【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第05讲 三角函数（解析版）.docx，共(32)页，2.204 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-1a540054dcd28a7c128b72ac1fb02702.html

以下为本文档部分文字说明：

第05讲三角函数【学习目标】1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。3、掌握三角函数的图像与性质4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行

简单的应用．5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．【考点目录】考点一：任意角和弧度制考点二：三角函数的概念考点三：诱导公式考点四：三角函数的图像与性质考点五：伸缩变换考点六：三角函数的应用【基础知识】知识

点一：任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按逆时针方向旋转所形成的角．负角：按顺时针方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．2、终边相同的角、象限角终边相同的角

为|2kkZ=+，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．知识点二：弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1

弧度角，记作1rad，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：180rad=1rad=0180≈57．30°=57°18′，1°=180≈0．01745（rad）3、弧长公式：||lr=（是圆心角的弧度数），扇

形面积公式：211||22Slrr==．知识点三：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是r的圆交于点(,)Pxy，则22rxy=+，那么：（1）yr做的正弦，记做sin，即sinyr=；（2）xr叫做的余弦，记做cos，即cosxr=；

（3）yx叫做的正切，记做tan，即tan(0)yxx=．知识点四：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点五：同角三角函数的基本关系式（1）平方关

系：22sincos1+=（2）商数关系：sintancos=知识点六：诱导公式诱导公式一：sin(2)sink+=，cos(2)cosk+=，tan(2)tank+=，其中kZ诱导公式二：si

n()sin−=−，cos()cos−=，tan()tan−=−，其中kZ诱导公式三：sin[((21)]sink++=−，cos[(21)]cosk++=−，tan[(21)]tank++=，其中kZ诱导公式四：sincos2+

=，cossin2+=−．sincos2−=，cossin2−=，其中kZ知识点七：正弦函数性质函数正弦函数sinyx=定义域R值域1,1−奇偶性奇函数周期性最小正周期2单调区间()kZ增区间[22]22kk−+，减

区间3[22]22kk++，最值点()kZ最大值点(2,1)2k+；最小值点(2,1)2k−−对称中心()kZ()0k，对称轴()kZ2xk=+知识点八：余弦函数的性质函数余弦函数cosy

x=定义域R值域1,1−奇偶性偶函数周期性最小正周期2单调区间()kZ增区间22kk−，减区间22kk+，最值点()kZ最大值点最小值点对称中心()kZ对称轴()kZxk=知识点九：正切

函数的性质1、定义域：|,2xxkkZ+2、值域：R由正切函数的图象可知，当()2xkkZ+且无限接近于2k+时，tanx无限增大，记作tanx→+（tanx趋向于正无穷大）；当()2xkkZ−+，tanx无限减小，记作tanx→−（tanx趋向于负无穷

大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tanx可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线2xk=+，kZ为正切函数的渐进线．3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即()tantanxx−=−．5、单调性：在

开区间,22kk−++，kZ内，函数单调递增知识点十：由sinyx=得图象通过变换得到sin()yAx=+的图象1、振幅变换：sinyAx=，xR（0A且1A）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（1A）或缩短（01A）到原来

的A倍得到的（横坐标不变），它的值域,AA−，最大值是A，最小值是A−．若0A可先作sinyAx=−的图象，再以x轴为对称轴翻折，A称为振幅．2、周期变换：函数sinyx=，xR（0且1）

的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1或伸长()01到原来的1倍（纵坐标不变）．若0则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．3、相位变换：函数()sinyx=+，xR（其中0）的图象，可以看作把正弦曲线上所

有点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．4、函数sinyx=的图象经变换得到sin()yAx=+的图象的两种途径()21k，()2,1k+−(,0)2k+【考点剖析】考点一：任

意角和弧度制例1．（2022·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】由扇形面积与弧长公式可得，21242Sr==，12lr==，故4r=，解得弧度数3=故选：B.例2．（2022·重庆市巫山大昌中学校高

一期末）下列与94的终边相同的角的集合中正确的是（）A．()245Zkk=+B．()9360Z4kk=+C．()360315Zkk=−D．()5Z4kk=+

【答案】C【解析】94057203154rad==−，故与其终边相同的角的集合为9{|2,}4kkZ=+或{|315360,}kkZ=−+角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意故选：C例3．（2022·河南

新乡·高一期末）“是第四象限角”是“2是第二或第四象限角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当是第四象限角时，3222,2kkkZ

++，则3,42kkkZ++，即2是第二或第四象限角.当324=为第二象限角，但32=不是第四象限角，故“是第四象限角”是“2是第二或第四象限角”的充分不必要条件

．故选：A考点二：三角函数的概念例4．（2022·上海市香山中学高一期末）已知tan3=，则22sinsincos2cos−−的值为（）A．25−B．25C．35-D．35【答案】B【解析】因为t

an3=，所以222222sinsincos2cossinsincos2cossincos−−−−=+22tantan29322tan1915−−−−===++.故选：B.例5．（2022·陕

西渭南·高一期末）已知角的终边经过点(,3)Mmm−，且1tan2=，则m=（）A．12B．1C．2D．52【答案】C【解析】由题意31tan2mm−==，解得2m=．故选：C．例6．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）若1sincos

3xx+=，(0,)x，则sincosxx−的值为（）A．173B．－173C．13D．173【答案】D【解析】已知1sincos3xx+=，(0,)x，所以112sincos9xx+=，即4sincos9xx=−，所以,2x，所以sincos0xx−，所以21

7sincos(sincos)4sincos3−=+−=xxxxxx.故选：D.考点三：诱导公式例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：203sinπ13373cosπtanπ1144tanπ3−−−；（2）已知4tan3=，求222sin2

sincos2cossin+−的值.【解析】（1）原式43sinπ5π33=costanπ544tanπ3−π3sinππ3=costanπ44tan3−−−3232222−=−=；（2）原式2222442t

an2tan33202tan423++===−−.例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且sincos()tan()2()cos()f−−+

=−．(1)化简()f；(2)若25()5f=，求cos的值．【解析】（1）coscostan()sincosf==−−（2）∵25()sin5f=−=，∴25sin5=−又为第三象限角

，∴22255cos1sin155=−−=−−−=−例9．（2022·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，π4sin25−=−．(1)求sin的值；(2)若costan()cos(2)2()tan(19)si

n(5)sin()f−−+−=−−−−+，求()f的值．【解析】（1）4sincos25−==−，因为为第二象限角，∴23sin1cos5=−=．（

2）∵()()()()()()()()costancos2sintancos-cos2=tan19sin5sintansinsinsinf−−+−==−−−−+−，∴()cos4sin3f=−=考点四：三角函数

的图像与性质例10．（多选题）（2022·贵州六盘水·高一期末）关于函数1()sin2sin2fxxx=+，下列说法正确的是（）A．()fx的最小值为2B．π()2fx+是奇函数C．()fx的图象关于直线π4x=对称D．()fx在π(0,)4上单调递减【答案

】BCD【解析】A选项，由于1sin21x−，所以()fx的值可以为负数，A选项错误.B选项，()()ππ11sin2sin2π22sin2ππsin22fxxxxx+=++=++++1sin2sin2xx

=−+，所以π2fx+为奇函数，B选项正确.C选项，ππ1sin222πsin22fxxx−=−+−()()()11sinπ2sin2sinπ2sin2xxfxxx=−+=+=−，所以()fx的图象关于直

线π4x=对称，C选项正确.D选项，ππ0,0242xx，所以sin2yx=在区间π0,4上递增，令()sin20,1tx=，()()101gtttt=+，令1201tt，()()()()12121

2121212111ttttgtgttttttt−−−=+−−=，其中1212120,10,0tttttt−−，所以()()()()12120,gtgtgtgt−，所以()gt在()0,1上递减，根据复合函数单调性同增异减可知1()sin2sin2fxxx=+在π(0,)4上单调递减

，D选项正确.故选：BCD例11．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数()()sinfxAx=+（0A，0，2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：x+02322x12712()sinAx+002−(1)根据上

表数据，直接写出函数()fx的解析式，并求函数的最小正周期和()fx在0,2上的单调递减区间.(2)求()fx在区间2,03−上的最大值和最小值.【解析】（1）根据五点法的表格，所以()2sin

32fxx=+所以()fx的最小正周期22T==令3222232kxk+++，Zk解之得7,1212kxkkZ++又0,2x，所以71212x或13191212x即()fx在0,2上

的单调递减区间为7,1212，1319,1212（2）由于203x−≤≤所以233x−+≤≤所以31sin232x−+所以22sin233x−

+当232x+=−即512x=−时，函数()fx的最小值为2−;当233x+=即0x=时，函数的最大值为3.例12．（2022·江苏盐城·高一期末）设()sin(0)4fxxb=++.(1)若函数()fx的最大值是最小值的3倍，求b的值；(

2)当12b=时，函数()fx正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若1231312xxx++=，求ω的值.【解析】(1)由题设13(1)bb+=−，可得2b=.(2)令1()sin042fxx

=++=，则1sin42x+=−，所以7246xk+=+或11246xk+=+且Zk，则11(2)12xk=+或19(2)12xk=+且Zk，由0且正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，所以11112x=、21912

x=、33512x=，则(111935)131212++=，所以5=.考点五：伸缩变换例13．（2022·上海市香山中学高一期末）将函数π3sin(2)6yx=−的图象向右平移π4个单位长度，所得图象

对应的函数（）A．在区间π7π[,]1212上单调递减B．在区间π7π[,]1212上单调递增C．在区间ππ[,]63−上单调递减D．在区间ππ[,]63−上单调递增【答案】B【解析】函数π3sin(2)6yx=−

的图象向右平移π4个单位长度得ππ2π3sin23sin2463yxx=−−=−，若π7π1212x，则π2ππ2232x−−，所以2π3sin23yx=−在区间π7π[,]1212上单调递增.若ππ63x−

，则2ππ203x−−，所以2π3sin23yx=−在区间ππ[,]63−上不单调.所以B选项正确，其它选项错误.故选：B例14．（2022·上海·曹杨二中高一期末）为了得到函数πsin(2)3yx=+的图象，可以将函数2πcos23yx=−的图象（）A．向左

平移π2个单位B．向左平移π4个单位C．向右平移π2个单位D．向右平移π4个单位【答案】B【解析】2ππππcos2cos2sin23626yxxx=−=−−=−将函数向左平移π4个单位得：πππsin2sin(2).463yxx=+−=+

故选：B例15．（2022·上海市行知中学高一期末）函数()sin()fxAx=+（其中0A，π||2）的图像如图所示，为了得到()cos2gxx=的图象，则只要将()fx的图象（）A．向

右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度【答案】D【解析】由图像可知，()fx的最小值为1−，又0A，所以1A=，因为7πππ41234T=−=，所以πT=，所以2π2π==，从而()()si

n2fxx=+，将7π,112−代入()fx，得7πsin16+=−，故7π3π2π,Z62kk+=+，得π2π3k=+，又π2，所以π3=，所以π()sin23fxx=+，对于A，将()fx的

图象向右平移π6个单位长度得到ππsin22sin263yxx=−+=，故A错误；对于B，将()fx的图象向右平移π12个单位长度得到πππsin22sin21236yxx=−+=

+，故B错误；对于C，将()fx的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2πsin22sin2633yxx=++=+，故C错误；对于D，将()fx的图象向左平移π12个单位长度得到πππs

in22sin22cos21232yxxx=++=+=，故D正确.故选：D.考点六：三角函数的应用例16．（2022·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2

m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系()()sin20,0,02πyAxA=++，则有（）A．2π15=，4π3=B．15π2=，4π3=C．2π15=，π6

7=D．15π2=，π67=【答案】C【解析】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，则周期602π4T==,则2π15=，由题意知(0,0)A,代入解析式中，()2π104sin02,

sin152=++=−，由于02π，故π67=或π611=，根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故π67=，所以，2π15=，π67=，故选：C例17．（2022·北京·高一期末）

从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们

在一个周期内的表现如下表所示：高潮期低潮期体力体力充沛疲倦乏力情绪心情愉快心情烦躁智力思维敏捷反应迟钝如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（）A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷C．疲倦乏力，心情愉

快，思维敏捷D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝【答案】D【解析】由图中数据可知体力的周期为123T=，情绪的周期为228T=，智力的周期为333T=.从同学甲出生到今日的天数为5860，故对于体力，有58602325418=+，处于低潮期，疲倦乏力；对于情绪，有5860282

098=+，处于高潮期，心情愉快；对于智力，有58603317719=+，处于低潮期，反应迟钝；故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝.故选：D例18．（2022·广东肇庆·高一期末）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展

出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每

60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（0=t），则我们可以建立函数关系式()()sinhtAtk=++（其中0A，0

，π02−）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（）A．函数()ht的最小正周期为40B．()ππ2sin1303htt=−+C．当40t=时，水车P点离水面最高D．当150t=时，水车P点距水面2m【答案】D【解析】依题意可知，水车转动的角速度2ππ6030=

=（rad/s），由21Ak+=+，21Ak−+=−+，解得2A=，1k=，由()0sin2sin10hAk=+=+=，得1sin2=−．又π02−，则π6=−，所以()ππ2sin1306htt

=−+，)0,t+．对于选项A：函数()ht的最小正周期为60．所以A错误；对于选项B：()ππ2sin1306htt=−+，所以B错误；对于选项C：()ππ402sin4010306h

=−+=，所以C错误；对于选项D：()ππ1502sin15012306h=−+=，所以D正确．故选：D．【真题演练】1．（2022·天津·高考真题）已知1()sin22fxx=，关于该函数

有下列四个说法：①()fx的最小正周期为2π；②()fx在ππ[,]44−上单调递增；③当ππ,63x−时，()fx的取值范围为33,44−；④()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个

数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因为1()sin22fxx=，所以()fx的最小正周期为2ππ2T==，①不正确；令ππ2,22tx=−，而1sin2yt=在ππ,22−上递增，所以()fx在ππ[,]44−上单调递增，②正确；因为π2π2,3

3tx=−，3sin,12t−，所以()31,42fx−，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin22428xxx=+=+，所以()fx的图象可由1πg()sin(2

)24xx=+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A．2．（2022·浙江·高考真题）设xR，则“sin1x=”是“cos0x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】

因为22sincos1xx+=可得：当sin1x=时，cos0x=，充分性成立；当cos0x=时，sin1x=，必要性不成立；所以当xR，sin1x=是cos0x=的充分不必要条件.故选：A.3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3yx=的图象，只

要把函数π2sin35yx=+图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度【答案】D【解析】因为ππ2sin32sin3155yxx==−+，所以把函数π

2sin35yx=+图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin3yx=的图象．故选：D.4．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin(0)3fxx=+的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y

轴对称，则的最小值是（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【解析】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx=++=++，又C关于y轴对称，则,232kk+=+Z，解得12,3kk=+Z，又0，故当0k=时，的

最小值为13.故选：C.5．（2022·全国·高考真题）记函数()sin(0)4fxxb=++的最小正周期为T．若23T，且()yfx=的图象关于点3,22中心对称，则2f=（）A．1B．32

C．52D．3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T满足23T，得223，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ+=，且2b=，所以12,63kkZ=−+，所以52=，5()sin224fxx

=++，所以5sin21244f=++=.故选：A6．（2021·全国·高考真题（理））把函数()yfx=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得

曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx=−的图像，则()fx=（）A．7sin212x−B．sin212x+C．7sin212x−D．sin212x+【答

案】B【解析】解法一：函数()yfx=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx=的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx=−的图象，根据已知得到了函数sin4yx=−的图象，所以2si

n34fxx−=−，令23tx=−,则,234212ttxx=+−=+,所以()sin212tft=+,所以()sin212xfx=+；解法二

：由已知的函数sin4yx=−逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx=+−=+的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到sin212xy=+的图象，即为()yfx=的图象，所以()sin212xfx=+.故选：B.7．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是（）A．0,2B．,2

ππC．3,2D．3,22【答案】A【解析】因为函数sinyx=的单调递增区间为()22,22kkkZ−+，对于函数()7sin6fxx=−，由()22262k

xkkZ−−+，解得()22233kxkkZ−+，取0k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为2,33−，则20,,233−，2,,233−，

A选项满足条件，B不满足条件；取1k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233−且358,,233，358,2,233

，CD选项均不满足条件.故选：A.8．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos(0,0π)fxx=+的最小正周期为T，若3()2fT=，9x=为()fx的零点，则的最小值为_____

_______．【答案】3【解析】因为()()cosfxx=+，（0，0π）所以最小正周期2πT=，因为()()2π3coscos2πcos2fT=+=+==，

又0π，所以π6=，即()πcos6fxx=+，又π9x=为()fx的零点，所以ππππ,Z962kk+=+，解得39,Zkk=+，因为0，所以当0k=时min3=；故答案为：39．（2021·全国·高考真题（文））已知函

数()()2cosfxx=+的部分图像如图所示，则2f=_______________.【答案】3−【解析】由题意可得：31332,,241234TTT=−====，当1312x=时，()131322,2126xkkkZ

+=+==−，令1k=可得：6=−，据此有：()52cos2,2cos22cos362266fxxf=−=−==−.故答案为：3−.【过关检测】一、单选题1．（2022·江苏连云港·高一期末）已知角的终边

经过点(,6)Px−−，且5cos13=−，则x的值是（）A．52−B．52C．513−D．513【答案】B【解析】由三角函数定义可得25cos1336xx−==−+，即()221692536,0xxx=+，解得52x=

.故选：B.2．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）若角5π−的终边与单位圆的交点坐标是3,5x，则()cos2023π−等于（）A．45B．35C．45D．35-【答案】A【解析】由角5π−的终边与单位圆的交点坐标是3,5x得()()55ππ3sinsi

nsin===−−，故()()24cos2023πcosπcos1sin5−=−=−=−=.故选：A3．（2022·北京市陈经纶中学高一阶段练习）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲

边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为π，则该勒

洛三角形的面积为（）A．π3−B．π32−C．3π2−D．π324−【答案】B【解析】设等边三角形ABC的边长为a，则由题意得：π1π33a=，解得：1a=，所以扇形ABC的半径为1，圆心角为π3，则其面积为21

ππ1236=，又等边三角形ABC的面积为233144=，则该勒洛三角形的面积为π33π336442−−+=，故选：B.4．（2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为（）A．2B．

4C．2或4D．1或4【答案】D【解析】设扇形所在圆的半径为r，由扇形的周长为6，面积为2，可得26122rllr+==，解得14rl==或22rl==，又由弧长公式，可得lr=，即lr=，当1,4rl==时

，可得4=；当2,2rl==时，可得1=，故选：D.5．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习）下列命题：①第四象限的角可表示为3{|2ππ2πZ}2kkk+，；②第二象限角大于第一象限角；③将表的

分针拨快10分钟，则分针转过的角为3；④若是第二象限角，则2的终边在第一象限．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】对于A,，第四象限的角可表示为3{|2ππ2π2πZ}2kkk++，，所以①错，对于B，大小为5π6的角

在第二象限，大小为13π6的角在第一象限，但5π13π66，所以②错，对于C，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为3−；所以③错，对于D，大小为8π3的角在第二象限，但4π3的终边在第三象限；所以④错，所以真命题的个数为0，故选：A.6．（2022·上

海市金山中学高一期末）已知函数π()sin()0,0,||2fxAxA=+的图象如图所示．则=（）A．π6B．π3C．π-6D．π3−【答案】B【解析】由图可知π2ππ37π32ππ122π2kk

+=++=+，解得2π3==.故选：B7．（2022·上海市香山中学高一期末）设Ra，[0,2π)b，若对任意实数x都有πsin(3)sin()3xaxb−=+，则满足条件的有序实

数对(,)ab的对数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】依题意，对任意实数x都有πsin(3)sin()3xaxb−=+，所以πsin33yx−=和()sinyaxb=+的周期相同，所

以3a=，解得3a=或3a=−，当3a=时，观察πsin33yx−=与()sin3yxb=+，由于[0,2π)b，所以π5π2π33b=−+=，则()5π,3,3ab=.当3a=−时，观察πs

in33yx−=与()()()sin3sinπ3sin3πyxbxbxb=−+=−−+=+−，由于[0,2π)b，所以π4ππ,33bb−=−=，则()4π,3,3ab=−.综上所述，满足

条件的有序实数对(,)ab的对数为2.故选：B8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2sin3fxx=+，63ff=，且在区间,63内()fx有最小值无最大值，则=（）A．43B．2C．143D．8【答案】C【解析】()2si

n(0)3fxx=+，易知当6324x+==时，函数()fx在区间,63上取得最小值，所以32432k+=+，Zk，所以1483k=+，Zk，又236T=−，所以012，所以143=．故选：C．二、

多选题9．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）已知()0,，17sincos13−=，则下列结论正确的是（）A．,2B．12cos13=−C．5tanθ12=-D．2tan601ta

n169=−+【答案】AD【解析】对于A，由题设17174πcossin10,π1313132=−−=−，故A正确；对于BC，因为22sincos1+=，17sincos13−=，所以2217cosc

os113++=，化简得2169cos221cos600++=，解得5cos13=−或12cos13=−，当5cos13=−时，1717512sincos13131313=

+=−=，则5tn1a2−=当12cos13=−时，1717125sincos13131313=+=−=，则5tanθ12=-，所以B，C错误；对于D，由前面的解析可知，当5tn1a2−=时，221212tan60551691tan1

69121255−−===−++−，当5tanθ12=-时，2255tan6012121691tan1695114412−−===−++−，综上2tan601tan169=−+，所以D正确，故选：AD.10．（2022·山东·济南九中高

一阶段练习）下列选项正确的是（）A．3sincos2−=B．5rad7512=C．若终边上有一点()43P,−，则4sin5=−D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为6【答案】BD【解析】对于A，3sincos2−=−，故A错；对于B

，55rad180751212==，故B正确；对于C，若终边上有一点()43P,−，则2233sin543==+，故C不正确；对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为6，面积为16622=，故D正确.故选：BD11．（2022·浙江省杭州

第二中学高一期末）设π()sin23fxx=−，则（）A．()fx的最小正周期为πB．π6x=是()fx的一条对称轴C．()fx在ππ,43上单调递增D．()fx向左平移5π12个单位后为偶函数【答案】ACD【解析】因为π()sin

23fxx=−，所以()fx的最小正周期为π，故A正确；π()sin2sin00663=−==f，所以π6x=不是()fx的一条对称轴，故B错误；若ππ,43x，则ππ2,363−x，又sinyx=在π

π,63上单调递增，所以()fx在ππ,43上单调递增，故正确；当()fx向左平移5π12个单位后得到5πsin2sin2cos21232=+−=+=yxxx为偶函数，故正确；故选：ACD12．（2022·全国

·高一单元测试）函数()()()2sin0,fxx=+的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．()12sin33fxx=−B．若把()fx图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图像，则函数(

)gx在,−上是增函数C．若把函数()fx的图像向左平移2个单位长度，得到函数()hx的图像，则函数()hx是奇函数D．,33x−，若()332fxaf+恒成立，则a的取值范围为)32,++【答案】CD【解析】对于A，由图像可知：()fx的

最小正周期74262T=−=，213T==；()222sin23f=+=，()2232kk+=+Z，解得：()26kk=−+Z，又2，6=−，()12sin36fxx

=−，A错误；对于B，()fx图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍得：()12sin26xgx−=，当,x−时，12,2633x−−，()gx在,−上不单调，B错误；对于C，()f

x的图像向左平移2个单位长度得：()112sin2sin3263hxxx=+−=，()()hxhx−=−，即()hx为奇函数，C正确；对于D，32sin2sin32263f=−==，由()332fxaf+

得：()3332sin6afxx−=−−，当,33x−时，,626x−−，1sin1,62x−−，32sin31,326x−−−+，32a+，即实数a的取值范围为)32,+

+，D正确.故选：CD.三、填空题13．（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）若1cos,3=是第三象限角且1cos2sin2−=，则cos2=______．【答案】63−【解析】因为1cos3=，且1cos2sin2−=

，所以3sin=023，又因为是第三象限角，所以π3πππ,Z224kkk++，则2是第二或第四象限，又3sin=023，所以2在第二象限，所以26sin=2123cos=−−−，故答案为：63−14．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练

习）已知π1cos62−=，则4πsin3+=___________.【答案】12−【解析】因为π1cos62−=，所以4πππππsinsinπsinsin

33326+=++=−+=−−−π1cos62=−−=−.故答案为：12−.15．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数()sin(

)fxAx=+（0A，0，0）的部分图像如图所示，将()fx的图像向右平移3个单位长度得到函数()gx的图像，则()gx=__________．【答案】sin23x−【解析】由题图可知：1A=，174123

4T=−=，又2T=，所以2=．又223k+=+，kZ，又0，所以令0k=，得3=.所以()sin23fxx=+，所以()sin2sin2333gxxx=−+=−

．故答案为：sin23x−.16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()π2cos23fxx=−在()πR4aaa−，上的最大值为1y，最小值为2y，则12yy−的取值范围是_______.【答案】2222−

，【解析】函数()π2cos23fxx=−的周期为π，且对称轴为ππ62kx=+，对称中心5ππ0122k+，，Zk，()fx的图象大致如图所示；区间π4aa−，正好是()fx的14个周期，根据()fx的对称性可知：在半

个周期内讨论就行，设π4aa−，的中点为P，由图可知，当点P落在对称轴π6x=上，即ππ=86a−时，7π24a=,此时ππ7π=42424aa−，，,故当π6x=时，最大值12y=，当7π24x=时，最小值22y=，此时12yy−的值为

22−；当点P落在对称中心5π012，上，即π5π=812a−时，13π24a=，此时π7π13π=42424aa−，，,故当7π24x=时，最大值12y=，当13π24x

=时，最小值22y=−，此时12yy−的值为22；12yy−的取值范围是2222−，．故答案为：2222−，四、解答题17．（2022·陕西·永寿县中学高一阶段练习）已知角以x轴的非负半轴为始边，()2,1P−为终边上一点.(1)求sin2cos−的值；(2)求

3sin()cos(2)costan()25coscos(3)sin()2−−−−−−−的值.【解析】（1）因为角的终边上有点()2,1P−，所以2213sin3(2)(1)−==−+−，2226cos3(2)

(1)==+−，所以326326sin2cos333+−=−−=−.（2）3sin()cos(2)costan()25coscos(3)sin()2−−−−−−−sincos(sin)(tan)s

in(cos)(sin)−−=−−12tan22==−=−.18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()12sinfxx=−．(1)用“五点法”作法函数()fx在0,2πx上的

简图；(2)根据图象求()1fx在0,2π上的解集．【答案】(1)作图见解析(2)0π,2π【解析】（1）五个关键点列表如下：x0π2π3π22π()fx11−131作图：（2）根据（1）中的图象，可得()1fx在0,2π上的解集为0π,

2π．19．（2022·上海市陆行中学高一期末）已知函数()sin()(R)fxAxx=+，其中π(0,0,0)2A的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为2π(,2)3M−.(1)求()fx的周期；(2)当ππ[,]122x

时，求()fx的值域.【解析】（1）由x轴上相邻两个交点间的距离为π2，得π22T=，即πT=，函数()fx的周期为π.（2）由函数图象的最低点为2π(,2)3M−，得2A=，由πT=得2π2π==.又点2π(,2)3M−在图象上，得2π2sin(2)23

+=−，即4πsin()13+=−，故4ππ2π32k+=−，Zk，所以11π2π6k=−，Zk，又π(0,)2，所以π6=，所以()2sin(2)6fxx=+.又ππ[,]122x，所以ππ7π2,

636x+，所以1sin(2)[,1],2sin(2)[1,2]626xx+−+−.所以()fx的值域为[1,2]−.20．（2022·甘肃·庄浪县第二中学高一期末）已知函数()π2sin214fxx=++，x

R，求：(1)函数()fx的最小值及取得最小值的自变量x的集合；(2)函数()fx的单调减区间．【解析】（1）因为()π2sin214fxx=++，所以当π3π22π42xk+=+，Zk，即5

ππ8xk=+，Zk时，()fx取得最小值为()2111−+=−，此时自变量x的集合为5ππ,Z8xxkk=+．（2）由ππ3π2π22π242kxk+++，Zk，得π5πππ88kxk+

+，Zk，所以函数()fx的单调减区间为π5πππ88kk++，，Zk．21．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数()()sin0,0,2πfxAxA=+的部分图像如图所示.(1)求,A和

的值；(2)求函数()yfx=在1,2上的单调递减区间；(3)若函数()yfx=在区间,ab上恰有2022个零点，求ba−的取值范围.【解析】（1）由图像得1A=，412π22,π332T=−===，1ππ2π,Z,32kk

+=，解得π3=−，()πsinπ3fxx=−．（2）令π2π5ππ,333tx=−，()singtt=，由()singtt=图像易知当2π3π,32t时，()gt递减，∴2ππ3ππ332x−，解得1116x，∴函数()yfx=在

1,2上的单调递减区间为111,6．（3）令()πsinπ03fxx=−=，则πππ3xk−=，解得13xk=+，Zk，∴()fx在17,33有两个零点，因为()fx周期为2，若函数()yfx=在区间,ab上恰有2022个零点，则1010211

01121ba+−+，20212023ba−，)2021,2023ba−．22．（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）（1）已知tan2x=，求2sin3sincosxxx−的值；（2）已知2ππsincos,,322+=−，求

tan的值．【解析】(1)因为tan2x=，所以22222222sin3sincostan3tan2322sin3sincossincostan1215xxxxxxxxxxx−−−−====−+++.

(2)因为2sincos3+=，所以()24sincos9+=，即224sincos2sincos9++=，则5sincos018=−，又因为ππ,22−，所以sin0,cos0，又()22214sincossincos2sinc

os9−=+−=，所以14cossin3−=，联立2sincos314cossin3+=−=，解得214sin6214cos6−=+=，所以214sin92146tancos

52146−−===−+.