值的自变量x的集合；(2)函数()fx的单调减区间．21．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数()()sin0,0,2πfxAxA

=+的部分图像如图所示.(1)求,A和的值；(2)求函数()yfx=在1,2上的单调递减区间；(3)若函数()yfx=在区间,ab上恰有2022个零点，求ba−的取值范围.22．

（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）（1）已知tan2x=，求2sin3sincosxxx−的值；（2）已知2ππsincos,,322+=−，求tan的值．