【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第06讲 向量概念（解析版）.docx，共(18)页，1.237 MB，由envi的店铺上传

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第06讲向量概念【学习目标】1、了解向量的实际背景和概念．2、清楚向量的几何表示．3、区分相等向量与共线向量．【考点目录】考点一：向量的基本概念考点二：向量的表示方法考点三：利用向量相等或共线进行证明考点四：向量知识在实际问题中的简单应用【基础知识

】知识点一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小

和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二：向量

的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如,,,abc等．（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段AB（

注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB．知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有

大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三：向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．知识点诠释：（1）向量a的模||0a

．（2）向量不能比较大小，但||a是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作0，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量．知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要

任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．

知识点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．规定：0与任一向量共线．知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别．2、平行向量可以在同一

直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【考点剖析】考点一：向量的基

本概念例1．给出如下命题：①向量uuurAB的长度与向量uuurBA的长度相等；②向量ra与rb平行，则ra与rb的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量uuurAB与向量uuurCD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条

直线上．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对于①，向量uuurAB与向量uuurBA，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量ra与rb平行时，ra或rb为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同

，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量uuurAB与uuurCD是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．例2．给出下列四个命题：①若r=||0a，

则r=0a；②若rr=||||ab，则rr=ab或rr=−ab；③若rr//ab，则rr=||||ab；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①若r

=||0a，则rr=0a，故错误；②若rr=||||ab，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；③若rr//ab，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；故选：A例3．给出下列命题：①若rr=−ab，则rr=||

||ab；②若rr||||ab，则rrab；③若rr=ab，则rr//ab；④若rrrr//,//abbc，则rr//ac.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】解：因为rr=−ab，则向量rr,ab互为相反向量，所以rr=||||ab，故①正确；因为向量不

能比较大小，故②错误；若rr=ab，则向量rr,ab方向相同，故③正确；当rr=0b时，向量rr,ac的方向不能确定，故④错误.所以正确命题的个数是2个.故选：C.考点二：向量的表示方法例4．如图，VABC和VABC是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设VABC的边长

为a，写出图中给出的长度为3a的所有向量中，（1）与向量uuurGH相等的向量；（2）与向量uuurGH共线的向量；（3）与向量uuurEA平行的向量.【解析】（1）与向量uuurGH相等的向量，即与向量uuurGH大小相等，方向相同的向量，有uuurHC，uuurLB；（2）与向量uuu

rGH共线的向量，即与向量uuurGH方向相同或相反的向量，有uuurHC，uuurLB，uuurGB，uuurLE，uuuurEC；（3）与向量uuurEA平行的向量，即与向量uuurEA方向相同或相反的向量，有uuurEF，uuurFB，uuurHA，u

uurHK，uuuurKB.例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量ra．（1）试以B为起点画一个向量rb，使rr=ba；（2）画一个以C为起点的向量rc，使|rc|＝2，并说出rc的终点的轨迹是什么．【解析】（1

）根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．考点三：利用向量相等或共线进行证明例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且uuuruuur=AOOC

，uuuruuur=BOOD．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解析】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且uuuruuur=AOOC，uuuruuur=BOOD．所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形．

即证.例7．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示.（1）写出与向量uuuvFC共线的向量；（2）求证:uuuvuuuv=BEFD.【解析】（1）根据题意，与向量uuurFC共线的向量为：uuurCF，uuurAE，uuurEA.（2）∵ABCD是

平行四边形，//ABCD，=ABCD，且E，F分别为边CD，AB的中点，∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴uuuruuur=BEFD．考点四：向量知识在实际问题中的简单应用例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基

地B，然后改变航线向东偏北60航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量uuuruuuruuur,,ABBCCD；（2）求uuur||AD．【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向

量uuuruuuruuur,,ABBCCD即为所求．（2）根据题意，向量uuurAB与uuurCD方向相反，故向量uuuruuur//ABCD，又uuuruuur=||||ABCD，∴在ABCD中，=//,ABCDABCD，故ABCD为平行四边形，∴u

uuruuur=ADBC，则uuuruuur==||||400ADBC（海里）．例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30nmile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40nmile处有一艘渔船抛锚需救助.试求：（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；（2）

巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.【解析】（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即+=70ABBCnmile.（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为uuuruuuruuur=+=22||||||50(n

mile)ACABBC.由于=4sin5BAC，故方向约为北偏东53°.【真题演练】1．（2022·上海中学东校高一期末）下列结论中，正确的是（）A．零向量只有大小没有方向B．||||ABBA=C．对任一向量a，||0a总是成立的D．||AB与线段BA的长度不相等【答案】B

【解析】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于AB与BA方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；||AB与线段BA的长度相等，故D错误．故选：B．2．（2022·全国·高一课时练习）下列说

法错误的是（）A．向量CD与向量DC长度相等B．单位向量都相等C．0的长度为0，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【解析】因为CDDC=−，所以CD和DC互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B

选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相

同；②若ab，则a，b不是共线向量；③若ABDC=，则四边形ABCD是平行四边形；④若mn=，nk=，则mk=；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，错误的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】

对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若ab也有可能a，b长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；对于③，若ABDC=，则AB，DC不一定相等，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；对于④，

若mn=，nk=，则mk=，④正确；对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.综上，错误的是②③⑤，共3个.故选：B.4．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（）①若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②若向量a与向量b平

行，则a，b方向相同或相反；③若非零向量AB与CD是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；④若ab=rr，则a，b是相等向量或相反向量.A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量AB与CD是共线向量，则AB与CD平行或共线；②错误，a与b至少有一个为零向

量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；④错误，由ab=rr，只能说明a，b的长度相等，确定不了方向.故选：B.5．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（）A．若ab=，则ab=B．若,abbc==，则a

c=C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“ABDC=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件D．“ab=”的充要条件是“ab=且ab∥”【答案】BC【解析】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；对于B，由平面向量相等可得B正确；对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当AB

DC=时，ABDC=且//ABDC，故四边形ABCD为平行四边形；当四边形ABCD为平行四边形时，ABDC=且//ABDC，故且,ABDC同向，故ABDC=，故C正确；对于D，当ab且方向相反时，即使ab=，也不能得到ab=，故D错误；故选：B

C6．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（）A．a与b是否相等与a，b的方向无关B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量C．若a，b都是单位向量，则ab=D．向量AB与BA相等【答案】AB【解析】对于C，单位向量的

模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D，向量AB与BA互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确．故选：AB．7．（多选题）（2022·新疆·疏勒县实验学校高一期末）下面关于向量的说法

正确的是（）A．单位向量：模为1的向量B．零向量：模为0的向量C．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量【答案】ABCD【解析】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，模为0的向

量为零向量，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD均正确，故选：ABCD．8．（2022·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD的中心，则向量,,,AOOBCOOD是___________.（填序号）①平行向量；②相等向量；③有相同终点

的向量；④模都相等的向量.【答案】④【解析】根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量,,,AOOBCOOD是模都相等的向量.故答案为：④.9．（2022·全国·高一课时练习）如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边

形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中.(1)分别写出与AO、BO相等的向量；(2)写出与AO共线的向量；(3)写出与AO的模相等的向量；(4)写出与AO的夹角为90的向量；(5)向量AO与CO是否相等？【解析】（1）依题意，因为O是正方形

ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OAAEODDEOCCFBFBO=======，ABCDBCAD===；由题可得：OCBFAO==，ODAEBO==；（2）与AO共线的向量有DE，OC，BF.（3）

与AO的模相等的向量有：AE，DE，OD，OC，BO，BF，CF.（4）与AO的夹角为90的向量有OD，BO，CF，AE；（5）向量AO与CO不相等，因为它们的方向不相同．【过关检测】一、单选题1．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下

列说法正确的是（）A．单位向量均相等B．单位向量1e=C．零向量与任意向量平行D．若向量a，b满足||||ab=，则ab=【答案】C【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：

单位向量1e=.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量a，b满足||||ab=，但是a，b的方向可以是任意的.故选：C2．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）以下说法正确的是（）A．零向量与任意非零向量平行B．若//ab，//bc，则//acC．若0a=(

为实数)，则必为零D．a和b都是单位向量，则ab=【答案】A【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；对于B，0b=时，满足//ab，//bc，但//ac不一定成立，故错误；对于C,0a=时，0=或0a=，故错误；对于D，a和b都是单位向量，则||||ab=

，但ab=不一定成立，故错误．故选：A．3．（2022·陕西西安·高一期末）下列命题正确的是（）A．若,∥∥abbc，则ac∥B．向量AB与向量BA的长度相等C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若7,3

ba==，则ab【答案】B【解析】对于A；当0b=，则,ac不一定平行，故A错，对于B；向量AB与向量BA是相反向量，故长度相等，故B正确，对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相

等，故C错，对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，故选：B4．（2022·河南许昌·高一期末（理））已知P在ABC所在平面内，满足PAPBPC==，则P是ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【答案】A【解析】PAPBPC==表示P到,,ABC三点距离相等，P为外

心．故选：A．5．（2022·浙江丽水·高一期末）若,ab为非零向量，则“aabb=”是“,ab共线”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意,ab为非零向量，aa表示与a同向的单位向量，bb表示与b同向的单位向量，

则aabb=表示与,ab同向的单位向量，所以能推出,ab共线，所以充分性成立；,ab共线可能同向共线、也可能反向共线，所以,ab共线得不出aabb=，所以必要性不成立.故选：B.6．（2022·全国·高一）下列说法正确的是（）A．若向

量a与b共线且a与b不为零向量，则存在实数，使得λab=B．零向量是没有方向的向量C．任意两个单位向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小【答案】A【解析】∵a与b为非零向量，且共线，∴存在实数，使得λab=，A正确；零向量的长度为0，方向是任意的，故B错误；任意两个

单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.故选：A.7．（2022·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应11−，，则向量AB的长度是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】数轴上点A，B分别对应1

1−，，则向量AB的长度即2AB=.故选：C．8．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）在下列说法中：①若ab=，bc=，则ac=；②零向量的模长是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线是在同一条直线上的向量．其中正确说法

的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．①④【答案】A【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若ab=，bc=，则ac=，故③错误，①正确，模为0的向量叫做零向量，故②正确，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，

平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误；故选：A二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）下列叙述中错误的是（）A．若ab=，则32abB．若ab∥，则a与b的方向相同或相反C．若ab∥，bc∥，则ac∥D．对任一向量a，||aa

是一个单位向量【答案】ABCD【解析】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若b为零向量，则a与c可能不是共线向量，故C错误；对于D，当0a=时，||aa无意义，故D错误．故选

：ABCD10．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点C．若向量a与b不共线，则a与b都是非零

向量D．若ab=，bc=，则ac=【答案】CD【解析】有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确．两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故C正确．若

ab=，则a，b的长度相等且方向相同；若bc=，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故ac=，故D正确．故选：CD．11．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（）A．若||||ab=，则ab=B．若a

b，则||||abC．若||||ab=，则a与b可能共线D．若||||ab，则a一定不与b共线【答案】ABD【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，故A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论

两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线故C正确，D错误.故选：ABD．12．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）如下四个命题中，说法正确的是（）A．向量AB的长度与向量BA的长度相等；B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必

相同；C．两个公共终点的向量，一定是共线向量；D．向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．【答案】AB【解析】向量AB与向量BA是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显

然错误，选项D，也有可能直线AB与直线CD平行；故选：AB三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）若A地位于B地正西方向5km处，C地位于B地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________．【答案】西北

方向52km【解析】根据题意画出图形如图所示，由图可知||52kmBC=uuur，且45ABC=，故C地相对于B地的位移是西北方向52km．故答案为：西北方向52km.14．（2022·上海市浦东中学高一期末）命题：若//,//

abbc，则//ac，则命题为_______（填写：真命题或假命题）【答案】假命题【解析】当向量0brr时，若//,//abbc，可得//ac；当向量0b=时，若//,//abbc，则a与c不一定共线，所以命题为假命题.故答案为：假命题15

．（2022·山东菏泽·高一期中）已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________.【答案】0【解析】向量m与向量AB是平行向量，则向量m与向量AB方向相同或相反；向量m与BC是共线向量，则向量m与向量BC方向相同或相反，又由A、B、C是不

共线的三点，可知向量AB与向量BC方向不同且不共线则m＝0.故答案为：016．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−的8个顶点中选2个点作为向量的顶点和

终点，则其中：单位向量共有________个与向量BC相反的向量，模长为3的向量共有________个．【答案】38【解析】如图所示，其中单位向量有1111,,DACBDA与BC相反，共3个；正方体棱长为1，正方体体对

角线长为3，模长为3的向量有1BD，1DB，1ACuuur，1CA，1AC，1CA，1BD，1DB，共8个．故答案为：3，8．四、解答题17．（2022·全国·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量AB、BC、CD、DA、DC和AD中，相等的有哪些？【解析】由方向相同且长

度相等的两个向量是相等向量的定义，可知在向量AB、BC、CD、DA、DC和AD中，相等的有ABDC=，BCAD=18．（2022·全国·高一课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则(1)与OA的模相等的向量有

多少个？(2)与OA的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB共线的向量．【解析】(1)在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，所以AOOC=，且//ABDC，所以与OA的模相等的向量有OC，AO，CO三个向量．(2)与OA的模相等且方向相反的向量为OC，AO.(

3)与AB共线的向量有DC，CD，BA.19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OAa=，OBb=，OCc=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）

与c共线的向量有哪些？【解析】（1）与a长度相同，方向相同的向量有：,,DOEFCB；（2）与b长度相同，方向相反的向量有：BOAFCDOE、、、；（3）与c方向相同或相反的向量有：,ABBAFOOFCOFCCFEDDE、、、、、、、.20．（2022·全国·

高一专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量OA相等的向量个数为m，与向量OA的模相等的向量个数为n，求m，n．【解析】与OA方向相同的向量仅有CBDOEFDA、、、，又DAOAC

BDOEFOA===，，故3m=；与向量OA的模相等的向量有两类：(1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有26111−=(个)；(2)正六边形的六条边上的向量，有2612=(个)故23n=.21．（2022·全国·高一专题练习）如图，在矩形AB

CD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？(2)在模为2的向量中，相等的向量有多少对？【解析】(1)在模为1的

向量中，相等的向量有:①AMMDBNNC===，共有6对；②MADMNBCN===，共有6对；③ABMNDC==，共有3对；④BANMCD==，共有3对；所以模为1的向量中，相等的向量共有18对.(2)在模为2的向量中，相等的向量有:,,,ANMCNACM

BMNDMBDN====.共有4对.