【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第02讲 一元二次函数、方程和不等式（解析版）.docx，共(28)页，1.584 MB，由envi的店铺上传

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第02讲一元二次函数、方程和不等式【学习目标】1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式．2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想．【考点目录】考点一：等式性质与不等式性质考点二：利用基本不

等式求最值考点三：二次函数与一元二次方程、不等式考点四：恒成立问题考点五：二次函数根的分布问题考点六：不等式在实际问题中的应用【基础知识】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意xR，则0x（x为正数）、0x=或0x（x为负数）三种情况有且只有一

种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00abab+；0,00abab+②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00abab；0,00abab③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,0

0abab④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20xRx，200xx==．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a、b①0baba−；②0baba−；③0baba−

==．对于任意实数a、b，ab，ab=，ab三种关系有且只有一种成立．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：abba（2）传递性：,abbcac（3）可加性：ab

acbc++（c∈R）（4）可乘性：a>b，000cacbccacbccacbc==运算性质有：（1）可加法则：,.abcdacbd++（2）可乘法则：0,00abcdacbd（3）可乘方性

：*0,0nnabnNab知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a、b，可以作差ab−后比较ab−与0的关系，进一步比较a与b的

大小．①0baba−；②0baba−；③0abab−==．作商法：任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab后比较ab与1的关系，进一步比较a与b的大小．①1aabb；②1aabb；③1aabb==．中间量法：若ab且bc，则ac（实质是不等式

的传递性）．一般选择0或1为中间量．知识点四、基本不等式1、对公式222abab+及2abab+的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求,ab都是实数，而后者要求,ab都是正数；（2）取等号“=”的条件在形

式上是相同的，都是“当且仅当ab=时取等号”．2、由公式222abab+和2abab+可以引申出常用的常用结论①2baab+（,ab同号）；②2baab+−（,ab异号）；③222(0,0)1122ababababab+

++或222()(0,0)22abababab++知识点诠释：222abab+可以变形为：222abab+，2abab+可以变形为：2()2abab+．知识点五、用基本不等式2abab+求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：222abab+

与2abab+成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：222abab+与2abab+都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于

“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．知识点六、二次

函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)axbxca++=的两根为12xx、且12xx，设acb42−=，它的解按照0，0=，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc=++(0

)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc++(0)a或20axbxc++(0)a的解集．24bac=−00=0二次函数cbxaxy++=2（0a）的图象20(

0)axbxca++=的根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221−==无实根的解集)0(02++acbxax21xxxxx或−abxx2R的解集)0(02++acbxax21xxxx

知识点七、一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R的情况，即20(0)axbxca++恒成立00a恒成立20(0)axbxca++00.a（2）分离参数，将恒成立问题转化为求

最值问题．【考点剖析】考点一：等式性质与不等式性质例1．（2022·山东省桓台第二中学高一期中）已知实数x，y满足41xy−−−，145xy−−，则（）A．7926xy−−B．1920xy−−C．4915xy−D．1915xy−

【答案】B【解析】令mxy=−，4nxy=−，则343nmxnmy−=−=，则85933zxynm=−=−，∵41m−−，∴5520333m−．又15n−，∴8840333n−．∴85920331xynm−−−=．故选：B．例2．（多选题）（2022·湖南衡

阳·高一期末）已知1ab，给出下列不等式正确的是（）A．11bbaa++B．11abab++C．3322abab+D．11abba++【答案】BD【解析】对于A：1(1)(1)1(1)(1)(1)bbabbaabaabbabaaaaaaaa++−++−−−−===++++，

因为1ab，所以0ab−，10a+，所以101(1)bbabaaaa+−−=++，即11bbaa++，故A错误，对于B：11111(1)()()(1)()baabababababababa

bababab−−+−+=−+−=−+=−−=−，因为1ab，所以0ab−，1ab，所以11()0abab+−+，即11abab++，故B正确，对于C：当3a=，2b=时，33333235ab+=+=，22223236ab==，所以3322abab+，故C错

误，对于D：11111()()(1)abababababbabaabab−+−+=−+−=−+=−+，因为1ab，所以0ab−，1ab，所以11()0abba+−+，即11abba++，故D正确，故选：BD．例3．（多选题）（2022·重庆·高一期末）下列说法正确的是（）A．

若0ab，则11abB．若0ab，0m，则bmbama++C．0ab，则3322ababab−−D．若0ab，则22acbc【答案】ABC【解析】对于A选项，因为0ab，故10a

b，故110ab，正确；对于B选项，由于0ab，0m，故0ab−，0am+，故()()()()()0abmbammabbmbamaaamaam+−+−+−==+++，即bmbama++，正确；对于C选项，由于0ab，故0ab−，故()()()()332222220abab

abaabbababab−−+=−+−=−+，即3322ababab−−，正确；对于D选项，当0c=时，220acbc==，故错误.故选：ABC考点二：利用基本不等式求最值例4．（2022·四川凉山·高一期末（文））若1x，则111xx+−−

的最小值为______．【答案】2【解析】因为1x，所以10x−，因为111(1)211+−=−+−−xxxx，当且仅当111xx−=−时，即2x=等号成立，所以11xx+−的最小值为2.故答案为：2.例5．（2022·四川·成都七中高一期末）已知点(,)

ab在直线1xy+=上，当0,0ab时，12ab+的最小值为______．【答案】322+【解析】因为点(,)ab在1xy+=上，所以1ab+=.所以12122()()3322ababababba+=++=+++，当且仅当2abba=时等号成立.故答案为：322+例6．（2022

·四川自贡·高一期末（文））已知1ab+=，若0a且0b，则ab的最大值为___________.【答案】14【解析】因为0a且0b，12abab+=，当且仅当1ab==时取等号，所以14ab，所以ab的最

大值为14.故答案为：14.例7．（2022·湖南·长郡中学高一期末）已知x，*yR，若8xyxy++=，则xy的最大值为_________【答案】4【解析】正数x，y满足8xyxy++=，82xyxyxy−=+，即280xyxy+−，解得02xy，故4xy

，当且仅当2xy==时取等号．xy的最大值为4，故答案为：4例8．（2022·四川广安·高一期末（理））已知正实数m，n满足21mn+=，则42nmn++的最小值为__________．【答案】17【解析】因为()42428282288216

nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=≥，当且仅当82nmmn=，即1214mn==时等号成立，所以4242117nmnmn++=++≥．故答案为：17例9．（2022·广东珠海·高一期末）已知,uvR+，且34uv+=，则

11143uv+++的最小值为__________.【答案】49【解析】由34uv+=，得1349uv+++=，即()()114319uv+++=.因为,uvR+所以4301vu++，1043uv++,则11143uv+++=()()1111

439143uvuv++++++143114314222914391439vuvuuvuv++++=+++=++++，当且仅当431143vuuv++=++即71,26uv

==时，等号成立.所以当71,26uv==时，11143uv+++取得最小值为49.故答案为：49.例10．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）若0x，0y，且4xy+=，则1yxy+的最小值为__________．【答案】54

【解析】因为0x，0y，且4xy+=，所以1152444444yxyyxyxxyxyxy++=+++=，当且仅当8343xy==时等号成立，故答案为：54.考点三：二次函数与一元二次方程、不等式

例11．（2022·安徽合肥·高一期末）已知关于x的不等式220axbx++的解集为(1,2)，则下列结论中正确的是（）A．3,1ab==B．1,3ab=−=−C．1,3ab==−D．3,1ab=−=

−【答案】C【解析】因为不等式220axbx++的解集为(1,2)，所以1,2xx==是方程220axbx++=的两个根，将1,2xx==代入方程220axbx++=得204220abab++=++=，解得13ab==−

，故选：C例12．（2022·广东广州·高一期末）不等式2320xx−−的解集是（）A．213xx−B．213xx−C．213xxx−或D．213xxx−或【答

案】C【解析】232(32)(1)0xxxx−−=+−解得：213xx−或.故选：C.例13．（2022·河南开封·高一期末）关于x的不等式()2210axaxa−++的解集为12|xxxx，且211xx−=，则22aa−+=（）A．3B．32C．2D．23【答案】

A【解析】由不等式22(1)0axaxa−++的解集为12{}xxxx，得0a，不等式对应的一元二次方程为22(1)0axaxa−++=，方程的解为12xx、，由韦达定理，得21211axxaaa++==+，121=xx，因为2

11xx−=，所以22211212()()41xxxxxx−=+−=，即21()41aa+−=，整理，得223aa−+=.故选：A例14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一期中）已知函数()()()21fxaxaxaR=++.(1)若()1fx≤，求a的取值范围；(2)解关于x

的不等式()1fx−.【解析】（1）()1fx可变形为2(1)10axax++−，由已知2(1)10axax++−在R上恒成立，下面分两种情况讨论例15．当0a=时，不等式2(1)10axax++−可化为10x−，不等式10x−不恒成立，与已知矛盾；例16

．当0a时，由已知可得0Δ0a，即20610aaa++，解得322322a−−−+综上两种情况，a的取值范围是322322−−−+，；（2）不等式化为(1)(1)0xax++

，1､当0a=时，解集为(,1)−−；2､当a<0时，解集为1(,1)(,)a−−−+；3､当1a=时，解集为；4､当01a时，解集为1(,1)a−−；例17．当1a时，解集为1(1,)a−−.例18．（2022·黑龙江实验中学高一期中）已知不等式2320axx−+的解

集为{1xx∣或}xb.(1)求,ab的值；(2)解不等式()20axacbxbc−++.【解析】（1）因为不等式2320axx−+的解集为{1xx∣或}xb，所以1x=是方程2320axx−+=的解，即1a=，故2320xx−+的解为2x或1x

，故2b=；（2）()()()200axacbxbcaxbxc−++−−，即()()20xxc−−，当2c=时，无解；当2c时，()()20xxc−−的解集为()2,c；当2c时，()()20xxc−−的解集为(),

2c.考点四：恒成立问题例19．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知函数()228fxxx=−−，(1)求不等式()0fx的解集；(2)()()215fxmxm+−−恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）()0fx即2280xx−−，整理得(4)(2)0

xx−+，解得：24−x，∴()0fx的解集为|24xx−.（2）∵()()215fxmxm+−−，即228(2)150xxmxm−−−+++恒成立，2(4)70xmxm−+++恒

成立，只需2(4)4(7)0mm=+−+，即2412(6)(2)0mmmm+−=+−，解得：62m−，所以m的取值范围为62mm−例20．（2022·重庆·高一期末）从下面所给三个条

件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.条件一、xR，()2(2)fxfx+=−；条件二、方程()0fx=有两个实数根12,xx，124xx+=；条件三、xR，()()2fxf.已知函数()fx为二次函数，(1)6f−=−，(0)1f=−，.(1)求函数()fx的解析

式；(2)若不等式()+0fxkx对(0,)+x恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）选条件一：设2()=(0)fxaxbxca++因为xR，()2(2)fxfx+=−，所以()fx的对称轴为2

x=，因为(1)6f−=−，(0)1f=−，所以()()160122fabcfcba−=−+=−==−−=，解得141abc=−==−，所以2()41fxxx=−+−选条件二：设2()=(0)fxaxbxca++因为方程()0fx=有两个实数根12,

xx，124xx+=，所以()fx的对称轴为2x=，因为(1)6f−=−，(0)1f=−，所以()()160122fabcfcba−=−+=−==−−=，解得141abc=−==−，所以2()41fx

xx=−+−选条件三：设2()=(0)fxaxbxca++因为xR，()()2fxf，所以()fx的对称轴为2x=，因为(1)6f−=−，(0)1f=−，所以()()160122fabcfcba−=−+=−==−−=，解得141abc=−==−，

所以2()41fxxx=−+−（2）()+0fxkx241kxxx−+对(0,)+x恒成立24114xxkxxx−+=+−对(0,)+x恒成立12xx+当且仅当1x=时取等号，∴min142kxx+−=−所求实数k的取值范围为(,2−−.例21

．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数2()21fxmxmx=−−．(1)若1m=，解不等式()0fx；(2)若不等式()10fxm−在[0,2]上恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题设，()0fx等价于2210xx−−，即(1)(21)0xx−

+，解得112x−，所以该不等式解集为1,12−.（2）由题设，2290mxmxm−−+在[0,2]x上恒成立．令2()29gxmxmxm=−−+，则对称轴14x=[0,2]且29729(8)mmmm=−=−，①当0m时

，()gx开口向下且0，要使()0gx对[0,2]x恒成立，所以()()0902590gmgm=−+=+，解得995m−，则905m−．②当0m时，()gx开口向上，只需Δ0，即08m

.综上，9,0(0,8)5m−．考点五：二次函数根的分布问题例22．（2022·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程()22210xmxm+−+−=恰有一根在区间()0,1内，则实数m的取值范围是（）A．13,22B．12

,23C．1,22D．12,62723−【答案】D【解析】方程2(2)210xmxm+−+−=对应的二次函数设为：()2(2)21fxxmxm=+−+−因为方程2(2

)210xmxm+−+−=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①()()010ff，()()21320mm−−，解得：1223m；②函数()fx刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)2

1fxxmxm=+−+−，解得：1=2m，此时方程为2302xx−=，两根为0，32，而()30,12，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21fxxmxm=+−+−，解得：23m=，此时方程为23410xx−+=，两根为1，1

3，而()10,13，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，()22840mm=−−+=，解得627m=，经检验，当627m=−时满足方程恰有一根在区间(0,1)内;综上：实数m的取值范围为12,62723−故选：D例23．（2022·辽宁·

营口市第二高级中学高一期末）若关于x的方程2210xaxa++−=有一正根和一负根，则a的取值范围为__________．【答案】-1<a<1【解析】令f(x)=x2+ax+a2-1,由题意得f(0)<0即a2-1<0∴-1<a<1．例24．（2022·河南·高一期中）已知关于x的方程()22

140xmxm−++=的两根分别在区间()01，，()12，内，则实数m的取值范围为__________．【答案】104，【解析】令()()2214fxxmxm=−++，根据题意得()()()()()22200401011402042140

fmfmmfmm−++−++①②③，由①得：0m，由②得：104m，由③得：xR，求交集得：104m故m的取值范围为10,4.故答案为：10,4考点六：不等式在实际问题中的

应用例25．（2022·重庆南开中学高一阶段练习）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成

本为300万元，每封装x万片，还需要()Cx万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，()20.1130Cxxx=+；当x超过120万片时，()256001511350Cxxx=+−，封装好后的闪存颗粒售

价为150元/片，且能全部售完.(1)求公司获得的利润()Lx的函数解析式；(2)当封装多少万片时，公司可获得最大利润？最大的利润是多少？【解析】（1）总利润=总售价—总成本，由题意可知：总售价为150x（万元），总成本为()300

Cx+（万元），所以总利润()2150(0.1130300),0120N25600150(1511350300),120NxxxxnLxxxxnx−++=−+−+，，，化简得：()20.120300,0120N256001

050,120NxxxnLxxxnx−+−=−−+，，.（2）当0120Nxn，时，2()0.120300Lxxx=−+−，函数图像开口朝下，对称轴为100x=，故()Lx的最大值为(100)700L=（万元）

；当120Nxn，时，2560025600()105021050730Lxxxxx=−−+−+=，当且仅当25600xx=，即160x=时，等号成立.因为730700，则封装160万片时，公司可获得最大利润，最大利润为730（

万元）.例26．（2022·北京市第五十七中学高一阶段练习）设计一幅宣传画，要求画面面积为2400cm，面的上下各8cm空白，左右各留5cm空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积

是多少？【解析】设画面的高为x厘米，宽为y厘米，因为画面面积为2400cm，所以2400cmxy=，所以400cmyx=，纸张的面积的表达式()()()40064001610161010560Sxyxxxx=++=++=++，所以64006400105602105605601601

0Sxxxx=+++=+，当且仅当640010xx=，即810x=，且510y=时等号成立，所以画面的高为810cm，宽为510cm时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是()256016010cm+例27．（2022·北京广渠门中

学教育集团高一期中）某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析，由于公司在共享单车成本、维修、搬运等方面的花销，每辆单车的营运累计收入()fx（单位：元）与营运天数()xxN+满足21()588002fxxx=−

+−.(1)为保证营运累计收入不为负，求每辆单车最多营运的天数；(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？【解析】（1）由题意可知：221()0588011610600002fxxxxx−+−−+(16)(100)016100xxx−

−()x+N，所以每辆单车最多营运100天；（2）由题意可知：Nx+，()18001800180058()5825818222fxxxxxxxx=−+−=−++−+=，当且仅当18002xx=时取等号，即40x=取等

号，每辆单车营运40天时，才能使每天的平均营运收入最大.【真题演练】1．（2007·全国·高考真题（文））不等式203xx−+的解集是（）A．(3,2)−B．(2,)+C．(,3)(2,)−−+D．(,2)(3,)−−+【答案】C【解析】由()()2023

03xxxx−−++，解得2x或3x−.故选：C2．（2007·陕西·高考真题（理））已知不等式()19axyxy++≥对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2B．4C．6D

．8【答案】B【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1axyxy++的最小值大于等于9即可，000xya，，，()1112axayxyaaaxyyx++=+++++，当且仅当xayyx=即=yax时等号成立，219aa++

，2a或4(a−舍去)，即4a所以正实数a的最小值为4.故选：B.3．（2012·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A．245B．285C．5D．6【答案】C【解析】由已知可得3115

5xy+=，则3194123131234()(34)555555555yxxyxyxyxy+=++=++++=，所以34xy+的最小值5，应选答案C．4．（2021·天津·高考真题）若0,0ab，则21abab++的最小值为____________．【答案】22【

解析】0,0ab，2211222222aabbababbbbb+++=+=，当且仅当21aab=且2bb=，即2ab==时等号成立，所以21abab++的最小值为22.故答案为：22.5．（2019·天津·高考真题（理））设0,0,25xyxy+=，则(1)(

21)xyxy++的最小值为______.【答案】43【解析】(1)(21)221,xyxyxyxyxy+++++=0,0,25,0,xyxyxy+=2232643xyxyxyxy+=，当且仅当3xy=，即3,

1xy==时成立，故所求的最小值为43．6．（2007·江西·高考真题（文））已知函数2()xfxaxb=+（,ab为常数），且方程()120fxx−+=有两个实根为123,4xx==．(1)求函数()fx的解析式：(2)设1k，解关于x的不等式：(1

)()2kxkfxx+−−．【解析】（1）将123,4xx==代入方程()120fxx−+=，得，9312031641204abab−+=+−+=+解得12ab=−=，所以()2(),22xfxxx=−；（2）由（1）

知，不等式即为2(1)22xkxkxx+−−−，可化为2(1)02xkxkx−++−即()()()120xxxk−−−，当12k时，不等式的解集为()()1,2,k+，当2k=时，不等式可化

为()()2120xx−−解集为()()1,22,+，当2k时，不等式的解集为()()1,2,k+.7．（2007·上海·高考真题（文））解不等式：2131432xx−−−．【解析】将2131432xx−−−两边同乘6得429324xx−−−，即255x.所以5x

.故不等式的解集为{|5}xx.8．（2007·北京·高考真题（理））若关于x的不等式20xaxa−−的解集为(,)−+，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式23xaxa−−−的解集不是空集，则实数a的取值范围是_____

_______．【答案】()4,0−(),62,−−+【解析】不等式20xaxa−−的解集为(,)−+，则240aa=+，解得40a-<<；不等式23xaxa−−−的解集不是空集，即230xaxa−−+，故()22434120

aaaa=−−+=+−，解得2a或6a−.故答案为：()4,0−；(),62,−−+【过关检测】一、单选题1．（2022·青海玉树·高一期末）不等式()()210xx+−的解集为（）．A．()(),21,−

−+B．()2,1−C．()(),12,−+D．()1,2【答案】B【解析】因为不等式()()210xx+−可化为()()210xx+−，解得：2<<1x−，所以不等式()()210xx+−的解

集为(2,1)−，故选：B.2．（2022·湖北武汉·高一期末）关于x的不等式22630(0)xaxaa−+的解集为12,xx，则121226axxxx−−的最大值是（）A．46−B．26C．42−D．22【答案】

C【解析】因为关于x的不等式22630(0)xaxaa−+的解集为12,xx，所以12,xx是方程22630xaxa−+=的两个根，且12xx，所以112226,3xxxxaa==+，所以121212222()4361226x

xxxxaxaa=−−=−−=−−+，所以122122626263aaxxaxxa−−=−−26263aa=−−26263aa=−+26226423aa−=−，当且仅当26263aa=，即33a=时取等号，所以121226axxxx−−的最大值是42−，故选：C3．

（2022·青海西宁·高一期末）如果,,,Rabcd，则正确的是（）A．若a>b，则11abB．若a>b，则22acbcC．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd【答案】C【解析】对于A:取2,1ab==−则11ab，故A

错，对于B:若0c=，则22=acbc，故B错误，对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，对于D:若2,1,2,3abcd===−=−，则4,3acbd=−=−，acbd，故D错误.故选：C4．（2022·云南红河·高一期末）函数()()2

10xxfxxx++=的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】当0x时，()21111213xxfxxxxxx++==+++=，当且仅当1x=时，等号成立，故()fx的最小值为3

.故选：B.5．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））若0,0ab，且24ab+=，则下列不等式中成立的是（）A．2abB．2244ba+C．22loglog1ab+D．9318ab+【答案】D【解析】0,0ab，2422abab+=，解得2ab，当且仅当1,

2ab==时取等号，故选项A错误；()()22222142282ababab+=++=，2224ba+，当且仅当1,2ab==时取等号，故选项B错误；由A可得2ab，222logloglog1abab+=，当且仅当1,2ab==时取等号，故选项C错误；2239332318ab

baba++==+，当且仅当1,2ab==时取等号，故选项D正确；故选：D6．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,ab满足41ab+=，则11ab+的（）A．最大值为9B．最小值为9C．最大值为8D．最小值为8【答案】B【解析】因为正实数,ab满足41ab+=，所以

()11114552944aaabababbbabab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即123ab==取等号，所以11ab+的最小值为9，无最大值.故选：B7．（2022·四川资阳·高一期末）若xR，210a

xax+-<，则实数a的取值范围是（）A．()4,0−B．(4,0−C．)4,0−D．4,0−【答案】B【解析】对xR，210axax+-<，当0a=时，则有10−恒成立；当a<0时，则20Δ40aaa=+，解得40a-<<.综上所述，实数a的

取值范围是(4,0−.故选：B.8．（2022·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足11mab+=，若11abba++的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．2B．)2,+C．(0,2D．()0,+【答案】B【解析】

因为,ab为正实数，11abba++=12abab++1224abab?=，当1abab=，即1ab=时等号成立，此时有1ba=，又因为11mab+=，所以1ama+=，由基本不等式可知12aa+≥（1a=时等号成立），所以

2m.故选：B.二、多选题9．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）下列结论中正确的结论是（）A．xR时，1xx+最小值是2B．222sinsin2xx++的最小值为222−C．正数a，b满足22ab+=，则ab的最大值为12D．0a，1b−，1

aab+=，则1ab++的最小值为2【答案】CD【解析】A.0x时，()()11122xxxxxx+=−−+−−−−=−，有最大值，无最小值.故选项A错误；B.()222222222sin=sin222s

in22222sin2sin2sin2xxxxxx+++−+−=−+++，当且仅当222sin2sin2xx+=+时，等号成立，即()222sin2x+=.而2sin22x+，故()222sin2x

+=无解，即该式无法取得等号.故选项B错误；C.对于正数a，b，有2222abab=+，当且仅当21ab==时，取得等号，即12ab.故选项C正确；D.0a，10+b，()21112abaabab++=+=+，当且

仅当11ab=+=时，取得等号，则12ab++.故选项D正确.故选：CD10．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）不等式20axbxc++的解集是12xx−，则下列结论正确的是（）A．0ab+=B．0abc++C．0cD．0b【答案】ABC【解析】因为不等式

20axbxc++的解集是12xx−，所以a<0，且121020baca−=−+==−，所以0,,0,bbac=−所以0ab+=，0c，0b，故AC正确，D错误．因为二次函数2yaxbxc=++的两个零点为1−，2，且图像开口向下，所以

当1x=时，0yabc=++，故B正确．故选：ABC．11．（2022·全国·高一期末）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（）A．xy的最大值是14B．21xy+的最小值为9C．4x2＋y2最小值为12D．2xy+最大值为2【答案】BC【解析】对于A，2122xyxy+=Q，18xy

，当且仅当212xyxy+==即14x=，12y=时等号成立，故A错误；对于B，()212122255249yxxyxyxyxy+=++=+++=≥，当且仅当2221yxxyxy=+=即13xy==时等号成立，故B正确；对于C，由A可得18xy，又21

xy+=，()222424xyxyxy+=+−11141482xy=−−=，当且仅当14x=，12y=时等号成立，故C正确；对于D，()21222212228xyxyxy+=+++=，所以22xy+≤，当且仅当14x=，12y=时等号成立，故D错误；故选：BC.12．

（2022·福建·福州第十五中学高一期末）设0ab，且2ab+=，则()A．12bB．21ab−C．1abD．123ab+…【答案】AC【解析】对于A：0ab，且2ab+=，02bb−，解得12b，

故A正确；对于B：ab，即0ab−，0221ab−=，故B错误；对于C：0ab，且2ab+=，2()14abab+=，当且仅当1ab==时，等号成立，1ab，故C正确；对于D0ab，，且2ab+=，()()121121212112323

222222babaababababab+=++=++++=+，当且仅当2baab=，即222,422ab=−=−时等号成立，∵()13222+－3＝22302−，∴()13

2232+，∴D错误.故选：AC.三、填空题13．（2022·上海外国语大学附属大境中学高一期末）若关于x的方程20xxm−+=的两根为,，且||3−=，则实数m=__．【答案】2−【解析】因为关于x的方程20xxm−+=的两根为,，所以=14>0m−

，则有14m，由韦达定理可知：=1=m+，则2||()414m−=+−=−，又因为||3−=，所以143m−=，解得：2m=−，故答案为：2−.14．（2022·天津南开·高一期末）不等式265xx−的解集是

________.【答案】6xx−或1x【解析】因为265xx−，所以2560xx+−，故()()610xx+−，解得6x−或1x，所以265xx−的解集是6xx−或1x.故答案为：6xx−或1x.15．

（2022·上海市崇明中学高一期末）若1x，则11xx+−的最小值为______．【答案】3【解析】因为11(1)121311xxxx+=−+++=−−，当且仅当111xx−=−时，即2x=，等号成立，所以11xx+−的最小值为3.即答案为:3.

16．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）0x，0y，且3xy+=，若对于任意的x，y不等式211331kkxy+−++恒成立，则实数k的取值范围为______.【答案】1,2【解析】因为0x，0y，且

3xy+=，所以()11111111214141yxxyxyxyxy++=+++=+++++又112211yxyxxyxy+++=++，当且仅当11yxxy+=+时，即2,1xy==时，等号成立；所以111xy++的最小值为1.所以有2133kk−+，解得12k

，故答案为：1,2.四、解答题17．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：(1)求函数()2216fxxx=+的最小值；(2)已知关于x的不等式20xbxc++的解集为()2,

3−，求关于x的不等式2xbxc−+0的解集.【答案】(1)8；(2){32}xx−∣【分析】利用基本不等式求函数的最小值易知2−，3是方程20xbxc++=的解，求出bc，就可求出下一个不等式的解.（1）()22221

61628fxxxxx=+=…，当且仅当24x=时，等号成立.故()fx的最小值为8.（2）因为关于x的不等式20xbxc++的解集为()2,3−，所以方程20xbxc++=的实数根为2−和3，所以1,6bc=−=−，代入不等式20xbxc−+，得260xx+−，解得32x−.故不等式

20xbxc−+的解集为{32}xx−∣.18．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知3x，求43xx+−的最小值；（2）已知,xy是正实数，且1xy+=，求13xy+的最小值．【解析】（1）∵3

x，即30x−，()443333xxxx+=+−+−−()42334373xx−+=+=−，当且仅当433xx=−−，即5x=时取等号，∴43xx+−的最小值为7．()2x，yR+，()131333442423yxyxxyxyxyxyxy+=++=++

+=+．当且仅当3yx=，即312x−=，332y−=时取等号．∴13xy+的最小值为423+．19．（2022·湖北黄冈·高一期末）已知函数()22fxaxbxa=+−+(1)若14ab==−，，解关于x的不等式()0fx；(2)若关于x的不等式()

0fx的解集为()13−，，求实数ab，的值．【解析】（1）当14ab==−，时，()241fxxx=−+，由()0fx得2410xx−+；()223x−，解得()()2323x−−++，，；（2）

不等式()0fx的解集为()13−，，根据题意得a<0，且13213baaa−+=−−+−=，解得12ab=−=．20．（2022·湖北黄冈·高一期末）已知关于x的一元二次函数()21fxaxbx=−+(1)若()0fx的解集为1{|2xx−或1}x，求实数a、b的

值．(2)若实数a、b满足1ba=+，求关于x的不等式()0fx的解集．【解析】（1）()0fx的解集为1{|2xx−或1}x，102a−，与1是一元二次方程210axbx−+=的两个实数根，1121112baa−+=−=，解得21ab=−=−，．（2）1ba

=+，关于x的不等式()0fx化为：()2110axax−++，因式分解为：()()110axx−−，当1a=时，化为2(1)0x−，则x；当1a时，11a，解得11xa，不等式的解集为1{|1}xxa；01a时，11a，解得1

1xa，不等式的解集为1{1}xxa；a<0时，11a，不等式()()110axx−−化为：()110xxa−−，解得1x或1xa，不等式的解集为1{|xxa或1}x．21．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数

()22fxxax=+−，()0fx的解集为1xx−或xb．(1)求实数a、b的值；(2)若()0,x+时，求函数()()4fxgxx+=的最小值．【解析】（1）因为关于x的不等式220xax+−的解

集为1xx−或xb，所以，1−、b是方程220xax+−=的两个根，所以，12012ab−−=−=−，解得12ab=−=.（2）由题意知()()24221fxxxgxxxxx+−+===+−，因为0x，由基本不等式可得()22121221gxxxxx=+−−=−，

当且仅当2xx=时，即2x=时，等号成立故函数()gx的最小值为221−.22．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11fxxxa=−−−，aR．(1)若0a=，解不等式()1fx；(2)若函数()fx恰有

三个零点1x，2x，3x，求123111xxx++的取值范围．【解析】(1)当0a=时，原不等式可化为()120xx−−…①．（ⅰ）当0x时，①式化为220xx−−，解得12x−，所以02x；（ⅱ）当0x时，①式化为220xx−+，解得xR

，所以0x．综上，原不等式的解集为(),2−．(2)依题意，()()()2211,11,xaxaxafxxaxaxa−++−−=−++−．因为()10fa=−，且二次函数()211yxaxa=−++−开口向上，所以当xa时，函数(

)fx有且仅有一个零点．所以xa时，函数()fx恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.aaaafa+=+−+=−解得3a．不妨设123xxx，所以1x，2x是方程()2110xaxa−++−−=的两相异实根，则12121,1xxaxxa+=+

=+，所以121212111xxxxxx++==．因为3x是方程()2110xaxa−++−=的根，且312ax+，由求根公式得()231142aax++−+=．因为函数()()21142aaga++−+=在()3,+上单调递增，所以()3322xg=+，所以312012x−．所以1

23111xxx++．所以a的取值范围是21,22−．